Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THẾ HẢI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ VÀ VÀNH LIÊN QUAN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 62460104 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Người hướng dẫn khoa học 2: TS BÀNH ĐỨC DŨNG HUẾ - NĂM 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu viết riêng viết chung với đồng tác giả Các kết nghiên cứu nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác PHAN THẾ HẢI LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, Đại học Huế TS Bành Đức Dũng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, người Thầy nghiêm khắc mẫu mực, người tận tình dạy bảo, hướng dẫn, cổ vũ động viên suốt trình học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ Kỳ Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường Đại học Kazan, Liên bang Nga tạo điều kiện thuận lợi cho sang thực tập, nghiên cứu thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ Nhĩ Kỳ) từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga) Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trương Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng có nhiệt tình giúp đỡ trao đổi chuyên môn trình học tập, nghiên cứu trình viết chỉnh sửa luận án Tôi xin chân thành cảm ơn tất bạn bè anh chị em nghiên cứu sinh động viên cổ vũ trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình đồng cảm chia sẻ khó khăn suốt thời gian làm nghiên cứu sinh hoàn thành luận án Cảm ơn hy sinh vợ hai con, họ chỗ dựa tinh thần vững giúp vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án PHAN THẾ HẢI MỤC LỤC Kiến thức chuẩn bị 16 1.1 Một số kí hiệu khái niệm 16 1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh số mở rộng môđun nội xạ 19 1.3 Vành Artin, Noether số lớp vành quan trọng khác 23 1.4 Môđun nửa đơn vành Artin nửa đơn 26 Môđun giả nội xạ cốt yếu 30 2.1 Định nghĩa ví dụ 30 2.2 Các kết liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu 32 Môđun ADS tổng quát 48 3.1 Định nghĩa ví dụ 48 3.2 Các kết liên quan đến môđun ADS tổng quát 50 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 4.2 Đặc trưng số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn điều kiện (C) Tài liệu tham khảo 64 64 82 94 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU [1] Tài liệu số mục "Tài liệu tham khảo" N Tập hợp số tự nhiên Z Vành số nguyên Q, R Trường số hữu tỷ, số thực (tương ứng) |X| Bản số tập hợp X E(M ) Bao nội xạ môđun M EndR (M ) Vành tự đồng cấu R-môđun M Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng) Mn (R) Vành ma trận vuông cấp n lấy hệ tử vành R MR (R M ) M R-môđun phải, trái (tương ứng) M (I) M (tổng trực tiếp |I| môđun M ) i∈I MI M (tích trực tiếp |I| môđun M ) i∈I N ≤M N môđun môđun M N [...]... là: Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ và CS Ngoài các tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ cốt yếu nếu vành EndR (M ) là giả nội xạ cốt yếu phải Cho R là một vành. .. là Mj -nội xạ với mọi i, j = 1, 2, , n M n là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ với mọi 1 ≤ n ∈ N Bao nội xạ của môđun M là một môđun nội xạ N cùng với một đơn cấu cốt yếu ι : M → N Lúc này, người ta vẫn thường gọi N là bao nội xạ của M và ký hiệu là N = E(M ) Hơn nữa, mọi môđun được nhúng cốt yếu vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội xạ Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun. .. với mọi i ∈ N Một R -môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập tất cả các môđun con của M thỏa mãn DCC 1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ Cho M , N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu f : A → N , f¯ : M → N Khi đó người ta gọi f¯ là một mở rộng của đồng cấu f hoặc f mở rộng được đến... trình của mình, các tác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự của môđun tựa liên tục Nhiều kết quả thú vị liên quan đến môđun này đã được nghiên cứu trong [7] và [35] Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật thiết đến định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N là 11 các môđun và X = N ⊕ M thì N là M -giả nội xạ cốt yếu nếu và. .. (hoặc f mở rộng được đến M ) nếu f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ A Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh Một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Nếu môđun M là M -nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ Nếu... được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R -môđun phải (trái) nhúng được vào một môđun tự do Như vậy, nếu mỗi R -môđun phải nhúng được vào một môđun tự do thì R là vành QF Một câu hỏi được đưa ra ở đây là: Nếu mỗi R -môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì R có phải là vành QF hay không? Vành R mà mỗi Rmôđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì được gọi là vành FGF Do... rộng của môđun C2, đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C) Việc nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để từ đó đặc trưng một số lớp vành quen thuộc Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) được Nakayama giới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía Một trong những kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun. .. điều kiện (C) để đặc trưng vành được chúng tôi quan tâm trong phần cuối của luận án này Khi R là vành chính quy (theo nghĩa von Neumann), một số tính chất của R -môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.2.2 Khi R là vành di truyền, một kết quả quan trọng đã biết là, vành R là di truyền nếu và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R -môđun phải nội xạ là nội xạ Trong Định lý 4.2.4, chúng... khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15) Trong trường hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R -môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn khi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16) Ngoài các tính chất liên quan đến vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan đến vành. .. và môđun nội xạ liên quan đến vành QF là định lý Faith-Walker Định lý được phát biểu rằng: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R -môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R -môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QF đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Cuốn sách chuyên khảo [33] được xem là cuốn sách chứa đầy đủ thông tin nhất về vành QF Vào năm 1967,