Thuật toán tìm cơ sở của các môđun con của môđun tự do hữu hạn sinh trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - LƯU THỊ THANH HÀ THUẬT TOÁN TÌM CƠ SỞ CỦA CÁC MÔĐUN CON CỦA MÔĐUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH CHÍNH Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Khi thầy Hun nói với tơi ý tưởng đề tài này, thầy có nhìn gần hồn chỉnh mặt đề tài Thầy gọi lại, nêu ý để tơi tự chứng minh, tìm thuật tốn Thầy tìm người học trị để hướng dẫn nghiên cứu Tơi muốn cám ơn thầy tin tưởng lịng thầy dạy dỗ Tơi cảm ơn thầy cô dạy dỗ suốt năm tháng qua, giúp đạt kết hôm Sự quan tâm thầy cô nguồn động viên lớn Chương MỞ ĐẦU Đối tượng nghiên cứu luận văn sở môđun tự hữu hạn sinh vành Nói mơđun tự hữu hạn sinh vành chính, lý thuyết mơđun có kết phong phú sâu sắc Ta nêu hai kết sau đây: Định lý: Trên vành chính, mơđun mơđun tự lại tự Định lý: Nếu F môđun tự vành R M mơđun hữu hạn sinh = F ; tồn sở B F phần tử e1 , e2 , , em sở phần tử khác không a1 , a2 , , am ∈ R cho: Các phần tử a1 e1 , a2 e2 , , am em sở M R Ta có |ai+1 với i = 1, , m − Dãy iđêan (a1 ), (a2 ), , (am ) xác định theo điều kiện Tuy nhiên kết nêu nói lên tồn phần tử sở, mang nặng tính lý thuyết Mục đích chúng tơi đề tài xây dựng thuật tốn tìm sở môđun môđun Đặc biệt chúng tơi muốn xây dựng thuật tốn tìm giao tổng hai mơđun có sở cho trước Thuật tốn ứng dụng để tìm sở nhóm nhóm aben tự hữu hạn sinh (vốn Z-môđun), môđun tự hữu hạn sinh vành đa thức trường, môđun tự hữu hạn sinh vành số nguyên Gauss, TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI Trong đề tài này, đưa khái niệm “đơn tử”, xem xét tính đơn tử phần tử sở Chúng tơi khẳng định đơn tử ln bổ sung thành sở Từ xây dựng nên thuật tốn tìm sở mơđun Nghiên cứu thuật toán trường hợp cụ thể chúng tơi đưa thuật tốn tìm giao hai mơđun có sở cho trước thuật tốn tìm sở mơđun cho hệ sinh Trong q trình thực đề tài, chúng tơi chứng minh lại số kết lý thuyết môđun Việc làm thể cách nhìn lý thuyết mơđun Những kết đề tài mô tả rõ phần tử sở môđun con, mối quan hệ sở mơđun với mơđun Để minh họa cho thuật tốn, chúng tơi nêu ví dụ áp dụng cho thuật tốn Trong có ví dụ nhóm aben tự hạng hữu hạng, môđun tự hữu hạn sinh vành đa thức trường (như Z7 [x], Q[x], ) vành số nguyên Gauss Z[i] Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Các kết vành 2.1.1 Định nghĩa vành Một miền nguyên gọi vành iđêan iđêan Miền ngun vành có nhiều phần tử, giao hốn, có đơn vị, khơng có ước (sẽ định nghĩa đây) Iđêan iđêan sinh phần tử 2.1.2 Các tính chất số học vành Tính chia hết Giả sử R vành giao hốn Ta nói phần tử a ∈ R bội phần tử b ∈ R hay a chia hết cho b, kí hiệu a b, có c ∈ R cho a = bc; ta nói b ước a hay b chia hết a, kí hiệu b | a Như vậy, theo định nghĩa trên, phần tử x ∈ R ước ; ta lại định nghĩa: Một phần tử a = gọi ước có b = cho ab = Một số tính chất tính chia hết: • a | a • c | b b | a kéo theo c | a • u khả nghịch, u | a với a • Nếu b | u với u khả nghịch, b khả nghịch • Quan hệ S xác định sau: xSx x = ux với u khả nghịch, quan hệ tương đương; x x gọi liên kết x x liên kết x | x x | x Kí hiệu: Ra = {xa, x ∈ R}, ta có: a | b Ra ⊃ Rb x x liên kết Rx = Rx Đặc biệt: u khả nghịch Ru = R Ta gọi phần tử liên kết với x phần tử khả nghịch ước ước không thực x, ước khác x ước thực x Giả sử x phần tử khác không khả nghịch R; x gọi phần tử bất khả quy R x khơng có ước thực Định nghĩa Nếu c | a c | b c gọi ước chung a b Phần tử c gọi ước chung lớn (ƯCLN) a b c ước chung a b, đồng thời ước chung a b ước c Hai ước chung lớn a b liên kết với nhau, coi khơng kể nhân tử khả nghịch Tương tự ta định nghĩa ước chung lớn ba phần tử trở lên sau: Định nghĩa Cho a1 , a2 , , an phần tử vành R Nếu c | với i = 1, 2, , n ta nói c ước chung a1 , a2 , , an c gọi ước chung lớn a1 , a2 , , an c ước chung a1 , a2 , , an ước chung khác ước c Trong kết xét R vành phần tử thuộc vành R Định lý Với R vành ước chung lớn hai phần tử a, b tồn Chứng minh Gọi I iđêan sinh a b Các phần tử thuộc I có dạng ax + by với x, y ∈ R Mặt khác R vành nên I sinh phần tử d đó, phần tử d thuộc I nên d có dạng d = ax + by, x, y ∈ R (1) Ta chứng minh d ước chung a b Thật vậy: a, b ∈ I = Rd nên a = a d b = b d với a , b ∈ R Vậy d ước chung a b Nếu c ước chung khác a b ta có a = ca b = cb với a , b ∈ R Lúc (1) trở thành: d = c(a x + b y) Suy c ước d Vậy d ước chung lớn a b Hệ Nếu e ước chung lớn a b, có r, s ∈ R cho e = + sb Hai phần tử a, b gọi nguyên tố chúng nhận làm ước chung lớn Theo hệ trên: a, b nguyên tố tồn r, s ∈ R cho = + sb Các kết dễ dàng mở rộng cho n phần tử, với n ≥ 2: Nếu R vành ước chung lớn n (n ≥ 2) phần tử a1 , a2 , , an ∈ R tồn Nếu d ước chung lớn a1 , a2 , , an ∈ R tồn r1 , r2 , , rn ∈ R cho: d = r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an Hệ Nếu c | ab c, a nguyên tố nhau, c | b Chứng minh Vì a, c nguyên tố nên từ hệ vừa nêu ta có r, s ∈ R cho = ar + cs Nhân vế đẳng thức với b: b = abr + bcs Vì c | ab nên có q ∈ R cho ab = cq Do b = c(qr + bs) tức c | b Tính chất Nếu d ước chung lớn a, b, a = da , b = db với a , b ∈ R a , b nguyên tố Thật vậy: Vì d ước chung a b nên a = da b = db với a , b ∈ R Gọi e ước chung lớn a b , ta có a = ea1 , b = eb1 Từ suy ra: a = dea1 , b = deb1 Tức de ước chung a b Vì d ước chung lớn nên de | d, e | Như ước chung lớn a , b hay a , b nguyên tố 2.2 2.2.1 Các kết môđun Định nghĩa môđun môđun Cho vành R có đơn vị (đơn vị R kí hiệu 1) Nhóm cộng aben (X, +) gọi môđun trái vành R X ta xác định tác động trái từ R, tức có ánh xạ µ : R → X , ta kí hiệu µ(r, x) = rx gọi tích hệ tử r với phần tử x Ngoài tiên đề sau cần thỏa mãn với x, y ∈ X r, s ∈ R: 1.x = x, (rs)x = r(sx), r(x + y) = rx + ry , (r + s)x = rx + sx Tác động trái từ R vào X gọi phép nhân từ R vào X Vành R gọi vành hệ tử hay vành vô hướng Mơđun trái gọi đơn giản mơđun Mỗi nhóm cộng aben (A, +) ln xem mơđun trái vành số nguyên Z với phép nhân định nghĩa sau: với n > 0, na = a + a + + a ( n số hạng) (−n)a = −na, 0.a = Có thể dễ dàng kiểm tra phép nhân thỏa mãn tiên đề 1) đến 4) Nếu A, B tập môđun X K ⊂ R với A, B, K = ∅, ta định nghĩa: A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}; KA = {ra|r ∈ K, a ∈ A} Nếu A + A ⊂ A RA ⊂ A ta nói A phận ổn định X Mỗi phận ổn định mơđun X với phép tốn cảm sinh lập thành môđun, gọi môđun X Nếu A, B môđun mơđun X Khi A + B mơđun X Mỗi nhóm nhóm aben xem Z-mơđun 2.2.2 Mơđun sinh tập Giao họ khác rỗng môđun X lại môđun X Xét S tập môđun X Xét họ T tất môđun X chứa S Hiển nhiên T khác rỗng X ∈ T Giao họ T môđun X , chứa S , gọi mơđun X sinh bới tập S (kí hiệu < S >) S gọi tập sinh hay hệ sinh môđun < S > Từ cách xác định thấy < S > môđun nhỏ X chứa S , có nghĩa < S > chứa môđun X chứa S Để mô tả < S > với S = ∅ ta định nghĩa tổ hợp tuyến tính S tổng hữu hạn dạng: r x1 + r x2 + + r n xn r1 , r2 , , rn ∈ R x1 , x2 , , xn ∈ S Có thể dễ dàng chứng minh được: “Môđun sinh tập S ⊂ X, S = ∅ môđun gồm tất tổ hợp tuyến tính S ” 2.2.3 Mơđun thương Cho X môđun A ✁ X Khi (A, +) nhóm nhóm (X, +) A nhóm chuẩn tắc X Theo lý thuyết nhóm, ta có thương (X/A, +) X giao hốn nên nhóm cộng X/A giao hoán Ta xác định X/A phép nhân từ R sau: ∀r ∈ R, ∀x + A ∈ X/A : r(x + A) = rx + A Với phép nhân ngồi X/A có cấu trúc R-môđun gọi môđun thương môđun X theo môđun A 2.2.4 Đồng cấu môđun Cho X , Y R-môđun Ánh xạ f : X → Y gọi R-đồng cấu với x, x1 , x2 ∈ X với r ∈ R: f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) f (rx) = rf (x) 34 3.2.2 Áp dụng thuật tốn tìm sở giao hai nhóm nhóm aben Xét Z-mơđun A, B Z7 A có sở: u1 = (26, 12, −9, 2, 22, 8, 3) u2 = (−62, 21, 7, 14, −28, 0, 0) u3 = (1, −5, 2, 9, 11, 2, 4) u4 = (3, 5, −9, −6, 12, 15, −18) u5 = (2, −12, 16, 3, 9, 7, 12) Cơ sở môđun B : v1 = (−2, 0, −1, 3, 5, 7, 9) v2 = (3, 6, −3, 9, −2, 4, 6) v3 = (1, −2, 1, 4, 9, −15, 60) v4 = (3, −7, 9, 9, 21, 28, 6) v5 = (5, 9, 6, 6, 7, −15, −21) Mỗi phần tử x ∈ A∩B tương ứng với hệ số (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ), (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ) cho x có phân tích x = x1 u1 + + x5 u5 = y1 v1 + + y5 v5 với xi , yj ∈ Z nghiệm hệ phương trình:     26x1 − 62x2 + 1x3 + 3x4 + 2x5 − (−2y1 + 3y2 + 1y3 + 3y4 + 5y5 ) =    12x1 + 21x2 − 5x3 + 5x4 − 12x5 − (0y1 + 6y2 − 2y3 − 7y4 + 9y5 ) =        −9x1 + 7x2 + 2x3 − 9x4 + 16x5 − (−1y1 − 3y2 + 1y3 + 9y4 + 6y5 ) = 2x + 14x + 9x − 6x + 3x − (3y + 9y + 4y + 9y + 6y ) = 5     22x1 − 28x2 + 11x3 + 12x4 + 9x5 − (5y1 − 2y2 + 9y3 + 21y4 + 7y5 ) =      8x1 + 0x2 + 2x3 + 15x4 + 7x5 − (7y1 + 4y2 − 15y3 + 28y4 − 15y5 ) =     3x + 0x + 4x − 18x + 12x − (9y + 6y + 60y + 6y − 21y ) = 5 Ta dễ dàng tìm nghiệm hệ: (−57270032, −25881007, −70358559, 5191558, −14196384, −201712721, −24722397, 0, 1, −59366661) 35 có ƯCLN thành phần Nghiệm cho ta phần tử sở A ∩ B : a = −57270032u1 − 25881007u2 − 70358559u3 + 5191558u4 − 14196384u5 = −201712721v1 − 24722397v2 + 0v3 + 1v4 − 59366661v5 Xét đồng cấu xác định f (x) = y4 với x = x1 u1 + .+x5 u5 +y1 v1 + .+y5 v5 , f thỏa f (a) = Khi ta có phân tích: A ∩ B = Za ⊕ ker f với ker f tập x tương ứng với hệ số xi , yj nghiệm hệ phương trình:   26x1 − 62x2 + 1x3 + 3x4 + 2x5 − (−2y1 + 3y2 + 1y3 + 3y4 + 5y5 ) =      12x1 + 21x2 − 5x3 + 5x4 − 12x5 − (0y1 + 6y2 − 2y3 − 7y4 + 9y5 ) =      −9x1 + 7x2 + 2x3 − 9x4 + 16x5 − (−1y1 − 3y2 + 1y3 + 9y4 + 6y5 ) =     2x + 14x + 9x − 6x + 3x − (3y + 9y + 4y + 9y + 6y ) = 5  22x1 − 28x2 + 11x3 + 12x4 + 9x5 − (5y1 − 2y2 + 9y3 + 21y4 + 7y5 ) =      8x1 + 0x2 + 2x3 + 15x4 + 7x5 − (7y1 + 4y2 − 15y3 + 28y4 − 15y5 ) =      3x1 + 0x2 + 4x3 − 18x4 + 12x5 − (9y1 + 6y2 + 60y3 + 6y4 − 21y5 ) =     1y4 = Ta tìm nghiệm hệ phương trình trên: (−61871633, −27960527, −76011819, 5608685, −15337058, −217920208, −26708813, 4, 0, −64136729) có ƯCLN thành phần Phần tử sở thứ hai A ∩ B theo là: b = −217920208v1 − 26708813v2 + 4v3 + 0v4 − 64136729v5 Xét đồng cấu g : A ∩ B → Z xác định g(x) = 1x2 + 6990132y3 với x = x1 u1 + + x5 u5 + y1 v1 + + y5 v5 thỏa g(b) = Khi ta có phân tích: A ∩ B = Za ⊕ Zb ⊕ ker g với ker g tập x ∈ A ∩ B tương ứng với hệ số (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ), 36 (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ) thỏa mãn hệ phương trình:                    26x1 − 62x2 + 1x3 + 3x4 + 2x5 − (−2y1 + 3y2 + 1y3 + 3y4 + 5y5 ) =                   8x1 + 0x2 + 2x3 + 15x4 + 7x5 − (7y1 + 4y2 − 15y3 + 28y4 − 15y5 ) = 12x1 + 21x2 − 5x3 + 5x4 − 12x5 − (0y1 + 6y2 − 2y3 − 7y4 + 9y5 ) = −9x1 + 7x2 + 2x3 − 9x4 + 16x5 − (−1y1 − 3y2 + 1y3 + 9y4 + 6y5 ) = 2x1 + 14x2 + 9x3 − 6x4 + 3x5 − (3y1 + 9y2 + 4y3 + 9y4 + 6y5 ) = 22x1 − 28x2 + 11x3 + 12x4 + 9x5 − (5y1 − 2y2 + 9y3 + 21y4 + 7y5 ) = 3x1 + 0x2 + 4x3 − 18x4 + 12x5 − (9y1 + 6y2 + 60y3 + 6y4 − 21y5 ) = 1y4 = 1x2 + 6990132y3 = Ta tìm nghiệm hệ phương trình trên: (−2081781236374401, −940781706339312, −2557552966751124, 188714191424934, −516042619492289, −7332313340448025, −898665560503846, 134587116, 0, −2157994423625922) có ƯCLN hệ số Phần tử sở thứ ba A ∩ B c = −7332313340448025v1 −898665560503846v2 +134587116v3 +0v4 −2157994423625922v5 Xét đồng cấu h : A ∩ B g : A ∩ B → Z xác định h(x) = 92794759x5 + 355799662944822y3 với x = x1 u1 + + x5 u5 + y1 v1 + + y5 v5 , h thỏa h(c) = Khi ta có phân tích: A ∩ B = Za ⊕ Zb ⊕ Zc ⊕ ker g với ker g tập x ∈ A ∩ B tương ứng với hệ số (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ), 37 (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ) thỏa mãn hệ phương trình:                                          26x1 − 62x2 + 1x3 + 3x4 + 2x5 − (−2y1 + 3y2 + 1y3 + 3y4 + 5y5 ) = 12x1 + 21x2 − 5x3 + 5x4 − 12x5 − (0y1 + 6y2 − 2y3 − 7y4 + 9y5 ) = −9x1 + 7x2 + 2x3 − 9x4 + 16x5 − (−1y1 − 3y2 + 1y3 + 9y4 + 6y5 ) = 2x1 + 14x2 + 9x3 − 6x4 + 3x5 − (3y1 + 9y2 + 4y3 + 9y4 + 6y5 ) = 22x1 − 28x2 + 11x3 + 12x4 + 9x5 − (5y1 − 2y2 + 9y3 + 21y4 + 7y5 ) = 8x1 + 0x2 + 2x3 + 15x4 + 7x5 − (7y1 + 4y2 − 15y3 + 28y4 − 15y5 ) = 3x1 + 0x2 + 4x3 − 18x4 + 12x5 − (9y1 + 6y2 + 60y3 + 6y4 − 21y5 ) = 1y4 = 1x2 + 6990132y3 = 92794759x5 + 355799662944822y3 = Hệ có nghiệm tầm thường Thuật tốn kết thúc Như vậy, sở A ∩ B là: a = (32424949, −682634338, −80320045, −1183839693, −1374685417, −620378692, −717048984) b = (35030336, −737483447, −86773723, −1278960299, −1485140481, −670225833, −774663201) c = (1178658015842018, −24813943444830606, −2919656385208853, −43032896069285757 −49970195335329843, −22550941289569469, −26064922455683979) 3.3 Thuật tốn tìm sở mơđun cho hệ sinh 3.3.1 Thuật tốn Cho mơđun A mơđun X cho hệ sinh: B = {u1 , u2 , , uk , v1 , v2 , , vm } đó: • {u1 , u2 , , uk } hệ độc lập tuyến tính tối đại B • Ta có phân tích: αi vi = βi1 u1 + βi2 u2 + + βik uk (*) với i = 1, 2, , m αi không khả nghịch, ƯCLN(αi , βi1 , βi2 , , βik ) = Bắt đầu với α1 v1 = β11 u1 + β12 u2 + + β1k uk Ta xét trường hợp sau: (1) 38 1) ƯCLN(β11 , β12 , , β1k ) = tức α1 v1 đơn tử môđun U sinh sở u1 , u2 , , uk Bằng thuật tốn xây dựng sở mơđun chứa đơn tử cho trước ta bổ sung vào {α1 v1 } để sở {α1 v1 , u2 , , uk } U Khi {u1 = v1 , u2 , , uk } độc lập tuyến tính tối đại B thay cho k + phần tử {u1 , u2 , , uk , v1 } hệ sinh B 2) ƯCLN(β11 , β12 , , β1k ) = λ khơng khả nghịch Khi đó: β1i = λβ1i , i = 1, , k với ƯCLN(β11 , β12 , , β1k ) = Ta có: ƯCLN(λ, α1 ) = α1 v1 = λ(β11 u1 + β21 u2 + + β1k uk ) Ta chứng minh: v1 = λv1 , v1 ∈ X chứng minh v1 ∈ A Để làm việc ta cần chứng minh thêm số kết sau Mệnh đề Trong môđun X ,với phần tử x ∈ X tồn đơn tử a ∈ X hệ tử r ∈ R cho x = Ta gọi hệ tử r gọi hệ số đơn nguyên x X Chứng minh: Trong X chọn sở U gọi (x1 , x2 , , xn ) xi ∈ R tọa độ x U Lấy r =ƯCLN(x1 , x2 , , xn ) ta có: xi = ryi , (yi ∈ R) ƯCLN(y1 , y2 , , yn ) = Do phần tử a ∈ X có tọa độ (y1 , y2 , , yn ) đơn tử Dễ thấy x = Nhận xét • Cũng khái niệm đơn tử, khái niệm hệ số đơn nguyên phần tử x có tính tương đối, phụ thuộc theo mơđun chứa x • Hệ số đơn ngun x không nhất; hệ số đơn nguyên phần tử lập thành lớp hệ tử liên kết vành R • Nếu x có tọa độ sở U (x1 , x2 , , xn ) có tọa độ (x1 , x2 , , xn ) sở U ƯCLN(x1 , x2 , , xn )=ƯCLN(x1 , x2 , , xn ) (định nghĩa đơn tử không phụ thuộc vào việc chọn sở, hệ số đơn nguyên vậy) 39 Mệnh đề Nếu hai đơn tử a, b môđun X phụ thuộc tuyến tính, tức có hệ tử m, n ∈ R cho ma = nb n = rm, a = rb với r khả nghịch Chứng minh: Gọi λ =ƯCLN(m, n), ta có m = λm n = λn với ƯCLN(m , n ) = ma = nb ⇒ λm a = λn b ⇒ m a = n b Gọi p, q ∈ R hệ tử cho pm + qn = Ta có: a = 1.a = (pm + qn )a = p(m a) + qn a = pn b + qn a = n (pb + qa) Mà a đơn tử nên theo định nghĩa đơn tử ta suy n khả nghịch Từ m a = n b ⇒ b = m n −1 a mà b đơn tử nên suy m khả nghịch Ta có: m = λm , n = λn m a = n b với m , n khả nghịch, từ dễ dàng suy điều phải chứng minh Hệ Nếu môđun X ta có hệ thức sau hai phần tử x, y ∈ X : λx = µy với ƯCLN(λ, µ) = x = µx với x thuộc x Chứng minh: Giả sử x, y ∈ R λx = µy Theo mệnh đề 5ta có x = y = sb với a, b đơn tử môđun X , r, s ∈ R Ta được: λra = µsb Theo mệnh đề ta có µs = λr.u với u ∈ R khả nghịch Mà ƯCLN(λ, µ) = nên s , s = λ.t với t ∈ R Viết lại hệ thức: λx = µ.λt.b ⇒ x = µ.(tb) = µ.x với x = tb Nhận xét: Trong mệnh đề hệ nói trên, vai trị a, b x, y nên ta có y = λy với y ∈ X 40 Trở lại thuật tốn tìm sở hệ sinh Ta có hệ thức: α1 v1 = λ β11 u1 + β21 u2 + + β1k uk Từ hệ ta được: v1 = λv1 với v1 ∈ X ; từ hệ thức ta có: α1 v1 = β11 u1 + β21 u2 + + β1k uk (2) với ƯCLN(β11 , β12 , , β1k ) = Từ (1) suy α1 v1 ∈ A Ta có: λv1 = v1 ∈ A α1 v1 ∈ A với ƯCLN(λ, α1 ) = Gọi p, q ∈ R cho pλ + qα1 = Ta có: v1 = (pλ + qα1 )v1 = pλv1 + qα1 v1 v1 ∈ A Thực giống trường hợp 1) với hệ thức (2) ta thay hệ {u1 , u2 , , uk } hệ {α1 v1 , u2 , , uk } thay hệ k + phần tử {v1 , u1 , , uk } hệ sinh B hệ k phần tử {v1 = u1 , u2 , , uk } độc lập tuyến tính tối đại B Xét ma trận đổi sở môđun U sinh {u1 , , uk }          α1 u1   u2    uk u1 u1       u2   u2  = K       ⇒      uk α1 u1      = K −1  u2     uk u1       u2   = L         uk uk L matrận K −1 mà cột nhân thêm α1 Với i = 2, , m, ta có phân tích:  u1   u1       u2   u2      [αi vi ] = [βi1 , βi2 , , βik ]  = [βi1 , βi2 , , βik ].L        uk uk Chia vế cho ƯCLN tất hệ số phân tích ta được: γi vi = ηi1 u1 + ηi2 u2 + + ηik uk với ƯCLN(γi , ηi1 , ηi2 , , ηik ) = Nếu γi ước đơn vị bỏ qua vi hệ sinh, xét tiếp γi+1 Nếu γi khơng ước đơn vị quay lại bước 1, thay v1 vi hệ sinh lại hệ n vectơ độc lập tuyến tính Thuật tốn dừng sau tối đa m bước 41 Về thuật tốn tìm sở tổng hai môđun Cho hai môđun A B mơđun X Mơđun A có sở {u1 , u2 , , uk } Môđun B có sở {v1 , v2 , , vs } Khi tổng A B có hệ sinh là: {u1 , u2 , , uk , v1 , v2 , , vs } Thuật tốn áp dụng để tìm sở A + B 3.3.2 Áp dụng thuật tốn tìm sở nhóm nhóm aben tự Xét mơđun A Z7 cho hệ sinh: u1 = (−1, 4, 5, 3, −3, 7, 10), u2 = (9, −87, 36, −9, −42, −48, 57), u3 = (7, 22, 4, −1, 1, 14, 9), u4 = (2, −2, 2, 0, 0, −2, 1), u5 = (−26, −310, 28, −12, −69, −193, 17), v1 = (1, 0, 1, 3, 4, 0, −3), v2 = (−20, −226, 20, −8, −50, −140, 12), v3 = (0, 1, −2, −2, −1, 2, 2) hệ {u1 , u2 , , u5 } độc lập tuyến tính vectơ v1 , v2 , v3 có phân tích sau: 3v1 = 3u1 − 2u2 + 6u3 + 4u4 + 1u5 (1) 15v2 = 4u1 − 2u2 + 6u3 − 4u4 + 12u5 (2) 3v3 = 2u1 − 3u2 + 15u3 − 12u4 + 2u5 (3) Xét (1) ta thấy ƯCLN hệ số bên vế phải 1: ƯCLN(3,-2,6,4,1)=1 Nên ta bổ sung vào {3v1 } để hệ {3v1 , u2 , u3 , , u5 } sở môđun sinh sở {u1 , u2 , , u5 } Sử dụng thuật tốn tìm sở mơđun chứa đơn tử cho trước, ta tìm hệ {3v1 , u1 , u2 , u3 , u4 } (kết đẹp (1) hệ số u5 1!) Ta thay vectơ v1 , u1 , u2 , u3 , u4 , u5 hệ sinh vectơ v1 , u1 , u2 , u3 , u4 42 Ta có:    u1      u2          u3  =      u4      u5 u1  0 0     u2          u3  =      u4        0    u2     0   u3  0            u4  u5 −2 3v1 Suy ra:     u1   u1   0      u2   0            u3  =       u4   0      0 0 −3 −6 −4 3v1 0   u1  0     u2           u3      u4      0 0 −3 −6 −4 v1 Ta có:  u1      0 0     u2         [15v2 ] = [4, −2, 6, −4, 12]  u3  = [4, −2, 6, −4, 12]      u4      0      u2       u3  0 u1            u4  −3 −6 −4 v1 u5  u1     u2      = [−32, 22, −66, −52, 36]  u3     u4    v1 Tức 15v2 = −32u1 + 22u2 − 66u3 − 52u4 + 36v1 (ii) Tương tự ta có: 3v3 = −4u1 + u2 + 3u3 − 20u4 + 6v1 Ta xét tiếp v2 phân tích (ii), ta thấy ƯCLN(-32,22,-66,-52,36)=2 v2 viết lại thành v2 = 2v2 với v2 = (−10, −113, 10, −4, −25, −70, 6) thuật toán chứng minh v2 ∈ A (ii) trở thành 15v2 = −16u1 + 11u2 − 33u3 − 26u4 + 18v1 với ƯCLN(-16,11,-33,- 26,18)=1 Ta lại sử dụng thuật tốn tìm sở mơđun chứa đơn tử cho trước để tìm hệ sở chứa 15v2 môđun V sinh sở u1 , u2 , u3 , u4 , v1 43 Kết trình hệ sở V : α1 = 15v2 = −16u1 + 11u2 − 33u3 − 26u4 + 18v1 α2 = 3u1 − 2u2 α3 = u3 α4 = u4 α5 = v1 Ta thay vectơ u1 , u2 , u3 , u4 , v1 , v2 hệ sinh vectơ v2 , α2 , α3 , α4 , α5  Ta có:   u1 11 66 52 −36 v1   15v       u2   16 99 78 −54   α2            u3  =  0 0   α3       u4   0   α4      0 α5   30 11 66 52 −36   v         45 16 99 78 −54   α2            = 0 0   α3         0   α4       0 0 α5 Suy ra: 3v3 = −75v2 − 28α2 − 162α3 − 150α4 + 96α5 Trong phân tích trên, ta thấy ƯCLN hệ số bên vế phải Ta lại sử dụng thuật toán xây dựng sở chứa đơn tử cho trước để bổ sung vào 3v3 thành sở môđun W sinh v2 , α2 , α3 , , α5 Cơ sở là: β1 = 3v3 = −75v2 − 28α2 − 162α3 − 150α4 + 96α5 β2 = 8v2 + 3α2 β3 = α β4 = α β5 = α Ta thay vectơ v3 , v2 , α2 , α3 , , α5 hệ sinh vectơ v3 , β2 , , β5 Hệ sinh thu gọn thành hệ vectơ độc lập tuyến tính là sở A 44 Tóm lại: mơđun A Z7 cho hệ sinh: u1 = (−1, 4, 5, 3, −3, 7, 10), u2 = (9, −87, 36, −9, −42, −48, 57), u3 = (7, 22, 4, −1, 1, 14, 9), u4 = (2, −2, 2, 0, 0, −2, 1), u5 = (−26, −310, 28, −12, −69, −193, 17), v1 = (1, 0, 1, 3, 4, 0, −3), v2 = (−20, −226, 20, −8, −50, −140, 12), v3 = (0, 1, −2, −2, −1, 2, 2) có sở là: v3 = (0, 1, −2, −2, −1, 2, 2) β2 = (−101, −856, 113, −5, −227, −485, 132) β3 = (7, 22, 4, −1, 1, 14, 9) β4 = (2, −2, 2, 0, 0, −2, 1) β5 = (1, 0, 1, 3, 4, 0, −3) 3.3.3 Áp dụng thuật tốn mơđun tự vành đa thức Xét R = Q[x] vành đa thức hệ số hữu tỉ Q[x] vành Gọi X = R4 môđun tự hạng R X = {p = (p1 (x), p2 (x), p3 (x), p4 (x)) | pi (x) ∈ Q[x]∀i} Gọi A mơđun X có hệ sinh: u1 = (x3 , x + 1, 2x2 − x + 1, 5) u2 = (x2 + x, x2 , − 12 x, 0) x − 1, − x − 1, − x − 5) (x2 − x, 12 (x2 + 3), 21 (5x2 − x + 3), 12 (7x2 − 4x + 15)) (3x3 + 4x2 + 5, x3 + x2 + 52 x + 6, 72 x2 + 4x − 29 , 72 x + 8) u3 = (2x, v1 = v2 = đó: u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính ta có phân tích: (x + 2)v1 = 2u1 + xu2 − (1 + x2 )u3 (1) xv2 = (2x + 2)u1 + (x2 + x + 1)u2 − (x − 2)u3 (2) 45 Xét (1) ta thấy ƯCLN hệ số bên vế phải ƯCLN 2, x, −(1 + x2 ) =1 Như vậy, (x + 2)v1 đơn tử môđun U =< {u1 , u2 , u3 } > nên áp dụng thuật tốn tìm sở chứa đơn tử cho trước để thay sở U sở mới, kết ta tìm sở là: u1 = (x + 2)v1 u2 = u2 u3 = u3 Ta thay vectơ v1 , u1 , u2 , u3 hệ sinh v1 , u2 , u3 Ta có:  (x + 2)v1      u1       ⇒  u2  =  u3 u2 u3 −x + x2 0   x −(1 + x2 )   =   0     .   (x + 2)v1 u2 u3 u       u2     u3       =   (x + 2) −x + x2 0   v1     . u     u3 Từ ta có: xv2 = (x + 1)(x + 2)v1 + u2 + (x3 + x2 + 3)u3 (3) Ta thấy ƯCLN hệ số vế phải (3) ƯCLN((x + 1)(x + 2), , (x3 + x2 + 3))=1 Như xv2 đơn tử môđun V =< {v1 , u2 , u3 } > , áp dụng thuật tốn tìm sở chứa đơn tử cho trước, ta sở V là: α1 = xv2 α2 = v1 α3 = u3 Ta thay vectơ v2 , v1 , u2 , u3 hệ sinh vectơ v2 , v1 , u3 Hệ sinh A vectơ độc lập tuyến tính nên sở A Vậy sở A là: v1 = (x2 − x, 21 (x2 + 3), 12 (5x2 − x + 3), 12 (7x2 − 4x + 15)) v2 = (3x3 + 4x2 + 5, x3 + x2 + 52 x + 6, 27 x2 + 4x − 92 , 72 x + 8) u3 = (2x, 21 x − 1, − 25 x − 1, − 27 x − 5) 46 3.4 Cách chứng minh cho số kết lý thuyết môđun Mệnh đề Cho A môđun X S tập hệ số đơn nguyên phần tử x ∈ A Nếu λ phần tử tối tiểu S (theo quan hệ chia hết) a ∈ A phần tử có hệ số đơn ngun λ a đơn tử mơđun A, tồn sở A nhận a thành viên Chứng minh Gọi λ phần tử tối tiểu S a ∈ A phần tử có hệ số đơn nguyên λ, tức a = λb với b ∈ X đơn tử Tọa độ a với sở U a = (a1 , a2 , , an ), theo chứng minh mệnh đề ƯCLN(a1 , a2 , , an ) = λ Trong R lấy t1 , t2 , , tn cho t1 a1 + t2 a2 + · · · + tn an = λ Xét đồng cấu: f: X −→ R x = (x1 , x2 , , xn ) −→ t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn ta có: f (a) = λ f (b) = Chứng minh mệnh đề X = ker f ⊕ Rb Ta A = A ∩ ker f ⊕ Ra: Vì A mơđun X nên f (A) iđêan R, mà R vành nên f (A) = Rµ Vì f (a) ∈ f (A) nên µ | λ Gọi x ∈ A phần tử mà f (x) = µ, theo mệnh đề x = ry với y đơn tử X , r ∈ S Khi đó: µ = f (x) = f (ry) = rf (y) nên r | µ | λ Tuy nhiên λ tối tiểu S nên r ∼ µ ∼ λ Suy ra: f (A) = Rλ Với x ∈ A, có r ∈ R để f (x) = rλ = f (ra) ⇒ x = y + với y ∈ ker f , y = x − ∈ A Vậy A = A ∩ ker f ⊕ Ra, a hợp với sở A ∩ ker f sở A Hệ Số chiều môđun A không lớn số chiều môđun X Trong X tồn sở V = {v1 , v2 , , } hệ tử r1 , r2 , , rn thuộc R để hệ {r1 v1 , r2 v2 , , rn } hệ sinh A (nếu bỏ phần tử ri vi = sở) 47 Chứng minh: Giả sử A = Qua chứng minh định lý ta thấy chọn từ A phần tử a1 có hệ số đơn nguyên tối tiểu S , a1 = λ1 b1 , b1 đơn tử X có phân tích: A = Ra1 ⊕ A1 X = Rb1 ⊕ X1 A1 môđun X1 Nếu A1 = 0, thay A A1 ta lại có: A1 = Ra2 ⊕ A2 X1 = Rb2 ⊕ X2 với a2 = λ2 b2 , A2 môđun X2 Tiếp tục thì: A = Ra1 ⊕ Ra2 ⊕ ⊕ Rak ⊕ Ak X = Rb1 ⊕ Rb2 ⊕ ⊕ Rbk ⊕ Xk với = λi bi , Ak môđun Xk Quá trình phải dừng k = m ≤ n tức Am = hệ {bi } hợp với sở Xk sở X nên k vượt n Khi a1 , , am sở A, b1 , , bm hợp với sở Xm sở X = λbi 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1 ] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh [2 ] Hồng Xn Sính (1997), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục, Hà Nội Tiếng Anh [3 ] H Cartan and S Eilenberg (1965), Homological Algebra , Princeton University Press [4 ] I Kaplansky (1970) "Commutative rings" Allgn and Bacon, Inc, Boston [5 ] Serge Lang (2005), Algebra, Springer, NewYork ... có sở cho trước Thuật tốn ứng dụng để tìm sở nhóm nhóm aben tự hữu hạn sinh (vốn Z -môđun) , môđun tự hữu hạn sinh vành đa thức trường, môđun tự hữu hạn sinh vành số nguyên Gauss, 2 TỔNG QUAN... luận văn sở mơđun tự hữu hạn sinh vành Nói mơđun tự hữu hạn sinh vành chính, lý thuyết mơđun có kết phong phú sâu sắc Ta nêu hai kết sau đây: Định lý: Trên vành chính, mơđun môđun tự lại tự Định... 2.2.12 Môđun tự vành Nói chung, R-mơđun R-mơđun tự chưa môđun tự Riêng với trường hợp R vành ta có định lý: Định lý Môđun môđun tự vành mơđun tự Chứng minh Cho X mơđun tự vành R, A ✁ X Chọn sở X