SKKN Ứng dụng định lý vi ét trong giải toán đại số 9

Trong dạy học Toán học, chúng ta có thể nâng cao chất lượng dạy học và phát triển năng lực nhận thức của học sinh bằng nhiều biện pháp và nhiều phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp đều

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HOÀI NHƠN

TRƯỜNG THCS HOÀI HƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN

ĐẠI SỐ 9

Họ và tên: Lê Văn Chung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: THCS Hoài Hương SKKN thuộc môn: Toán Học

A/ MỞ ĐẦU I/ đặt vấn đề

1/ Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung và chất lượng dạy học Toán học nói riêng

là nhiệm vụ quan trọng nhất hiện nay của giáo viên Toán học ở các trường THCS

Trong dạy học Toán học, chúng ta có thể nâng cao chất lượng dạy học và phát triển năng lực nhận thức của học sinh bằng nhiều biện pháp và nhiều phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng, nên đòi hỏi giáo viên phải biết lựa chọn, phối hợp các phương pháp một cách thích hợp để chúng bổ sung cho nhau, nhằm giúp học sinh phát huy tối đa khả năng tư duy độc lập, tư duy logic và tư duy sáng tạo của mình

Dạy toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ giúp cho người học các kiến thức khác về tự nhiên và xã hội, vì vậy dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được các kiến thức, những khái niệm, những định lý toán học

Trong xu hướng chung của những năm gần đây việc đổi mới dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực, nhằm đào tạo ra những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp không chỉ trong giờ giảng lý thuyết, mà ngay cả trong giờ luyện tập Luyện tập ngoài việc rèn kĩ năng tính toán, kĩ năng suy luận mà cần có những bài tập mở, bài tập nâng cao cho học sinh khá, giỏi được sắp xếp một cách có hệ thống giúp học sinh củng cố và vận dụng kiến thức 1 cách năng động và sáng tạo

Trong chương trình đại số 9, định lý Vi ét là một phần kiến thức cơ bản, quan trọng Nó giúp ta giải quyết nhiều dạng bài tập liên quan đến phương trình bậc 2, hệ phương trình… Tuy nhiên việc vận dụng định lý này nhiều học sinh gặp rất nhiều khó khăn, nhất là bài tập nâng cao dành cho học sinh khá, giỏi Nhiều em gặp rất nhiều lúng túng khi vận dụng định lý này vào các dạng bài tập cực trị, bất đẳng thức, hệ phương trình, bài tập liên quan đến hàm số Nếu giải quyết tốt vấn đề này sẽ góp phần rất lớn trong việc phát triển trí lực của học sinh Cũng như giúp các em tự tin hơn trong các cuộc thi, cũng như thi HSG các cấp

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

2/ Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.

Giúp cho học sinh phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh Một bài tập

có nhiều cách giải, ngoài cách giải thông thường, quen thuộc còn có cách giải độc đáo, thông minh, sáng tạo, ngắn gọn và chính xác Việc xây dựng phương pháp giải cho từng dạng bài tập giúp học sinh tìm được lời giải hay, ngắn gọn, nhanh trên cơ sở các phương pháp giải toán, các qui luật chung của Toán học cũng là một biện pháp có hiệu quả nhằm phát triển tư duy và trí thông minh cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường THCS

3/ Phạm vi nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu tìm ra các cách giải khác, ngắn gọn của 1 bài toán

-Xây dựng hệ thống bài tập, cách giải cho mỗi dạng toán

-Sử dụng các bài tập này trong việc giảng dạy các tiết học chính khóa và không chính khóa, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS

- Đề tài được tiến hành nghiên cứu trên đối tượng học sinh lớp 9

II/ Phương pháp tiến hành

1/ Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Trong lý luận về phương pháp dạy học toán ta thấy, trong môn toán sự thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho người học chủ động suy nghĩ nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học

- Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy quan điểm rằng: dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo các tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa….Trong đó phân tích, tổng hợp đóng vai trò trung tâm Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán, hướng chứng minh một định lý…

- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là 1 quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học

- Thực tế giảng dạy cho thấy hiện nay, học sinh rất lười tư duy trong quá trình học tập, vì vậy việc xây dụng 1 phương pháp học tập đúng đắn là hết sức cần thiết Vì vậy, việc xây dựng hệ thống bài tập phù hợp, cũng như xây dựng quy trình giải chặt chẽ giúp học sinh không những nắm vững kiến thức mà còn hoàn thiện kỹ năng và hình thành kỹ xảo Điều này hết sức cần thiết, giúp học sinh giải quyết nhanh, đạt kết quả tốt trong quá trình học tập cũng như trong các kì thi

2/ Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp

-Nghiên cứu lí thuyết về lí luận dạy học toán học; các sách tham khảo về định lý

vi ét

- Dựa vào thực tiễn giảng dạy nhiều năm của giáo viên, những kinh nghiệm và giải pháp rút ra từ thực tế giảng dạy ở các lớp 9

-Thời gian thực hiện đề tài: trong 3 năm học từ năm học 2010-2011 đến năm học 2012-2013

B/ NỘI DUNG

I/ Mục tiêu

- Xây dựng phương pháp giải vận dụng định lý vi ét trong các bài toán liên quan đến hàm số, cực trị, hệ phương trình

- Xây dụng hệ thống bài tập phù hợp

- Cách sử dụng định lý vi ét trong dạy một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

II/ Mô tả giải pháp của đề tài

2.1 thuyết minh tính mới

2.1.1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ET TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ Bài toán 1:

Cho parabol (P): y=x2 Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1;2 viết phương trình đường thẳng AB

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

Đây là bài toán dễ, hầu hết học sinh và nhiều tài liệu giải như sau:

Vì A( )P và xA=-1 => yA =(-1)2=1 vậy A(-1;1)

B( )P và xB=2 => yB=4 Vậy B(2;4)

Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng y=ax+b nên ta có hệ phương trình

a b a

a b b



Vậy phương trình đường thẳng AB là y=x+2

Nếu suy nghĩ đến định lý viet ta có lời giải “đẹp” như sau:

Phương trình đường thẳng AB có dạng: y=ax+b

Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là

x2=ax+b  x2-ax-b=0 (*)

ta có xA=-1 ;xB=2 là nghiệm của phương trình (*)

Theo công thức định lý vi et ta có:

.

A B

A B

x x a

x x b







Vậy phương trình đường thẳng AB là y=x+2

Bài toán 2:

Cho parabol (P) :

2

4

x

y 

Điểm A trên (P) có hoành độ là 2 Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Cũng như bài toán 1, hầu hết học sinh và nhiều tài liệu đều giải như sau:

Vì A( )P và xA=2 => yA =1 vậy A(2;1)

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y=ax+b(D)

Vì A( )D ta có 2a+b=1 <=> b=1-2a

Vậy y=ax+1-2a (D)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là

 

2

1

4

x ax a x ax a

     

(D) tiếp xúc với (P)  

2

           

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=x-1

Sau đây là lời giải nếu dùng định lý viet

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y=ax+b (D)

Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là:

2

2 4 4 0(**) 4

x

ax b x ax b

x=2 là nghiệm kép của phương trình (**)

Mặt khác theo hệ thức viet ta có

1 2

4 4

x x a

x x b









Vì x1=x2 =2

Nên a=1; b=-1

Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là y=x-1

Bài Toán 3: Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=x2 và đường thẳng (D): y=mx+1 Xác định m để (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(xA; yB), B(xB;yB) và: a/ (xA-1)2 +(xB-1)2 đạt giá trị nhỏ nhất

b/ Độ dài AB ngắn nhất

Hướng Dẫn

- Trước tiên ta viết phương trình hoành độ giao điểm Tìm điều kiện để phương trình này

có 2 nghiệm phân biệt=> (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

- Sau đó sử dụng định lý viet

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D):

x2=mx+1 x2 mx 1 0  (*)

m

    => Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, suy ra (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A(xA; yB), B(xB;yB) , trong đó xA;xB là 2 nghiệm của phương trình (*) Theo hệ thức vi ét, ta có:

A B

A B

x x m

x x









SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

a/ ta có:

   

 

2

2

2

A B A B A B

x x x x x x

m

Vậy Giá trị nhỏ nhất của (xA-1)2 +(xB-1)2 là 3 khi và chỉ khi m=1

b/ Vì A;B(D)=> yA=mxA+1; yB=mxB+1

       

   

1

A B A B A B A B

A B

A B A B

AB x x y y x x mx mx

x x m

x x x x m

= m2  4 m2  1  4.1 2 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=0

Vậy độ dài AB ngắn nhất là 2 khi và chỉ khi m=0

2.1.2/ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT TRONG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Bài số 1: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x - 3 - m = 0

Tìm m sao cho số nghiệmx1;x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện

x1 + x2  10

Bài Giải Xét:

2

          

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Giáo Viên định hướng theo định lý vi et ta có được những gì?

2 1

  





 

Từ x12 + x22  10ta biến đổi như thế nào? Để sử dụng được (I) từ đó ta biến đổi như sau:

x12 + x22  10

2

1 2 1 2

2 2

2

2

3

2

m m

m m











Vậy m 0 hoặc

3 2

m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài Tập 2:

Cho x;y;z là các số thực khác 0 thỏa mãn

x+y+z = xyz ; x2 = yz

Chưng minh rằng : x2  3

Gi¶i GV: Cho học sinh thấy được khi chuyển vế

3



Khi đó bài toán trở thành tìm 2 số biết tổng và tích hai nghiệm của chúng Từ đó học sinh định hướng được việc sử dụng định lý vi ét để biến đổi:

- Theo định lý vi ét thì y; z là nghiệm của phương trình :

u2 - (x3 - x)u +x2 = 0  u2 + (x-x3)u + x2 = 0 (1)

Xét  = x2[(1-x2)2 - 4] (2)

Vì phương trình (1) có nghiệm nên  0

do x ¹ 0 ta có (1- x2)2 - 4  0  (1- x2)2  4

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

Þ 1-x2 £-2  x2  3 (đpcm)

- Nếu bài toán trên giải theo hướng khác thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều Do đó việc sử dụng định lý vi ét là 1 cách giải hay đối với bài toán này Các em học sinh qua đó càng thấy được để giải 1 bài toán chúng ta có nhiều cách giải khác nhau nhưng sử dụng cách nào cho lời giải ngắn gọn và chính xác

Bài Tập 3:

Cho  

1

a b c

A

ab bc ca



Chứng minh rằng:

4 4

; ;

3 a b c 3



 

Bài Giải Coi c là tham số, còn a;b là ẩn thì

   

 

1

a b ab c

A

c a b ab



 



Đặt S=a+b ; P=ab, để có a;b thì phải có điều kiện S2  4P

Ta có

2

S P c

S c

c S P S cS c

 

Trường hợp 1: P=1-c.S ; S=-c+2=> P =c2-2c+1

Vì S2  4P nên (2-c)2 4.(c2 -2c+1)

4 3 0 0

3

     

Trường hợp 2: P=1-c.S ; S=-c-2 Tương tự sẽ suy ra được

4

0

3 c



 

Từ đó suy ra:

4 4

3 c 3



 

Do trong hệ (A) vai trò a;b;c là như nhau nên

4 4

; ;

3 a b c 3



 

Bài Tập 4: Biết rằng rằng các số x;y thỏa mãn điều kiện x+y=2 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức F=x3+y3

Bài Giải

Tìm giá trị của F để hệ sau có nghiệm:    

3

2 2

3

x y

x y

x y F x y xy x y F

 



 



Đặt S=x+y; P=xy

Ta có

3

2 2

8 3

6

S S

F P

S SP F









Vậy x;y là nghiệm của phương trình: t2-2t+

8 6

F



=0 (*) x;y tồn tại khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm, tức là:

0 1 0 2

6

F

F



      

Dấu “=” xảy ra khi x=y=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 2 khi x=y=1

Bài Tập 5

Cho a £ 0 Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình :

2

2

1

0 2

x ax

a

Chứng minh rằng : x14 + x24 £ 2  2, Dấu Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài Giải

Áp dụng định lý vi ét ta có:

1 2

1 2 2

1

2

x x

a













Ta có : x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2(x1x2)2 = {( x1 + x2)2 - 2x1x2 }2 - 2(x1x2)2

=

2

2 2 2 2 2

Vậy x14 + x24 £ 2  2

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

4

a

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

2.1.3 / SỬ DỤNG CÔNG THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong chương trình toán THCS các bạn học sinh thường lúng túng khi giải hệ phương trình trong đó có các biểu thức là tổng hoặc tích các ẩn Bài này trình bày 1 phương pháp giải hệ phương trình như thế dựa theo công thức vi ét

Nếu phương trính bậc bốn: x4 +A1x3+A2x2+A3x+A4 =0 (1)

có 4 nghiệm x1; x2; x3; x4 thì có công thức vi ét liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình (1) như sau:

-A1=x1+ x2+ x3+ x4

A2 =x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4

- A3 =x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2 x3x4

A4=x1x2x3x4 (2)

Thật vậy vì x1; x2; x3; x4 là nghiệm của phương trình(1) nên (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)=0 (3) Khai triển vế trái của phương trình (3) và so sánh với phương trình (1) ta có công thức

vi ét (2)

Nói riêng, nếu x3=x4=0 thì phương trình x2 +A1x+A2=0 có 2 nghiệm x1; x2 với công thức

vi ét là x1+x2=-A1; x1.x2=A2 (4)

Nếu x4=0 thì phương trình x3+A1x2+A2x+A3=0 có 3 nghiệm x1 ;x2; x3 với công thức vi ét

là : x1+x2+x3=-A1

x1x2+x1x3+x2x3= A2

x1x2x3=-A3 (5)

Khi gặp hệ phương trình mà vế phải của phương trình là hằng số, còn vế trái có dạng tổng các lũy thừa của các ẩn, ta có thể coi các ẩn đó là các nghiệm cùa 1 phương trình, rồi

sử dụng định lý vi ét để thiết lập phương trình mới này Như vậy ta chuyển việc giải hệ n phương trình n ẩn về giải 1 phương trình bậc n một ẩn, nếu phương trình bậc n một ẩn này giải được dễ dàng thì đo chính là nghiệm của hệ n phương trình đã cho

Với hệ phương trình hai ẩn thì phương pháp này rất hiệu quả vì ta đưa về một phương trình bậc 2 luôn giải được

Bài toán 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số a:

2 2 2

2 1

(6)

2 3

x y a

x y a a

  







Bài Giải

Ta có x2+y2 =(x+y)2-2xy = A12 2A2 Theo công thức vi ét (4) Ta tính được A1=1-2a và 2A2 =(1-2a)2 – (a2+2a-3) =3a2 -6a +4 Từ đó x;y là nghiệm của phương trình

x2 +A1x+A2=0 hay

 

2

3

2

x a x a a

a a

    (7)

Từ đó :

+/ Nếu

2 2

2

a  

hoặc

2 2 2

a  

thì  0 nên phương trình (7) vô nghiệm => hệ (6) vô nghiệm

+/ Nếu

2

a  x y 

+/ Nếu

2

a  x y 

+/ Nếu

=>   0 => Phương trình (7) có 2 nghiệm phân biệt => hệ (6)

có nghiệm (x;y) là

      

      

Khi hệ phương trình có 3 hoặc 4 ẩn thì chuyển về giải phương trình một ẩn bậc 3 hoặc bậc 4, nếu phương trình này có dạng đặc biệt thì ta tìm được nghiệm của nó

Bài Toán 2: Giải hệ phương trình sau:

3

21 57

x y z

x y z

x y z

  









SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

Bài giải Coi x;y;z là 3 nghiệmx1;x2;x3 của phương trình bậc 3 Theo công thức vi et (5) ta có

S1 =x1+x2+x3 =3 =-A1 => A1=-3

Ta có

2

2

6

S x x x x x x x x x x x x A A

A A S

A

 

Ta có S3=

 

3

3 3

3 57 27 54 24 8

S x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

A S A A A A A A A

A

 

Như vậy x1;x2;x3 là nghiệm của phương trình

x3- 3x2-6x+8=0 Dễ dàng thấy được phương trình này có nghiệm x1=1, suy ra x2=-2; x3=4 Vậy hệ (7) có nghiệm (x;y;z ) là (1;-2;4) và các hoán vị của chúng

Bài Toán 3 : Giải hệ phương trình sau:

0

10 350

x y z

x y z

x y z

  







Bài giải Coi x;y;z là 3 nghiệmx1;x2;x3 của phương trình bậc 3 Theo công thức vi et (5) ta có

S1 =x1+x2+x3 =0=-A1 => A1=0

Tương tự lời giải bài toán 2 từ phương trình (2) của hệ (8) ta có

2

S x x x A A

A A S

=> A2=-5 (9)

Tính

 

3

S x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

A S A A A A A A

=>S3=-3A3 (10)

n n n

n

S x x x Khai triển

   2 2 2

x x x x  x  x 

    

Ta được

- Sn+3=Sn+1A2+Sn.A3 với n 1 (11)

Từ (11); (9) và phương trình 2 của hệ (8) ta có

- S4 =S2A2+S1.A3=-50 (12)

Từ (11); (9); (10) ta có

- S5 =S3.A2+S2.A3 = 25A3 (13)

Từ (11); (12); (13) ta có:

- S7 = S5.A2+S4.A3 =175 A3 từ đó => A3 =-2

Vậy x;y;z là nghiệm của phương trình: x3 – 5x-2 =0  (x+2)(x2-2x-1)=0

Phương trình này có 3 nghiệm x1  2;x2   1 2;x3   1 2

Vậy nghiệm (x;y;z) của hệ phương trình (8) là (2;1 2;1 2)

2.1.4/ Bài Tập Tự Luyện

Bài tập 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=-x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;-1) và

có hệ số góc k

a/ Viết phương trình dường thẳng (d) Chứng minh rằng vơi mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại

2 điểm phân biệt A và B

b/Gọi hoành độ của A;B là x1; x2 Chứng minh rằng x1  x2  2

c/ Chứng minh rằng tam giác OAB vuông

Bài Tập 2:

đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất

Bài Tập 3:

Cho hệ phương trình