BÀI TOÁN THAM số TRONG PHưƠNG TRÌNH, bất PHƢƠNG TRÌNH và hệ PHƢƠNG TRÌNH

* Với hệ phương trỡnh cú chứa tham số, tư duy, hoặc là dựa vào điều kiện cú nghiệm của cỏc dạng hệ đặc thự, hoặc đưa về phương trỡnh chứa 1 ẩn cú thể là ẩn phụ vầ xột điều kiện cú nghi

CHUYấN ĐỀ:

BÀI TOÁN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRèNH, BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH I- Lí THUYẾT: Một số dạng toỏn và phương phỏp tương ứng:

Cho h¯m số y  f x( ) liên tục trên tập D.Giả sử trờn D tồn tại    

Thuật to²n 1: Đối với bài toỏn khụng cần đặt ẩn phụ

Bước 1: Biến đổi đưa PT về dạng f x g m  hoặc f x g m ; hoặc f x g m  

Bước 2: Lập bảng biến thiờn của hàm số y  f x , có tập x²c định Df

Suy ra:    

minf x , maxf x

Bước 3: Sử dụng cỏc nhận xột và phương phỏp đó nờu ở phần trờn, đưa ra kết luận

Thuật to²n 2: Đối với bài toỏn đặt ẩn phụ

Bước 1: Đặt ẩn phụ t  x Từ điều kiện ràng buộc của x suy ra miền giỏ trị t  x

Giả sử:  x D f  t X

Bước 1: Lỳc này, biến đổi đưa PT về dạng f t h m ,

       

hoặc f t h m ; hoặc f t h m 

Lỳc này biện luận điều kiện cú nghiệm của PT f t h m  với t X

Cỏc bước cũn lại tương tự thuật toỏn 1

* Với hệ phương trỡnh cú chứa tham số, tư duy, hoặc là dựa vào điều kiện cú nghiệm của cỏc

dạng hệ đặc thự, hoặc đưa về phương trỡnh chứa 1 ẩn (cú thể là ẩn phụ) vầ xột điều kiện cú

nghiệm trờn miền giỏ trị của ẩn (hoặc ẩn phụ) đú

II- CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ:

Bài tập 1: Tìm c²c gi² trị của m để phương trình: x  9   x x2 9x m có nghiệm

Bài giải: Điều kiện: 0  x 9

Kết luận: Phương trình đ± cho có nghiệm khi chỉ khi PT (**) có nghiệm

Bài tập 1: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm 4x2  1 x m

Bài giải: Điều kiện: x  0

Dựa vào BBT ta cú yờu cầu bài toỏn 0 m 1

Bài tập 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm x2   x 1 x2  x 1 m

Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x  x 12 m 5 x 4x

Bài giải: Điều kiện: x   0; 4

Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: m x2   2 x m

Bài giải: Vì x2  2 0,    nên phương trình x

Yêu cầu bài toán  2 m 2

Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x33x  4 m x  x  1 1

Bài giải: Điều kiện: x  1

Yêu cầu bài toánm  1

Bài tập 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 x x  5 m

Bài giải: Điều kiện: x   5; 4

  Xét hàm số f x  4 x x 5, x   5; 4

-5

-1 2 x

f'(x) f(x)

0

4

_ +

3Yêu cầu bài toánm 3 2

Bài tập 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx x 3 m 1

Bài giải: Điều kiện: x  3

1

x m

x

 

 do x  1 0,   x 3Xét hàm số   3 1, 3; 

Yêu cầu bài toán 2

.3

Dựa vào BBT, ta suy ra f 2 g m 0,   Suy ra điều phải chứng minh m 0

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  3 6 x x3 6 xm

Bài giải: Điều kiện: x   3;6

 

0, 2;2 21

f'(t)f(t)

2 2

+

3

12 2+137

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 12 2 13

Xét hàm số f t t24t 4, t   3; 3  Ta có: f t/ 2t    4 0 t 2 2;2 2 BBT:

7-4 3

0

1

+ _

3 0

f(t) f'(t)

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

t

f t

t t

 

      

BBT:

133

_

-1t

f'(t)f(t)

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  2 24x22x m x  0

Bài giải: Điều kiện: x  2

_

-1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán      1 m 0 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

m x  x   x   x 

Bài giải: Điều kiện: x  2

+ Ta thấy x  không phải là nghiệm của phương trình 2

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán      1 m 0 0 m 1

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x26x  7 m x 1 x2 2

Bài giải: Điều kiện: x  

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm  1.

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm  2

0

21

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 7

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:tan2x cot2x mtanx cotx  3 0

Bài giải: Điều kiện:

nghiệm duy nhất 0;

t f t

  

 

 

Ta có, ứng với mỗi tho° m±n PT (3), ta được đúng một nghiệm Do đó, PT (1)

có nghiệm duy nhất khi v¯ chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất Dựa v¯o BBT,suy ra ycbt l¯

2

22

Từ phép đặt 1

t x

x

  , ta có với mỗi t   cho ta 1 giá trị của x ; với mỗi t thoả mãn 2 t  2

cho ta 2 giá trị x Do đó, (1) có đúng hai nghiệm phân biệt  (3) chỉ có các nghiệm t  và 1 2

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 2m  4 0 m 2

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;1 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2 11

ycbt 2 KÕt hîp suy ra:

f(t)f'(t)

_

79

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 7 9

 

 

  để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2m 0 m 0

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn 1

Bài giải: Điều kiện: x  

Chia 2 vế của bất phương trình cho 42x2x, ta được:  

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 3

Bài tập 3: (Cao Đẳng - 2013) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

x 2 m x  1 m 4

Bài giải: Điều kiện: x  1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm 2

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   1;1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2;3 2     31

Lúc đó, BPT (1) có nghiệm khi chỉ khi BPT (2) có nghiệm

Điều n¯y x±y ra khi max

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm hoặc 4 m  2

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:   (1)

Bài giải: Đặt u x 1; v y 1

3 3

HÖ ®± cho cã nghiÖm ( HÖ (II) cã nghiÖm

 XÐt h¯m sè ( ) 2 0 Ta cã: /( ) 1 2 0 1 .

Suy ra a b là nghiệm của phương trình: , t24t 3 5m 0 5mt24t3, t  (2) 2

Hệ có nghiệm  Phương trình (2) có hai nghiệm thoả mãn t  2

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  2 2  

  Ta có: f S/ 2S   2 0 S  1BBT: lim   ; lim  

505

S S

P

S S

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toánm16

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x y với ; x 0, y : 0

47

Theo định lí Viet, ta có x y là hai nghiệm thuộc , 0;1 của phương trình: t24PtP  0

Trước hết ta tìm P để phương trình t24PtP  có hai nghiệm thuộc 0 0;1

Yêu cầu tương đương tìm P để phương trình

2

t P

t



 có hai nghiệm thuộc 0;1 (vì t  14

không là nghiệm)

64

-54

932

13

14P

g'(P)g(P)

Bài giải: Điều kiện: x , y 

19

1t

f'(t)f(t)

0

_

2

8

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm  8 m19

Bài tập 3: (HSG Hà Tĩnh 2013) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

2 2

00

2 2

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm 3 3

 

  (4) Đặt u  1x2    x  1;1 u 0;1

g(u)g'(u)

-1

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm  1 m  2

Bài tập 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  

  

  Phương trình (1)  3    3

x

m m

Vậy hệ đã cho có nghiệmm 0

Nhận xét: Trong trường hợp VP (4) chưa biết dấu thì ta khảo sát f x 2x2 x 2x28x4

  Điều này, không hề đơn giản!

Bài tập 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:     (1)

Ta thấy x  không thoả mãn (3) Mặt khác, vì 0 x  1x2  và 0 1 1y2  nên từ (3) 0suy ra y  Kết hợp điều kiện suy ra 0 x  0

3

t

m t

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm 2 2  

Dựa vào bảng biến thiên, hệ đã cho có nghiệm

III- MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG TỪ 2002 - 2016:

   là hai nghiệm của phương trình t2 t m 0 (**)

Hệ đã cho có nghiệm  x y;  Hệ (*) có nghiệm u 0, v  Phương trình (**) có hai 0nghiệm không âm

1

40

 đồng biến trên   Suy ra 1;  f x  có nghiệm duy nhất trên   0   1; 

Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (đ.p.c.m)

Đề 03: (D - 2007) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

Suy ra u v là nghiệm của phương trình , t25t  8 m  0 t25t 8 m (1)

Hệ đã cho có nghiệm  Phương trình (1) có hai nghiệm t t thỏa mãn 1, 2 t1 2, t2  2

Suy ra giá trị cần tìm là 2 3

.2

Ta thấy u 2 v 2  0 f/ 2  Hơn nữa 0 u x   , v x cùng dương trên  0;2 và cùng âm trên khoảng  2;6

Từ bảng biến thiên ta có, ycbt 5 3

Do đó, yêu cầu bài toán 2 m  4

(khi 2m thì (2) có đúng 2 nghiệm 4 t t thỏa 1, 2 0  và t1 1 t  ) 2 3

1

x

f x

x x

x x

Phương trình đã cho có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm t  0;1

Dựa vào bảng biến thiên ta có các giá trị m cần tìm là: 1

1

3

m

  

Đề 10: (Khối B- 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình sau

luôn có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x  8 m x 2

Bài giải: Theo giả thiết m  , ta có điều kiện của phương trình là 0 x  2

Phương trình đã cho tương đương với

 Vậy g t đồng biến trên 1;2   

Do đó, yêu cầu bài toán  Bất phương trình

1

t m t

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình (2) có 2 nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 1 1 2

Cách khác: Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình (2) có 2 nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 1 1 2

 , dựa vào bảng biến thiên và đưa ra kết luận

Đề 13: (Dự bị- 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Đề 14: (Khối B- 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Bài giải: TXĐ: D   1;1

  Đặt t  1x2  1x2 Do 1x2  1x2  t 0; t    0 x 0

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: m x2     1 x 2 m

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 x x  1 2 x m

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

sin xcos xcos 4x m

Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc  0;1 :  2

 

2

log x log x  3 m log x 3

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc  2; 4 :

Bài 8: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4x m.2x1 3 2m 0

Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 6 x x2 3x m x  2 2 3x

Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x34x  x  1 m

Bài 11: Tìm m để pt sau có nghiệm trên 1

;24

Bài 12: Tìm m để pt sau có nghiệm thực: 3 x  1 m x  1 24x2 1

Bài 13: Tìm m để pt sau có 4 nghiệm thực phân biệt :4x22x 2x2 2x 1m 0

Bài 14: Cho bất hương trình: x2  1 4x2 m(1)

a, Tìm m để bpt (1) có nghiệm

b, Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  [1; 2]

Bài 15: Cho bất phương trình: 4x2 m.2x21m Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng 0

Bài 17: Tìm a để pt sau có nghiệm: x  1 3 x (x 1)(3x)2a

Bài 18: Tìm m để pt có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: 42x  2x 2 64  x 2 6 x m

Bài 23: Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x  : R sin6x cos6x sin cosx x m

Bài 24: Tìm m để bpt nghiệm đúng với   x  4;6

  : (4x)(6x)x22x m

Bài 25: Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 mx  2 2x  1

Bài 26: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m , phương trình sau luôn có hai nghiệm

V- TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1) Tuyển tập đề thi ĐH - CĐ toàn quốc Bộ giáo dục và đào tạo

2) Phương pháp hàm số trong giải toán TS Lê Xuân Sơn - ThS Lê Khánh Hưng

3) Tuyển tập đề thi thử ĐH trên toàn quốc

4) Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ NXB Giáo dục Việt Nam

P/S: Các bài tập trong tài liệu chưa nhận được sự cho phép của quí thầy cô và các cơ quan liên quan, nhưng tài liệu biên soạn chỉ với mục đích chia sẽ cho đồng nghiệp và tặng cho các em học sinh có nguồn tư liệu quí để phục vụ khả năng tự học nên chúng tôi xin phép các tác giả, xin cảm

ơn các tác giả!

Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi sai sót, kính mong quí thầy cô và các em học sinh đóng góp để các bản update tiếp theo được hoàn thiện hơn! Xin chân thành cám ơn!

CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO

Đơn vị công tác: Trường THPT Phong Điền, Thừa Thiên Huế

Email: beckbo1210@yahoo.com Facebook: Lê Bá Bảo

Số điện thoại: 0935.785.115