Môđun ICE nội xạ và vành chính quy von neumann

Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Trang Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Lời cảm ơn Chương 1: Các kiến thức Chương 2: Môđun ICE-nội xạ 13 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU N  M : N môđun M N e M : N mô đun cốt yếu M N  M : N hạng tử trực tiếp M M  N : Tổng trực tiếp môđun M môđun N SVTH: Khổng Hồng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Cùng với phát triển toán học đại nói chung, lý thuyết mơđun nhà tốn học quan tâm đạt nhiều kết xuất sắc Khái niệm môđun nội xạ vấn tổng quát khái niệm nhiều nhà Tốn học nghiên cứu, khái qt lấy làm sở để xây dựng khái niệm Năm 1997, nhà Toán học R Yue Chi Ming gọi môđun M I-nội xạ với đẳng cấu hai mơđun M mở rộng thành tự đồng cấu M Đây động lực để xây dựng nên khái niệm, tính chất mơđun ICE-nội xạ Mơđun ICE-nội xạ trường hợp tổng quát môđun nội xạ vành quy Von Neumann Mơđun ICE-nội xạ dùng để nghiên cứu vành quy Von Neumann, vành di truyền vành Artinian Đó lí để chọn đề tài Trong đề tài thông qua số kết lý thuyết vành môđun, đặc biệt môđun ICE-nội xạ tác giả Yu Zenghai, cố gắng làm rõ vấn đề ICE-nội xạ, mối quan hệ môđun ICE-nội xạ với vấn đề quan trọng khác lý thuyết mơđun Nội dung luận văn gồm hai chương phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo: Chương 1: Các kiến thức Chương 2: Môđun ICE-nội xạ SVTH: Khổng Hồng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp Ở chương này, đưa định nghĩa môđun ICE-nội xạ nghiên cứu số vấn đề sau:  Hạng tử trực tiếp môđun ICE-nội xạ môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun ICE-nội xạ  Mối quan hệ môđun ICE-nội xạ, môđun CS, môđun liên tục tựa liên tục  Đưa tiêu chí để chứng minh môđun tựa nội xạ, xạ ảnh môđun nội xạ  Tìm hiểu tính chất vành di truyền  Đưa số điều kiện đủ để tổng trực tiếp R-môđun ICEnội xạ R-môđun ICE-nội xạ SVTH: Khổng Hồng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng hướng dẫn thầy giáo TS Trương Công Quỳnh Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn – người dành cho tác giả hướng dẫn chu đáo tận tình suốt trình nghiên cứu, thực luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, tập thể cán giảng viên khoa Tốn, Phịng Đào tạo-Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập trường Mặc dù cố gắng khả nhiều hạn chế nên tránh thiếu sót Tác giả kính mong nhận góp ý, bảo quý thầy cô bạn Đà Nẵng, tháng 5, năm 2013 Tác giả Khổng Hoàng Phương SVTH: Khổng Hồng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong toàn luận văn, ta qui ước vành R có đơn vị khác khơng kí hiệu Ở chương 1, đưa số kiến thức để phục vụ cho việc nghiên cứu chương Định nghĩa 1.1 Cho R vành Một R-mơđun phải M là: (1) Nhóm cộng aben M với (2) Ánh xạ M R  M  m, r  mr gọi phép nhân môđun, thoả mãn điều kiện sau: (i) Qui tắc kết hợp:  mr1  r2  m  r1r2  (ii) Qui tắc phân phối:  m1  m2  r  m1r  m2r m  r1  r2   mr1  mr2 (iii) Qui tắc unita: m.1  m m, m1, m2 phần tử tuỳ ý M, r1 , r2  R Lúc R gọi vành sở Nếu M R-mơđun phải ta thường kí hiệu M  M R Tương tự ta định nghĩa R-môđun trái Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song mơđun Rbên phải S-bên trái (kí hiệu SMR) (a) M R-môđun phải M S-mơđun trái SVTH: Khổng Hồng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp (b) Ta phải có:  sx  r  s  xr  , (r  R, s  S, x  M ) Định nghĩa 1.2: Cho môđun M N  M Môđun N gọi cốt yếu M với mơđun K khác M ta ln có N  K  Kí hiệu: N e M Nếu N môđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu N Ví dụ: M e M , nZ e Z (n  0) Định nghĩa 1.3: Cho môđun M N  M Môđun N gọi đóng M với mơđun K khác khơng M mà N e K K  N Định nghĩa 1.4: Cho môđun M N  M Môđun N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun K M cho M  N  K Lúc ta nói K mơđun phụ N M Kí hiệu: N  M M  N  K N  K  Từ định nghĩa ta suy ngay: N  M  K  M :  Ví dụ: (1) Cho M không gian vectơ hữu hạn chiều Khi khơng gian M có khơng gian phụ (2) Khơng phải mơđun mơđun có mơđun phụ, chẳng hạn ta xét Lấy N  n với n  Với m , m  ta có mn  m  n nên m  n  có nghĩa n  m khơng tổng trực tiếp Vậy n khơng có mơđun phụ SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.5: Vành R gọi vành quy Von Neumann với phần tử a  R tồn phần tử b  R cho a  aba Vành R gọi vành quy mạnh với phần tử a  R tồn phần tử b  R cho a  a 2b Định nghĩa 1.6: Môđun M gọi nội xạ (injective) với đơn cấu f : K  N , đồng cấu g : K  M tồn đồng cấu f : N  M cho f f  g Định nghĩa 1.7: Môđun M gọi tựa nội xạ (quasi-injective) với đơn cấu f : K  M , đồng cấu g : K  M tồn tự đồng cấu f : M  M cho f f  g Mệnh đề: (1) Cho môđun M ' nội xạ M SVTH: Khổng Hồng Phương M ' Khi M nội xạ Trang Khóa luận tốt nghiệp (2) Cho môđun M nội xạ B hạng tử trực tiếp M Khi B môđun nội xạ Chứng minh: (1) Xét biểu đồ, f : K  N đơn cấu, g : K  M đồng cấu  : M  M ' đẳng cấu Vì M ' nội xạ nên tồn đồng cấu h : N  M ' cho hf   g Phải chứng minh tồn f : N  M cho f f  g Đặt f : N  M cho f   1h Khi đó, f f   1hf   1 g  g Vậy M mơđun nội xạ (2) Xét biểu đồ, f : K  N đơn cấu, g : K  B đồng cấu,  : B  M đơn cấu tắc  : M  B tồn cấu tắc Vì M nội xạ nên tồn đồng cấu h : N  M cho hf   g SVTH: Khổng Hồng Phương Trang Khóa luận tốt nghiệp Phải chứng minh: Tồn đồng cấu f : N  B cho f f  g Đặt f : N  B thỏa mãn f   h Khi ta có f f   hf   g  g Vậy B môđun nội xạ Định nghĩa 1.7: Chúng ta xét điều kiện sau cho R-môđun M: (1) M thỏa mãn điều kiện C1 N  M , M '  M : N e M ' A (2) M thỏa mãn điều kiện C2  B  A  M  B  M  N  M  (3) M thỏa mãn điều kiện C3  K  M  N  K  M N  K   Định nghĩa 1.8: Cho M R-mơđun Khi đó: (1) M gọi mơđun CS thỏa mãn điều kiện C1 (2) M gọi mơđun liên tục thỏa mãn điều kiện C1 C2 (3) M gọi mơđun tựa liên tục thỏa mãn điều kiện C1 C3 Định nghĩa 1.9: Cho R-môđun M Z (M )  {m  M / mK  0, K e R} Nếu Z (M )  M M gọi mơđun suy biến Nếu Z (M )  M gọi môđun không suy biến Vành R gọi không suy biến phải môđun RR môđun không suy biến Định nghĩa 1.10: Môđun E gọi bao nội xạ môđun M E nội xạ E cốt yếu M Kí hiệu E ( M ) SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp Mệnh đề 2.2: Nếu K  M tồn L  M cho: (1) L mơđun đóng M (2) L  K e M Chứng minh: Xét tập hợp  {H  M / H cực đại với tính chất H  K  0} Ta thấy  (1) Lấy L  Gọi N môđun M cho L e N Giả sử N  L , ta có L  K  Vì L cực đại nên N  K  Mà N  K  N L e N nên ( N  K )  L  N  ( K  L)  Điều vơ lí L  K  Do N  L Vậy L mơđun đóng M (2) Lấy  N  M , giả sử N  ( L  K )  N  L  N K  Chúng ta chứng minh ( N  L)  K  k  N  L k  ( N  L)  K   k  K  k  n  l (n  N , l  L)  n  k  l Khi đó, ta có n  K  L n  N nên n   k  l   k  l  Vậy ( N  L)  K  Lúc đó, L cực đại nên L  N  L  N  Điều trái giả thiết Do N  ( L  K )  Vậy L  K e M SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp Mệnh đề 2.3: Cho M R-môđun ICE-nội xạ E  End (M ) J(E) Jacobson E Khi J  E   {f  E , Ker f e M } E / J  E  vành quy Von Neumann Chứng minh: Đặt H = {f  E : Ker f cốt yếu M}, ta có H iđêan E Lấy f  H , d  E Đặt u   df x  Ker f  Ker u  x  Ker f  f ( x)     x  Ker u (1  df )( x)   f ( x)   x0  x  d ( f ( x))  Vậy Kef f  Ker u  Vì Ker f e M Ker u  M nên Ker u  Vì u: M  uM đẳng cấu nên ta có ánh xạ ngược v: uM  M Từ uM  M M môđun ICE-nội xạ nên tồn tự đồng cấu đồng cấu h M cho h uM  v , mà vu  nên hu  Do H  J ( E ) Bây giờ, lấy  g  E / J ( E) , g  J ( E ) điều cho thấy g  H Cho K môđun đóng khác khơng M, theo Mệnh đề 2.2 L  Ker g  K môđun cốt yếu M Xét đồng cấu: h  g |K : K  h( K ) Vì L  Ker g  K nên Ker g  K  Do Ker h  suy h đơn cấu Xét tương ứng r : h( K )  K h(k ) SVTH: Khổng Hồng Phương k Trang 16 Khóa luận tốt nghiệp Lấy x1, x2  h( K ) cho x1  h(k1 ), x2  h(k2 ) với k1, k2  K Giả sử x1  x2  h(k1 )  h(k2 )  k1  k2  r ( x1 )  r ( x2 ) (do h đơn cấu) Vậy r ánh xạ Với x1, x2  h( K ) cho x1  h(k1 ), x2  h(k2 ) với k1, k2  K Ta có: r ( x1  x2 )  r (h(k1 )  h(k2 ))  r (h(k1  k2 ))  k1  k2  r (h(k1))  r (h(k2 )) Với x  h( K ) cho x  h(k ) với k  K p  R Ta có: r ( xp)  r (h(k ) p)  r (h(kp))  kp  r (h(k )) p  r ( x) p Vậy r đồng cấu Với x  h( K ) cho x  h(k ) với k  K Giả sử r ( x)   r (h(k ))   k   x  Vậy r đơn cấu Im r  { y  K / y  r ( x), x  g ( K )} ={y  K / y  r ( g (k )), k  K} ={y  K / y  k , k  K}  K Vậy r toàn cấu Vậy r đẳng cấu hay h( K ) K Xét biểu đồ gồm đồng cấu: SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp đó, i : h( K )  M đơn cấu tắc r : h( K )  K đẳng cấu Vì M R-mơđun ICE-nội xạ nên tồn tự đồng cấu t : M  M cho ti  r Khi đó, x  K , tg (k )  rg (k )  rh(k )  k x  L  x  a  k (a  Ker g , k  K ) Xét: ( gtg  g )(a  k )  ( gtg  g )(a )  ( gtg  g )(k )  g[(tg  1)k ]   a  k  Ker ( gtg  g )  x  Ker ( gtg  g )  L  Ker ( gtg  g ) Ta có: L  Ker ( gtg  g )  M Vì L e M nên Ker ( gtg  g ) e M Khi gtg  g  H  J ( E) Vậy E / J  E  vành quy Ta chứng minh J ( E )  H Giả sử tồn z  J ( E), z  H Từ giả thiết suy tồn b  E cho zbz  z  H Từ bz  J ( E ) , tồn a  E cho (1  bz)a  Vậy z  z(1  bz)a  ( z  zbz)a  H , điều mâu thuẫn Mệnh đề 2.4: Cho R vành ICE-nội xạ phải Khi đó: (1) Ta đặt J ( R) Jacobson R Z ( R)  {r  R / rK  0, K e R} Khi R / Z ( R) vành quy Von Neumann Z ( R)  J ( R) (2) Nếu A iđêan R cho A không suy biến Khi đó, A vành quy Von Neumann Chứng minh: SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp (1) Ta chứng minh dựa vào Mệnh đề 2.3 (2) Ta đặt rR (a)  {x  R / ax  0} Nếu  a  A K iđêan khác rR (a)  K iđêan cốt yếu R, từ A khơng suy biến theo (2), ta có a  aba với bR Đặt c  bab c  A a  ab(aba)  aca , điều chứng tỏ A vành quy Von Neumann Mệnh đề 2.5: Cho R vành Notherian phải Khi điều kiện sau tương đương: (1) R vành Artinian phải (2) Mỗi vành nguyên tố R vành ICE-nội xạ Chứng minh: (1)  (2) Hiển nhiên (2)  (1) Nếu R vành nguyên tố, từ R vành Notherian phải ta có Z ( R)  Vậy R vành quy theo Mệnh đề 2.3 Từ R vành Notherian phải, ta có R vành Artinian đơn Ta giả sử, R vành nguyên tố Với iđêan nguyên tố khác không P R, theo [1, Lemma 18.34B] ta có vành R/P Artinian phải Vậy R vành Artinian phải Mệnh đề 2.6: Nếu M R-mơđun ICE-nội xạ đẳng cấu môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M Chứng minh: SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang 19 Khóa luận tốt nghiệp Cho N mơđun M đẳng cấu với S, M  S  D Nếu j : N  M đơn cấu tắc, g : N  S đẳng cấu, p : M  S phép chiếu tắc g mở rộng thành tự đồng cấu h M Xét biểu đồ sau: với n  N h(n)  g (n) g 1 phj (n)  g 1 pg (n)  g 1g (n)  n Vậy g 1 ph : M  N cho g 1 phj  , điều chứng tỏ N hạng tử trực tiếp M Bổ đề 2.6.1: Cho M R-môđun phải Nếu A  N  M A  M A  N Chứng minh: Vì A  M nên B  M : M  A  B , nghĩa M  A  B A B  Ta có: N  M  N  ( A  B)  N  A  ( B  N ) mà A  ( B  N )  Do đó, N  A  ( B  N ) Vậy A  N Mệnh đề 2.7: Nếu R-môđun thỏa mãn điều kiện C2 thỏa mãn điều kiện C3 SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 20 Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh:  N  M  Cho  K  M Ta phải chứng minh N  K  M N  K   Do N  M nên N '  M : M  N  N ' Đặt  : M  N ' phép chiếu với Ker   N Nếu k  K k  n  n ' (n  N , n '  N ')  (k )  n ' N  K  N   ( K ) Chúng ta chứng minh: N   ( K )  M Ta có:  |K : K   ( K ) đơn cấu, K  ( K ) Vì M thỏa mãn điều kiện C2 nên  ( K )  M Ta lại có  ( K )  N ' nên theo Bổ đề 2.6.1 suy tồn môđun W M cho N '   ( K )  W Ta M  N   ( K )  W Vậy M thỏa mãn điều kiện C3 Mệnh đề 2.8: Nếu mơđun M ICE-nội xạ M mơđun CS M tựa liên tục M liên tục Chúng ta chứng minh: Nếu mơđun M ICE-nội xạ M môđun CS M liên tục () Hiển nhiên () Giả sử A B A  M Theo Mệnh đề 2.6, mơđun M ICE-nội xạ nên B  M Do đó, M thỏa mãn điều kiện C2 Vậy M môđun liên tục Chúng ta chứng minh: M tựa liên tục M liên tục SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 21 Khóa luận tốt nghiệp () Theo Mệnh đề 2.7, ta có M liên tục M tựa liên tục () Giả sử A B A  M Theo Mệnh đề 2.6, mơđun M ICE-nội xạ nên B  M Do đó, M thỏa mãn điều kiện C2 Vậy M môđun liên tục j' j Mệnh đề 2.9: Cho dãy khớp   M   N R-mơđun, N nội xạ M  N ICE-nội xạ Khi đó, M ICE-nội xạ Hơn nữa, M nội xạ Chứng minh: Ta có: S  M  N ICE-nội xạ nên theo Mệnh đề 2.1 ta suy M ICE-nội xạ j' j Xét dãy khớp   M   N , ta có Im j '  Ker j  nên j đơn cấu biểu đồ gồm đồng cấu, u : M  S đơn cấu tắc, p : S  M tồn cấu tắc, i : M  M ánh xạ đồng nhất, j : M  N t : N  S Ta có M S  M  N mơđun ICE-nội xạ Do đó, ta có htj  ui , suy phtj  pui  i Ta đặt g  pht : N  M , ta gj SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 22 Khóa luận tốt nghiệp ánh xạ đồng Điều chứng tỏ M hạng tử trực tiếp N Vì N nội xạ nên M nội xạ Ta biết vành R di truyền mơđun thương R-môđun nội xạ nội xạ tổng hai R-mơđun nội xạ nội xạ Xét mệnh đề sau: Mệnh đề 2.10: Các điều kiện sau tương đương với vành R cho: (1) R vành di truyền phải (2) Mọi môđun thương R-môđun phải nội xạ ICE-nội xạ (3) Tổng hai môđun R-môđun phải nội xạ ICE-nội xạ (4) Tổng hai môđun nội xạ đẳng cấu R-môđun phải ICE-nội xạ Chứng minh: (1)  (2) : Hiển nhiên (2)  (3) : Giả sử M1 M2 hai môđun nội xạ R- mơđun M Ta có M1  M môđun nội xạ Ta xét f : M1  M  M1  M (m1, m2 ) m1  m2 Khi f tồn cấu Ta có Ker f  M1  M Ta (M1  M ) / ( Ker f ) M1  M Từ (2), ta có (M1  M ) / ( Ker f ) môđun ICE-nội xạ nên M1  M môđun ICE-nội xạ (3)  (4) : Hiển nhiên SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 23 Khóa luận tốt nghiệp (4)  (2) : E Giả sử E R-môđun nội xạ N R-môđun Đặt V  {(n, n) U / n  N} , U  EE, U U /V E1  {(e,0) U / e  E} E2  {(0, e) U / e  E} Khi ta có U  E1  E2 Ei E ( i  1, ), theo (4) U môđun ICE-nội xạ Ta có E1  E2  nên E2 hạng tử trực tiếp U , mà ta lại có U / E1 E2 suy U / E1 hạng tử trực tiếp U Vậy U / E1 môđun ICE-nội xạ Bây giờ, ta xét tương ứng f : E / N  U / E1 e N (0, e)  E1 Ta dễ dàng chứng minh f đẳng cấu Vậy E / N U / E1 nên E / N môđun ICE-nội xạ (2)  (1) : Cho M R-môđun nội xạ N mơđun M Ta có i : M / N  M đơn cấu tắc, M nội xạ M / N ICE-nội xạ Do M  (M / N ) ICE-nội xạ Theo Mệnh đề 2.9, ta M / N nội xạ Mệnh đề 2.11: Các điều kiện sau tương đương với vành R cho: (1) R vành nửa đơn Artinian phải (2) Mọi R-môđun ICE-nội xạ (3) RR ICE-nội xạ tổng trực tiếp hai R-môđun ICE-nội xạ ICE-nội xạ (4) Một R-mơđun phẳng ICE-nội xạ (5) RR ICE-nội xạ môđun ICE-nội xạ nội xạ SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang 24 Khóa luận tốt nghiệp (6) Bất kì tổng trực tiếp R-môđun xạ ảnh Rmôđun tựa nội xạ ICE-nội xạ Chứng minh: Các chứng minh: (1)  (2)  (3) , (5)  (1) , (1)  (4),(5),(6) hiển nhiên (3)  (1) : Cho M R-mơđun ICE-nội xạ, theo (3) ta có E (M )  M mơđun ICE-nội xạ Do đó, theo Mệnh đề 2.9 M môđun nội xạ Vậy với R-môđun ICE-nội xạ ta chứng minh mơđun nội xạ nên RR nội xạ Ta có R-mơđun tựa nội xạ ICE-nội xạ, tổng trực tiếp hai R-môđun tựa nội xạ nội xạ Theo [2, Corollary 2.4], ta R vành nửa đơn Artinian phải (4)  (1) : Cho M R-mơđun ICE-nội xạ Khi đó, M E ( M ) môđun phẳng nên E (M )  M phẳng Vậy theo (4) E (M )  M ICE-nội xạ theo Mệnh đề 2.9, ta suy M nội xạ Ta biết rằng, R-môđun xạ ảnh R-môđun phẳng Theo (4) cách chứng minh trên, ta suy R-môđun nội xạ Vậy R vành tựa Frobenius [1, Theorem 24.10] Ta lại có, R-mơđun đơn R-mơđun ICE-nội xạ nên R-mơđun nội xạ Vậy R V-vành phải Vậy R vành nửa đơn Artinian phải (6)  (1) : Theo Mệnh đề 2.9, ta chứng minh R- mơđun xạ ảnh mơđun nội xạ Do đó, R vành tựa Frobenius Như vậy, với môđun đơn S, E ( S ) bao xạ ảnh S, theo (6) ta có S  E (S ) môđun ICE-nội xạ Chứng minh tương tự S SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 25 Khóa luận tốt nghiệp môđun nội xạ Vậy R V-vành phải Từ ta có R vành nửa đơn Artinian phải Mệnh đề 2.12: Các điều kiện sau tương đương: (1) Tổng trực tiếp R-môđun ICE-nội xạ ICE-nội xạ (2) R vành QI phải R-môđun ICE-nội xạ nội xạ Chứng minh: (2)  (1) : Hiển nhiên (1)  (2) : Theo Mệnh đề 2.9, từ điều kiện (1), ta chứng minh R-mơđun ICE-nội xạ nội xạ Ta biết rằng, Rmôđun tựa nội xạ ICE-nội xạ, mơđun nội xạ Vậy R vành QI phải Mệnh đề 2.13: Các điều kiện sau tương đương: (1) Bất kì R-môđun ICE-nội xạ nội xạ (2) Tổng trực tiếp hai R-mơđun ICE-nội xạ ICE-nội xạ (3) Tổng trực tiếp R-môđun ICE-nội xạ ICE-nội xạ Chứng minh: (3)  (2)  (1) : Dựa vào Mệnh đề 2.12 (1)  (3) : Ta biết rằng, R-môđun tựa nội xạ ICE-nội xạ, từ điều kiện (1) ta có R vành QI phải Theo Mệnh đề 2.12, ta suy tổng trực tiếp R-môđun ICE-nội xạ ICE-nội xạ Mệnh đề 2.14: Các điều kiện sau tương đương với vành R cho: (1) R vành Notherian phải có R-mơđun p-nội xạ nội xạ SVTH: Khổng Hồng Phương Trang 26 Khóa luận tốt nghiệp (2) Mỗi R-môđun p-nội xạ nội xạ (3) Mỗi R-môđun p-nội xạ tựa nội xạ (4) Mỗi R-môđun p-nội xạ ICE-nội xạ Chứng minh: (1)  (2)  (3)  (4) : Hiển nhiên (4)  (1) : Giả sử M môđun p-nội xạ, E ( M ) bao nội xạ M Nếu S  M  E (M ) S mơđun p-nội xạ Từ (4) ta S môđun ICE-nội xạ Từ Mệnh đề 2.8, ta suy M môđun nội xạ Ta có tổng trực tiếp R-mơđun p-nội xạ p-nội xạ nên tổng trực tiếp R-môđun nội xạ p-nội xạ Do tổng trực tiếp Rmôđun nội xạ nội xạ Vậy R vành Notherian phải Ta biết rằng, R vành Noetherian di truyền giao hốn R-mơđun p-nội xạ nội xạ Từ đó, ta có kết sau: Mệnh đề 2.15: Các điều kiện sau tương đương với vành giao hoán R: (1) R Noetherian di truyền phải (2) Tổng hai R-môđun phải p-nội xạ ICE-nội xạ (3) Tổng hai R-mơđun phải p-nội xạ p-nội xạ ICE-nội xạ Chứng minh: (1)  (2)  (3) : Hiển nhiên (3)  (1) : Theo Mệnh đề 2.13, từ điều kiện (3) ta dễ dàng thấy R vành Noetherian di truyền phải SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang 27 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu hệ thống hóa số kết sau: Trình bày định nghĩa số tính chất mơđun ICE-nội xạ Hệ thống hóa số kết mơđun:  Nếu M R-mơđun ICE-nội xạ đẳng cấu mơđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (Mệnh đề 2.6)  Nếu môđun M ICE-nội xạ M mơđun CS M tựa liên tục M liên tục (Mệnh đề 2.8) Kết chứng minh từ kết có g' g  Cho dãy khớp   M   N R-mơđun, N nội xạ M  N ICE-nội xạ Khi đó, M ICE-nội xạ Hơn nữa, M nội xạ (Mệnh đề 2.9) Đây tiêu chí để chứng minh môđun tựa nội xạ, xạ ảnh môđun nội xạ  Tính chất vành di truyền (Mệnh đề 2.10)  Đưa số điều kiện đủ để tổng trực tiếp R-môđun ICE-nội xạ R-môđun ICE-nội xạ (Mệnh đề 2.12, 2.13, 2.14, 2.15) SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang 28 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Faith, Algebra I: Ring theory, Grundhehren 191, Springer Verlag, 1976 [2] Koehler, A quasi-projective and direct sums, America, 1970, 24(4), 655-658 [3] Weimin Xue, Characterization of rings direct-projective modules direct-injective modules, J.Pure and Appl Alg 1993, 87(1), 99-104 [4] Yu Zenghai, On the generalization of injectivity and Von Neumann regularity, Journal of Math, 1997, 183-188 [5] Yue Chi Ming, On self-injectivity and strong regularity, Acta Sci Math, 1984, 277-288 SVTH: Khổng Hoàng Phương Trang 29 ... niệm, tính chất môđun ICE- nội xạ Môđun ICE- nội xạ trường hợp tổng quát môđun nội xạ vành quy Von Neumann Mơđun ICE- nội xạ dùng để nghiên cứu vành quy Von Neumann, vành di truyền vành Artinian Đó... với vành R cho: (1) R vành nửa đơn Artinian phải (2) Mọi R -môđun ICE- nội xạ (3) RR ICE- nội xạ tổng trực tiếp hai R -môđun ICE- nội xạ ICE- nội xạ (4) Một R-mơđun phẳng ICE- nội xạ (5) RR ICE- nội xạ. .. với vành R cho: (1) R vành di truyền phải (2) Mọi môđun thương R -môđun phải nội xạ ICE- nội xạ (3) Tổng hai môđun R -môđun phải nội xạ ICE- nội xạ (4) Tổng hai môđun nội xạ đẳng cấu R -môđun phải ICE- nội