bộ giáo dục đào tạo trờng đại học vinh lê ngọc tuấn một số tính chất của môđun tựa liên tục luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 2 Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh lê ngọc tuấn một số tính chất của môđun tựa liên tục Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: pgs.ts. ngô sỹ tùng vinh - 2009 3 Mục lục Trang Danh mục các ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chơng 1. Những kiến thức cơ sở . 4 1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng . 4 1.2 Môđun CS, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun nội xạ . 5 1.3 Môđun đều, môđun con đều và chiều đều (chiều uniform) . 5 1.4 Vành QF và vành nửa hoàn chỉnh 6 1.5 Một số tính chất về hạng tử trực tiếp . 7 Chơng 2. CS - môđun và (1- C 1 ) - môđun 9 2.1 Một số tính chất (1- C 1 ) - môđun .9 2.2 Một số tính chất CS - môđun .12 Chơng 3. Một số tính chất của môđun tựa liên tục 18 3.1 Bù hạng tử trực tiếp đều 18 3.2 Một số tính chất của môđun tựa liên tục . 19 Kết luận .24 Tài liệu tham khảo .25 4 Danh môc c¸c ký hiÖu C¸c ký hiÖu ®îc sö dông trong luËn v¨n chñ yÕu theo S. H. Mohamed - B. J. Muller [8], F. W. Anderson - K. R. Fuller [3], N. V. Dung - D. V. Huynh - P. F. Smith - R. Wisbauer [4], D. W. Sharpe - P. Vamos [9]. Sau ®©y lµ mét sè ký hiÖu ®îc sö dông nhiÒu nhÊt. K M⊆ : K lµ m«®un con cña M. K M= : K lµ m«®un con bÐ cña M. e K M⊆ : K lµ m«®un con cèt yÕu cña M. dimu M : ChiÒu ®Òu (chiÒu Goldie) cña m«®un M. ( )l M : §é dµi m«®un M. K M ⊕ ⊂ : K lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M. i Ii M ⊕ ∈ : Tæng trùc tiÕp c¸c m«®un con M i , víi i I∈ . ( )E M : Bao néi x¹ cña m«®un M. 5 Mở đầu Có hai hớng để nghiên cứu lý thuyết vành. Hớng thứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hớng thứ hai là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Theo hớng thứ hai, lớp môđun nội xạ là một trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Vì thế, lớp môđun này có rất nhiều sự mở rộng. Một trong những sự mở rộng đó là môđun tựa liên tục. Các khái niệm liên tục và tựa liên tục đã đợc Utumi định nghĩa trên các vành vào năm 1960. Những khái niệm này đã đ- ợc mở rộng trên các môđun bởi Jereny (1971), Takeuchi (1972), Mohamed và Bouhy (1977). Kể từ đó, các lớp môđun này đã đợc nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác nhau và phát triển thành một lý thuyết phong phú. Vào năm 1977, Chatters và Hajanravis lần đầu tiên đa ra khái niệm CS - môđun (đây là một lớp môđun mở rộng tựa liên tục), sự ra đời của lớp các CS - môđun đã có những ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Vào năm 1988, Kamal và Muller đã đa ra khái niệm (1- C 1 ) - môđun nhằm mục đích nghiên cứu vành Nơte. Năm 1994, Ngô Sỹ Tùng sử dụng lớp môđun này để đặc trng vành QF. Nói thêm rằng, lớp (1- C 1 ) - môđun là mở rộng thực của CS - môđun và hiện nay nghiên cứu lớp (1- C 1 ) - môđun để đặc trng các lớp vành đang đợc các tác giả trong và ngoài nớc quan tâm. Xuất phát từ hớng nghiên cứu trên và dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng chúng tôi tập trung nghiên cứu một số lớp môđun tựa liên tục. Cụ thể chúng tôi quan tâm đến tính liên tục, (1- C 1 ) và sử dụng chúng để đặc trng vành. Luận văn trình bày trong ba chơng. Chơng 1: Những kiến thức cơ sở Nội dung chính trong chơng này là nhắc lại một số khái niệm cơ sở của lý thuyết môđun và hệ thống hoá các kiến thức cơ sở về vành. 6 Chơng 2: CS - Môđun và (1 - C 1 ) - môđun Chơng này chúng tôi trình bày một số kết quả về (1- C 1 ) - môđun và CS - môđun. Chơng 3: Một số tính chất của môđun tựa liên tục Chơng này chúng tôi nghiên cứu các điều kiện để tổng trực tiếp họ bất kỳ các môđun tựa liên tục là tựa liên tục và một điều kiện để một môđun (1- C 1 ) là tựa liên tục. Hơn nữa, chúng tôi còn quan tâm đến việc sử dụng các lớp môđun tựa liên tục, (1- C 1 ) để đặc trng vành. Luận văn đợc thực hiện dới trờng Đại Học Vinh, dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, sự kính trọng đến thầy, ngời đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin cm n NCS Trần Giang Nam đã óng góp nhiu ý kin b ích trong quá trình ho n th nh lu n vn. Qua luận văn này tôi xin đợc cảm ơn các thầy cô giáo khoa toán, khoa Đào Tạo Sau Đại Học - Trờng Đại Học Vinh đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Mặc dù đã rất nhiều cố gắng nhng thật khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận đợc ý kiến góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đọc. Vinh, tháng 11 năm2009 Tác giả Lê ngọc Tuấn Chơng 1: Những kiến thức cơ sở 7 Trong chơng này chúng tôi chỉ xét các vành kết hợp, có đơn vị và các môđun đều là môđun phải unita. Các môđun đều là môđun phải đợc xét trên cùng một vành R. Vì vậy các R- môđun phải M sẽ đợc nói gọn là môđun M. 1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng 1.1.1 Định nghĩa. i) Cho A là một môđun con của môđun M. A đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M nếu với mỗi môđun con 0X của M ta luôn có 0A X . Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu ( essential extention) của A và đợc ký hiệu MA e . ii) Một mở rộng cốt yếu M của A đợc gọi là mở rộng cốt yếu thực sự (properessential extention) nếu AM . iii) Môđun con A đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói khác đi, A đợc gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con B của M mà BA e thì B = A. iv) Môđun con B của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con A trong M nếu B là môđun con tối đại trong M sao cho A là cốt yếu trong B. v) Môđun con B của M đợc gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt yếu) trong M và ký hiệu B M= , nếu mọi môđun con L của M, L M thì B + L M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M. 1.1.2 Mệnh đề. Cho vành R và M, N, K là những R - môđun phải với K N M i) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại, ii) Nếu K đóng trong N và N đóng trong M thì K đóng trong M. 1.1.3 Tính chất. i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C và e A M thì B e C. ii) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C và B = C thì A = C. 1.2 Môđun CS, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, Môđun nội xạ 1.2.1 Các điều kiện C 1 , C 2 , C 3 8 Cho M là một R - môđun phải. Ta xét các điều kiện sau. ( ) 1 C Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M. ( ) 2 C Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là một hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là một hạng tử trực tiếp của M. ( ) 3 C Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M sao cho = 0 thì cũng là một hạng tử trực tiếp của M. 1.2.2 Định nghĩa. i) Một môđun M đợc gọi là CS - môđun (hay extending), nếu M thoả mãn điều kiện (C 1 ). ii) Một môđun M đợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous), nếu M thoả mãn điều kiện (C 1 ) và (C 3 ). 1.2.3 Định nghĩa. Cho A và M là các R - môđun. Khi đó, (1) Môđun A đợc gọi là M - nội xạ (M - injective) nếu mọi môđun con K của M và mỗi đồng cấu :f K A , thì có một R - đồng cấu * :f M A sao cho * f f i= . Trong đó i là phép chiếu chính tắc. (2) Môđun A đợc gọi là tựa nội xạ hay tự nội xạ (quasi - injective, self -injective) nếu A là A - nội xạ. (3) Môđun A đợc gọi là nội xạ (injective) nếu A là M - nội xạ, đối với mọi môđun M. 1.3 Môđun đều, môđun con đều và chiều đều (chiều uniform) 1.3.1 Định nghĩa. Cho R là một vành, một R - môđun phải khác không M đợc gọi là đều nếu với bất kỳ hai môđun con khác không A, B của M ta luôn có 0A B . Nói cách khác, M là đều nếu 0M và mọi môđun con khác không của M là cốt yếu trong M. Nhận xét. Môđun con của một môđun đều hoặc là môđun 0 hoặc là môđun đều. 1.3.2 Định nghĩa. i) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều (hay chiều Uniform) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con 9 khác không trong M. M đợc gọi là có chiều đều vô hạn trong trờng hợp ngợc lại. Ngời ta đã chứng minh đợc rằng nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì số hạng tử lớn nhất của một tổng trực tiếp các môđun con, mà cốt yếu trong M là một số bất biến, số đó đợc gọi là chiều đều của M và ký hiệu là udim(M). ii) Cho R là một vành tuỳ ý, ta gọi chiều đều phải của R là chiều đều của R R và chiều đều trái của R là chiều đều của R R. 1.3.3 Mệnh đề. Cho M là một R - môđun và N là môđun con của M. i) Nếu N e M, thì M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu N có chiều đều hữu hạn và trong trờng hợp này udimM = udimN. Ngợc lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và udimM = udimN, thì N e M. ii) Nếu M = M 1 . M n , thì udimM = udimM 1 + .+ udimM n . iii) Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn. Khi đó M có chiều đều hữu hạn và udimM udimN + udimM/N. iv) Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đều hữu hạn. 1.4 Vành QF và vành nửa hoàn chỉnh 1.4.1 Vành QF a) Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành QF nếu R là vành Artin phải và trái và thoả mãn các điều kiện ( ( )) , ( ( ))r l A A l r A A= = , với mọi iđêan phải A và iđêan trái A của R. b) Định lý. Các mệnh đề sau là tơng đơng đối với một vành R: (1) R là QF; (2) Mỗi R - môđun phải nội xạ là xạ ảnh; (3) Mỗi R - môđun phải xạ ảnh là nội xạ; (4) Mỗi R - môđun phải xạ ảnh là tựa liên tục; (5) R là Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái; (6) R là vành liên tục phải và trái. Artin phải và trái. 10