Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Giáo viên: nghiên cứu giải một số bài tập vận dụng định lí Vi-ét tìmgiá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2a 0 và đườn
Trang 1UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
DẠY HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ VI – ÉT GIẢI
BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ
ĐỂ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL y = ax 2 (a 0) VÀ ĐƯỜNG THẲNG y = mx + n THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
MÔN TOÁN 9
Năm học 2014 - 2015
Trang 2THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1 Tên sáng kiến: Dạy học sinh lớp 9 vận dụng định lí Vi – ét giải bài toán tìm
giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax 2 (a 0) và đường
thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước.
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy bộ môn toán 9
3 Tác giả:
Họ và tên: ĐINH THỊ LUYÊN Nam (nữ) Nữ
Ngày tháng năm sinh: 05/07/1979
Trình độ chuyên môn: Đại học Toán
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên - Tổ trưởng tổ Khoa học tự nhiênĐiện thoại: 0946 278 818
4 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:
Trường THCS Lê Lợi – Xã Lê Lợi – Thị xã Chí Linh – Tỉnh Hải DươngĐiện thoại 03203 593 126
5 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Giáo viên: nghiên cứu giải một số bài tập vận dụng định lí Vi-ét tìmgiá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a 0) và đường
+ Học sinh lớp 9: giải được phương trình bậc hai và bất phương trình bậchai; nắm vững điều kiện về nghiệm của một phương trình bậc hai; vận dụngđược hệ thức Vi-ét và các ứng dụng của hệ thức trong các dạng bài tập trongSGK, SBT; …
+ Thời gian tổ chức giảng dạy: khoảng 2 giờ học
6 Thời gian dạy thực nghiệm lần đầu: Năm học 2013 - 2014
HỌ TÊN TÁC GIẢ
ĐINH THỊ LUYÊN
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN
Trang 3TÓM TẮT SÁNG KIẾN
Trong công tác giảng dạy bộ môn toán lớp 9 và ôn tập cho các em thituyển sinh lớp 10 THPT, tôi cũng như các thầy cô giáo đều thực hiện củng cố,đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện các kĩ năng qua việc giải nhiềudạng bài tập khác nhau Bản thân tôi thấy hệ thức Vi-ét được vận dụng làmnhiều dạng bài tập khác nhau trong đó có thể vận dụng giải dạng bài toán tìmgiá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a 0) và đường
Thực tế với đa số các em học sinh lớp 9, sau khi các em được giải các bàitoán vận dụng hệ thức Vi-ét và tìm hiểu về dạng đồ thị hàm số y = ax2(a 0);
y = m x + n thì dạng bài tập này vẫn là một khó khăn thách thức lớn bởi đa sốcác em chưa biết vận dụng kiến thức nào để giải bài toán, chưa định hướngcách giải bài toán dạng này, chưa biết viết gì để giải bài toán, chưa thấy mốiliên hệ giữa số nghiệm của phương trình bậc hai- phương trình hoành độ giaođiểm -chính là số giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = mx + n với parabol y
= ax2(a 0),
Trên cơ sở khảo sát thực trạng giải bài tập vận dụng định lí Vi – ét giải
bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a 0)
và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước của học sinh lớp 9,
tôi tiến hành chuyên đề với mục đích tháo gỡ khó khăn trên giúp các em hình
thành phương pháp chung và cách trình bày giải các bài toán vận dụng định lí
Vi – ét giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y =
với đặc điểm của từng điều kiện và góp phần thực hiện các chức năng củng cốkiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy và tạo hứng thú học tập bộ môn,rèn luyện cho HS hình thành kĩ năng vận dụng các kiến thức vào giải bài tậptoán một cách chủ động, để các em có thể làm được dạng bài toán này trongcác bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT (nếu có) Mặt khác, tiếp tục củng cố
Trang 4phương pháp, kĩ năng giải các phương trình, các bất phương trình, tìm điềukiện để phương trình bậc bai có nghiệm,
Chuyên đề đi sâu hướng dẫn học sinh giải một số bài bài toán vận dụng
định lí Vi – ét giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước phù hợp với từng điều kiện của hoành độ, tung độ và tọa độ giao điểm ,
từ đó hình thành các bước giải dạng bài tập này và biết cách phát triển thànhbài toán khác cho các em học sinh lớp 9 Sau thực hiện, tôi đã tiến hành kiểmtra đánh giá, thống kê kết quả học tập của học sinh và rút ra kinh nghiệm chobản thân trong dạy học sinh giải bài tập toán
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trang 5Trong công tác giảng dạy bộ môn toán lớp 9 và ôn tập cho các em thituyển sinh lớp 10 THPT, tôi thấy trong đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT của cáctỉnh những năm trước và trong một số năm gần đây một số tỉnh ra đề có dạngbài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a 0)
cần vận dụng hệ thức Vi-ét
Mặt khác trong sách giáo khoa, sách bài tập và rất nhiều sách tham khảokhông thấy có dạng bài toán yêu cầu tìm giá trị của tham số để sự tương giaogiữa parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiệncho trước nên các em dù có chăm chỉ tìm tòi đọc sách cũng khó tìm được kiếnthức cho mình để làm bài tập dạng này
2 Cơ sở lý luận và thực trạng của vấn đề
Dạy giải bài tập toán là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất củadạy học môn toán Giải bài tập toán giúp học sinh củng cố kiến thức lý thuyết
đã học, rèn luyện kĩ năng vận dụng lý thuyết, rèn luyện tính chính xác trongtính toán, trong lập luận (lời giải phải đầy đủ, các phép tính phải đúng, lập luậnphải có căn cứ); phát triển tư duy và rèn luyện các thao tác trí tuệ; tạo hứng thúhọc tập, hứng thú lao động trí tuệ, lao động sáng tạo Đồng thời giải bài tậptoán là phương tiện giúp giáo viên kiểm tra học sinh cũng như học sinh tự kiểmtra mình về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học
Trong nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 9 tôi thấy phần hệ thức Vi-ét
và các ứng dụng của nó được dùng để giải các dạng bài toán trong sách giáo
khoa như: tính tổng và tích hai nghiệm của một phương trình bậc hai; tìm hai
số biết tổng và tích của chúng; nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai; phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử Sau đó đến các bài toán vạn
dụng định lý Vi-ét trong sách bài tập như biết một nghiệm tìm nghiệm kia; lập
phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó; xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm hệ thức giữa các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số; tiếp đến
tham khảo các dạng bài tập tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của
Trang 6phương trình, xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai và giải các hệ phương trình bậc cao Tuy các em học sinh nắm bắt được phương pháp và
được rèn kĩ năng giải các dạng bài tập nói trên nhưng khi tôi cho làm bài toánliên quan đến sự tương giao giữa parabol và đường thẳng cụ thể là bài toán:
Tìm giá trị của tham số m để parabol y = x 2 đường thẳng y = (2 – m)x + m 2 +
1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho x2Ax B2 10 và với bài tậpnày tôi yêu cầu các em làm trong 20 phút Ngay sau khi đọc đề thì một số emhọc sinh phản ứng cho rằng đề yêu cầu lạ và tôi quan sát thấy nhiều em lungtúng không biết vận dụng kiến thức nào, phương hướng giải bài toán thế nào,viết trình bày lời giải bài toán ra sao? Thậm chí khi thu bài, chấm bài có emkhông biết viết gì về lời giải bài toán, có em viết bài giải mà không thấy địnhhướng mục đích lời giải bài toán, có em trình bày một phần bài giải chưa đượcbiết kết quả sẽ theo hướng nào, có em thiết lập được hệ phương trình để tìm tọa
độ giao điểm mà không biết lập luận tìm tham số m thế nào, … và tôi thu được kết quả trước khi dạy chuyên đề như sau:
Kết quả đó đều do các em không biết được số giao điểm của parabol vàđường thẳng là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, chưa được tìmhiểu phương pháp giải phù hợp và định hướng trình bày nội dung bài giải cần
vận dụng định lí Vi-ét trong bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao
giữa parabol y = ax 2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước như thế nào?
Từ những nguyên nhân trên và thực tế thu được tôi thấy cần thiết phảigiảng dạy dạng bài tập này cho các em học sinh vì vậy tôi mạnh dạn lựa chọnmột số bài tập dạng này, thiết lập thêm bài tập và hướng dẫn các em hình thànhđược phương pháp cũng như cách trình bày bài giải dạng bài tập toán yêu cầuvận dụng hệ thức Vi-ét tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y
Trang 7các em nắm vững phương pháp giải và cách trình bày bài giải để các em tự tinlàm tốt bài toán dạng này trong kiểm tra và thi tuyển sinh lớp 10 THPT
3 Các giải pháp, biện pháp thực hiện
Trước khi cho các em học sinh làm bài tập toán tìm giá trị của tham số
để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n
thỏa mãn điều kiện cho trước tôi tiến hành:
3.1 Hướng dẫn lý thuyết về tìm tọa độ giao điểm của parabol y = ax 2 (a
0) và y = mx + n và định hướng mối liên hệ số giao điểm với số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
GV: Thông thường để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = ax2(a 0) và y
mãn cả hai phương trình, do đó nó là nghiệm của hệ phương trình
x = mx0 + n thì x0 được hiểu thế nào?
HS: x0 là một nghiệm của phương trình ax2 = mx + n
GV: Vậy hãy rút ra quy tắc để tìm tọa độ giao điểm của parabol y = ax2(a 0)
HS: Nêu quy tắc: Muốn tìm tọa độ giao điểm parabol y = ax2(a 0) và đường
Bước 1 Giải phương trình ax2 = mx + n
Bước 2 Với mỗi nghiệm vừa tìm được, thay vào phương trình y = ax2 hoặc y =
mx + n ta tìm được tung độ tương ứng
Trang 8GV: Điều kiện để parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n cắtnhau là gì?
Nếu phương trình ax2 = mx + n vô nghiệm thì đường thẳng không cắt parabol
GV: (Chốt) Phương trình ax2 = mx + n có nghiệm là hoành độ giao điểm củaparabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n nên người ta gọi phương
trình đó là Phương trình hoành độ giao điểm và khi giải bài toán liên quan
đến giao điểm của parabol và đường thẳng ta phải xét đến số nghiệm củaphương trình hoành độ giao điểm này
Căn cứ vào quy tắc và nhận xét trên nói trên tôi hướng dẫn học sinh giảimột số bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét tìm giá trị của tham số để giao điểm củaparabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện chotrước Cụ thể như sau:
3 2 Hướng dẫn giải một số bài tập
3 2 1 Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 vàđường thẳng (d): y = mx – m – 2
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểmphân biệt
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm trên Xác định m để x1 x2 20
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
Yêu cầu:
Trang 9a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểmphân biệt
b) Xác định m để hoành độ giao điểm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 20
* Xác định hướng giải và thiết lập chương trình giải
GV: Muốn chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai
điểm phân biệt ta làm thế nào?
HS: Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
GV: Để chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta cần làm gì?
HS: Chứng minh biệt thức > 0 (’ > 0) với mọi giá trị của m
GV: Làm thế nào để xác định được giá trị m sao cho x1 x2 20 ?
HS: Có thể biến đổi x1 x2 20 sao cho xuất hiện tổng và tích các nghiệmnên ta tính tổng và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét của phương trình hoành
độ giao điểm rồi thay vào hệ thức đó tìm m
GV: Biến đổi x1 x2 20 sao cho xuất hiện tổng và tích như thế nào?
HS: Vì x1 x2 20có hai vế không âm nên ta có:
20 20
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức và chứng tỏ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- Biến đổi x1 x2 20 xuất hiện tổng và tích hai nghiệm
- Thay tổng và tích vào đẳng thức trên và giải phương trình tìm m
* Trình bày lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
Trang 10Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm của (P) và (d) x1; x2 là hainghiệm của phương trình (*)
20 20
* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: lập luận có căn cứ, hợp logic; kết quả chính xác
- Tìm thêm bài toán mới: Để giải bài toán trên, ta phải tìm m để hoành độ các
giao điểm thỏa mãn một đẳng thức cho trước Vì vậy với parabol và đườngthẳng chứa tham số m đã cho ta thay hệ thức cho trước bởi các hệ thức khácchứa các hoành độ ta có thêm bài toán mới
- Phương pháp làm bài toán này có thể làm các bài toán tương tự sau:
* Một số bài tập tương tự:
Bài 1.Đề thi tuyển sinh lớp 10THPT năm học 2002-2003 T.Hải Dương)
Trang 11Bài 2 Cho parabol (P): y = 12x2
a) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx – m + 3 luôn cắt parabol (P) tại haiđiểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m
b) Tìm giá trị của m để x A2 x B2 x x A B 3
Bài 3 Cho parabol (P): y = 2x2 và (d): y = 4(m +2)x – 2m2 – 1
a) Xác định giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏamãn 2 2 2
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho biết gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
Trang 12HS: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3 và yêucầu: Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của
m và tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9
* Tìm cách giải
GV: Yêu cầu chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá
trị của m ta làm thế nào?
HS: Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
GV: Để chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta cần làm gì?
HS: Chứng minh > 0 hoặc ’ > 0 với mọi giá trị của m
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9?
HS: (lúng túng)
GV: Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) thì
y1 ; y2 được hiểu thế nào?
HS: y1 ; y2 là tung độ các giao điểm thì các hoành độ x1, x2 tương ứng là hainghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
GV: y1 ; y2 tính như thế nào theo các hoành độ x1, x2 ?
HS: y1 x y12; 2 x22 hoặc y1 = 2mx1 – 2m + 3; y2 = 2mx2 – 2m + 3
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9?
HS: tính các tung độ y1, y2 theo các hoành độ tương ứng rồi thay vào bấtphương trình y1 + y2 < 9, biến đổi là xuất hiện tổng và tích hai nghiệm là cáchoành độ x1, x2; Viết hệ thức Vi-ét thay vào bất phương trình đó tìm m
GV: Lập chương trình thực hiện cần thực hiện để giải bài toán?
HS: Nêu trình tự:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức ’ và chứng tỏ ’ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- Tính các tung độ tương ứng y1 , y2 theo hoành độ giao điểm x1, x2 thay vào y1+ y < 9 và biếnđổi làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm
Trang 13- Thay tổng và tích vào bất đẳng thức trên và giải bất phương trình tìm m
* Trình bày lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm của (P) và (d) x1; x2 là hainghiệm của phương trình (*)
* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: Lập luận có căn cứ, hợp logic; kết quả chính xác