SKKN Ứng dụng định lý vi ét trong giải toán đại số 9

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HỒI NHƠN TRƯỜNG THCS HOÀI HƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Họ tên: Lê Văn Chung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: THCS Hồi Hương SKKN thuộc mơn: Tốn Học Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ A/ MỞ ĐẦU I/ đặt vấn đề 1/ Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải Nâng cao chất lượng dạy học nói chung chất lượng dạy học Tốn học nói riêng nhiệm vụ quan trọng giáo viên Toán học trường THCS Trong dạy học Tốn học, nâng cao chất lượng dạy học phát triển lực nhận thức học sinh nhiều biện pháp nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp có ưu điểm riêng, nên địi hỏi giáo viên phải biết lựa chọn, phối hợp phương pháp cách thích hợp để chúng bổ sung cho nhau, nhằm giúp học sinh phát huy tối đa khả tư độc lập, tư logic tư sáng tạo Dạy tốn dạy cho người học có lực trí tuệ, lực giúp cho người học kiến thức khác tự nhiên xã hội, dạy tốn khơng đơn dạy cho học sinh nắm kiến thức, khái niệm, định lý toán học Trong xu hướng chung năm gần việc đổi dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực, nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp không giảng lý thuyết, mà luyện tập Luyện tập việc rèn kĩ tính tốn, kĩ suy luận mà cần có tập mở, tập nâng cao cho học sinh khá, giỏi xếp cách có hệ thống giúp học sinh củng cố vận dụng kiến thức cách động sáng tạo Trong chương trình đại số 9, định lý Vi ét phần kiến thức bản, quan trọng Nó giúp ta giải nhiều dạng tập liên quan đến phương trình bậc 2, hệ phương trình… Tuy nhiên việc vận dụng định lý nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn, tập nâng cao dành cho học sinh khá, giỏi Nhiều em gặp nhiều lúng túng vận dụng định lý vào dạng tập cực trị, bất đẳng thức, hệ phương trình, tập liên quan đến hàm số Nếu giải tốt vấn đề góp phần lớn Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ việc phát triển trí lực học sinh Cũng giúp em tự tin thi, thi HSG cấp 2/ Ý nghĩa tác dụng giải pháp Giúp cho học sinh phát triển lực nhận thức, rèn trí thơng minh Một tập có nhiều cách giải, ngồi cách giải thơng thường, quen thuộc cịn có cách giải độc đáo, thơng minh, sáng tạo, ngắn gọn xác Việc xây dựng phương pháp giải cho dạng tập giúp học sinh tìm lời giải hay, ngắn gọn, nhanh sở phương pháp giải toán, qui luật chung Toán học biện pháp có hiệu nhằm phát triển tư trí thơng minh cho học sinh, qua góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn trường THCS 3/ Phạm vi nghiên cứu đề tài - Nghiên cứu tìm cách giải khác, ngắn gọn toán -Xây dựng hệ thống tập, cách giải cho dạng toán -Sử dụng tập việc giảng dạy tiết học khóa khơng khóa, bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS - Đề tài tiến hành nghiên cứu đối tượng học sinh lớp II/ Phương pháp tiến hành 1/ Cơ sở lý luận thực tiễn - Trong lý luận phương pháp dạy học tốn ta thấy, mơn tốn thống điều khiển thầy hoạt động học tập trị thực cách quán triệt quan điểm hoạt động Dạy học theo phương pháp phải làm cho người học chủ động suy nghĩ nhiều trình chiếm lĩnh tri thức tốn học - Dạy học tốn thơng qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư quan điểm rằng: dạy toán phải dạy suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo tư phân tích, tổng hợp, khái qt hóa….Trong phân tích, tổng hợp đóng vai trị trung tâm Phải cung cấp cho học sinh tự tìm tịi, tự phát phát biểu vấn đề dự Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ đốn kết quả, tìm hướng giải tốn, hướng chứng minh định lý… - Hình thành phát triển tư tích cực độc lập sáng tạo dạy học toán cho học sinh q trình lâu dài, thơng qua tiết học, nhiều năm học, thông qua tất khâu trình dạy học - Thực tế giảng dạy cho thấy nay, học sinh lười tư trình học tập, việc xây dụng phương pháp học tập đắn cần thiết Vì vậy, việc xây dựng hệ thống tập phù hợp, xây dựng quy trình giải chặt chẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà cịn hồn thiện kỹ hình thành kỹ xảo Điều cần thiết, giúp học sinh giải nhanh, đạt kết tốt trình học tập kì thi 2/ Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp -Nghiên cứu lí thuyết lí luận dạy học tốn học; sách tham khảo định lý vi ét - Dựa vào thực tiễn giảng dạy nhiều năm giáo viên, kinh nghiệm giải pháp rút từ thực tế giảng dạy lớp -Thời gian thực đề tài: năm học từ năm học 2010-2011 đến năm học 2012-2013 B/ NỘI DUNG I/ Mục tiêu - Xây dựng phương pháp giải vận dụng định lý vi ét toán liên quan đến hàm số, cực trị, hệ phương trình - Xây dụng hệ thống tập phù hợp - Cách sử dụng định lý vi ét dạy số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi II/ Mô tả giải pháp đề tài 2.1 thuyết minh tính Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 2.1.1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ET TRONG VIỆC GIẢI BÀI TỐN VỀ HÀM SỐ Bài tốn 1: Cho parabol (P): y=x2 Gọi A B điểm thuộc (P) có hồnh độ -1;2 viết phương trình đường thẳng AB Đây tốn dễ, hầu hết học sinh nhiều tài liệu giải sau: Vì A∈ ( P) xA=-1 => yA =(-1)2=1 A(-1;1) B ∈ ( P ) xB=2 => yB=4 Vậy B(2;4) Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng y=ax+b nên ta có hệ phương trình − a + b = a = ⇔   2a + b = b = Vậy phương trình đường thẳng AB y=x+2 Nếu suy nghĩ đến định lý viet ta có lời giải “đẹp” sau: Phương trình đường thẳng AB có dạng: y=ax+b Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) x2=ax+b ⇔ x2-ax-b=0 (*) ta có xA=-1 ;xB=2 nghiệm phương trình (*) Theo cơng thức định lý vi et ta có:  x A + xB = a   x A xB = −b a=1; b=2 Vậy phương trình đường thẳng AB y=x+2 Bài toán 2: Cho parabol (P) : y= x2 Điểm A (P) có hồnh độ Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A Cũng toán 1, hầu hết học sinh nhiều tài liệu giải sau: Vì A∈ ( P) xA=2 => yA =1 A(2;1) Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y=ax+b(D) Vì A∈ ( D) ta có 2a+b=1 b=1-2a Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Vậy y=ax+1-2a (D) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D) x = ax + − 2a ⇔ x − 4ax − + 8a = ∆ / = 4a + − 8a = ( a − 1) ⇔ ∆ / = ⇔ ( a − 1) = ⇔ a = => b = − 2.1 = −1 (D) tiếp xúc với (P) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y=x-1 Sau lời giải dùng định lý viet Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y=ax+b (D) Phương trình hồnh độ giao điểm (D) (P) là: x2 = ax + b ⇔ x − 4ax − 4b = 0(**) x=2 nghiệm kép phương trình (**)  x1 + x2 = 4a  Mặt khác theo hệ thức viet ta có  x1 x2 = −4b Vì x1=x2 =2 Nên a=1; b=-1 Do phương trình đường thẳng cần tìm y=x-1 Bài Toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=x2 đường thẳng (D): y=mx+1 Xác định m để (D) cắt (P) điểm phân biệt A(xA; yB), B(xB;yB) và: a/ (xA-1)2 +(xB-1)2 đạt giá trị nhỏ b/ Độ dài AB ngắn Hướng Dẫn - Trước tiên ta viết phương trình hồnh độ giao điểm Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt=> (D) cắt (P) điểm phân biệt - Sau sử dụng định lý viet Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D): x2=mx+1 ⇔ x − mx − = Giáo Viên: Lê Văn Chung (*) Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ ∆ = m + > => Phương trình (*) có nghiệm phân biệt, suy (D) (P) cắt điểm phân biệt A(xA; yB), B(xB;yB) , xA;xB nghiệm phương trình (*) Theo hệ thức vi ét, ta có:  x A + xB = m   x A xB = −1 a/ ta có: 2 ( xA − 1) + ( xB − 1) = xA − xA + + xB − xB + = ( x A + xB ) − x A xB − ( x A + x B ) + 2 = m + − 2m + = ( m − 1) + ≥ Dấu “=” xảy m-1=0 ⇔ m=1 Vậy Giá trị nhỏ (xA-1)2 +(xB-1)2 m=1 b/ Vì A;B ∈ (D)=> yA=mxA+1; yB=mxB+1 ( x A − xB ) AB = = ( x A − xB ) 2 (m + ( y A − yB ) = ( x A − xB ) + ( mxA − mxB ) + 1) = ( x A + xB ) − x A xB  ( m + 1)   = (m + ) ( m + 1) ≥ 4.1 = Dấu “=” xảy m=0 Vậy độ dài AB ngắn m=0 2.1.2/ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT TRONG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ Bài số 1: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x - - m = Tìm m cho số nghiệmx1;x2 phương trình thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10 Bài Giải 1 15  ∆ = ( m − 1) + ( m + 3) → ∆ =  m − ÷ + 2 > với m  Xét: , , Phương trình ln có nghiệm phân biệt với m Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Giáo Viên định hướng theo định lý vi et ta có gì?  x1 + x2 = ( m − 1)    x1 x2 = − ( + m )  (I) Từ x12 + x22 ≥ 10ta biến đổi nào? Để sử dụng (I) từ ta biến đổi sau: x12 + x22 ≥ 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≥ 10  + ( m + ) ≥ 10 ⇔  ( m − 1)   ⇔ 4m − m ≥ 9 ⇔ m2 − m + ≥ 16 16   ⇔ m − ÷ ≥  16  3 ⇔ m − ≥ 4 3   m − ≥ m ≥ ⇔  ⇔  3 m − ≤ − m ≤   4 Vậy m ≤ m≥ thỏa mãn yêu cầu toán Bài Tập 2: Cho x;y;z số thực khác thỏa mãn x+y+z = xyz ; x2 = yz Chưng minh : x2 ≥ Gi¶i GV: Cho học sinh thấy chuyển vế  y + z = x3 − x  y + z = xyz − x  ⇔   2  y z = x  y z = x  Khi tốn trở thành tìm số biết tổng tích hai nghiệm chúng Từ học sinh định hướng việc sử dụng định lý vi ét để biến đổi: Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ - Theo định lý vi ét y; z nghiệm phương trình : u2 - (x3 - x)u +x2 = ⇔ u2 + (x-x3)u + x2 = (1) Xét ∆ = x2[(1-x2)2 - 4] (2) Vì phương trình (1) có nghiệm nên ∆≥ x ≠ ta có (1- x2)2 - ≥ ⇔ (1- x2)2 ≥ ⇒ 1-x2 £-2 ⇔ x2 ≥ (đpcm) - Nếu tốn giải theo hướng khác phức tạp nhiều Do việc sử dụng định lý vi ét cách giải hay tốn Các em học sinh qua thấy để giải tốn có nhiều cách giải khác sử dụng cách cho lời giải ngắn gọn xác Bài Tập 3: Cho a + b + c = ab + bc + ca = ( A)  −4 ≤ a; b; c ≤ Chứng minh rằng: Bài Giải Coi c tham số, cịn a;b ẩn ( a + b ) − 2ab = − c ( A) ⇔   c ( a + b ) + ab =  Đặt S=a+b ; P=ab, để có a;b phải có điều kiện S ≥ P S − 2P = − c2  P = − c.S  P = − c.S ⇔ ⇔   S = −c ±  S + 2cS + c − = Ta có c.S + P = Trường hợp 1: P=1-c.S ; S=-c+2=> P =c2-2c+1 Vì S ≥ P nên (2-c) ≥ 4.(c -2c+1) 2 ⇔ 4c − 3c ≥ ⇔ ≤ c ≤ −4 ≤c≤0 Trường hợp 2: P=1-c.S ; S=-c-2 Tương tự suy −4 ≤c≤ Từ suy ra: Giáo Viên: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ −4 ≤ a; b; c ≤ Do hệ (A) vai trò a;b;c nên Bài Tập 4: Biết rằng số x;y thỏa mãn điều kiện x+y=2 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức F=x3+y3 Bài Giải x + y = x + y =  ⇔  3 ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = F x + y = F  Tìm giá trị F để hệ sau có nghiệm: Đặt S=x+y; P=xy S = S =  ⇔ 8− F   S − 3SP = F P =  Ta có 8− F Vậy x;y nghiệm phương trình: t2-2t+ =0 (*) x;y tồn phương trình (*) có nghiệm, tức là: ∆/ ≥ ⇔ 1− 8− F ≥0⇔ F ≥2 Dấu “=” xảy x=y=1 Vậy giá trị nhỏ F x=y=1 Bài Tập Cho a  Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình : x − ax − =0 2a Chứng minh : x14 + x24  + , Dấu Đẳng thức xảy ? Bài Giải  x1 + x2 = a    x1 x2 = − 2a  Áp dụng định lý vi ét ta có: Ta có : x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2(x1x2)2 = {( x1 + x2)2 - 2x1x2 }2 - 2(x1x2)2  1 a + ÷ − a  2a = Giáo Viên: Lê Văn Chung   =  a + ÷+ ≥ a + = + 2a  2a  10 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Vậy x14 + x24  + a4 = Dấu đẳng thức xảy khi: 1 ⇔ a8 = ⇔ a = ± 2a 2 2.1.3 / SỬ DỤNG CÔNG THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong chương trình tốn THCS bạn học sinh thường lúng túng giải hệ phương trình có biểu thức tổng tích ẩn Bài trình bày phương pháp giải hệ phương trình dựa theo cơng thức vi ét Nếu phương trính bậc bốn: x4 +A1x3+A2x2+A3x+A4 =0 (1) có nghiệm x1; x2; x3; x4 có cơng thức vi ét liên hệ nghiệm hệ số phương trình (1) sau: -A1=x1+ x2+ x3+ x4 A2 =x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4 - A3 =x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2 x3x4 A4=x1x2x3x4 (2) Thật x1; x2; x3; x4 nghiệm phương trình(1) nên (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)=0 (3) Khai triển vế trái phương trình (3) so sánh với phương trình (1) ta có cơng thức vi ét (2) Nói riêng, x3=x4=0 phương trình x2 +A1x+A2=0 có nghiệm x1; x2 với công thức vi ét x1+x2=-A1; x1.x2=A2 (4) Nếu x4=0 phương trình x3+A1x2+A2x+A3=0 có nghiệm x1 ;x2; x3 với công thức vi ét : x1+x2+x3=-A1 x1x2+x1x3+x2x3= A2 x1x2x3=-A3 (5) Khi gặp hệ phương trình mà vế phải phương trình số, cịn vế trái có dạng tổng lũy thừa ẩn, ta coi ẩn nghiệm cùa phương trình, sử dụng định lý vi ét để thiết lập phương trình Như ta chuyển việc giải hệ n Giáo Viên: Lê Văn Chung 11 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ phương trình n ẩn giải phương trình bậc n ẩn, phương trình bậc n ẩn giải dễ dàng đo nghiệm hệ n phương trình cho Với hệ phương trình hai ẩn phương pháp hiệu ta đưa phương trình bậc ln giải Bài tốn 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số a:  x + y = 2a − (6)  2  x + y = a + 2a − Bài Giải Ta có x2+y2 =(x+y)2-2xy = A1 − A2 Theo công thức vi ét (4) Ta tính A1=1-2a 2A2 =(1-2a)2 – (a2+2a-3) =3a2 -6a +4 Từ x;y nghiệm phương trình x2 +A1x+A2=0 hay x + ( − 2a ) x + a − 3a + = 2 ∆ = −2a + 8a − (7) Từ : +/ Nếu a < 2− 2 a > 2+ ∆ < nên phương trình (7) vô nghiệm => hệ (6) vô nghiệm +/ Nếu +/ Nếu +/ Nếu a = 2− 3− => x = y = 2 a = 2+ 3+ => x = y = 2 2− 2 < a < 2+ 2 => ∆ > => Phương trình (7) có nghiệm phân biệt => hệ (6) có nghiệm (x;y)  2a − − ∆ 2a − + ∆  ;  ÷  ÷ 2    2a − + ∆ 2a − − ∆  ;  ÷  ÷ 2   Giáo Viên: Lê Văn Chung 12 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Khi hệ phương trình có ẩn chuyển giải phương trình ẩn bậc bậc 4, phương trình có dạng đặc biệt ta tìm nghiệm Bài Tốn 2: Giải hệ phương trình sau: x + y + z =  2  x + y + z = 21  x3 + y + z = 57  (7) Bài giải Coi x;y;z nghiệmx1;x2;x3 phương trình bậc Theo cơng thức vi et (5) ta có S1 =x1+x2+x3 =3 =-A1 => A1=-3 2 S2 = x12 + x2 + x3 = ( x1 + x2 + x2 ) − ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) = A12 − A2 => A2 = A12 − S = − 21 = −12 Ta có => A2 = −6 3 S3 = x13 + x2 + x3 2 = ( x1 + x2 + x3 ) ( x12 + x2 + x3 − x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 ) + 3x1 x2 x3 = − A1 ( S − A2 ) − A3 = − A13 + A1 A2 − A3 => A3 = −57 + 27 + 54 = 24 Ta có S3= => A3 = Như x1;x2;x3 nghiệm phương trình x3- 3x2-6x+8=0 Dễ dàng thấy phương trình có nghiệm x1=1, suy x2=-2; x3=4 Vậy hệ (7) có nghiệm (x;y;z ) (1;-2;4) hoán vị chúng Bài Toán : Giải hệ phương trình sau: x + y + z =  2  x + y + z = 10  x + y + z = 350  (8) Bài giải Coi x;y;z nghiệmx1;x2;x3 phương trình bậc Theo cơng thức vi et (5) ta có S1 =x1+x2+x3 =0=-A1 => A1=0 Tương tự lời giải toán từ phương trình (2) hệ (8) ta có Giáo Viên: Lê Văn Chung 13 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 2 S = x12 + x2 + x3 = 10 = A12 − A2 => A2 = A12 − S = −10 => A2=-5 (9) Tính 3 S3 = x13 + x2 + x3 2 = ( x1 + x2 + x3 ) ( x12 + x2 + x3 − x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 ) + 3x1 x2 x3 = − A1 ( S − A2 ) − A3 = − A13 + A1 A2 − A3 =>S3=-3A3 (10) n n n Đặt Sn = x1 + x2 + x3 Khai triển ( x1 + x2 + x3 ) ( x1n+ + x2n+ + x3n+ ) = Ta - Sn+3=Sn+1A2+Sn.A3 với n ≥ (11) Từ (11); (9) phương trình hệ (8) ta có - S4 =S2A2+S1.A3=-50 (12) Từ (11); (9); (10) ta có - S5 =S3.A2+S2.A3 = 25A3 (13) Từ (11); (12); (13) ta có: - S7 = S5.A2+S4.A3 =175 A3 từ => A3 =-2 Vậy x;y;z nghiệm phương trình: x3 – 5x-2 =0 ⇔ (x+2)(x2-2x-1)=0 Phương trình có nghiệm x1 = −2; x2 = − 2; x3 = + Vậy nghiệm (x;y;z) hệ phương trình (8) ( −2;1 − 2;1 + ) 2.1.4/ Bài Tập Tự Luyện Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=-x2 đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k a/ Viết phương trình dường thẳng (d) Chứng minh vơi giá trị k, (d) cắt (P) điểm phân biệt A B b/Gọi hoành độ A;B x1; x2 Chứng minh x1 − x2 ≥ Giáo Viên: Lê Văn Chung 14 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ c/ Chứng minh tam giác OAB vuông Bài Tập 2: cho (P): y=x2; đường thẳng (d): y=mx+2 Gọi A;B giao điểm (P) (d) Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ Bài Tập 3: Cho hệ phương trình ( x + y ) + 13 = x y   2  xy ( x + y ) = m  a/ Giải hệ phương trình m=-10 b/ Chứng minh không tồn giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Bài tập 4: Giải hệ phương trình  xyzt =  1 1  x + y + z + t = + + + = x y z t   xy + yz + zt + tx =  Bài tập 5: Giải hệ phương trình x + y + z =  2  x + y + z = 18   x+ y+ z =4 Bài Tập 6: cho x;y thỏa mãn x2+y2 =xy-x+2y Chứng minh rằng: −2 3 ≤x≤ 3 Bài Tập 7: a/ Giả sử x1; x2 nghiệm phương trình x2+2kx+4=0 2  x1   x2   ÷ + ÷ ≥ Tìm tất giá trị k thỏa mãn:  x2   x1  Bài tập 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): 2x-y-a2=0 parapol (P): y=ax2 (với a tham số dương) a/ Tìm a để (d) cắt (P) điểm phân biệt A;B Chứng minh A;B nằm bên phải trục tung b/ Gọi u;v theo thứ tự hoành độ A;B Tính giá trị nhỏ biểu thức Giáo Viên: Lê Văn Chung 15 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ T= + u + v uv Bài tập 9: Tìm m để đồ thị hàm số y=x2-2(m+1)x +4 cắt trục hoành điểm A;B phân biệt trục Oy cho SABC=2014 (đvdt) 2.2/ Khả áp dụng -Trong thời gian nghiên cứu đề tài, tiến hành nghiên cứu tập thể lớp nêu Kết cho thấy, việc sử dụng định lý vi ét xây dựng tiết dạy hoạt động khác làm cho học sinh học tập tích cực hơn, khơng khí lớp học sôi nổi, kết kiểm tra đạt chất lượng cao -Toán học môn khoa học tự nhiên nên việc sử dụng giải tập cách có hệ thống trở thành công việc thường xuyên giáo viên học sinh Do đó, việc vận dụng định lý vi ét cách linh hoạt giải tập cách ngắn gọn dễ dàng Sử dụng định lý viet để xây dựng hệ thống tập logic chặt chẽ để bồi dưỡng học sinh giỏi Kết thực đề tài học sinh lớp năm học sau: (khi cho làm khảo sát nội dung trên) Năm học: 2010-2011 20/70 2.3/ Lợi ích kinh tế - Xã hội Năm học: 2011-2012 28/70 Năm học: 2012-2013 36/70 Thực trạng nay, việc xây dựng sử dụng định lý vi ét để tìm phương pháp giải nhanh cho số toán, sử dụng định lý để xây dựng hệ thống tập bồi dưỡng HSG trình giảng dạy giáo viên chưa thương xuyên chưa trở thành phương pháp dạy học tích cực Đề tài góp phần phương pháp hiệu giúp phát triển tư học sinh, tích cực thay đổi phương pháp dạy học giáo viên đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục C/ KẾT LUẬN Đã xây dựng phương pháp sử dụng định lý vi ét cho dạng tập: tập liên quan đến hàm số; tập cực trị; tập giải hệ phương trình Đã xây dựng hệ thống tập để giảng dạy học sinh tự luyện Giáo Viên: Lê Văn Chung 16 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Đã nêu phương pháp hình thức vận dụng tập vận dụng định lý vi ét trình dạy học để đạt hiệu cao Đề tài có tính thực tiễn cao, áp dụng tất hoạt động dạy học giáo viên, tiết học luyện tập, ôn tập Vấn đề quan trọng giáo viên phải chuẩn bị tốt hệ thống tập cách giải có; chuẩn bị tốt hoạt động tiết học đạt kết tốt Hệ thống tập phương tiện để học sinh vận dụng kiến thức học vào thực tế đời sống, củng cố, mở rộng, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kĩ năng, khả sáng tạo, đồng thời để kiểm tra kiến thức, kĩ giáo dục rèn luyện tính kiên nhẫn, tác phong làm việc sáng tạo Tuy nhiên, muốn phát huy hết tác dụng hệ thống tập trình dạy học, giáo viên khơng cần thường xun học tập, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao trình độ chun mơn mà cịn cần tìm tịi, cập nhật phương pháp dạy học phù hợp với xu phát triển giáo dục giới, hoà nhịp với phát triển xã hội Việc nghiên cứu thực lớp giảng dạy năm học bước đầu mang lại hiệu chưa đánh giá tồn diện tác động tích cực khó khăn phát sinh Hi vọng thời gian tới, đề tài tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, tìm phương pháp tốt nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung Trên số giải pháp kinh nghiệm rút từ thực tiễn giảng dạy mơn tốn Trong q trình trình bày cịn số thiếu sót kính mong q thầy đóng góp để đề tài hồn thiện Tơi xin cam đoan đề tài tự viết với kinh nghiệm trình giảng dạy sai thật tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Xin chân thành cảm ơn Hoài Hương, Ngày 27 tháng 02 năm 2014 Người thực Giáo Viên: Lê Văn Chung 17 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Lê Văn Chung Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS HOÀI HƯƠNG TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ (quyển 2), nhà xuất giáo dục 2/ TS Bùi Quang Trường: Những dạng toán điển hình phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức đại số, nhà xuất Hà Nội 3/ Nguyễn Đức Tấn - Vũ Đức Đoàn – Trần Đức Long: Chuyên đề bồi dưỡng HSG tốn THCS: Phương trình bậc hai số ứng dụng, nhà xuất giáo dục việt nam 4/ Vũ Hữu Bình: Nâng cao phát triển toán tập 2, nhà xuất giáo dục việt nam 5/ Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng: 1001 toán sơ cấp, nhà xuất giáo dục việt nam Giáo Viên: Lê Văn Chung 18 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU……………………………………………………………… I ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………………………………… Thực trạng vấn đề………………………………………………… 2 Ý nghĩa tác dụng đề tài………………………………………… 3 Phạm vi nghiên cứu đề tài………………………………………… II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH……………………………………… Cơ sở lí luận thực tiễn……………………………………………… Các biện pháp tiến hành, thời gian thực đề tài…………………… B NỘI DUNG……………………………………………………….…… I MỤC TIÊU…………………………………………………………… II GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI…………………………………………… 2.1 thuyết minh tính …………………………………………………… 2.1.1 Ứng dụng định lý vi et việc giải toán Về hàm số……………4 2.1.2/ Ứng dụng hệ thức vi ét giải toán cực trị ……………….……7 2.1.3 ứng dụng công thức vi ét để giải hệ phương trình……………… ……11 2.1.4 Bài tập tự luyện………………………………………………….………14 2.2 Khả áp dụng……………………………………………………… 15 Giáo Viên: Lê Văn Chung 19 Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ 2.3 Lợi ích kinh tế- xã hội…………………………………….…………… 16 KẾT LUẬN………………………………………………………….…… 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….……18 MỤC LỤC………………………………………………………………… 19 Giáo Viên: Lê Văn Chung 20 Năm Học: 2013-2014 ... II/ Mô tả giải pháp đề tài 2.1 thuyết minh tính Giáo Vi? ?n: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 2.1.1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ET TRONG VI? ??C GIẢI BÀI... số biết tổng tích hai nghiệm chúng Từ học sinh định hướng vi? ??c sử dụng định lý vi ét để biến đổi: Giáo Vi? ?n: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ... với m  Xét: , , Phương trình ln có nghiệm phân biệt với m Giáo Vi? ?n: Lê Văn Chung Năm Học: 2013-2014 SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ Giáo Vi? ?n định hướng theo định lý vi et