BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ VĂN THƯỜNG MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HELLY Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ VĂN THƯỜNG
MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐỊNH LÝ HELLY
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC HẢI
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa được công bố trong bất kì công trình nào khác
Học viên
Lê Văn Thường
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo, TS Nguyễn Ngọc Hải, tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc cũng như nguyện vọng được tiếp tục nghiên cứu toán dưới sự hướng dẫn của thầy
Tôi xin được trình bày lòng biết ơn đến quý thầy giáo đã giảng dạy lớp cao học toán khóa 21 của trường Đại học sư phạm Huế cũng như toàn thể quý thầy cô trong khoa toán trường Đại học sư phạm Huế vì sự giảng dạy nhiệt tình, sự quan tâm, khích
lệ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH, phòng sau ĐH trường ĐHSP Huế, Sở Giáo Dục, Sở Khoa Học Công Nghệ tỉnh Đồng Nai, Trường ĐH Đồng Nai, Trường THCS-THPT Huỳnh Văn Nghệ đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của mình
Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và biết ơn đến gia đình, tất cả người thân bạn
bè, vì sự quan tâm động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua
Học viên
Lê Văn Thường
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 4MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
LỜI CAM ĐOAN ii
LỜI LỜI CẢM ƠN iii
MỤC LỤC 1
LỜI MỞ ĐẦU 2
Chương 1 ĐỊNH LÝ HELLY 4
1.1.Kiến thức chuẩn bị 4
1.2.Định lý Helly 8
1.3.Một số chứng minh của Định lý Helly 10
1.3.1 Dùng định lý tách chứng minh Định lý Helly 10
1.3.2 Dùng Định lý Carathéodory chứng minh Định lý Helly 12
Chương 2 MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ HELLY 15
2.1.Các bất đẳng thức hàm lồi và định lý Helly 15
2.2.Các định lý kiểu Helly 20
Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HELLY 24
3.1.Ứng dụng của định lý Helly trong hình học tổ hợp 24
3.2.Định lý Chebyshev về xấp xỉ 29
3.3.Ứng dụng của định lý Helly trong tối ưu 35
3.4.Ứng dụng của định lý Helly trong toán phổ thông 37
KẾT LUẬN 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 5LỜI MỞ ĐẦU
Định lý Helly là một trong những định lý nổi tiếng nhất của hình học tổ hợp Nó
có một phát biểu đơn giản như sau: Cho F là một họ hữu hạn những tập lồi trong Rn
với ít nhất n + 1 tập Nếu mọi họ con gồm n + 1 tập lồi của F đều có giao không rỗng thì cả họ F sẽ có giao không rỗng Định lý Helly là cơ sở chứng minh cho nhiều định
lý quan trọng trong giải tích lồi như các định lý Jung, Krasnosselsky, trong hình học
tổ hợp như định lý Kirchberger, trong lý thuyết xấp xỉ như định lý Chebyshev, Ngay trong hình học sơ cấp, nhiều bài toán cũng có thể giải được nhờ áp dụng Định
lý Helly
Đặc biệt đây là định lý của toán học hiện đại nhưng lại có ứng dụng trong việc giải toán ở bậc phổ thông Vì vậy, sau khi tìm hiểu sơ lược và được sự gợi ý của thầy giáo TS Nguyễn Ngọc Hải, tôi đã quyết định chọn đề tài “Một số mở rộng và ứng dụng của định lý Helly” làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ của mình
Về nội dung, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba chương Phần chính của luận văn là chương 2 và chương 3
Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả trong giải tích lồi và một số kiến thức liên quan khác cần thiết cho các chương sau Sau đó, chúng tôi trình bày Định lý Helly cùng một vài biến thể của nó
Chương 2 chúng tôi trình bày các mở rộng của định lý Helly gồm những điều kiện đảm bảo cho giao của một họ tập hợp là khác rỗng và trình bày những kết quả có dạng chung sau đây: Nếu tất cả các tập lồi của họ F đều có tính chất (P ) thì giao của họ
F là không rỗng và cũng có tính chất (P )
Trong chương 3 trước tiên chúng tôi sẽ trình bày những kết quả tương đối đa dạng trong giải tích lồi, hình học tổ hợp, lý thuyết xấp xỉ, Một số kết quả phát biểu
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 6thông mà việc dùng định lý Helly để giải sẽ cho một cái nhìn tổng quát hoặc đơn giản hơn so với những cách giải đơn lẻ khác
Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi kính mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô
và bạn đọc
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Demo Version - Select.Pdf SDK