Một số kinh nghiệm trong ứng dụng của Định lý Vi-et cho phương trình bậc hai_SKKN toán THPT

Trong chương trình Đại số 10 chương 3 có bài :”Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai ”.Học sinh đã được học ở lớp 9_THCS rất kỹ,đặc biệt là ứng dụng của định lý Viet đ

TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HOÁ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET CHO PHƯƠNG TRÌNH

BẬC HAI ”.

Người Thực Hiện : VŨ XUÂN ĐÔNG

Chức Vụ : GIÁO VIÊN SKKN : MÔN TOÁN

Tổ : TỰ NHIÊN

THANH HOÁ NĂM 2013

A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Trong chương trình Đại số 10 chương 3 có bài :”Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai ”.Học sinh đã được học ở lớp 9_THCS

rất kỹ,đặc biệt là ứng dụng của định lý Viet để tính tổng các biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn và xét dấu các nghiệm của nó.Tuy nhiên phần lớn Học sinh ở các Trung tâm GDTX chưa hiểu được bản chất ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai.Ở Trunh tâm GDTX_DN Hoằng hoá đối với khối 10 mỗi lớp chỉ có 01 đến 02 em là hiểu sơ qua cách giải một số bài toán dễ của dạng này.Còn lại hầu hết các em không nhớ cả cách giải phương trình bậc hai chứ nói gì đến nhớ ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai.Chính vì thế nên khi gặp các bài toán ứng dụng của định lý Viet để biện luận dấu các nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số nào đó hầu hết các em không biết làm.Vì vậy nên Tôi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm trong ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học

B.NỘI DUNG ĐỀ TÀI.

1.Cơ sở lý luận.

Môn Toán là một trong những môn khoa học cơ bản và khoa học ứng

dụng.Chính vì vậy đòi hỏi Người học nói chung và Học sinh nói riêng phải

nắm vững kiến thức một cách hệ thống và lôgic qua từng lớp học,từng cấp học đã trải qua.Do đó để học tốt Môn Toán nói riêng và các Môn khoa học nói chung đòi hỏi Người học,Học sinh phải hiểu bản chất của kiến thức được lĩnh hội qua từng bài học.Từ đó Học sinh mới khắc sâu và vận dụng tri thức vào giải các bài tập ứng dụng được dễ dàng

2.Thực trạng của vấn đề.

Trong chương trình Toán học ở cấp Trung học cơ sở Bộ GD_ĐT có xuất bản

“Vở bài tập Toán”,chủ yếu Học sinh làm bài tập dưới dạng điền vào chỗ còn thiếu

để hoàn thành bài tập về nhà theo định hướng cho trước Vì vậy Học sinh ở THCS thụ động trong việc chiếm lĩnh tri thức,chưa phát huy được tính tích cực,sáng tạo của Học sinh trong việc giải một bài toán nào đó

Họcsinh bị động chỉ có thể suy nghĩ theo một hương nào đó mà các tác giả viết sách đã viết.Do đó phần lớn Học sinh cấp 2 chưa hiểu được bản chất của kiến thức được lĩnh hội.Chính vì vậy mà hầu hết các Trung tâm GDTX thường đón nhận Học sinh vào trường là những Học sinh học lực trung bình hoặc yếu kém,thậm chí có những em còn kém cả về đạo đức.Các em yếu về kiến thức lẫn kĩ năng vận

dụng ,nên thi vào lớp 10 các em thường đạt điểm thấp hoặc thậm chí có em bị điểm liệt

Do đầu vào kiến thức của các em hổng nhiều nên thực tế khi học có những bài dài,nội dung kiến thức nhiều Giáo Viên hướng dẫn các em tự đọc SGK thì phần lớn HS làm bài tập vận dụng kiến thức đó còn kém.Điều này thể hiện rất rõ khi HS học bài :”Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai một ẩn“.Đây

Năm học : 2012 - 2013

2

là kiến thức HS đã được học ở lớp 9 ,lên lớp 10 chủ yếu là ôn lại nhưng phần lớn

HS quên cách giải phương trình bậc nhất,bậc hai.Đặc biệt là vấn đề ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai có chứa tham số để tính giá trị các biểu thức tổng ,hiệu có tính đối xứng của các nghiệm phương trình đó.Vì ôn lại nội dung đã được học ở lớp 9 nên SGK Đại số 10 ban cơ bản cũng viết sơ lược và cho ít bài tập vận dụng do giảm tải nên bỏ bớt đi những bài tập dạng này.Tuy nhiên Trong SBT

cơ bản ,SGK và SBT nâng cao vẫn cho rất nhiều bài tập ứng dụng nội dung

này.Chính vì vậy mà Tôi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm trong ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học

3.Giải pháp thực hiện.

*Do cả bài: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai ,cả lý

thuyết và bài tập có 4 tiết nên nội dung đề tài này được áp dụng trong các tiết học phụ đạo ,dưới dạng các chuyên đề

*Về kiến thức cần ghi nhớ:

+Định lý Viet:”Nếu phương trình ax2 bx c  0(a 0) có 2 nghiệm x x1 , 2 thì

1 2

1 2

b

x x

a

c

x x

a





 





 



” + Các Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (HĐT)

2 2

a b a ab b

a b a b a b

a b a a b ab b

a b a b a ab b

*Các dạng bài tập vận dụng:

@ Dạng 1: Không giải phương trình hãy tính các biểu thức là

tông,hiệu,tổng bậc 2,bậc 3,dạng đối xứng của các ngiệm phương trình bậc hai Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường không khó,HS chỉ cần nhớ định

lý Viet và các HĐT rồi vận dụng làm là được,đây là dạng bài tập dễ nhất,HS trung

bình cũng làm được.

Ví dụ 1: Không giải phương trình ,giả sử phương trình 3x2  5x 2 0 có 2 nghiệm ,hãy tính tổng các lập phương các nghiệm của phươnh trình.

Cách giải: Theo đề bài gọi x x1, 2 là các nghiệm của pt 3x2  5x 2 0

theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2

5 3 2

3

x x

x x



 









Năm học : 2012 - 2013

3

Theo đề ta có S  x13 x23 Từ HĐT

a b 3 a33a b2 3ab2 b3 a3b33 (ab a b )

Áp dụng ta có :

3

S  x  x  x  x  x x x  x            

Ví dụ 2:Không giải pt, giả sử phương trình x2  2x 15 0 có 2 nghiệm

1, 2

x x ,hãy tính tổng A x 14 x24.

Cách giải: Theo đề bài gọi x x1, 2 là các nghiệm của pt x2  2x 15 0

theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

2 15

x x

x x

 









Áp dụng HĐT a b 2 a2 2ab b 2  a2 b2 (a b )2  2ab

hai lần ta có:

   

 

2

2

2 2 15 2.( 15) 706

@ Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm thoã mãn một hệ thức đối xứng của các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường không khó,HS chỉ cần nhớ định

lý Viet và các HĐT rồi vận dụng làm giải pt theo tham số ngược lại với Dạng 1 là

được,đây là dạng bài tập dễ nhất,HS trung bình cũng làm được.

Ví dụ 3:Tìm m để pt x2  4x m  1 0 có 2 nghiệm x x1, 2 thoã mãn điều kiện: x13 x23 40.

Cách giải: Theo đề bài gọi x x1, 2 là các nghiệm của pt x2  4x m  1 0

theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

4

x x

x x m

 





 



Theo Ví dụ 1 ta có :

1 2 ( 1 2) 3 1 2( 1 2) 4 3( 1).4

Năm học : 2012 - 2013

4

theo đề bài x13 x32 40  76 12  m 40  36 12  m m 3

Ví dụ 4:Tìm m để pt (m1)x2(3m 1)x2m 2 0 có 2 nghiệm x x1, 2

thoã mãn điều kiện: x1 x2  3,Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Nhận xét; Đây là bài tập tương đối dễ,các em Hs chỉ cần áp dụng định lý Viet và

kết hợp với giả thiết cho là giải tìm m rồi thay m giải pt tìm x là xong

Cách giải: Theo đề bài gọi x x1, 2 là các nghiệm của pt

2

(m1)x (3m 1)x2m 2 0

theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2

(3 1) 1

2 2

1

m

x x

m m

x x

m

 



 







(1)

Theo đề ta có

x  x  (2)

Từ (1) và (2) ta có : (3 1) 3 3 1 3( 1) 6 2 1

m

m

          

 Thay 1

3

m vào pt đã cho ta được pt:2 2 8

3x  x 3 giải pt ta được 2 nghiệm 1

4

x

x





 



Ví dụ 5: Với giá trị nào của tham số k thì pt : x2 (4k 1)x2(k  4) 0 có 2 nghiệm mà hiệu của chúng bằng 17.

Nhận xét: Đây là bài tập đòi hỏi HS phải biết suy luận ngoài việc nắm vững nội

dung định lý Viet thì HS còn phải biết vận dụng các HĐT thành thạo ,đặc biệt phải đưa HĐT Từ bình phương của hiệu về HĐT bình phương của tổng mớ có thể giải được.Vì vậy bài toán này đối với HS khá ,giỏi ở hệ GDTX cũng khó,do đó GV nên hướng dẫn cho HS hiểu và vận dụng để những bài tương tự các em có thể làm được

Cách giải: giả sử pt x2(4k1)x2(k 4) 0 có 2 nghiệm x x1, 2 và x1  x2

áp dụng định lý Viet cho pt trên ta có: 1 2

1 2

(4 1) 2( 4)

x x k

  





 

 (3) theo đề bài

2

Thay (3) và (4) ta có :

Năm học : 2012 - 2013

5

 

 2

2

4 1 4.2( 4) 289

@.Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm trái dấu Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường không khó,HS phải hiểu được bản

chất của pt có 2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định

lý Viet giải tìm giá trị của tham số là được

Ví dụ 6:Tìm m để pt 3x2  2(m1)x3m 5 0 có 2 nghiệm trái dấu.

Cách giải: Giả sử x x1, 2 là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo đề bài ta có x x 1 2 0

Mà theo định lý Viet ta lại có

1 2

1 2

2( 1) 3

3 5

3

m

x x

m

x x





 









Từ đó suy ra : 3 5 0 3 5 0 3 5 5

m



Ví dụ 7:Tìm k để pt kx2  2(k 1)x k  1 0 (5) có 2 nghiệm x x1, 2 thoã mãn điều kiện : x1  1 x2

Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất

của pt có 2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định lý

Viet giải tìm giá trị của tham số là được,hoặc xét dấu tích của 2 hiệu giữa 2 nghiệm của pt với 1

Cách giải 1: Giả sử x x1, 2 là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo đề bài ta có

x  x Nếu đặt x=y+1 thì pt (5.) đã cho trở thành pt ẩn y như sau:

2 2 2 2

ky ky k ky k y k

ky y

(6)

Lập luận do pt (5.) có 2 nghiệm thoã mãn đk:x1 1 x2

nên pt (6.) có 2 nghiệm thoã mãn đk: y1  1 1 y2  1 y1  0 y2

từ đó cách giải đơn giản hơn là chỉ tìm k để pt (6.) có 2 nghiệm trái dấu ,tức là

1 2 0

Năm học : 2012 - 2013

6

Cách giải 2: Giả sử x x1, 2 là 2 nghiệm của pt trên

khi đó theo điịnh lý Viet ta có

1 2

1 2

2( 1)

1

k

x x

k k

x x

k





 







 



theo đề bài ta có x1 1 x2

1

2

1 2 1 2

1 0

1 1 0

1 0 ( ) 1 0

1 2( 1)

1 0

x

x

x x x x

k

 



 



    

    

@.Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất

của pt có 2 nghiệm dương phân biệt hoặc 2 nghiệm âm phân biệt,từ đứ suy ra dấu của tổng và tích 2 nghiệm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị của tham số là được.Tuy nhiên GV nên nhắc HS phải xét thêm cả biệt thức delta không âm là điều kiện để pt bậc 2 có 2nghiệm

Ví dụ 8:Tìm m để pt x2  6mx 2 2m9m2 0 (5) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Cách giải :GV gợi ý cho HS phân tích đề bài Đk để pt bậc 2 nghiệm phân biệt là

Vậy điều kiện cần là m >1

Khi pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì yêu ccầu HS nêu định lý Viet ta có hệ:

2

1 2

6

2 2 9

 





  



theo đề suy ra

2

1 2

0

0

0

17 1

m m

x x

m







 Kết hợp điều kiện để pt có nghiệm thì m>1 mới thoã mãn đề bài

Nhận xét : Đối với dạng toán này GV nên dạy sau khi HS học xong định lý về dấu của tam thức bậc hai thì các em mới hiểu và vận dụng giải bài tập được chính xác.

Năm học : 2012 - 2013

7

Ví dụ 9:Tìm m để pt x2 2(m1)x9m 5 0 (7) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Cách giải :

Khi pt đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt thì yêu ccầu HS nêu định lý Viet ta

có hệ:

1 2

1 2

6 1

1

m m

m

 



 

Bài tập mở rộng (Đối với HS khá giỏi).

Bài toán biện luận số nghiệm cũng như dấu của phương trình bậc 4 trùng

phương Dạng : ax4  bx2   c 0( a  0).

Nhận xét : Để làm được bài toán trên đòi hỏi HS phải hiểu được bản chất của 3

Dạng vừa trình bày ở trên.Ngoài ra còn yêu cầu HS lập luận chặt chẽ và lôgic các bước phân tích bài toán cũng như khi giải nó

GV hướng dẫn HS đặt ẩn phụ t x t  2(  0) từ đó đưa bài toán về giải và biện luận nghiệm và dấu các nghiệm của pt bậc hai tương ứng là : 2

0( 0).

at bt c  a đơn giản hơn.cụ thể chúng ta cùng phân tích và giải minh hoạ 2 trường hợp riêng của bài toán trên như sau:

Ví dụ 9: Tìm m để pt x4  (1 2 )  m x2 m2  1 0  (*) vô nghiệm.Cách giải: Đặt

2( 0)

t  x t  khi đó pt (*) trở thành ptt2  (1 2 )  m t m 2  1 0  (**) Để pt(*)vô

nghiệm thì pt(**) phải thoã mãn điều kiện:

2

vonghiem

co nghiemam







2

2

1 2

2

1 2

3 4 2 0 (1 2 ) ( 1) 0

3 4 2 0 (1 2 ) ( 1) 0

1

1 2

1

vonghiem

m

m

   







      







      



   



  





 Vậy khi m >1 pt đã cho vô nghiệm

Ví dụ 10:Tìm m để pt (m 1)x4  mx2 m2  1 0  (I có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

Năm học : 2012 - 2013

8

Đặt t  x t2(  0)khi đó pt (I.) trở thành pt (m 1)t2  mt m 2  1 0 (II)

Để pt (I) có đúng 3 nghiệm phân biệt thì pt(II) có 2 nghiệm thoã mãn :

1 2

1 2

1 0

1

1

1

m

m

m













Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho trên có 3 nghiệm phân biệt,trong đó 1 nghiệm bằng 0 và 2 nghiệm còn lại là 2 số đối nhau do từ chỗ đặt ẩn phụ t suy ra nghiệm x của pt ban đầu

Nhận xét : Bằng cách phân tích tương tự 2 bài toán trên chúng ta có thể dễ dàng rút ra cách giải biện luận theo tham số nào đó số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương ở trên.Do chương trình cắt giảm tải nên Tôi đưa ra ứng dựng này để mong mọi người bàn bạc xem đề tài này có đi sâu vào phân tích những kiến thức quá tầm nhận thức của HS cấp 3 chăng.

4.Kiểm nghiệm

Khi áp dụng đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy thì cần

lưu ý đối với GV ,nhiệm vụ của GV là người định hướng cho HS phân tích yêu cầu của từng bài toán liên quan về dấu các nghiệm thì HS sẽ khắc sâu được kiến thức

mà không học theo kiểu dập khuân,máy móc.Có như vậy mới tạo cho HS sự tích cực trong việc xây dựng và lĩnh hội kiến thức mới của các bài học mới ,hình thành trong các em phương pháp suy nghĩ tương tự ,giúp các em hiểu sâu ,nhớ lâu kiến thức cũ,liên hệ và nắm bắt kiến thức mới nhanh nhạy và sáng tạo hơn

Nhận xét : Đề tài này đã được bản thân Tôi tiến hành dạy thực nghiệm trong 3

năm học gần đây,và đã đem lại kết quả cao trong việc giảng dạy.Cụ thể trong năm học 2012-2013 vừa qua tại 3 lớp 10 Trung tâm GDTX_DN Hoằng hoá gồm 2 lớp dạy thực nghiệm là lớp 10A,10B,và 1 lớp đối chứng đều học chương trình chuẩn kiến thức,và có năng lực trong đợt thi khảo sát chất lượng đầu năm là tương đối như nhau

Lớp thực nghiệm giảng dạy theo nghiên cứu của đề tài,còn lớp đối chứng tiến hành dạy thông thường.Sau quá trình dạy học hết chương 3 “phương trình và hệ phương trình “GV đã tiến hành kiểm tra 2 bài một bài 15 phút và một bài 45 phút cho 3 lớp dạy với đề kiểm tra như nhau,kết quả thu được như bảng sau:

a.)kết quả bài kiểm tra 15 phút:

Đề Bài:

Câu 1: Xác định các giá trị của tham số m để hiệu các nghiệm của pt

2 4 9( 1) 2 0

x  mx m  bằng 4.

Năm học : 2012 - 2013

9

Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để pt mx  2x 4m 1 0 

có 2 nghiệm trái dấu.

Kết quả : (thể hiện dưới bảng sau).

Điểm

Lớp

Lớp 10A

thực

nghiệm

10B

Lớp đối

chứng

b.)kết quả bài kiểm tra 45 phút:

Đề Bài:

Câu 1: Không giải phương trình,hãy xét dấu các nghiệm của pt sau(nếu có):

2  3 x  2 1  3 x  1 0.

Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để pt 2

4 1 0

x  x m   có 2 nghiệm

x x thoã mãn điều kiện: x13  x23 40

Câu 3: Tìm m để pt : x2  (4m 1)x 2m 1 0  có 2 nghiệm âm phân biệt.

Kết quả : (thể hiện dưới bảng sau).

Điểm

Lớp

Lớp 10A

thực

nghiệm

10B

Lớp đối

chứng

c.)kết quả 2 bài kiểm tra trên: Qua kết quả của 2 bài kiểm tra trên cho

thấy:”Lớp thực nghiệm hiểu rõ bản chất của định lý Viet hơn lớp đối chứng”.

GV thực hiện kiểm tra kiến thức đã học liên quan đến đề tài theo nhiều hình thức khác nhau,thể hiện trong quá trình tham gia xây dựng bài mới của HS,trong việc kiểm tra bài cũ của HS cho thấy HS các lớp thực nghiệm nắm kiến thức tốt hơn và vững chắc hơn so với HS lớp đối chứng Không những vậy mà lớp thực nghiệm

Năm học : 2012 - 2013

10