Một số kinh nghiệm trong ứng dụng của Định lý Vi-et cho phương trình bậc hai_SKKN toán THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ” Người Thực Hiện : VŨ XUÂN ĐÔNG Chức Vụ : GIÁO VIÊN SKKN : MƠN TỐN Tổ : TỰ NHIÊN THANH HỐ NĂM 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XN ĐƠNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Đại số 10 chương có :”Một số phương trình quy phương trình bậc nhất,bậc hai ”.Học sinh học lớp 9_THCS kỹ,đặc biệt ứng dụng định lý Viet để tính tổng biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai ẩn xét dấu nghiệm nó.Tuy nhiên phần lớn Học sinh Trung tâm GDTX chưa hiểu chất ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai.Ở Trunh tâm GDTX_DN Hoằng hố khối 10 lớp có 01 đến 02 em hiểu sơ qua cách giải số tốn dễ dạng này.Cịn lại hầu hết em khơng nhớ cách giải phương trình bậc hai nói đến nhớ ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai.Chính nên gặp toán ứng dụng định lý Viet để biện luận dấu nghiệm phương trình bậc hai theo tham số hầu hết em khơng biết làm.Vì nên Tơi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học B.NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận Mơn Tốn môn khoa học khoa học ứng dụng.Chính địi hỏi Người học nói chung Học sinh nói riêng phải nắm vững kiến thức cách hệ thống lôgic qua lớp học,từng cấp học trải qua.Do để học tốt Mơn Tốn nói riêng Mơn khoa học nói chung địi hỏi Người học,Học sinh phải hiểu chất kiến thức lĩnh hội qua học.Từ Học sinh khắc sâu vận dụng tri thức vào giải tập ứng dụng dễ dàng 2.Thực trạng vấn đề Trong chương trình Toán học cấp Trung học sở Bộ GD_ĐT có xuất “Vở tập Tốn”,chủ yếu Học sinh làm tập dạng điền vào chỗ thiếu để hoàn thành tập nhà theo định hướng cho trước Vì Học sinh THCS thụ động việc chiếm lĩnh tri thức,chưa phát huy tính tích cực,sáng tạo Học sinh việc giải tốn Họcsinh bị động suy nghĩ theo hương mà tác giả viết sách viết.Do phần lớn Học sinh cấp chưa hiểu chất kiến thức lĩnh hội.Chính mà hầu hết Trung tâm GDTX thường đón nhận Học sinh vào trường Học sinh học lực trung bình yếu kém,thậm chí có em cịn đạo đức.Các em yếu kiến thức lẫn kĩ vận dụng ,nên thi vào lớp 10 em thường đạt điểm thấp chí có em bị điểm liệt Do đầu vào kiến thức em hổng nhiều nên thực tế học có dài,nội dung kiến thức nhiều Giáo Viên hướng dẫn em tự đọc SGK phần lớn HS làm tập vận dụng kiến thức cịn kém.Điều thể rõ HS học :”Một số phương trình quy phương trình bậc nhất,bậc hai ẩn“.Đây kiến thức HS học lớp ,lên lớp 10 chủ yếu ôn lại phần lớn Năm học : 2012 - 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XUÂN ĐƠNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ HS qn cách giải phương trình bậc nhất,bậc hai.Đặc biệt vấn đề ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai có chứa tham số để tính giá trị biểu thức tổng ,hiệu có tính đối xứng nghiệm phương trình đó.Vì ơn lại nội dung học lớp nên SGK Đại số 10 ban viết sơ lược cho tập vận dụng giảm tải nên bỏ bớt tập dạng này.Tuy nhiên Trong SBT ,SGK SBT nâng cao cho nhiều tập ứng dụng nội dung này.Chính mà Tơi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học 3.Giải pháp thực *Do bài: Một số phương trình quy phương trình bậc nhất,bậc hai ,cả lý thuyết tập có tiết nên nội dung đề tài áp dụng tiết học phụ đạo ,dưới dạng chuyên đề *Về kiến thức cần ghi nhớ: +Định lý Viet:”Nếu phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có nghiệm x1 , x2 −b  x1 + x2 =   a  ”  x x = c  a  + Các Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (HĐT) (a ± b) = a ± 2ab + b a − b = (a + b)(a − b) (a ± b)3 = a ± 3a 2b + 3ab ± b3 a ± b3 = (a ± b)(a m + b ) ab *Các dạng tập vận dụng: @ Dạng 1: Không giải phương trình tính biểu thức tơng,hiệu,tổng bậc 2,bậc 3,dạng đối xứng ngiệm phương trình bậc hai Nhận xét: Đối với tập dạng thường khơng khó,HS cần nhớ định lý Viet HĐT vận dụng làm được,đây dạng tập dễ nhất,HS trung bình làm Ví dụ 1: Khơng giải phương trình ,giả sử phương trình x − x − = có nghiệm ,hãy tính tổng lập phương nghiệm phươnh trình Cách giải: Theo đề gọi x1 , x2 nghiệm pt x − x − =  x1 + x2 =   theo định lý Viet ta có:   x x = −2   Năm học : 2012 - 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XUÂN ĐÔNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ 3 Theo đề ta có S = x1 + x2 Từ HĐT ( a + b) = a + 3a 2b + 3ab + b = a + b3 + 3ab(a + b ) ⇒ a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) Áp dụng ta có : 5  −2  215 S = x + x = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) =  ÷ −  ÷ = 3   27 3 Ví dụ 2:Khơng giải pt, giả sử phương trình x − x − 15 = có nghiệm x1 , x2 ,hãy tính tổng A = x14 + x2 Cách giải: Theo đề gọi x1 , x2 nghiệm pt x − x − 15 =  x1 + x2 = theo định lý Viet ta có:   x1.x2 = −15 Áp dụng HĐT ( a + b ) = a + 2ab + b ⇒ a + b = (a + b)2 − 2ab hai lần ta có: 2 A = x14 + x2 = ( x12 ) + ( x2 ) = ( x12 + x2 )2 − x12 x2 ( = [ x1 + x2 ] − x1 x2 2 ) − ( x1 x2 ) = ( 22 − ( −15 ) ) − 2.( −15) = 706 @ Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để pt bậc hai có nghiệm thỗ mãn hệ thức đối xứng nghiệm không phụ thuộc vào tham số Nhận xét: Đối với tập dạng thường khơng khó,HS cần nhớ định lý Viet HĐT vận dụng làm giải pt theo tham số ngược lại với Dạng được,đây dạng tập dễ nhất,HS trung bình làm Ví dụ 3:Tìm m để pt x − x + m − = có nghiệm x1 , x2 thoã mãn điều 3 kiện: x1 + x2 = 40 Cách giải: Theo đề gọi x1 , x2 nghiệm pt x − x + m − =  x1 + x2 = theo định lý Viet ta có:   x1.x2 = m − Theo Ví dụ ta có : x13 + x2 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = 43 − 3( m − 1).4 = 64 − 12m + 12 = 76 − 12m Năm học : 2012 - 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XN ĐƠNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ 3 theo đề x1 + x2 = 40 ⇒ 76 − 12m = 40 ⇔ 36 = 12m ⇔ m = Ví dụ 4:Tìm m để pt (m + 1) x + (3m − 1) x + m − = có nghiệm x1 , x2 thoã mãn điều kiện: x1 + x2 = ,Tính nghiệm trường hợp Nhận xét; Đây tập tương đối dễ,các em Hs cần áp dụng định lý Viet kết hợp với giả thiết cho giải tìm m thay m giải pt tìm x xong Cách giải: Theo đề gọi x1 , x2 nghiệm pt (m + 1) x + (3m − 1) x + 2m − = theo định lý Viet ta có: −(3m − 1)  x1 + x2 =   m +1   x x = 2m −  m +1  (1) Theo đề ta có x1 + x2 = (2) −(3m − 1) −1 = ⇒ −3m + = 3(m + 1) ⇔ −6m = ⇒ m = Từ (1) (2) ta có : m +1 Thay m = −1 vào pt cho ta pt: x − x − = giải pt ta nghiệm 3  x = −1 x =  Ví dụ 5: Với giá trị tham số k pt : x + (4k + 1) x + 2( k − 4) = có nghiệm mà hiệu chúng 17 Nhận xét: Đây tập địi hỏi HS phải biết suy luận ngồi việc nắm vững nội dung định lý Viet HS phải biết vận dụng HĐT thành thạo ,đặc biệt phải đưa HĐT Từ bình phương hiệu HĐT bình phương tổng mớ giải được.Vì toán HS ,giỏi hệ GDTX khó,do GV nên hướng dẫn cho HS hiểu vận dụng để tương tự em làm Cách giải: giả sử pt x + (4k + 1) x + 2(k − 4) = có nghiệm x1 , x2 x1 < x2  x1 + x2 = −(4k + 1) áp dụng định lý Viet cho pt ta có:  (3) x1.x2 = 2(k − 4)  theo đề x2 − x1 = 17 ⇔ ( x2 − x1 ) = 17 ⇔ x12 − x1 x2 + x2 = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 289 (4) Thay (3) (4) ta có : Năm học : 2012 - 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XUÂN ĐÔNG ( − [ 4k + 1] ) TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HOÁ − 4.2( k − 4) = 289 ⇔ 16k + 8k + − 8k + 32 = 289 ⇔ 16k = 256 ⇔ k = 16 ⇔ k = ±4 @.Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để pt bậc hai có nghiệm trái dấu Nhận xét: Đối với tập dạng thường khơng khó,HS phải hiểu chất pt có nghiệm trái dấu tích nghiệm pt số âm áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị tham số Ví dụ 6:Tìm m để pt x − 2(m + 1) x + 3m − = có nghiệm trái dấu Cách giải: Giả sử x1 , x2 nghiệm pt theo đề ta có x1 x2 < 2(m − 1)  x1 + x2 =   Mà theo định lý Viet ta lại có   x x = 3m −   3m − 5 < ⇔ 3m − < ⇔ 3m < ⇔ m < Từ suy : 3 Ví dụ 7:Tìm k để pt kx − 2(k + 1) x + k + = (5) có nghiệm x1 , x2 thỗ mãn điều kiện : x1 < < x2 Nhận xét: Đối với tập dạng thường khó,HS phải hiểu chất pt có nghiệm trái dấu tích nghiệm pt số âm áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị tham số được,hoặc xét dấu tích hiệu nghiệm pt với Cách giải 1: Giả sử x1 , x2 nghiệm pt theo đề ta có x1 < < x2 Nếu đặt x=y+1 pt (5.) cho trở thành pt ẩn y sau: k ( y + 1) − 2(k + 1)( y + 1) + k + = ⇔ k ( y + y + 1) − 2(ky + k + y + 1) + k + = ⇔ ky + 2ky + k − 2ky − 2k − y − + k + = ⇔ ky − y − = (6) Lập luận pt (5.) có nghiệm thỗ mãn đk: x1 < < x2 nên pt (6.) có nghiệm thỗ mãn đk: y1 + < < y2 + ⇔ y1 < < y2 từ cách giải đơn giản tìm k để pt (6.) có nghiệm trái dấu ,tức y1 y2 < mà theo định lý Viet ta có y1 y2 = −1 −1 ⇒ y1 y2 < ⇔ 0 k k Năm học : 2012 - 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XN ĐƠNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ Cách giải 2: Giả sử x1 , x2 nghiệm pt 2(k + 1)   x1 + x2 =  k theo điịnh lý Viet ta có  x x = k +1  k  x −1 < ⇒ ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) <  x2 − > ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + < theo đề ta có x1 < < x2 k + 2(k + 1) − +1 < k k k + − 2k − + k −1 ⇔ m > m <    ⇔  m > −1 ⇔  m > −1 ⇔   x1 + x2 = 2( m + 1) >  < m   5 9  m > m > 9    Bài tập mở rộng (Đối với HS giỏi) Bài toán biện luận số nghiệm dấu phương trình bậc trùng phương Dạng : ax + bx + c = 0(a ≠ 0) Nhận xét : Để làm toán đòi hỏi HS phải hiểu chất Dạng vừa trình bày trên.Ngồi cịn u cầu HS lập luận chặt chẽ lôgic bước phân tích tốn giải GV hướng dẫn HS đặt ẩn phụ t = x (t ≥ 0) từ đưa tốn giải biện luận nghiệm dấu nghiệm pt bậc hai tương ứng : at + bt + c = 0(a ≠ 0) đơn giản hơn.cụ thể phân tích giải minh hoạ trường hợp riêng tốn sau: Ví dụ 9: Tìm m để pt x + (1 − 2m) x + m − = (*) vô nghiệm.Cách giải: Đặt t = x (t ≥ 0) pt (*) trở thành pt t + (1 − 2m)t + m − = (**) Để pt(*)vơ vonghiem nghiệm pt(**) phải thoã mãn điều kiện:  co 2nghiemam 3m − 4m + <    ∆ = (1 − 2m) − (m − 1) <  3m − 4m + >   ∆ = (1 − 2m) − (m − 1) >   ⇔   vonghiem   t + t = − 2m < ⇔ ⇔ m >1 1  m >  m >     t1.t2 = m − >  m >    m < −1  Vậy m >1 pt cho vô nghiệm Ví dụ 10:Tìm m để pt (m − 1) x − mx + m − = (I có nghiệm phân biệt Cách giải: Năm học : 2012 - 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XN ĐƠNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ Đặt t = x (t ≥ 0) pt (I.) trở thành pt (m − 1)t − mt + m − = (II) Để pt (I) có nghiệm phân biệt pt(II) có nghiệm thoã mãn : m  m > t1 + t2 = >0    m −1 = t1 < t2 ⇔  ⇔   m < ⇔ m = −1 m2 − t t = m = −1 = m +1 =   m −1  Vậy m = -1 phương trình cho có nghiệm phân biệt,trong nghiệm nghiệm lại số đối từ chỗ đặt ẩn phụ t suy nghiệm x pt ban đầu Nhận xét : Bằng cách phân tích tương tự tốn dễ dàng rút cách giải biện luận theo tham số số nghiệm phương trình bậc trùng phương trên.Do chương trình cắt giảm tải nên Tôi đưa ứng dựng để mong người bàn bạc xem đề tài có sâu vào phân tích kiến thức tầm nhận thức HS cấp 4.Kiểm nghiệm Khi áp dụng đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy cần lưu ý GV ,nhiệm vụ GV người định hướng cho HS phân tích u cầu tốn liên quan dấu nghiệm HS khắc sâu kiến thức mà khơng học theo kiểu dập khn,máy móc.Có tạo cho HS tích cực việc xây dựng lĩnh hội kiến thức học ,hình thành em phương pháp suy nghĩ tương tự ,giúp em hiểu sâu ,nhớ lâu kiến thức cũ,liên hệ nắm bắt kiến thức nhanh nhạy sáng tạo Nhận xét : Đề tài thân Tôi tiến hành dạy thực nghiệm năm học gần đây,và đem lại kết cao việc giảng dạy.Cụ thể năm học 2012-2013 vừa qua lớp 10 Trung tâm GDTX_DN Hoằng hoá gồm lớp dạy thực nghiệm lớp 10A,10B,và lớp đối chứng học chương trình chuẩn kiến thức,và có lực đợt thi khảo sát chất lượng đầu năm tương đối Lớp thực nghiệm giảng dạy theo nghiên cứu đề tài,còn lớp đối chứng tiến hành dạy thơng thường.Sau q trình dạy học hết chương “phương trình hệ phương trình “GV tiến hành kiểm tra 15 phút 45 phút cho lớp dạy với đề kiểm tra nhau,kết thu bảng sau: a.)kết kiểm tra 15 phút: Đề Bài: Câu 1: Xác định giá trị tham số m để hiệu nghiệm pt x − 4mx + 9( m − 1) = Năm học : 2012 - 2013 GIÁO VIÊN: VŨ XUÂN ĐÔNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HOÁ Câu 2: Xác định giá trị tham số m để pt mx − x − 4m − = có nghiệm trái dấu Kết : (thể bảng sau) Điểm Lớp Lớp 10A 0 0 thực nghiệm 10B 0 0 Lớp đối chứng 10C 0 10 10 Sỉ số 12 45 10 11 44 12 0 46 b.)kết kiểm tra 45 phút: Đề Bài: Câu 1: Khơng giải phương trình,hãy xét dấu nghiệm pt sau(nếu có): ( − ) x2 + ( − ) x + = Câu 2: Xác định giá trị tham số m để pt x − x + m − = có nghiệm x1 , x2 thoã mãn điều kiện: x13 + x2 + 40 Câu 3: Tìm m để pt : x + (4m + 1) x + 2m − = có nghiệm âm phân biệt Kết : (thể bảng sau) Điểm Lớp Lớp 10A 0 0 thực nghiệm 10B 0 0 Lớp đối chứng 10C 0 10 16 8 10 Sỉ số 13 17 45 10 12 44 0 46 c.)kết kiểm tra trên: Qua kết kiểm tra cho thấy:”Lớp thực nghiệm hiểu rõ chất định lý Viet lớp đối chứng” GV thực kiểm tra kiến thức học liên quan đến đề tài theo nhiều hình thức khác nhau,thể trình tham gia xây dựng HS,trong việc kiểm tra cũ HS cho thấy HS lớp thực nghiệm nắm kiến thức tốt vững so với HS lớp đối chứng Không mà lớp thực nghiệm Năm học : 2012 - 2013 10 GIÁO VIÊN: VŨ XUÂN ĐƠNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ cịn nắm bắt kiến thức cách hệ thống lơgic hơnqua q trình nhận thức tốn có nội dung liên quan đến đề tài nghiên cứu khoa học C.KẾT LUẬN * Kết áp dụng đề tài vào giảng dạy cho thấy:HS nắm vững kiến thức lập luận lôgic giải tập có liên quan đến nội dung đề tài * Đề tài tạo điều kiện cho GV với HS trình giảng dạy,vận dụng phương pháp xây dựng cho nội dung kiến thức mới.Việc đưa đề tài khai thác trình dạy học tạo phát triển tư lơgic HS có tính kế thừa kiến thức trước * Để khắc sâu kiến thức cho HS điều quan trọng GV hỗ trợ nhằm phát huy khả em việc xây dựng lĩnh hội kiến thức học sau.HS tích cực nắm bắt nội dung kiến thức ,hiểu rõ chất tốn ,từ học ngày giỏi *Việc so sánh kết giảng dạy lớp thực nghiệm lớp đối chứng cho thấy:Lớp thực nghiệm học theo chương trình tự chọn hợp lý phát huy hết khả hơn.Trong trình học tập em lý thuyết bổ sung dần áp dụng vào toán cụ thể ,như em chủ động việc tìm tịi lĩnh hội kiến thức * Thực tế áp dụng đề tài trình giảng dạy lớp 10 qua năm học gần Tôi nhận rằng:Việc áp dụng đề tài vào q trình giảng dạy có tác dụng phát triển tốt tư lực sáng tạo HS trình lĩnh hội kiến thức học tập * Do điều kiện thời gian nên đề tài tập trung khai thác số nội dung ,có chỗ chưa thể sâu Hệ thống tập bổ sung thêm q trình giảng dạy.Có thể viết hạn chế nhiều mong đ/c đồng nghiệp Ban giám khảo đọc góp ý thêm cho Tơi để đề tài ứng dụng rộng Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận BGĐ Thanh hố,ngày 15 tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết,khơng chép nội dung người khác Người viết Vũ Xuân Đông Năm học : 2012 - 2013 11 GIÁO VIÊN: VŨ XUÂN ĐƠNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HỐ D.TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Tài liệu Bồi Dưỡng Giáo viên thực chương trình SGK lớp 10 THPT Mơn Tốn - Nhà xuất Giáo dục - Năm 2006 2) Phương pháp dạy học Mơn Tốn - Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thuỵ Nhà xuất Giáo dục - Năm 2005 3).Phương pháp giải Toán trọng tâm - Phan Huy Khải - Nhà xuất ĐHSP - Năm 2010 4) SGK Đại số nâng cao 5) SBT Đại số nâng cao Năm học : 2012 - 2013 12 GIÁO VIÊN: VŨ XUÂN ĐÔNG TRUNG TÂM GDTX_DN HOẰNG HOÁ Năm học : 2012 - 2013 13 ... cách giải số tốn dễ dạng này.Cịn lại hầu hết em khơng nhớ cách giải phương trình bậc hai nói đến nhớ ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai.Chính nên gặp toán ứng dụng định lý Viet để... Viet để biện luận dấu nghiệm phương trình bậc hai theo tham số hầu hết em khơng biết làm.Vì nên Tơi chọn đề tài:? ?Một số kinh nghiệm ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên... cách giải phương trình bậc nhất ,bậc hai.Đặc biệt vấn đề ứng dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai có chứa tham số để tính giá trị biểu thức tổng ,hiệu có tính đối xứng nghiệm phương trình đó.Vì