Module tự do trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGHIÊM XN CẢNH MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS TRẦN HUYÊN TP HỒ CHÍ MINH - 2008 §1 MƠ ĐUN CON CỦA MƠ ĐUN HẠNG HỮU HẠN TRN VNH CHÍNH Nĩi chung ta cĩ A l mơ đun mơ đun tự X trn vnh R, từ sở A khơng thể bổ sung tới sở mơ đun X Tuy nhin ta cĩ kết kh th vị sau đy: Định lý 3.1.1: Giả sử R l vnh chính, X l R-mơ đun tự hạng n v A l mơ đun X Khi đĩ: tồn sở {e1, …, en} X v n hệ tử  1, …,  n thuộc R cho {  1e1, …,  nen} l hệ sinh A Trước hết ta nu cc nhận xt sau: Nhận xt : Nếu R l vnh chính, X l R-mơ đun tự cĩ hạng n v A l mơ đun X, thì: a)  f  HomR(X, R)  f(A) l mơ đun R  f(A) l iđan vnh R  f(A) = R  f với  f  R b) Trong tập hợp khơng rỗng S iđan vnh R luơn tồn iđan tối đại Thật giả sử S khơng tồn iđan tối đại no v giả sử R   S suy R  khơng phải l tối đại nn tồn R   S cho R   R  , R  khơng phải l tối đại nn tồn R   S cho R   R  , tiếp tục ta dy thực tăng vơ hạn: R   R   R   …, mu thuẫn với tính chất 1.4.2.5 vnh l dy thực tăng iđan hữu hạn c) Trong tập hợp cc iđan R  f với f  HomR(X, R), tồn phần tử tối đại, giả sử m  HomR(X, R) cho iđan R  m = m(A) l tối đại cc R  f đĩ tồn e’  A cho m(e’) =  m d)  f  HomR(X, R) ta chứng minh  m /f(e’) Thật  l ƯCLN  m v f(e’) (  tồn tính chất 1.4.2.4 vnh R )  =   m +  f(e’) với  ,   R Do đĩ  =  m(e’) +  f(e’) = (  m +  f)(e’) Đặt g = (  m +  f), ta g  HomR(X, R) v  = g(e’) Vì  /  m nn R  m  R  = Rg(e’) = g(Re’)  g(A) = R  g M R  m tối đại cc R  f nn từ R  m  R   R  g ta suy R  m = R  = R  g đĩ  m /  m  /f(e’) nn  m /f(e’) e) Giả sử {  1, …,  n} l sở X Ta xt cc hm tọa độ: pi : X  R n   i 1 i i i Như pi  HomR(X, R) đĩ  m /pi(e’) với i = 1, n Nn pi(e’) =  m  , i = 1, n I Suy e’ = n   m  i i =  m i 1 n  i i =  m e với e = i 1 n   i 1 i i  me’ = m  m e hay  m =  m m(e)  m(e) = (vì  m  0) f) Ta chứng minh được: i) X = Re + Ker(m) ii) A = Re’ + (A  Ker(m)) Thật vậy: *  x  X, ta cĩ x = m(x)e + (x – m(x)e) M m(x – m(x)e) = m(x) – m(x)m(e) = m(x) – m(x) = Nn x – m(x)(e)  Ker(m) Vậy x = m(x)e + (x - m(x)e)  Re + Ker(m)  X  Re + Ker(m) hiển nhin X  Re + Ker(m) Vậy X = Re + Ker(m) *  y  A, ta cĩ m(y) =   m với   R v ta cĩ thể phn tích: y =   me + (y -   me) =  (  me) + (y – m(y)e) =  e’ + (y – m(y)e) m m(y - m(y)e) = m(y) – m(y)m(e) = m(y) – m(y) = y – m(y)e = y -   m e = y –  e’  A nn y – m(y)e  (A  Ker(m)) đĩ y Re’ + (A  Ker(m)) hay A  Re’ + (A  Ker(m)) m hiển nhin A  Re’ + (A  Ker(m)) nn A = Re’ + (A  Ker(m)) By ta chứng minh định ly: Nếu n = việc r rng Nếu n > theo i) nhận xt f) ta cĩ Ker(m) l mơ đun tự v cĩ hạng n-1 tổng i) l tổng trực tiếp p dụng giả thiết quy nạp vo mơ đun tự Ker(m) v mơ đun A  Ker(m) nĩ cĩ sở {e2, , en} Ker(m) v n-1 hệ tử  2, …,  n thuộc R cho {  iei}i= 2, n l hệ sinh A  Ker(m) Với cc ký hiệu phần nhận xt trn, ta đặt  1=  m v e1 = e theo i) ta {ei}i= 1, n l sở X v theo ii) ta cĩ {  iei}i= 1, n l hệ sinh A Hệ quả: Nếu X l mơ đun tự trn vnh R v cĩ hạng n, A l mơ đun X tồn sở {ei}i= 1, n X v cc hệ tử khc 0: {  i}i= 1, k , k  n cho {  iei}i= 1, k l sở A Thật định lý 3.1.1, ta cần loại bỏ cc  i = (thì  iei=0), sau đĩ đnh số lại ta sở A Nhận xt: A l mơ đun mơ đun tự X trn vnh R, X cĩ hạng l n Khi đĩ hạng A  hạng X Hệ trn cịn đng cc hệ tử  i thỏa điều kiện  i /  i +1 ,  i  k1 Ứng dụng quan trọng định lý ny cc mơ đun hữu hạn sinh trn vnh cho php ta phn tích cc mơ đun hữu hạn sinh trn vnh thnh tổng cc mơ đun cyclic Chng ta nhắc lại mơ đun X gọi l mơ đun cyclic nĩ cĩ dạng X = Ra, với a l phần tử no đĩ thuộc X Định lý 3.1.2: Nếu R l vnh v X l R- mơ đun hữu hạn sinh X  (R/ I1) x (R/ I2) x … x (R/ In) Trong đĩ Ii l cc iđan R thỏa I1  I2  …  In Chứng minh Ta cĩ X l R- mơ đun hữu hạn sinh nn ta cĩ thể giả sử S = {x1, x2, …, xn} l hệ sinh X Xt R- mơ đun tự T sinh S ta cĩ thể xem S l sở T đĩ php nhng tắc g: S  X mở rộng thnh tồn cấu h: T  X Vậy theo định lý Nơ – te ta X  T/ Ker h Theo hệ v nhận xt định lý 3.1.1 tồn sở {e1, e2, …, en} T, số tự nhin k  n v k hệ tử khc khơng  1, …,  k cho {  1e1,  2e2, …,  kek} l sở Ker h v  i /  i+1 (1  i  k-1) Đặt  i = với q +  i  n Khi đĩ: X  T/Kerh  (Re1 x … x Ren)/ (R  1e1 x … x R  nen) (1) Mặt khc (Re1 x … xRen)  (Re1/ R  1e1) x … x(Ren /R  nen) (  1e1, …,  nen)  ( 1e1 ,…,  n en ) l tồn cấu với hạt nhn l R  1e1 x … x R  nen Do đĩ theo định lý Nơ – te, ta cĩ (2) (Re1 x … x Ren)/ (R  1e1 x … x R  nen)  (Re1/ R  1e1)x … x (Ren /R  nen) (1)(2)  X  (Re1/ R  1e1)x … x(Ren /R  nen)  (R/ R  1)x … x(R /R  n) Vì  i /  i+1 nn Ii = R  i  R  i+1 = Ii+1 Vậy X  (R/ I1)x … x(R/ In) đĩ Ii l cc iđan R thỏa I1  I2   In Ta nhận thấy giả thiết hữu hạn sinh cc mệnh đề trn l cần thiết trường hợp mơ đun khơng hữu hạn sinh cho d trn vnh khơng phn tích được, chẳng hạn - mơ đun ( ,+) khơng hữu hạn sinh , khơng phn tích dược thnh tổng trực tiếp cc mơ đun xyclic Thật vậy: ( ,+) khơng hữu hạn sinh: Nếu ( ,+) cĩ hệ sinh l {q1, q2, …, qk} với qi = đĩ cĩ thể xem l =< >m  l 1 mi đặt l =  n1 , n2 , , nk  , ni l , khơng biểu diễn qua , vơ lý - mơ đun ( ,+) khơng l mơ đun tự do: Trước hết ta thấy hệ gồm hai phần tử thuộc tính : Do đĩ qua Vậy m p ,  n q tự \{0} pn \{0} phụ thuộc tuyến m p - mq = n q q = < > , vơ lý  q 1 khơng biểu diễn q - mơ đun ( ,+) khơng l mơ đun tự m l vnh nn - mơ đun ( ,+) khơng l mơ đun xạ ảnh ( ,+) khơng phn tích thnh tổng trực tiếp cc mơ đun cyclic: Vì ( ,+) phn tích ( ,+) khơng xoắn nn cc mơ đun xyclic ny khơng xoắn đĩ chng vơ hạn  phần tử sinh mơ đun ny tạo thnh sở  mơ đun ny tự nn xạ ảnh  ( ,+) l mơ đun xạ ảnh, vơ lý §1 MƠ ĐUN VÀ ĐỒNG CẤU Mô đun: Định nghĩa 1.1.1.1: Cho R vành có đơn vị Nhóm cộng giao hốn X gọi R – mô đun trái xác định ánh xạ  : RxX  X (r, x)  r.x thỏa điều kiện sau M1: 1.x = x  x  X , đơn vị R M2: (rs).x = r.(sx)  r, s  R,  x  X M3: (r+s).x = r.x + s.x  r, s  R,  x  X M4: r.(x+y) = r.x + r.y  r  R,  x, y  X Ánh xạ  gọi phép nhân Vành R gọi vành hệ tử hay vành vơ hướng Ví dụ khơng gian tuyến tính thực mô đun với vành hệ tử trường số thực Định nghĩa 1.1.1.2: Cho X, Y R-mô đun Ánh xạ f: X  Y gọi R-đồng cấu  r  R  x1, x2, x  X ta có: f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) f(rx) = rf(x) Ví dụ ánh xạ tuyến tính khơng gian tuyến tính đồng cấu mơ đun Định nghĩa 1.1.1.3: Cho hai đồng cấu f: X  Y g: Y  Z Tích gof : X  Z xác định gof(x) = g(f(x)),  x  X Mô đun con: Định nghĩa 1.1.2.1: Cho R- mô đun X tập khác rỗng A  X A gọi mô đun X, ký hiệu A  X  x, y  A,  r  R: x + y  A rx  A Mỗi mô đun X có mơ đun X mô đun Định nghĩa 1.1.2.2: Tổng hữu hạn mô đun A1, A2, …, An mô đun X mô đun n A1 + A2 +…+ An = {  xi / xi Ai} X i 1 Giao họ mô đun X mô đun X Định nghĩa 1.1.2.3: Mô đun sinh tập S X, ký hiệu giao tất mô đun X mà chứa S Quy ước <  > = {0} Nếu a  X gọi mô đun cyclic X sinh a Nếu S có hữu hạn phần tử ta nói mơ đun hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.2.4: Cho {Xi}i  I họ khác rỗng mô đun X Tổng họ {Xi}i  I mô đun nghĩa là: X iI i iI i X sinh X i , i I =<  X i >, đó:  x  X i  x = iI X i I  x với xi Xi hầu hết xi = 0, trừ số hữu hạn iI i Các kết mô đun con: Cho f: X  Y đồng cấu mô đun Khi đó: Nếu A  X f(A)  Y Nếu B  Y f-1(B)  X Nói riêng Imf  Y Kerf  X Các kết quan trọng: Định lý 1.1.2.1: Cho f: X  Y đồng cấu mơ đun, đó: f đơn cấu  Kerf = {0} Hệ quả: Nếu gof đơn cấu f đơn cấu Định lý 1.1.2.2: (Nơte 1) Cho f: X  Y toàn cấu mơ đun ~ ~ Khi tồn đẳng cấu f : X/Kerf  Y cho f = f op, p: X  X/Kerf phép chiếu tắc Mơ đun xoắn-mơ đun khơng xoắn: Định nghĩa 1.1.3.1: Cho R miền nguyên X R- mô đun Phần tử x  X gọi phần tử xoắn tồn   R\ {0}mà  x = Đặt  (X) tập hợp tất phần tử xoắn X Dễ thấy   (X) Định nghĩa I.1.3.2: Nếu  (X) = X ta nói X mơ đun xoắn Ví dụ: - mơ đun / mô đun xoắn Định nghĩa 1.1.3.3:  (X) = ta nói X mơ đun khơng xoắn Ví dụ: X/  (X) mơ đun khơng xoắn Nếu LỜI CẢM ƠN Trong luận văn này, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy khoa Tốn – Tin học thuộc trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy cung cấp cho tri thức khoa học làm hành trang cho đời Đặc biệt, tơi cảm nhận tình cảm thầy trị sâu sắc lịng nhiệt thành cơng việc TS Trần Huyên, người thầy giao đề tài nghiên cứu cho tôi, gợi mở hướng suy nghĩ, cách giải vấn đề cách khoa học chỉnh sửa cẩn thận cho suốt trình thực luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn tới cán phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học thuộc trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt khóa học Cuối xin gởi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp động viên tinh thần giúp tơi vượt qua hồn cảnh khó khăn để hồn thành luận văn Do chủ quan lực hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy hội đồng xét duyệt, bảo lượng thứ, đồng nghiệp góp ý Chúng tơi xin chân thành tiếp thu Xin chân trọng kính chào MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết mơ đun nói chung lý thuyết mơ đun vành nói riêng nghiên cứu từ đầu kỷ XIX có nhiều giá trị ứng dụng ngành toán học.Việc phát triển tiếp, tìm kiếm kết lý thuyết mô đun lý thuyết mô đun vành hướng có tính chất thời lĩnh vực Đại số đại Đề tài nghiên cứu chúng tơi có tên gọi là: “MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH” thực theo hướng phát triển Mục đích nghiên cứu : Luận văn nghiên cứu mô đun tự do, đặc biệt mô đun tự hạng hữu hạn vành đơng thời tìm cách chứng minh mới, kết bổ sung cho kiến thức mô đun tự do, mô đun tự hạng hữu hạn vành Ngồi luận văn cịn tìm ví dụ, phản ví dụ để làm sáng tỏ tính chất quan hệ sở với hệ độc lập tuyến tính, hệ sinh mơ đun tự vành vài ứng dụng mô đun mô đun tự mô đun tự hạng hữu hạn vành đồng thời tìm chứng minh công thức hạng tổng giao mô đun mô đun tự hạng hữu hạn vành Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu mô đun tự hạng hữu hạn vành sâu vào số vấn đề sau: - Cơ sở mô đun tự vành - Mơ đun mơ đun tự vành vài ứng dụng - Mô đun hữu hạn sinh mô đun tự hữu hạn sinh vành - Cơng thức vế số chiều Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Ngoài kết quen thuộc phần chứng minh làm lực lượng sở mơ đun tự vành , quan hệ sở mô đun tự hạng n vành với sở mơ đun nó, luận văn cịn khẳng định : - Mối quan hệ sở mơ đun tự hạng n vành với hệ sinh, hệ độc lập tuyến tính - Ứng dụng mô đun mô đun tự vành - Cơng thức hạng tổng, giao mô đun mô đun tự hạng hữu hạn vành Nội dung luận văn chia thành ba chương: CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trình bày khái niệm kết sử dụng cho chương sau, là: khái niệm mô đun, đồng cấu, dãy khớp, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, vành chính, mô đun tự do, mô đun xạ ảnh … CHƯƠNG 2: MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH Trình bày sở mô đun tự vành mơ đun mơ đun tự vành chính, cụ thể nghiên cứu lực lượng sở, mối quan hệ hệ đơc lập tuyến tính, hệ sinh với sở vài ứng dụng mô đun mô đun tự vành CHƯƠNG 3: MƠ ĐUN TỰ DO HẠNG HỮU HẠN TRÊN VÀNH CHÍNH Trình bày mô đun mô đun hạng hữu hạn vành chính, ứng dụng để phân tích mơ đun hữu hạn sinh vành thành tổng mô đun cyclic áp dụng để chứng minh công thức hạng tổng giao mô đun mô đun tự hạng hữu hạn vành chính, tương tự cơng thức số chiều lý thuyết không gian vec tơ MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mở đầu .2 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mô đun đồng cấu 1.1.1 Mô đun 1.1.2 Mô đun .7 1.1.3 Mô đun xoắn – Mô đun không xoắn .9 1.2 Dãy khớp .10 1.3 Tổng trực tiếp – Tích trực tiếp 11 1.3.1 Tổng trực tiếp hai mô đun 11 1.3.2 Tích trực tiếp tổng trực tiếp họ mô đun 12 1.4 Vành 14 1.4.1 Các định nghĩa 14 1.4.2 Các tính chất 14 1.5 Mô đun tự do-mô đun xạ ảnh 16 1.5.1 Mô đun tự .16 1.5.2 Mô đun xạ ảnh 19 Chương MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH 21 2.1 Cơ sở mô đun tự vành 22 2.2 Mô đun mô đun tự vành 33 Chương MƠ ĐUN TỰ DO HẠNG HỮU HẠN TRÊN VÀNH CHÍNH 39 3.1 Mô đun mô đun hạng hữu hạng vành 40 3.2 Cơng thức số chiều 47 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO -Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên, Đại số đồng điều, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh 2002 Ngơ Thúc Lanh, Đại số, NXB Giáo Dục 1985 Tiếng Anh A.Solian, Theory of Modules Bucur and A.Deleanu, Introduction to the Theory of Categories and Funtors G.Birkhoff and S.Maclane, Algebra S.Lang, Algebra S-T.HU, Introduction to Homological Algebra Trong đại số tuyến tính ta biết khơng gian vectơ có sở, không gian vectơ mô đun tự trường Lý thuyết khơng gian vectơ có nhiều kết phong phú, nhiên chúng không cho R – mô đun tự vành R Trong chương xét tới mô đun tự vành – mơ đun tự cịn giữ lại nhiều tính chất quan trọng khơng gian vectơ mà khơng có mô đun tự vành R khơng vành § CƠ SỞ CỦA MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH Trong khơng gian vectơ có nhiều sở khác lực lượng chúng Trong R – mô đun tự do, liệu chừng lực lượng sở khác có khơng? Câu trả lời là: nói chung X R – mơ đun tự sở X có lực lượng khác Để minh chứng điều ta xét thí dụ sau:  Xét nhóm aben tự A =  – mô đun tự với sở e1= (1, 0, n 1 …, 0, …), e2= (0,1, 0, …, 0, …), …, en= (0, 0, …,0,1,0, …), R vành tự đồng cấu nhóm aben A với phép tốn xác định:  f, g  R,  a  A: (f + g)(a) = f(a) + g(a) (f o g) (a) = f(g(a)) R vành có đơn vị đồng cấu đồng 1A Nếu ta xem R R – mơ đun R có sở sau: Cơ sở 1: {1A} Cơ sở 2: đồng cấu hồn tồn xác định xác định sở nên ta xác định đồng cấu  ,  sau:  (e2k) = ek  (e2k-1) =  (e2k) = *  k  k  (e2k-1) = ek * Ta chứng minh {  ,  } sở R, thật vậy: * {  ,  } độc lập tuyến tính vì:  f, g  R thỏa f  + g =    (f  + g )(e2k) = (f  + g )(e2k-1) = f  (e2k) + g (e2k) = f(ek) + g(0) = f(ek) = g(ek) =  k  k *  n 1  i N * g(a) = g(  mi ei ) = i N *  * * Khi :  a  A =   a = f(a) = f(  mi ei ) = *  k f  (e2k-1) + g (e2k-1) = f(0) + g(ek) =   k m e i N * i i  m f( e ) = i N * i i  m g( e ) = i N * i f=0 g=0 * {  ,  } hệ sinh R : i (mi  )  k * Xét đồng cấu  ’,  ’  R xác định sau  ’(ek) = e2k ,  ’(ek) = e2k-1 ,  k  * Khi  k  *, ta có: (  ’  +  ’ )(e2k) =  ’  (e2k) +  ’ (e2k) =  ’(ek) +  ’(0) = e2k (  ’  +  ’ )(e2k-1) =  ’  (e2k-1) +  ’ )(e2k-1) =  ’(0) +  ’(ek) = e2k-1 Như (  ’  +  ’ )(ei) = ei ,  i  *   ’  +  ’ =  {  ,  } hệ sinh R  {  ,  } sở R Ví dụ cho ta thấy R vành tùy ý sở khác có lực lượng khác Tuy nhiên X mơ đun tự vành R lực lượng sở khác X có quan hệ với nào? Trước hết ta xem xét X có sở hữu hạn phần tử Tương tự không gian vectơ n – chiều, ta có: Mệnh đề 2.1.2: Cho X R – mô đun tự vành có sở {e1, e2, …, en} gồm n phần tử Khi hệ {  1,  2, …  n,  n+1} gồm (n+1) phần tử X phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Nếu hệ {  1,  2, …  n,  n+1} có chứa phần tử kết luận hiển nhiên Vậy ta giả thiết  i  0,  i, ta chứng minh kết luận quy nạp theo n – số phần tử sở cho trước + Khi n = hay X có sở gồm phần tử {e1} Nếu {  1,  2} hệ gồm hai phần tử khác không X tồn hệ tử r1, r2 khác mà  = r1e1  r2  – r1  =  hệ{  ,  2} phụ thuộc tuyến tính  = r2e1 + Giả thiết quy nạp kết luận mệnh đề với n = k  1, ta chứng minh mệnh đề với n = k + Khi gọi sở gồm (k+1) phần tử X {e1, …, ek, ek+1} (*) xét hệ {  1, …,  k+1,  k+2} gồm (k+2) phần tử khác X Vì  k+2  nên hệ tử biểu diễn:  k+2 = s1e1 + s2e2 + … + sk+1ek+1, có hệ tử khác 0, để thuận tiện cho việc tính tốn ta giả thiết sk+1  Sử dụng biểu thị tuyến tính  1,  2, …,  k+1 qua sở (*) sau: 1= k t j 1 2= 1j e j + r1ek+1 k t j 1 2j e j + r2ek+1 …………………  k+1 = k t j 1 e + rk+1ek+1 k 1, j j Ta thành lập hệ gồm (k+1) vectơ sau:  = sk+1  – r1  k+2 = k  (s j 1  = sk+1  – r2  k+2 = k  (s j 1 t  r1s j )e j k 1 j t  r2 s j )e j k 1 j …………………………………………  k+1 = sk+1  k+1 – rk+1  k+2 = k  (s j 1 t k 1 k 1 j  rk 1s j )e j Vì  i biểu thị tuyến tính qua k vectơ sở {e1, e2, …, ek} nên {  1,  2, …,  k+1} hệ (k+1) vectơ mơ đun tự X’ có sở gồm k phần tử {e1, e2, …, ek} nên theo giả thiết quy nạp, chúng phụ thuộc tuyến tính nghĩa tồn hệ tử không đồng thời 0: l1, l2, …, lk+1 cho l1  + l2  + … + lk+1  k+1 = k 1  l1sk+1  + l2 sk+1  + … + lk+1sk+1  k+1 – (  ri li )  k+2= i 1 sk+1  mà có hệ tử lisk+1  Vậy hệ {  1,  2, …,  k+1,  k+2} phụ thuộc tuyến tính Từ mệnh đề ta có hệ hiển nhiên sau đây: Hệ 1: Cho X R - mơ đun tự vành có sở gồm n – phần tử Nếu hệ{u1, u2, …, um} độc lập tuyến tính M m  n Hệ 2: Nếu X mô đun tự vành R có sở n phần tử sở X có n phần tử Như theo hệ 2, lực lượng sở mô đun tự vành (trong trường hợp X hữu hạn sinh) Để kết luận cho mô đun tự X vành chính, ta cần tiếp mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.3: Nếu mơ đun tự X vành có sở có vơ hạn phần tử sở khác có vơ hạn phần tử, chúng có lực lượng Chứng minh Nếu S sở X có vơ hạn phần tử hệ nói trên, sở M X có vô hạn phần tử Hơn ta S = M Thật S sở nên  x  M có phân tích x = r1s1 + r2s2 + … + rksk với s1, s2, …, sk  S Do luật tương ứng  : M  PH(S), từ tập M với tập tập hữu hạn S PH(S) ánh xạ Hơn ánh xạ  , mệnh đề 2.1.2 mà nghịch ảnh phần tử thuộc PH(S) tập hữu hạn Suy ra: M  PH (S ) = S Tráo đổi vai trò, xem M sở S tập X ta lại có S  M Từ ta có S = M Tổng hợp kết từ hai mệnh đề trên, ta có Định lý: Mọi sở mơ đun tự X vành có lực lượng Do kết định lý mà ta có quyền đưa khái niệm hạng mô đun tự vành hạng khơng gian vectơ lực lượng sở Ta biết không gian vectơ n chiều, hệ vectơ độc lập tuyến tính mà chưa sở bổ sung thêm để trở thành sở Vấn đề ta xét mô đun tự vành Nói chung khơng phải hệ độc lập tuyến tính bổ sung tới sở, chẳng hạn ví dụ sau: Xét X =    với phép cộng (x1; x2) + (y1; y2) = (x1 + y1; x2 + y2) phép nhân k(x1; x2) = (kx1; kx2),  k  X  - mơ đun tự hạng 2, {(2;0)} độc lập tuyến tính bổ sung tới sở X Thật + {(2;0)} độc lập tuyến tính:  k Z mà k(2;0) = (0;0) 2k =  k = + Không thể bổ sung tới sở: Nếu bổ sung (m; n)  X để {(2;0), (m;n)} sở X  x = (x1;x2)  X, x biểu diễn qua sở nghĩa tồn k, l   cho x = (x1; x2) = k(2;0) + l(m; n)  2k + ml = x1 nl = x2  l =  x2 ,  x2    n = n 2k + mx2 = x1  k = x1  mx2   , vô lý x1 lẻ, x2 chẵn l = x2 Tuy nhiên ta nêu điều kiện để thực việc mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.4: Hệ {ui}i  I độc lập tuyến tính mơ đun tự X vành R bổ sung tới sở mô đun sinh hệ {ui}i  I hạng tử trực tiếp X Việc chứng minh mệnh đề nêu §2 sau Ta biết không gian vectơ n chiều, hệ n vectơ độc lập tuyến tính hay hệ sinh gồm n phần tử sở Điều có cịn mơ đun tự hạng n vành hay khơng? Về hệ n phần tử độc lập tuyến tính nói chung không sở Chẳng hạn  với phép toán cộng (m1; m2) + (n1; n2) = (m1 + n1; m2 + n2) phép nhân k(m1; m2) = (km1; km2),  – mô đun tự với sở {(1;0),(0;1)} (hạng 2) S = {(1;0),(0;2)} không sở S độc lập tuyến tính Thật k(1;0) +h(0;2) = (0;0)  (k;0) + (0;2h) = (0;0)  (k;2h) = (0;0) k=0   h=0 S không hệ sinh phần tử (2;3) khơng biểu diễn qua S Thật k(1;0) + h(0;2) = (2;3)  (k;2h) = (2;3) k=2   2h =  h =  Tuy nhiên ta lại có kết sau: Mệnh đề 2.1.5: Trong mơ đun tự vành hạng n hệ sinh gồm n phần tử sở mơ đun Chứng minh: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu X mô đun tự vành R, X có hạng n f: X  X tồn cấu f đẳng cấu Thật vậy, ta cần chứng minh f đơn cấu Vì f tồn cấu nên ta có j f dãy khớp ngắn sau: O  X  X  Kerf    O (trong j phép nhúng) mà X mơ đun tự nên X mô đun xạ ảnh dãy khớp chẻ hay X  X  Kerf Nếu Kerf  X  Kerf có hạng lớn hạng X, khơng thể đẳng cấu với X, vơ lý Do Kerf = hay f đơn cấu Vậy f đẳng cấu Bây ta chứng minh mệnh đề Gọi {e1, …, en} sở X {  1, …,  n} hệ sinh gồm n phần tử X ta chứng minh {  1, …,  n} sở X Xét f: X   X thỏa f(ei) =  i , ta thấy f toàn cấu hệ sinh nên f toàn cấu theo bổ đề ta suy f đẳng cấu mà {e1, …, en} sở X nên {  1, …,  n} sở X ... CHÍNH §5 MƠ ĐUN TỰ DO – MÔ ĐUN XẠ ẢNH CHƯƠNG 2: MÔ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH §1 CƠ SỞ CỦA MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH - Các sở mơ đun tự vành có lực lượng nào? - Trong mô đun tự vành chính, điều... MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH 21 2.1 Cơ sở mô đun tự vành 22 2.2 Mô đun mô đun tự vành 33 Chương MƠ ĐUN TỰ DO HẠNG HỮU HẠN TRÊN VÀNH CHÍNH 39 3.1 Mô đun mô đun hạng hữu hạng vành ... tổng trực tiếp, tích trực tiếp, vành chính, mơ đun tự do, mơ đun xạ ảnh … CHƯƠNG 2: MƠ ĐUN TỰ DO TRÊN VÀNH CHÍNH Trình bày sở mô đun tự vành mơ đun mơ đun tự vành chính, cụ thể nghiên cứu lực lượng