Một số tính chất của môđun

Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng đại học vinh huỳnh tấn trọng một số tính chất của môđun một số tính chất của môđun nội xạ chính nội xạ chính Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 2 Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng đại học vinh huỳnh tấn trọng một số tính chất của môđun một số tính chất của môđun nội xạ chính nội xạ chính Chuyên ngành: đại số & lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: Pgs. Ts. ngô sỹ tùng Vinh - 2008 4 MỤC LỤC Trang Mở đầu 1 Nội dung 3 Chương 1: Môđun con nội xạ & Các mở rộng 3 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóng, bao đóng .3 1.2. Môđun A–nội xạ .4 1.3. Môđun nội xạ .5 1.4. Các điều kiện (C 1 ) , (C 2 ) , (C 3 ) 10 Chương 2: Một số tính chất của môđun nội xạ chính 11 2.1. Các định nghĩa .11 2.2. Các mệnh đề .14 Kết luận .47 Tài liệu tham khảo .48 MỞ ĐẦU Môđun nội xạ đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun vì môđun nội xạ liên quan đến hầu hết các định nghĩa và mệnh đề trong lý thuyết môđun như mô đun con cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con xyclic, hạng tử trực tiếp của một môđun, tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun… Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Mô đun M được gọi là môđun N– nội xạ nếu với mọi môđun con X của N và với mọi R–đồng cấu ϕ : X → M đều tồn tại một R–đồng cấu ψ : N → M là mở rộng của ϕ, tức biểu đồ sau giao hoán : (trong đó i : X → N là R–đồng cấu nhúng). Dựa vào ý tưởng trên, M.A.Kamal và O.A.Elmnophy [2] đã xem xét một lớp các môđun nội xạ, gọi là môđun nội xạ chính, được định nghĩa như sau : Giả sử M, N là các R–môđun. M được gọi là N–nội xạ chính (gọi tắt là N– P–nội xạ) nếu với mọi môđun con xyclic nR của N và với mọi R–đồng cấu ϕ: nR → M thì có thể mở rộng được đến R–đồng cấu ψ: N → M. Tức biểu đồ sau giao hoán: N ϕ X i ψ  M ψi = ϕ 6 Mục đích của luận văn là làm rõ các khái niệm và các tính chất của môđun P–nội xạ trong bài báo On P–extending modules, 2005, Acta Mathematics University Comeninae, của hai đồng tác giả M.A. Kamal và O.A. Elmnophy dựa vào các tài liệu tham khảo khác. Luận văn được thực hiện tại Trường Đại Học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, sự kính trọng đến PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Đồng thời xin cám ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Đào Tạo Sau Đại Học – Trường Đại Học Vinh đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2008 N ϕ nR i ψ  M ψi = ϕ 7 NỘI DUNG Chương 1 : MÔĐUN NỘI XẠ & CÁC MỞ RỘNG Trong toàn bộ luận văn, ta luôn giả thiết R là một vành có đơn vị 1 và dùng kí hiệu A ≤ M để chỉ A là môđun con của mô-đun M. 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóng, bao đóng: 1.1.1. Định nghĩa: (Môđun con cốt yếu). Cho môđun M và A ≤ M. Môđun A được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi B ≤ M, B ≠ 0 thì A ∩ B ≠ 0. Kí hiệu A e ≤ M. Một phát biểu tương đương của định nghĩa: A e ≤ M  Với mọi B ≤ M sao cho A ∩ B = 0 thì B = 0. 1.1.2. Một số tính chất: (i) Cho A ≤ M. Khi đó A e ≤ M  ∀x ∈ M, x ≠ 0 thì xR ∩ A ≠ 0. (ii) Cho A ≤ B ≤ C ≤ M. Khi đó A e ≤ C  B e ≤ C và A e ≤ B. (iii) Cho A e ≤ M và K ≤ M. Khi đó A ∩ K e ≤ K. (iv) Cho A i e ≤ B i , i ∈ {1, 2, …, n}. Khi đó  n 1i i A = e ≤  n 1i i B = . (v) Cho A ≤ B ≤ M và B/A e ≤ M/A. Khi đó B e ≤ M (vi) Cho f: M → N là đồng cấu môđun. Nếu B e ≤ N thì f –1 (B) e ≤ M. (vii) Cho A i e ≤ M i , ∀i ∈ I và tồn tại I ⊕ A i . Khi đó: - Tồn tại I ⊕ M i . - I ⊕ A i e ≤ I ⊕ M i . Chứng minh : Xem [7], chapter 1, §1. 1.1.3. Định nghĩa: (Môđun đều). Môđun U được gọi là đều nếu mọi môđun con khác không của U đều cốt yếu trong U. 8 Nói cách khác, U đều  Với mọi 0 ≠ A, B ≤ U thì A ∩ B ≠ 0. 1.1.4. Định nghĩa: (Môđun con đóng, mở rộng cốt yếu, bao đóng) 1.1.4.1. Định nghĩa môđun con đóng: Cho A ≤ M. A được gọi là đóng trong M nếu tồn tại B ≤ M sao cho A e ≤ B ≠ M thì A = B 1.1.4.2. Định nghĩa mở rộng cốt yếu: Nếu A e ≤ M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của A. 1.1.4.3. Hệ quả: Cho A ≤ M. A là đóng trong M khi và chỉ khi A không có mở rộng cốt yếu thực sự. 1.1.4.4. Định nghĩa bao đóng: Cho A ≤ M. Ta gọi C(A) là bao đóng của A trong M nếu: 1.1.4.5. Hệ quả: Bao đóng C(A) luôn tồn tại. Chứng minh : Xem [7], chapter 1, §1. 1.1.4.6. Mệnh đề: Nếu M = A ⊕ B thì A và B là các môđun con đóng trong M. Nói cách khác, hạng tử trực tiếp là một môđun con đóng. Chứng minh : Giả sử A e ≤ X ≠ M = A ⊕ B. Ta sẽ chứng minh A = X. -Trước hết, ta chứng minh X ∩ B = 0 : Giả sử ngược lại X ∩ B ≠ 0, khi đó vì 0 ≠ X ∩ B ≤ X và A e ≤ X nên A ∩ (X ∩ B) ≠ 0. => X ∩ (A ∩ B) ≠ 0 => X ∩ 0 ≠ 0 (mâu thuẩn). -Từ X ∩ B = 0 => ∃(X ⊕ B) ≤ M. => X ⊕ B ≤ M = A ⊕ B ≤ X ⊕ B (do A ≤ X) => X ⊕ B = A ⊕ B => X = A. □ 1.2. Môđun A–nội xạ: (i) A C(A) (ii) C(A) đóng. 9 1.2.1 Định nghĩa: Cho M, A là các R–môđun. M được gọi là A–nội xạ nếu với mọi môđun con X của A và với mỗi đồng cấu ϕ : X → M đều tồn tại đồng cấu ψ : A → M là mở rộng của ϕ. Tức biểu đồ sau giao hoán: (trong đó i: X → A là đồng cấu nhúng) 1.2.2. Mệnh đề: Cho M là A–nội xạ và B ≤ A. Khi đó: (i) M là B–nội xạ. (ii) M là B A –nội xạ. Chứng minh: Xem [7], Chapter 1, §1. 1.2.3. Mệnh đề: M là A–nội xạ khi và chỉ khi M là aR–nội xạ,∀a ∈ A. Chứng minh: Xem [7], Chapter 1, §1. 1.2.4. Mệnh đề: M là I ⊕ A i –nội xạ khi và chỉ khi M là A i –nội xạ ,∀i ∈ I. Chứng minh: Xem [7], Chapter 1, §1. 1.2.5.Mệnh đề: Giả sử {M α } α ∈ Λ là họ các R–môđun. Khi đó : ∏ Λ α M là A–nội xạ khi và chỉ khi M α là A–nội xạ, ∀α ∈ Λ. Chứng minh : Xem [7], chapter 1, §1. 1.3. Môđun nội xạ: 1.3.1. Định nghĩa và tiêu chuẩn Baer: 1.3.1.1. Định nghĩa: Môđun Q được gọi là nội xạ nếu Q là A–nội xạ với mọi môđun A. Nói cách khác, với mọi môđun A, với mọi X ≤ A và với A ϕ X i  M ψ ψi = ϕ 10