Một số tính chất của môđun lọc

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN XUÂN TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN LỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Vinh - 2010 1 Mục lục Trang Mục lục ……………………………………… 1 Mở đầu …………………………………………………… . 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Vành và môđun địa phương hoá………………………… 4 1.2. Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun…………… . 5 1.3. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun………… . 7 1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic… 7 1.5. Hệ tham số và hệ tham số thu gọn…………… . 9 1.6. Dãy chính quy………………………… 10 1.7. Môđun đối đồng điều địa phương…………… 11 1.8. Môđun Cohen-Macaulay………………… . 11 1.9. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng…… 12 Chương 2. Môđun lọc 2 2.1. Định nghĩa môđun lọc………………… .……… . 13 2.2. Một số tính chất và đặc trưng của môđun lọc……… 15 2.3. Điều kiện để một môđun lọc là môđun Cohen-Macaulay suy rộng . 20 2.4. Tính chất của môđun lọc không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng 23 Kết luận…………… .………… .… 27 Tài liệu tham khảo…… . 28 3 Mở đầu Cho ( ) ,R m là vành giao hoán, địa phương, Noether. M là một R − môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M d = . Năm 1978, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [5] lần đầu tiên đưa ra khái niệm dãy chính quy lọc đối với môđun như sau: Một dãy các phần tử ( ) 1 , ., r x x của iđêan cực đại m được gọi là dãy chính quy lọc đối với M (hay còn gọi là f − dãy của M ) nếu ( ) ( ) { } 1 1 , Ass / , ., \ i i x M x x M − ∉ ∀ ∈ p p m , với mọi 1, ., = i r . Khái niệm này là một mở rộng trực tiếp của khái niệm dãy chính quy mà ta đã biết từ lâu. Dãy chính quy lọc ngày càng có nhiều ứng dụng và nó đã chứng tỏ là một công cụ hữu ích trong Đại số giao hoán. Trong luận văn này, dựa vào các tài liệu tham khảo chúng tôi nghiên cứu lớp môđun thoả mãn tính chất: Mọi hệ tham số đều là dãy chính quy lọc. Lớp môđun này được gọi là môđun lọc hay còn gọi là f − môđun. Môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy. Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M là môđun lọc. Thậm chí nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M cũng là môđun lọc. Như vậy lớp các môđun lọc chứa thực sự lớp môđun Cohen- Macaulay suy rộng. Tuy nhiên lớp các môđun lọc vẫn có nhiều tính chất tốt gần với môđun Cohen-Macaulay hoặc môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Mục đích chính của luận văn này là dựa vào các tài liệu tham khảo mà chủ yếu là các tài liệu [8] và [10] để trình bày về các tính chất của môđun lọc. Ngoài phần Mở đầu; Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 2 chương. 4 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương 2: Môđun lọc. Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, một số tính chất và đặc trưng của môđun lọc, đồng thời xét mối quan hệ giữa lớp môđun lọc và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và khoa Sau đại học đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao học khoá 16 - Đại số và Lý thuyết số - Thanh Hoá đã giúp đỡ động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Vành và môđun địa phương hoá 1.1.1. Vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề các R x S ta xét quan hệ hai ngôi: ( ) ( ) ( ) , , , , , , : 0 ⇔ ∃ ∈ − = :r s r s t S t rs sr . Khi đó ∼ là quan hệ tương đương trên R x S. Với (r,s) ∈ R x S, ký hiệu r/s là lớp tương đương chứa (r,s) và S -1 R là tập thương của R x S theo quan hệ tương đương ∼: S -1 R = {r/s | r∈ R, s∈ S}. Trên S -1 R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S -1 R trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S. Mỗi iđêan của vành R có dạng S -1 I = {a/s | a ∈ I, s ∈ S}, trong đó I là iđêan của R. Ta có S -1 I = S -1 R ⇔ ∩ ≠ ∅ I S . Do đó S -1 I là iđêan thực sự của S -1 R khi và chỉ khi ∩ = ∅ I S . Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó \S R= p là một tập nhân đóng của vành R. Vành S -1 R trong trường hợp này là vành địa phương, ký hiệu là R p , với iđêan cực đại duy nhất { 1 / ,R S a s a s − = = ∈ ∈p p p p } \R p nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p . 1.1.2. Môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó ta có vành các thương S -1 R. Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi: ( ) ( ) ( ) , , , , , , : 0 ⇔ ∃ ∈ − = :m s m s t S t ms sm . Khi đó ∼ là quan hệ tương đương trên M x S. Do đó M x S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương của M x S theo quan hệ tương đương ∼ là S -1 M và ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) là /m s . Như vậy S -1 M = { /m s | m∈ M, s∈ S}. 6 Trên S -1 M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng: ( ) − + = + ∀ ∈ 1 / '/ ' ' ' / ', / ; '/ 'm s m s s m sm ss m s m s S M và = / . /r t m s − − ∀ ∈ ∈ 1 1 / , / , /rm ts r t S R m s S M . Khi đó 1 S M − có cấu trúc là một 1 S R − - môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S. 1 S M − cũng có thể xem là một R-môđun với phép nhân vô hướng như sau: =. / /r x s rx s , với mọi ∈ ,r R − ∈ 1 /x s S M . Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và \S R= p . Khi đó môđun 1 S M − được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p , ký hiệu là M p . Như vậy M p có thể xem như là R p -môđun hoặc là R-môđun. 1.2. Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun 1.2.1. Phổ của vành. Ký hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó Spec R được gọi là phổ của vành R. Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu { } = ∈ ⊇ p p( ) SpecV I R I . 1.2.2. Độ cao của iđêan. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R : 0 1 . n ⊃ ⊃ ⊃ p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n . Cho Spec R ∈ p , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 = p p được gọi là độ cao của p , ký hiệu là ( ) ht p . Nghĩa là: ( ) ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với 0 = p p }. Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa: ( ) ( ) { } ht inf ht Spec , I R I = ∈ ⊇ p p p . 1.2.3. Chiều Krull của mô đun. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R . 7 Cho M là một R − môđun. Khi đó ( ) dim / Ann R R M được gọi là chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M. Chú ý rằng ¶ dim dim .M M = 1.2.4. Giá của môđun. Tập con { } = ∈ ≠Supp Spec 0M R M p p của Spec R được gọi là giá của môđun M. Với mỗi ∈x M ta ký hiệu { } = ∈ = 0 R Ann x a R ax ; { } { } = ∈ = = ∈ = ∈ 0 0, R Ann M a R aM a R ax x M . Ta có R Ann x và R Ann M (hoặc Ann x và Ann M nếu không để ý đến vành R) là những iđêan của M. Ann M được gọi là linh hoá tử của môđun M. Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì { } = = ∈ ⊇ p pSupp (Ann ) Spec Ann R R M V M R M . Supp M được gọi là catenary nếu với mỗi cặp iđêan ∈, Supp R Mp q mà ⊇p q thì luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hoà xuất phát từ q kết thúc tại p và tất cả các dãy nguyên tố bão hoà như thế đều có chung độ dài. Supp M được gọi là đẳng chiều nếu dim / dim R R Mp= với mọi iđêan cực tiểu ∈ Supp ( ) R Mp . 1.2.5. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương: (i) Supp R M là catenary; (ii) ( ) = − ht / dim / dim /R Rp q q p với mọi cặp ⊇p q trong Supp R M ; (iii) + dim / dim / 1R Rq= p với mọi cặp ⊃p q trong Supp R M mà ( ) = ht / 1p q ; (iv) + dim / dim / 1R Rq= p với mọi cặp ⊃p q trong { } Supp \ R M m mà ( ) = ht / 1p q . 8 1.3. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun 1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R − môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của R là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau được thoả mãn: (i) Tồn tại phần tử ∈x M sao cho ( ) = pAnn x ; (ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với /R p . Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M hoặc Ass M nếu không để ý đến vành R. Như vậy { } = ∈ ∈p p=Ass Spec Ann , víi M R x x M . 1.3.2. Mệnh đề. Ass Supp M M ⊆ và mọi phần tử tối tiểu của Supp M đều thuộc Ass M . 1.3.3. Mệnh đề. Nếu M là R − môđun Noether thì Ass M là tập hợp hữu hạn. Ký hiệu { } Assh Ass dim / dim = ∈ p p= R R R R M M R M . Khi đó ta có các định nghĩa. 1.3.4. Định nghĩa. (i) M được gọi là không trộn lẫn (unmixed) nếu Ass R M Assh . R M = (ii) M được gọi là không trộn lẫn yếu (weak-unmixed) nếu 0 / ( ) m M H M là không trộn lẫn. Nói cách khác ( ) ⊆ Ass ( ) \ Assh ( ) R R M Mm . 1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic 9 Cho ( ) , mR là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý ∈ r R gồm các lớp ghép + m t r với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô −m adic của R ký hiệu bởi µ R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( ) n r các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên 0 n để − ∈ m t n m r r với mọi 0 , > n m n . Dãy ( ) n r được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự nhiên 0 n để 0 − = ∈ m t n n r r với mọi 0 > n n . Hai dãy Cauchy ( ) n r và ( ) n s được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu là ( ) ( ) : n n r s nếu dãy ( ) − n n r s là dãy không. Khi đó quan hệ ∼ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu µ R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu ( ) n r và ( ) n s là các dãy Cauchy thì các dãy ( ) + n n r s , ( ) n n r s cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy ( ) + n n r s , ( ) n n r s là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các dãy ( ) n r và ( ) n s , tức là nếu ( ) ( ) , : n n r r và ( ) ( ) , : n n s s thì ( ) ( ) , , + + : n n n n r s r s và ( ) ( ) , , : n n n n r s r s . Vì thế µ R được trang bị hai phép toán hai ngôi + và . đồng thời cùng với hai phép toàn này, µ R lập thành một vành. Mỗi phần tử ∈ r R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà 10 . lọc ……………… .……… . 13 2.2. Một số tính chất và đặc trưng của môđun lọc …… 15 2.3. Điều kiện để một môđun lọc là môđun Cohen-Macaulay. số với mọi i = 1,…,d-1. Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số cần dùng trong luận văn. 1.5.2. Mệnh đề. (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của