Một số tính chất của môđun mở rộng và p mở rộng luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 2 NGHỆ AN – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG CHUYÊN NGÀNH:ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG 3 NGHỆ AN – 2012 MỤC LỤC Trang Bảng ký hiệu…………………………………………………………………2 Lời nói đầu ………………………………………………………………… 3 Chương I. Kiến thức cơ sở ……………………………………………… 5 1.1. Môđun con cốt yếu …………………………………………………… .5 1.2. Môđun con đóng và phần bù………………………………………… 10 Chương II. Môđun mở rộng và p-mở rộng………………………………….17 2.1. Môđun mở rộng……………………………………………………… 17 2.2. Môđun p-mở rộng……………………………………………………….24 Kết luận …………………………………………………………………….31 Tài liệu tam khảo ……………………………………………………………32 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU , , , ,¥ ¢ ¤ ¡ £ : Tương ứng là tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức. /M N : M là môđun thương của môđun N. M N≅ : Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau. M N⊕ : Tổng trực tiếp của hai môđun M và N. I M i ⊕ : Tổng trực tiếp của các môđun ( ) i i I M ∈ . N M≤ : N là môđun con của môđun M. e N M≤ : N là môđun con cốt yếu của môđun M. N M ⊕ ≤ : N là hạng tử trực tiếp của môđun M. dim( )u M : Chiều đều của môđun M. □ : Kết thúc một chứng minh. 5 LỜI NÓI ĐẦU Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết môđun đã được các nhà toán học rất quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả. Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái niệm CS-môđun (Extending Module). Khi các lớp CS-môđun ra đời thì lý thuyết môđun đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P. F Smith, R. Wisbauer, A. Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng,…là những người nghiên cứu và đạt nhiều kết quả nhiều về CS-môđun. Lớp (1-C 1 )-môđun là mở rộng thực sự của lớp CS-môđun và hiện nay lớp CS-môđun đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu. Một môđun M thoả mãn điều kiện (C 1 ) nếu với mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M và ta gọi môđun thoả mãn điều kiện (C 1 ) là CS-môđun. Một môđun M được gọi là p-mở rộng nếu mọi môđun con cyclic của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Như vậy rõ ràng lớp CS-môđun là môđun p-mở rộng. Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo [5] của M. A. Kamal and O. A. Elmnophy (2005), On P-extending modules, Acta Math, Univ. Comenianae, Vol. LXXIV, 2, pp.279-286 làm tài liệu chính để nghiên cứu một số tính chất của môđun mở rộng và p-mở rộng. Vì vậy, đề tài của luận văn là: Một số tính chất của môđun mở rộng và p- mở rộng. Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn được chia làm 2 chương : Chương I. Kiến thức cơ sở. 6 Chương II. Môđun mở rộng và p-mở rộng. Luận văn bắt đầu thực hiện từ tháng 3 năm 2012 và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS. TS hướng dẫn, thầy đã tận tình dìu dắt, chu đáo, đã giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin trong bước đường đầu nghiên cứu khoa học, đã dành cho tác giả những ý kiến chỉ đạo quý báo và đặc biệt là sự động viên trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại học Vinh, Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Vinh, phòng quản lí khoa học và sau đại học trường Đại học Đồng Tháp đã động viên giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo SGD và Đào tạo Đồng Tháp và đồng nghiệp đã luôn động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn theo đúng kế hoạch. Mặc dù đã rất cố gắng, tuy nhiên do nhiều nguyên nhân, luận văn sẽ không tránh khỏi những sai sót, tác giả mong được sự góp ý chân thành của quý Thầy Cô và các bạn. Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả 7 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cần thiết để phục vụ cho việc chứng minh luận văn trong các chương sau. Tất cả các vành trong luận văn này đều giả thiết là vành có đơn vị, kí hiệu là 1 và các môđun là các R- môđun phải unita. 1.1. Môđun con cốt yếu 1.1.1. Định nghĩa. Cho R là một vành và M là một R-môđun phải. Xét A là môđun con của M. Môđun con A gọi là cốt yếu (essential) trong M nếu với mọi môđun con B khác không của M thì 0A B∩ ≠ , kí hiệu e A M≤ . Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của A. 1.1.2. Ví dụ. e M M£ , e n £ ¢¢ , 0n" ¹ ( xem là ¢ -môđun ). 1.1.3. Tính chất. a) Cho A là môđun con của M. Khi đó e A M≤ ⇔ 0xR A∩ ≠ , 0x∀ ≠ , x MÎ b) Cho .A N M£ £ Khi đó e A M£ Û e e A N N M ì ï ï í ï ï î £ £ c) Cho e A M£ và e B M£ thì e A B MÇ £ d) i i A M M£ £ , e i i MA £ , 1, .,i n" = thì 1 1 n n e i i i i MA = = Ç Ç£ e) Cho A N M£ £ nếu / / thì N≤ ≤ e e N A M A M f) Cho :f M N® là đồng cấu môđun và e B N£ thì 1 ( ) e f B M - £ g) Cho , à , e i i i i i I iM M M M v A M I Î £ = £ " Î å . 8 Khi đó nếu tồn tại i i i I i I i e i I i i i I i I M M A thì A M ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ = ⊕ ∑   ⊕  ⊕ ≤ ⊕   Chứng minh. a) .( ) 0 ê 0Do x M n n xR MÞ ¹ Î ¹ £ Mặt khác, e A M£ nên 0A xRÇ ¹ . ( ) ét 0X B MÜ ¹ £ ⇒ tồn tại , 0x B xÎ ¹ . Ta có 0A xRÇ ¹ mà xR B£ ⇔ suy ra 0A BÇ ¹ . Vậy e A M£ . b) ( )⇒ Chứng minh e A N ≤ . Lấy , 0. M ê A X 0. e X N M X Do A n n ≤ ≤ ≠ ≤ ∩ ≠ Vậy e NA£ . Chứng minh e N M .≤ Lấy Y M ,≤ 0Y ≠ . e Do A M≤ nên 0A Y∩ ≠ . Mà 0A N nên N Y .≤ ∩ ≠ Vậy e N M£ . ( )⇐ Chứng minh e A M£ . Thật vậy, lấy , 0. ê N X 0. e X M X Do N M n n ≤ ≠ ≤ ∩ ≠ Đặt B= N X∩ .N≤ N ê A 0 e Do A n n B ≤ ∩ ≠ . 0A N X⇒ ∩ ∩ ≠ ⇒ 0.A X∩ ≠ Vậy . e A M≤ c)Lấy , 0.X M X ≤ ≠ Do B M e ≤ nên B X 0∩ ≠ và B X .M∩ ≤ Do A e M≤ nên A (B X) 0∩ ∩ ≠ ⇔ (A B)∩ ∩ X 0≠ . Vậy e A B M∩ ≤ . d) Dùng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh mệnh đề đúng với n=2. 1 1 2 2 A , A . e e Cho M M M M≤ ≤ ≤ ≤ Chứng minh 1 2 1 2 . e A A M M∩ ≤ ∩ Lấy 1 2 , B 0B M M≤ ∩ ≠ 1 1 1 1 B M và A nê A B 0. e M n⇒ ≤ ≤ ∩ ≠ 9 Đặt 1 2 2 2 2 . ì A nê A 0 e X A B M V M n X= ∩ ≤ ≤ ∩ ≠ . 1 2 ( ) 0A B A⇒ ∩ ∩ ≠ 1 2 ( ) 0A A B⇒ ∩ ∩ ≠ 1 2 1 2 . e A A M M⇒ ∩ ≤ ∩ e) Ta có A N M , N/A M/A. ≤ ≤ ≤ Chứng minh . e N M ≤ Lấy , X 0.X M≤ ≠ Ta chứng minh 0.X N∩ ≠ Thật vậy ta có / / .X A A M A+ ≤ Nếu / 0 ì ê 0.X A A X A A th X A N n n N X+ = ⇒ + = ≤ ≤ ∩ ≠ Nếu X+A/A 0 và N/A / e M A≠ ≤ suy ra X A / A N / A 0+ ∩ ≠ , n A 0∃ + ≠ : n+A=x+a+A . Do đó n+a'=x+a+a" , a',a" A, ∈ n N, x X,∈ ∈ x A∉ . Vì thế x=n+a'-a-a" N ∈ nên N X 0∩ ≠ . Vậy e N M ≤ . f) Lấy , 0.X M X ≤ ≠ Trường hợp 1. 1 ( ) 0 ker (0)f X X f f − = ⇒ ≤ = . Vì 1 1 (0) ( ) ( 0 ) f f B do B − − ≤ ∈ nên 1 ( )X f B − ≤ nên 1 ( )X f B − ∩ = 0.X ≠ Vậy 1 ( ) . e f B M − ≤ Trường hợp 2. ( ) 0, ( )f X f X N≠ ≤ . e Do B N nên B f(X) 0≤ ∩ ≠ b=f(x ) 0, b B, x X, x 0⇒ ∃ ≠ ∈ ∈ ≠ . 1 1 f ( x ) B x f ( B ) x X f ( B ) − − ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∩ . Vậy 1 ( ) . e f B M − ≤ g) Trường hợp 1. Nếu I hữu hạn I n= . Ta cần phải chứng minh rằng mệnh đề đúng với n=2. 1 1 2 2 A , A e e Cho M M≤ ≤ và 1 2 A A⊕ . Ta cần phải chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 e M M A A M M ⊕   ⊕ ≤ ⊕  Thật vậy, do 1 1 2 2 1 2 1 2 A , A Nnê A e e e M M n A M M≤ ≤ ∩ ≤ ∩ . 10 Do ú 1 2 0 e M M 1 2 0 e suyra M M . Xột ng cu 1 1 2 1 1 2 1 : M M M ,f + ax x x . Ta cú 1 1 1 2 ( )f A A M = m 1 1 1 2 1 2 . e e A M suy ra A M M M Tng t, xột ng cu 2 1 2 2 : M M M ,f 1 2 2 + ax x x . Ta cú 1 2 ( )f A 1 2 M A= .Vỡ 2 2 e A M suy ra 2 1 A M e 1 2 M M , do ú 1 2 ( )A M 2 1 ( )A M e 1 2 M M 1 2 1 2 . e A A M M Trng hp 2. Vi I bt kỡ, ta chng minh tn ti i I M . Ly i I M x . Khi ú, cú biu din hu hn 1 2 . , k = + + +x x x x i i Mx . Suy ra tn ti 1 1 1 v . k k k e i i i i i i M A M = = = Do ú = k i i M 1 x nờn i I M l tng trc tip hay = i i I I M M . i I Laỏy M X , X 0, suy ra rng X, 0 xx cú biu din duy nht = + + + k i i M 1 2 . , .x x x x x = = 1 1 n n e i i i i Do A M nờn ta cú = x 1 0 n i i A R . Mt khỏc, R Xx nờn = 1 0 n i i A X suy ra i I A X 0 . Vaọy . i i I I e A M 1.1.4. B Zorn. Gi s ( , ), XX l mt tp sp th t tho món iu kin: Mi xớch ca X u cú cn trờn th thỡ X cú phn t ti i, ngha l tn ti m , X thỡ .a X a x x x a = 1.1.5. Mnh . Cho M laứ R moõủun . Khi ú tn ti , A M T M ủeồ 11 . nghiên cứu một số tính chất của môđun mở rộng và p -mở rộng. Vì vậy, đề tài của luận văn là: Một số tính chất của môđun mở rộng và p- mở rộng. Ngoài lời mở đầu,. ĐẠI HỌC VINH THÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG CHUYÊN NGÀNH:ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC