skkn ứng dụng định lí vi et trong thực hành giải toán cấp THCS

Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Mơn Tốn THCS có vai trị quan trọng, mặt phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định Tốn học Chương trình Tốn THCS khẳng định trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản, tìm tịi đủ cách giải tốn để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Trong vài năm trở lại đây, trường Đại học, trường PTTH chuyên thành phố sức thi tuyển, chọn lọc học sinh đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi tuyển học sinh giỏi lớp cấp xuất tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dang Thế đa số học sinh gặp toán bậc hai, em lại lúng túng không giải chương trình học có tiết, nhà em cách đọc thêm sách tham khảo nên khơng ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải Vì suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn bậc hai Góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển Bản thân mạnh dạn làm đề tài “ ứng dụng hệ thức Vi-et thực hành giải toán cấp THCS” từ năm học 2014-2015 hội đồng khoa học ngành Giáo dục & đào tạo thành phố công nhận đạt giải C Trong năm học 2016-2017 tơi tiếp tục vận dụng đề tài q trình cơng tác giảng dạy đơn vị Tuy nhiên năm học với đói tượng học sinh tơi điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng học sinh để đạt hiệu cao Đó lý tơi tiếp tục chọn đề tài này: “Ứng dụng định lí Vi-ét thực hành giải Tốn cấp THCS” Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS Từ em làm tốt tốn bậc hai kỳ thi tuyển Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng toán bậc hai mà dạng toán khác Nhiệm vụ nghiên cứu: Bài tập toán học đa dạng phong phú Việc giải toán yêu cầu quan trọng học sinh Nhiệm vụ giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu tốn, từ nghiên cứu tìm cách giải 1/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS Để nghiên cứu đề tài này, đề nhiệm vụ sau: Nghiên cứu tốn bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào toán bậc hai cho hợp lý Điều tra học sinh xem có học sinh thích học nâng cao, mở rộng kiến thức tốn bậc hai có học sinh tiếp thu, nâng cao kiến thức Phạm vi đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu học sinh học lớp trường trường công tác Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét, mơn đại số lớp 9, tìm hiểu tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tơi đọc chọn tốn bậc có ứng dụng thức Vi-ét, xếp thành nhóm ứng dụng sau: Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phân tích tam thức thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2) Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phương trình bậc hai ẩn số - Tìm hai số biết tổng tích chúng Ứng dụng 3: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số hay tìm hệ thức liên hệ hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số Ứng dụng 5: Tìm điều kiện tham số để thoả mãn hệ thức hai nghiệm Ứng dụng 6: Ứng dụng định lý Vi-ét giải toán chứng minh Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình hệ phương trình Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với tốn cực trị Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị Phương pháp vấn, điều tra: Tôi hỏi điều tra học sinh lớp sau tiết dạy thực nghiệm với câu hỏi sau: 2/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS Câu 1: Em có muốn củng cố nâng cao kiến thức không ? Câu 2: Em thích tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khơng? Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung tốn khơng ? Câu 4: Em đọc lại định lý Vi-ét Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 4321x2 + 21x – 4300 = b/ x2 + 7x + 12 = Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m tham số, có hai nghiệm x1 , x2 (x1 > x2) Tính giá trị biểu thức P  x13 x2  x1x23 theo m Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau xếp thành nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tơi thực lên lớp hướng dẫn học sinh ứng dụng 3/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài Cơ sở lý luận thực tiễn: Mục tiêu giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp, học nghề vào sống lao động” Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Trong chương trình lớp 9, học sinh học tiết: tiết lý thuyết : học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng tiết luyện tập: học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần Thực trạng : Thuận lợi: Tôi trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối nhiều năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên thấy cần thiết phải thực đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét thực hành giải Tốn cấp THCS” Tơi đồng nghiệp góp ý kiến giảng dạy Đa số học sinh mong muốn củng cố nâng cao kiến thức Khó khăn: Thời lượng phân bố tiết cho phần hạn chế, cụ thể chương trình lớp có tiết ( tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Do chưa khai thác hết ứng dụng hệ thức Vi-ét Hầu hết số học sinh trường có đầu vào cấp THCS thấp so với mặt chung quận, bố mẹ dân lao động túy phổ thơng Do em trọng nâng cao kiến thức Từ thuận lợi khó khăn trên, với đề tài mong giáo viên giúp em có thêm kiến thức để tự tin kỳ thi tuyển Thực trạng giáo viên học sinh trường: Hiện nay, việc dạy học giáo viên học sinh thực tiễn trường cịn có số mặt đạt chưa đạt sau: Những mặt đạt được: Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức chương trình Học sinh nắm kiến thức hoàn thành THCS ( đạt 98%) 4/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp năm có học sinh tham gia thi học sinh giỏi cấp quận mơn Tốn.Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, Nhờ học sinh có nhiều tiến Những mặt chưa đạt: Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh khối ; ; mà dừng bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh khối 8; Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn cịn hạn chế Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai: Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết chương trình cho học sinh nắm định lý Vi-ét: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm : x1  b   b   ; x2  2a 2a Suy : x1  x2  x1 x2 b   b   2b b    2a 2a 2a a  b    b     b  4a   2   b  b  4ac 4ac c    2 4a 4a 4a a Đặt S P tổng tích hai nghiệm phương trình Vậy: S  x1  x2  P  x1.x2  b a c a Giáo viên soạn dạng toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài tơi trình bày nhóm ứng dụng sau: Cụ thể sau: Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phân tích tam thức thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2) Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phương trình bậc hai ẩn số - Tìm hai số biết tổng tích chúng Ứng dụng 3: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số hay tìm hệ thức liên hệ hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số Ứng dụng 5: Tìm điều kiện tham số để thoả mãn hệ thức hai nghiệm Ứng dụng 6: Ứng dụng định lý Vi-ét giải toán chứng minh Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình hệ phương trình Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với toán cực trị Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị 5/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phân tích tam thức thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2) Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) a/ Nếu cho x = thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = hay a + b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = c a b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = hay a - b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = c a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 2x2 + 5x + = (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = (2) Giải: Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = 3 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có nghiệm x1 = nghiệm x2 = 11 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: a/ 35x2 - 37x + = b/ 7x2 + 500x - 507 = c/ x2 - 49x - 50 = d/ 4321x2 + 21x - 4300 = Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm lại hệ số phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm b/ Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm c/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Giải: a/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 – 2px + = , ta được: – 4p + =  p  6/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = suy ra: x2 = 5  x1 b/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 + 5x + q = , ta được: 25+ 25 + q =  q  50 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = -50 suy ra: x2 = 50 50   10 x1 c/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = ta có hệ phương trình sau:  x1  x2  11  x1     x1  x2   x2  2 Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 = 2x2 theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:  x1  x2 x   x2  50  x2  52     x1.x2  50  x2  5 Với x2  x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = + 10 = 15 Với x2  5 x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phương trình bậc hai ẩn số - Tìm hai số biết tổng tích chúng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải:  S  x1  x2   P  x1.x2  Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 – Sx + P =  x2 – 5x + = Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1= x2= - b/ x1= 3a x2= a c/ x1= 36 x2= - 104 d/ x1= 1+ x2= - 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trìnhcho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x2  1 y2  x1  x1 x2 Giải: 7/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS hệ thức Vi-ét, ta Theo có: 1 1 x x 1  x1    x1  x2        x1  x2      x1 x2 x1 x2  x1 x2   1 1 1 P  y1 y2   x2    x1    x1.x2     11  x1   x2  x1 x2 2  S  y1  y2  x2  Vậy phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P  hay y  9 y    y2  y   2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: 1 y2  x2  x2 x1 (Đáp số: y  y    y  y   ) y1  x1  2/ Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x14 y2  x24 (Đáp số: y  727 y   ) 3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = có hai nghiệm dương x1; x2 mà x1 < x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà nghiệm : x1  x2  1 x2 1  x1  (Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai, năm học: 2002009) 4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 cho: a/ y1  x1  y2  x2  b/ y1  x1  y2  x2  (Đáp số: a/ y  y   m2  ; b/ y  y  (4m2  3)  ) 3/Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = (đk: S2 - 4P ≥ 0) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải: Vì: S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = giải phương trình ta x1= x2= - Vậy a = b = - a = - b = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a/ S = P = 8/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS b/ S = -3 P = c/ S = P = 20 d/ S = 2x P = x2 – y2 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = a2 + b2 = 41 b/ a - b = a.b = 36 c/ a2 + b2 =61 a.b = 30 Hướng dẫn: a/ Theo đề ta dã biết tổng hai số a b, để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích hai số a b Từ a  b    a  b   81  a  2ab  b  81  ab  2  81  a  b2   20  x1   x2  Suy ra: a, b nghiệm phương trình có dạng: x  x  20    Vậy: Nếu a = b = Nếu a = b = b/ Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng: a + b Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = a.c = -36  x1  4  x2  Suy ra: a, c nghiệm phương trình có dạng: x  x  36    Do đó: Nếu a = - c = nên b = -9 Nếu a = c = - nên b = 2 2 Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab   a  b    a  b   4ab  169 a  b  13   a  b   132   a  b  13 - Với a + b = -13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :  x  4 x  13 x  36     x2  9 Vậy a = - b = - - Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x  x  13 x  36     x2  Vậy a = b = c/ Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a  b  11 a  b  11 Từ a  b2  61   a  b   a  b2  2ab  61  2.30  121  112   - Nếu a + b = -11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :  x  5 x  11x  30     x2  6 Vậy a = - b = - hay a = - b = - 9/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS - Với a + b = 11 ab = 30, nên a, b hai nghiệm phương trình : x  x  11x  30     x2  Vậy a = b = hay a = b = Ứng dụng 3: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Điều quan trọng toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét tính giá trị biểu thức 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 x1 x2 Ví dụ 1: a/ x12  x2   x12  x1 x2  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 b/ x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2  c/ x14  x24   x12    x22    x12  x22   x12 x2   x1  x2   x1 x2   2x12 x2 2 d/ 2 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2 Ví dụ 2: x1  x2  ? 2 Ta biến đổi  x1  x2   x12  x1 x2  x2   x12  x1 x2  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2  x1  x2    x1  x2   x1 x2 Bài tập áp dụng: Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: a/ x12  x22  ? ( HD x12  x22   x1  x2  x1  x2   ) b/ x13  x23  ? (HD x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x2    x1  x2   x1  x2   x1 x2   ) c/ x14  x24  ? ( HD x14  x24   x12  x22  x12  x22   ) d/ x16  x26  ? ( HD x16  x26   x12    x22    x12  x22  x14  x12 x2  x2   ) 3 e/ x16  x26  ? f/ x17  x27  ? g/ x15  x25  ? h/ 1  ? x1  x2  2/ Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, tính: 10/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2008) 3/ Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 trái dấu dấu dương âm    + - + - S = x + P = x1 x2 x2 P0 S>0 P>0 S0      Điều kiện chung 0 0 0 0      ; P< 0 ; P > 0 ; P > ; S > 0 ; P > ; S < Ví dụ : Xác định tham số m cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – = có nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì:      3m  12  4.2 m  m      m  2  0m       2  m   m2  m  P  m  m   P     P  0   Vậy với 2  m  phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: 1/ Xác định tham số m cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = có nghiệm dấu 2/ Xác định tham số m cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = có nghiệm âm 3/ Xác định tham số m cho phương trình: (m - 1)x2 +2x + m = có nghiệm khơng âm Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số hay tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 độc lập với tham số Để làm toán dạng này, ta làm theo bước sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = có nghiệm x1 x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m 12/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m  m   m  m        '  5m   m   m  1 m    m  2m    S  x1  x2  m   S  x1  x2   m  (1) Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:    P  x x  m   P  x x   (2) 2 m 1 m 1   2 Rút m từ (1), ta có:  x1  x2   m   (3) m 1 x1  x2  3 Rút m từ (2), ta có:   x1 x2  m   (4) m 1  x1 x2 Từ (3) (4), ta có:   1  x1 x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 Ví dụ : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = chứng minh biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m  m  m   m        m   m  m  m        '    m  2m   S  x1  x2  m  Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P  x x  m   m 1 Thay vào biểu thức A, ta có: 2m m4 6m  2m   8(m  1)  8   0 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = với m  m  A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 – = Do biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị m Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x1 x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = (m - 2)2 + > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 13/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS - Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi :  x1  x2   x1 x2   độc lập m 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x1 x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 khơng phụ thuộc giá trị m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = 16m2 + 33 > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi : x1 x2   x1  x2   17  không phụ thuộc giá trị m Ứng dụng 5: Tìm điều kiện tham số để thoả mãn hệ thức hai nghiệm Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m  m    m        2  '   '  m  2m   9m  27   '  3  m  21   m  3 m      m  m    m  1  '   m  1  6(m  1)   S  x1  x2  m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P  x x  9(m  3)  m Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết) 6(m  1) 9(m  3)   6(m  1)  9( m  3)  3m  21  m  ( thỏa mãn) Nên m m Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2   x1  x2    Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: 14/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS    S  x1  x2  2m  Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P  x1.x2  m   '   '   2m  1  m    m  Vì 3x1 x2   x1  x2    (giả thiết)  m  2(TM ) Nên m    2m  1      m  ( KTM )    Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2   x1  x2    Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  3x2  3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  x2  Hướng dẫn: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác so với tập VD1 VD2 chỗ: + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày VD1 VD2 Bài 1: ĐKXĐ: m  0; m  16 15    m  4 m  S  x1  x2  m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  1 m   P  x x   m Theo đề ta có: x1  x2   x1  x2  x1  x2  3x2   x1  x2   x2   x1  x2   3x1  x1  x2  3x2 Suy ra:   2  x1  x2   3x1   x1  x2   x1 x2   Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m2 + 127m - 128 =  m1 = ; m2 = -128 Bài 2: ĐKXĐ: 11  96  m  11  96 15/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS  S  x1  x2   m 1  P  x1.x2  5m  Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:   x1    x1  x2  Theo đề ta có: x1  3x2      x2   x1  x2    x1 x2  1   x1  x2    x1  x2   1  x1 x2   x1  x2   12  x1  x2   1  m  (TMĐK) m  Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: 12m(m – 1) =    Bài 3: 2 Vì    3m  2  4.3  3m  1  9m2  24m  16   3m  4  với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 3m    S  x1  x2  Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:  1  m     P  x x   8 x1   x1  x2   Theo đề ta có: 3x1  x2     8 x2   x1  x2    64 x1 x2  5  x1  x2   6 3  x1  x2   6  64 x1 x2  15  x1  x2   12  x1  x2   36 Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m  45m  96   m  (TMĐK)   m   32 15  Ứng dụng 6: định lý Vi-ét giải tốn chứng minh Ví dụ :Ví dụ 1: Cho a, b nghiệm phương trình: x2 + px + = b, c nghiệm phương trình x2 + qx + = Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - Cách giải: Ta có : a, b nghiệm phương trình: x2 + px + = b, c nghiệm phương trình: x2 + qx + = a  b  - p b  c  - q Theo định lý Vi-ét ta có:   a.b  b.c  Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Từ (1) (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - (1); a2 + b2 + c2 = (2) 16/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS Chứng số a, b, c thuộc đoạn  ;0 biểu diễn trục số:   Cách giải: Bình phương hai vế (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): =  bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a + Ta lại có: b + c = - (a + 2), b, c nghiệm phương trình : X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*) Để (*) có nghiệm ta phải có:  = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)   a(3a + 4)  - a0 4  b  0; -  c  3 Chứng minh tương tự ta được: - Bài tập: Gọi a, b hai nghiệm phương trình bậc hai: x2 + px + = Gọi c, d hai nghiệm phương trình: y2 + qy + = Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Chứng minh viết số x = ( 3, )200 dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình hệ phương trình Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 x  x   x 1  5 x  x  =6 x 1   Hướng dẫn: ĐKXĐ: {xR  x  - 1} 5 x  u    ? u  x  x 1 Đặt:   5 x  u.  ?   x   x 1 Tính: u, v, từ tính x Bài giải: ĐKXĐ: {x  R  x  - 1} 5 x  u  x  x  (*) Đặt:  5 x   x  x 1   5 x  5 x  u     x x     x  x   u          u.   u.   x  x . x   x   x 1   x 1   u, v nghiệm phương trình: x2 - 5x + =  = 25 – 24 = x1 = 1 1 = 3, x2 = =2 2 u = v = u = v = u  (*) trở thành:   Nếu:  x2 - 2x + = ' = – = - <  Phương trình vơ nghiệm 17/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS u  (*) trở thành: x2 - 3x + = Suy ra: x1 = 1; x2 =    Nếu:  Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x  y  yx  x  y  11 a)  b)   xy  31 xy  x y  12 Bài giải : a) x, y nghiệm phương trình: X2 – 11X +31 = =(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - <  Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm b) Đặt x + y = S xy = P S  P  Ta có hệ:   S.P  12 Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 – 7t + 12 = Giải phương trình t = t = + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình : u2 - 4u + =  u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: v2 – 3v + = Phương trình vơ nghiệm  = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) (x = 3; y =1) Bài tập: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = Giải hệ phương trình sau:  xy 3  xy 9 a)  2 b)  4 x  y  17 x  y  Ứng dụng : Định lí Vi –ét với tốn cực trị: Ví dụ : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để: A = x12  x22  x1 x2 có giá trị nhỏ Giải:  S  x1  x2    2m  1 Theo hệ thức VI- ÉT,Ta có:   P  x1.x2  m Theo đề ta có: 2 A = x12  x22  x1 x2   x1  x2   8x1 x2   2m  1  8m  4m2  12m    2m  3   8 Suy ra: A  8  2m    m  Ví dụ : Cho phương trình: x2 - mx + m - = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biều thức sau: B x1 x2 x  x2   x1 x2  1 2 18/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS Giải:  S  x1  x2  m  P  x1.x2  m  Theo hệ thức Vi-ét , Ta có:  Theo đề ta có: B   m  1  2m  x1 x2 x1 x2    2 x  x2   x1 x2  1  x1  x2   m2  m 2 2 Cách 1: Biến đổi B cách thêm, bớt sau: B      m 1 m   m  2m  Vì  m  1 m2  2 m2   m 1 0   B 1 m2  Vậy maxB =  m = Với cách thêm, bớt khác ta lại có:     1 2 m  2m   m  m  4m   m  m  2  2 2 B    2 m 2 m 2 m 2  Vì  m      m  2  2 m 2  0 B  1 Vậy B    m  2 2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc hai với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho ln có nghiệm với m 2m   Bm  2m  B   (với ẩn m B tham số) m 2 Ta có:    B  2B  1   B  B B (*) Để phương trình (*) ln có nghiệm với m ≥ Hay  2B2  B   2B2  B     B  1 B  1   B    2 B      B   B         B 1  2 B     B       B    B   Vậy: max B  1  m  ; B    m  2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ 2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – – m = Tìm m nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện x12  x22  10 có giá trị nhỏ 3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – = Xác định m nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện : a/ A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn 19/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS b/ B  x12  x22  x1x2 đạt giá trị nhỏ 4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – =0 Với giá trị m để biểu thức C  x12  x22 đạt giá trị nhỏ 5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 Xác định m để biểu thức D  x12  x22 đạt giá trị nhỏ Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị Một số kiến thức cần nhớ: a Tìm giao điểm đồ thị: Xét hàm số y = f(x) có đồ thị ( C1) hàm số y = g(x) có đồ thị ( C2)  y  f ( x)  y  g ( x) - Số giao điểm ( C1) ( C2) nghiệm hệ  - Tọa độ giao điểm ( C1) ( C2) nghiệm hệ b Cho điểm A( x1; y1) B(x2; y2) - Độ dài đoạn thẳng AB= ( x1  x2 )  ( y1  y ) - Trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ xI = 1 ( x1 + x2) yI = ( y1 + y2) 2 c Quỹ tích đại số: Điểm A có tọa độ x A = f(m), yA = g( m) với m tham số Quỹ tích A đồ thị hàm số lien hệ y xA không phụ thuộc vào m, với giới hạn tập xác định hàm số Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho parabol y= x2 ( P) đường thẳng (d) : y = mx + Tìm m để (d) cắt (P) A, B phân biệt mà đoạn AB ngắn Giải: y= x2 ( P) (d) : y = mx + Xét phương trình: x2 – mx – = 0( 1) ln có hai nghiệm trái dấuvì a, c trái dấu Gọi x1; x2 nghiệm phương trình (1) Ta có A( x1; mx1 +2) B( x2; mx2 +2) AB2 = ( x1 – x2)2 + ( mx1 – mx2)2 = ( m2 +8)( m2 +1) -> AB ngắn = 2 m = Ví dụ 2:Cho parabol ( P): y = x2 đường thẳng ( d) : y = 2mx – m +1( với m ≠ 0) Tìm m cho (d) cắt ( P) hai điểm A; B phân biệt có hồnh độ x 1; x2 mà x1  x = Giải: Xét x2 = 2mx – m +1 x2 - 2mx + m - = '= m2 – m + 1> với giá trị m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Xét x1  x2 = 2=> (x1+ x2)2 - x1x2 = => m2 – m = => m = ; m= Ví dụ 3: Cho y= x2 (P) ( d) đường thẳng qua A( 1; 2) có hệ số góc k a Chứng minh với k ( d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt b Với k = 2, chứng minh ( d) cắt (P) hai điểm nhận A trung điểm Giải: a Phương trình đường thẳng( d): y = k( x -1) +2 = kx – k+2 Xét x2 - kx + k – = có  = k2 - 4k + = ( k -2) +4 > o vơi k => có hai giao điểm phân biệt B C 20/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS b Khi k = có k ( x1 + x2) = = hoành độ A Mà A; B; C thẳng hang, 2 nên A trung điểm BC Bài tập thêm: Bài 1: Cho parabol( P): y = x2 đường thẳng (d) : y = mx + 1( với m tham số) a Vẽ đồ thị ( P) ( d) m = b Chứng minh ( d ) qua điểm cố định cát ( P) A; B phân biệt c Tìm m để diện tích tam giác OAB 2( Với O gốc tọa độ) Bài 2: Cho parabol( P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x + m( với m tham số) a Tìm m để đồ thị tiếp xúc với nhau? Tìm hồnh độ tiếp điểm b Tìm m để đồ thị cát hai điểm mà giao điểm có hồnh độ -1 Xác định hồnh độ giao điểm cịn lại c Giả sử giao điểm hai đồ thị A B Tìm quỹ tích trung điểm I AB Bài 3: Cho parabol( P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 3( với m tham số) a Chứng minh rằng: hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt mà hoành độ x1; x2 b Chứng minh: T = x12 +4mx2 – 3m2 – > với m Bài tập tổng hợp : Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2 - 2mx + 2m - = a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Đặt A = 2( x12  x 22 ) - 9x1x2 Chứng minh A = 8m2 - 18m + Tìm m cho A = 27 c) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm Giải: a)  ' = (-m)2 - (2m - 1) = m2 - 2m + = (m - 1)2  Vậy phương trình ln có nghiệm với m b) Áp dụng định lý Viét: x1 + x2 = 2m, x1x2 = 2m - A = 2( x12  x 22 ) - 9x1x2 = 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 9x1x2 = 2[(2m)2 - 2(2m - 1)] - 9(2m - 1) = 8m2 - 13(2m - 1) = 8m2 - 26m + 13 A = 27 8m2 - 26m + 13 = 27 8m2 - 26m - 14 = 4m2 - 13m - = c) Giả sử x1 = 2x2 => 3x2 = 2m 2x22 = 2m -  13  281 m1   m  13  281  (1) (2) 21/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS Lấy (2) trừ (1) ta được: 2x2 - 3x2 = -1 2x22 x2  - 3x2 + =   x2   3 Với x2 = => x1 = => m = Với x2 = => x1 = => m = Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1) x - m = có ẩn x a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt âm Giải: a) Phương trình có nghiệm kép m  m   m       '   m  1  m  m  1   m  1 2m  1  m  Vậy m   m  1 b  1 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =    2a  m  1 b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm : m    m   '   m  1 2m  1     m  m  x1 x    0 m 1    0  m   m  1  x1  x   0  m 1 0m Cho phương trình x2 - 4x - (m2 + 3m) = a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm x1, x2 với m b) Xác định m để x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm y1 y2 thoả mãn y1 y  3  y  y1 y1 + y2 = x1 + x2; Giải: a) Xét  ' = + m + 3m =  m     2  Phương trình có nghiệm x1 x2 với m b) Ta có: x12 + x22 = 4(x1 + x2) (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(x1 + x2) Theo định lý Viét: x1 + x2 = 4; x1x2 = -(m2 + 3m) m  => 16 + 2(m2 + 3m) = 16 m2 + 3m = =>   m  3 c) y1 + y2 = x1 + x2 = Từ y1 y   => y1 (1 - y1) + y2 (1 - y2) = 3(1 - y1) (1 - y2)  y  y1 y1 + y2 -(y12 + y22) = 3[1 - (y1 + y2) + y1y2] => y1y2 = -3 y1 + y2 = 4 Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a - 1) x + a2 - 4a + = 22/26 nếu: Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1  x 1   x1 x Giải: * Điều kiện cần: Tìm a để phương trình có nghiệm phân biệt Giả sử phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x1  x 1   (x1x2 - 2) (x1 + x2) = x1 x 4(a  1) Hoặc là: x1 + x2 =  = a = a  1 a  4a  Hoặc là: x1x2 = = a2 - 4a - =  a  * Điều kiện đủ: Nếu a = 1: Ta có phương trình 3x2 - = (thoả mãn) Nếu a = 5: Ta có phương trình 3x2 + 16x + = (thoả mãn) Nếu a = -1: Ta có phương trình 3x2 - 8x + = Phương trình vơ nghiệm (không thoả mãn) Vậy a = a = 5 Cho f(x) = x2 - (m+2)x + 6m + a) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phương trình f(x) = có hai nghiệm lớn Giải: a) Xét  ' = [- (m+2)]2 - (6m + 1) = m2 - 2m + = (m - 1)2 + >  m b) Thay x = t + f(t) = (t + 2)2 - 2(m + 2) (t + 2) + 6m + f(t) = t2 - 2mt + 2m - Phương trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt lớn phương trình t2 - 2mt + 2m - = có hai nghiệm phân biệt dương  t  t  2m  1 m  t1 t  2m   Giả sử phương trình bậc hai: x2 + ax + b = có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh a2 + b2 hợp số Giải: Gọi x1, x2 hai nghiệm => x1 + x2 = - a; x1x2 = b + 2 2 Ta có: a + b = [-(x1 + x2)] + (x1x2 - 1) => a2 + b2 = (x12 + x22 + 2x1x2) + (x12x22 - 2x1x2 + 1) => a2 + b2 = x12 + x22 + x12x22 + = (x12 + 1) (x22 + 1) => a2 + b2 hợp số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 - 3x + a = Gọi t1, t2 hai nghiệm phương trình t2 - 12t + b = Cho biết x1 x t   Tính a b x2 t1 t Giải: Áp dụng định lý Vi-ét 23/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS x1 + x2 = 3; x1x2 = a t1 + t2 = 12; t1t2 = b x1 x t   => x1 = kx2, x2 = kt1, t1 = kt2 x2 t1 t Thế vào rút ta được: k2 = * Nếu k = a = b = 32 * Nếu k = - a = -18 b = -288 Cho phương trình: ax + bx + c = (a  0) Đặt k = Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Giải: * Điều kiện cần: Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2 x2 = 2x1 => (x1 - 2x1) (x2 - 2x1) = => x1x2 - 2(x12 + x22) + 4x1x2 = => 5x1x2 - 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 0=> 9x1x2 - 2(x1 + x2)2 = => b2 c -2 =0 a a => 9ac = 2b2 * Điều kiện đủ: Giả sử có 9ac = 2b2 Xét  = b2 - 4ac = b2 - 8b b 4b 2b  => x1 = x2 = => x1 = 2x2 6a 6a 9 PHẦN III: KẾT LUẬN Kết nghiên cứu : - Học sinh có tiến quan trọng phương pháp giải phương trình bậc hai Biết giải tập khó tương tự dạng tập biết để làm Có hứng thú rõ rệt học tốn, có tư đổi linh hoạt Có nhu cầu vươn tới tìm tịi sáng tạo tập khó - Đối với việc vận dụng định lý Vi-ét vào việc giải phương trình bậc hai ẩn chuyên đề để đồng nghiệp lựa chọn ôn luyện cho học sinh Mong chuyên đề quan trọng giúp cho học sinh vận dụng cách khoa học sáng tạo việc học Toán Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác 24/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Toán cấp THCS Nghiên cứu đề tài “Ứng dụng định lý Vi-ét thực hành giải Toán cấp THCS ” khơng giúp cho học sinh u thích học mơn tốn, mà cịn sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy Quá trình nghiên cứu đề tài đối giúp tơi hiểu cách sâu sắc định lí Vi - ét Tôi bổ sung thêm tập phương trình bậc hai ẩn số, hàm số, đồ thị, giá trị tuyệt đối Điều giúp tơi truyền thụ kiến thức đến em học sinh cách chặt chẽ dễ dàng hơn, đặc biệt thời gian ôn thi môn Toán cho học sinh khối thi vào lớp 10, giúp tơi có thêm nhiều kiến thức chuyên môn nhiều kinh nghiệm năm học thực đề tài, sau năm học 2014-2015 đề tài hội đồng khoa học ngành cấp thành phố công nhận, niềm tin động lực giúp tiếp tục áp dụng đề tài thực tiễn giảng dạy phát triển đề tài cho phù hợp với đối tượng học sinh năm học Với số lượng tập phong phú từ dễ đến khó, em rèn luyện thành thạo kỹ giải loại tập Qua tạo niềm say mê hứng thú học tập cho em, em khơng cịn cảm thấy sợ thấy khó học vấn đề Kiến nghị đề xuất: - Hiện trường phổ thông trọng nhiều việc phụ đạo học sinh yếu, quan tâm nhiều đến việc nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi khối lớp 6; 7; Nên áp dụng dạy chia nhóm đối tượng học sinh vừa đỡ vất vả cho giáo viên đồng thời học sinh có hứng thú học tập vừa sức dạng tập Và nên có chương trình hướng dẫn học sinh chọn mua sách tham khảo tất môn học - Nhà trường phịng Giáo dục nên trì chun đề dạy học tích cực theo chủ đề, sau chuyên đề trì rút kinh nghiệm tổ nhóm chun môn - Tổ chức nhiều chuyên đề Tốn, chun đề dạy học tích cực tích hợp theo chủ đề tích hợp liên môn , tạo điều kiện để giáo viên trường có giáo viên mơn dự đồng nghiệp trường bạn để học hỏi thêm kinh nghiệm nâng cao chuyên môn Do trình độ lực cịn hạn chế nên tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Vậy tơi mong muốn có nhiều kiến đóng góp giúp đỡ hội đồng khoa học cấp thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp để rút kinh nghiệm q trình giảng dạy, tơi bổ sung tiếp năm học sau nghiệp dạy học Tơi xin cam đoan, sáng kiến kinh nghiệm q trình cơng tác ghi chép lại rút kinh nghiệm từ thực tế thân, không chép lại sáng kiến kinh nghiệm đề tài khoa học người khác Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 25/26 Ứng dụng định lí Vi-et thực hành giải Tốn cấp THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập tốn hay khó _Đại số nhà xuất đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hoàng Khanh-Lê Văn Thường) Sách giáo khoa Toán _ Tập Sách giáo viên Toán _ Tập Sách tập Toán _ Tập Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán nhà xuất giáo dục in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc) Sách : Một số vấn đề phát triển Đại số– tác giả Vũ Hữu Bình Tài liệu ơn tập thi vào lớp 10 mơn Tốn( năm học) tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm- Đoàn Văn Tề - Tạ Hữu Phơ Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn năm 2010 2011 tác giả Hà Xuân Thành Một số tài liệu đề tài: Định lí Vi - Et ứng dụng đồng nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 26/26 ... trình hệ phương trình Ứng dụng 8: Định lý Vi- ét với toán cực trị Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị 5/26 Ứng dụng định lí Vi- et thực hành giải Tốn cấp THCS Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương... kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác 24/26 Ứng dụng định lí Vi- et thực hành giải Toán cấp THCS Nghiên cứu đề tài ? ?Ứng dụng định lý Vi- ét thực hành giải Toán cấp THCS ” khơng giúp cho học sinh u thích... theo m Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau xếp thành nhóm ứng dụng hệ thức Vi- ét, thực lên lớp hướng dẫn học sinh ứng dụng 3/26 Ứng dụng định lí Vi- et thực hành giải Tốn cấp THCS PHẦN II: NỘI