Một số tính chất của môđun trên vành chính

Trờng đại học vinh Khoa Toán ------ tRầN tHị dIệP MộT Số TíNH CHấT CủA MÔĐUN TRÊN VàNH CHíNH Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành Đại số Cán bộ hớng dẫn KHóA LUậN: TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện: Trần Thị Diệp Lớp: 47B - Toán 1 Vinh 2010 Trờng đại học vinh Khoa Toán ------ tRầN tHị dIệP MộT Số TíNH CHấT CủA MÔĐUN TRÊN VàNH CHíNH Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh 2010 2 Mục lục Trang Mở đầu 2 CHNG 1. KIN THC CHUN B 3 1.1. Vành chính 3 1.2. Môđun con xoắn 3 1.3. Linh hóa tử của môđun .3 1.4. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 4 1.5. Dãy khớp .5 1.6. Môđun hữu hạn sinh 5 1.7. Môđun tự do .5 1.8. Môđun nội xạ .7 1.9. Nguyên lý Zermelo .7 1.10. Nguyên lý quy nạp siêu hạn .7 1.11. Sự phân tích các môđun .7 chơng 2. môđun trên vành chính .8 2.1. Môđun tự do trên vành chính 8 2.2. Môđun hữu hạn sinh trên vành chính 12 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 3 Mở đầu Môđun và vành là một trong những đề tài đã đợc nghiên cứu khá nhiều từ tr- ớc đến nay. Có thể thấy rằng cấu trúc môđun xuất hiện hầu hết trong các lý thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất với các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben, không gian véctơ và có khả năng linh hoạt t ơng đối lớn. Ta thấy rằng cùng một môđun nhng gắn với những lớp vành cơ sở khác nhau thì cấu trúc của nó có nhiều sự thay đổi. Trong khóa luận tốt nghiệp này, trên cơ sở các kiến thức về lý thuyết môđun đã đợc học và tìm hiểu ở các tài liệu, chúng tôi trình bày một số vấn đề về lý thuyết môđun trên vành chính. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đợc chia làm hai chơng. Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày (không chứng minh) các kiến thức cơ sở của lý thuyết môđun có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chơng 2. Chơng 2. Môđun trên vành chính: Trình bày một số tính chất về môđun trên vành chính, cụ thể là môđun tự do và môđun hữu hạn sinh trên vành chính. Đồng thời chỉ ra sự phân tích một số môđun trên vành chính. Khóa luận này đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn tập thể 47 B Toán đã động viên chúng tôi trong thời gian làm khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đợc những lời chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự góp ý của bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 05 năm 2010 Tác giả CHNG 1. KIN THC CHUN B 4 Trong chơng này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số khái niệm và kết quả đợc dùng trong Chơng 2. Trong toàn bộ chơng, vành luôn đợc giả thiết là giao hoán và có đơn vị. 1.1. Vành chính 1.1.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành chính nếu R l min nguyên v mi iđêan của R đều là iđêan chính. 1.1.2. Ví dụ. Vành các số nguyên  là vành chính. 1.1.3. Mệnh đề. Giả sử là một phần tử khác 0, không khả nghịch của một vành chính R có phân tích tiêu chuẩn l 1 1 . k ee k p p = . Khi đó 1 1 / / . / k ee k R R R Rp R Rp . 1.2. Môđun con xoắn 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử R là miền nguyên và M là một R-môđun. Một phần tử x của M đợc gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại một phần tử 0 a R sao cho ax = 0. Tập các phần tử xoắn của M đợc kí hiệu là (M). 1.2.2. Mệnh đề. Cho R là một miền nguyên và M là một R-môđun. Khi đó (M) là một môđun con của M. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử M là một môđun trên miền nguyên R. Tập (M) các phần tử xoắn của M đợc gọi là môđun con xoắn của M. Nếu (M) = {0 M } thì M đợc gọi là môđun không xoắn. Nếu (M) = M thì M đợc gọi là môđun xoắn. 1.2.4. Mệnh đề. Giả sử R là một miền nguyên và M là một R-môđun. Khi đó ta có các khẳng định sau: (i) (M) là một R-môđun xoắn. (ii) M / (M) là một R-môđun không xoắn. 1.3. Linh hóa tử của môđun 1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. (i) Với mỗi x M, ta kí hiệu Ann(x) = {a R| ax = 0}. 5 (ii) Linh hóa tử của môđun M, kí hiệu là Ann(M), là tập tất cả các phần tử a R sao cho ax = 0 với mọi x M. Ann(M) = {a R | ax = 0, x M}. 1.3.2.Nhận xét. Ann(x) và Ann(M) là những iđêan của vành R. 1.4. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 1.4.1. Định nghĩa. Cho I là một tập khác rỗng và (M ) I là một họ các R-môđun chỉ số hóa bởi I. Kí hiệu I M M = là tích Đềcác của (M ) I . Trên M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hớng nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , I I I I I x y x y a x ax + = + = với mọi a R và mọi ( ) ( ) ; I I x y M . Khi đó hai phép toán vừa xác định ở trên làm cho M trở thành một R-môđun. M đợc gọi là tích trực tiếp của họ các R-môđun (M ) I . Trong I M M = ta lấy ra tập con I M bao gồm tất cả các phần tử của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn. Khi đó I M cũng là một R-môđun và đợc gọi là tổng trực tiếp của họ các môđun (M ) I . 1.4.2. Chú ý. (i) Nếu M = N với mọi I thì ta kí hiệu I M bởi N I . (ii) Nếu M = N với mọi I thì ta kí hiệu I M bởi N (I) . 1.4.3. Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị, I và J là những tập khác rỗng, (M ) I và (N ) I là họ các R-môđun. Khi đó ( ) ( ) ( ) , , , A A J IxJ I Hom M N Hom M N . 1.4.4. Định lí. Cho R-môđun M và N là một môđun con của nó. Khi đó nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì /M N F , trong đó F là môt môđun con nào đó của M. 1.5. Dãy khớp 6 1.5.1. Định nghĩa. Một dãy đồng cấu các R-môđun 1 1 2 . . i i f f i i i M M M + + + đợc gọi là một dãy khớp nếu Im f i = Ker f i+1 , với mọi i. Một dãy khớp có dạng 0 0 f g M N P đợc gọi là một dãy khớp ngắn. 1.5.2. Định nghĩa. Dãy khớp . . f g M N P đợc gọi là chẻ ra tại M nếu Im f = Ker g là một hạng tử trực tiếp của M. Nếu một dãy khớp chẻ ra tại mọi môđun không ở hai đầu mút của dãy thì ta nói rằng nó chẻ ra. 1.5.3. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Một tập con khác rỗng S của A đợc gọi là tập đóng nhân của A nếu 1 S và với mọi a, b S thì ab S. 1.5.4. Mệnh đề. Cho dãy khớp các R-môđun f g N M L và S là một tập đóng nhân của A. Khi đó ta có dãy khớp các S -1 R-môđun sau: 1 1 1 1 1s f s g S N S M S L . 1.6. Môđun hữu hạn sinh. Cho M là một R-môđun và S là tập con của R-môđun M. Khi đó giao của tất cả các môđun con của M chứa S cũng là một môđun con của M. Môđun con này đợc gọi là môđun con của M sinh bởi S. Nếu môđun con sinh bởi S của M chính là M thì ta bảo rằng S là một hệ sinh của M. Nếu M có hệ sinh hữu hạn thì ta nói M là một môđun hữu hạn sinh. Khi M có một hệ sinh chỉ gồm một phần tử thì M đợc gọi là một môđun đơn sinh, hay môđun xyclic. 1.7. Môđun tự do 1.7.1. Định nghĩa. Tập con S của một R-môđun M đợc gọi là một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức a 1 x 1 + . + a n x n = 0 7 với x 1 , ., x n S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a 1 = . = a n = 0. Nếu trái lại thì S đợc gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu môđun M có một hệ sinh độc lập tuyến tính thì nó đợc gọi là một môđun tự do và tập S đợc gọi là một cơ sở của M. 1.7.2. Ví dụ (i) Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở {1}. Tổng quát hơn, với I là một tập chỉ số bất kỳ, R (I) là một R-môđun tự do với cơ sở {e i | i I} trong đó e i có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần còn lại bằng 0. Cơ sở này đợc gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của A (I) . (ii) Mỗi không gian vectơ trên một trờng K là một K-môđun tự do vì nó luôn có cơ sở. (iii) Vành 6  tất cả các lớp số nguyên mod 6 là một  -môđun. Tuy nhiên do 6 0x = với mọi 6 x  nên 6  không có cơ sở nên nó không là môđun tự do. (iv) Xét vành 6 R =  . Gọi M và N lần lợt là các R-môđun con của R sinh bởi 2 và 3 của R. Hai môđun này không tự do trên R vì 2.3 0= . 1.7.3. Định lý. Nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở S thì M R (S) . 1.7.4. Định lý. Một R-môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một môđun thơng của R n , với n là số nguyên dơng nào đó. 1.7.5. Mệnh đề. Dãy khớp các R-môđun 0 0M N F là chẻ ra nếu F là môđun tự do. 1.7.6. Định nghĩa. Cho M là một môđun tự do trên vành giao hoán có đơn vị R. Khi đó lực lợng của một cơ sở của M đợc gọi là hạng của R-môđun M và kí hiệu là r(M). 1.7.7. Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán. M, N, P là các môđun tự do trên vành R. Khi đó nếu có dãy khớp ngắn các R-môđun 0 0N M P thì r(M) = r(N) + r(P). 1.8. Môđun nội xạ 8 1.8.1. Định nghĩa. Một R-môđun I đợc gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu : 'M I và mọi đơn cấu : 'M M à các R-môđun, đều tồn tại một đồng cấu :M I sao cho à = . 1.8.2. Mệnh đề. Nếu I là một R-môđun nội xạ và 'M M là các R-môđun thì mọi đồng cấu R-môđun từ M đến I đều mở rộng đ ợc thành một đồng cấu R-môđun từ M đến I. 1.8.3. Định nghĩa. Một nhóm Aben D đợc gọi là chia đợc nếu với mọi d D và mọi n 0, tồn tại c D sao cho d = nc. 1.8.4. Mệnh đề. Một nhóm Aben là chia đợc nếu và chỉ nếu nó là một  môđun nội xạ. 1.9. Nguyên lý Zermelo. Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ tự tốt. 1.10. Nguyên lý quy nạp siêu hạn. Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự tốt và là một tính chất nào đó đối với các phần tử của X thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Phần tử đầu tiên có tính chất . (ii) Nếu mọi y X mà y < x (x X) đều có tính chất thì suy ra x cũng có tính chất . Khi đó mọi phần tử của X đều có tính chất . 1.11. Sự phân tích các môđun. Một R-môđun M đợc gọi là không phân tích đợc nếu M không thể biểu diễn đợc dới dạng tổng trực tiếp của hai R-môđun con không tầm thờng. 9 chơng 2. môđun trên vành chính 2.1. Môđun tự do trên vành chính Ta biết rằng, trên một vành bất kỳ, không phải môđun con của môđun tự do nào cũng là môđun tự do. Chẳng hạn, lấy R =  6 thì R là R-môđun tự do. Xét M là R- môđun con của R sinh bởi phần tử 2 R thì M không phải là một R-môđun tự do (xem Ví dụ 1.7.2).Tuy nhiên trên một vành chính thì tình hình khác hẳn, bởi mọi môđun con của một môđun tự do trên vành chính lại là một môđun tự do. Ta có định lý sau. 2.1. 1. Định lý. Giả sử R là một vành chính. Khi đó mọi môđun con của một R- môđun tự do là một R-môđun tự do. Chứng minh. Giả sử T là một môđun tự do trên vành chính R với cơ sở I. Khi đó T đẳng cấu với R-môđun tự do R (I) và theo nguyên lý Zermelo ta có thể trang bị cho I một thứ tự tốt. Bởi vậy, ta luôn xem T = R (I) với I là tập sắp thứ tự tốt. Giả sử M là một môđun con khác môđun con không của T và {e i } i I là cơ sở tự nhiên của T. Kí hiệu T i là môđun con sinh bởi {e j } j i và đặt M i = T i M. Xét các phép chiếu ( ) ( ) : . I i i i i I p R R x x Với mỗi i I ta có p i (M i ) là một iđêan của R. Do R là vành chính nên tồn tại a i R để p i (M i ) = Ra i . Lấy b i M i sao cho p i (b i ) = a i với quy định rằng: nếu a i = 0 thì chọn b i = 0. Khi đó ta thu đợc một họ {b i } i I . Sử dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn (xem Mục 1.10), ta chứng tỏ rằng họ {b j } j i sinh ra M i với mọi i I. Để làm đợc điều này ta sẽ chứng minh: a) Nếu i 0 là phần tử đầu tiên của I thì 0 i b sinh ra 0 i M . Rõ ràng < 0 i b > 0 i M . Mặt khác vì 0 i b 0 i M suy ra 0 i b 0 i T = < 0 i e >, do đó tồn tại a R sao cho 0 i b = 0 i ae . Giả sử x < 0 i b >. Khi đó với mọi b R thì x b 0 i b = ab 0 i e 0 i T nên x 0 i M , suy ra 0 i M < 0 i b >. Vậy 0 i M sinh bởi 0 i b . 10 . sở của lý thuyết môđun có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chơng 2. Chơng 2. Môđun trên vành chính: Trình bày một số tính chất về môđun trên vành. tổng trực tiếp của hai R -môđun con không tầm thờng. 9 chơng 2. môđun trên vành chính 2.1. Môđun tự do trên vành chính Ta biết rằng, trên một vành bất kỳ,