Bài toán sợi dây trong phương trình vật lí toán

LỜI CẢM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo khoa Tốn-LíTin, thƣ viện Trƣờng Đại học Tây Bắc tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn giáo: Th.S Phạm Ngọc Thƣ tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Tuyết MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa đề tài Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Đại cƣơng phƣơng trình vật lí tốn 1.2 Thiết lập phƣơng trình dao động sợi dây 1.2.1 Lập phƣơng trình 1.2.2 Các điều kiện ban đầu điều kiện biên Kết luận chƣơng 1: 10 CHƢƠNG 2: PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY 11 2.1 Dạng 1: Dao động sợi dây vơ hạn Bài tốn Cauchy 11 2.2 Dạng 2: Dao động tự sợi dây hữu hạn (bài toán Fourier) 25 2.2.1 Phƣơng trình loại (hai đầu gắn chặt) 25 2.2.2 Phƣơng trình loại (hai đầu tự do) 47 2.2.3 Phƣơng trình loại (một đầu cố định, đầu tự do) 56 2.2.4 Phƣơng trình loại (một đầu tự do, đầu cố định) 60 2.3 Dạng 3: Dao động cƣỡng sợi dây hữu hạn 67 2.3.1 Bài toán có điều kiện biên khơng 67 2.3.1.1 Dùng phƣơng pháp biến thiên số 68 2.3.1.2 Dùng phƣơng pháp tìm nghiệm riêng 73 2.3.2 Bài tốn có điều kiện biên khác không 80 Kết luận chƣơng 88 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lí học ngành triết học tự nhiên khoa học tự nhiên Vật lí học có liên hệ chặt chẽ với môn khoa học khác Từ lâu phƣơng pháp tốn học đƣợc sử dụng vật lí Tốn học cơng cụ vật lí phát triển đặc biệt vật lí lý thuyết Các lý thuyết vật lí sử dụng ngơn ngữ tốn học để nhận đƣợc cơng thức xác miêu tả đại lƣợng vật lí thu đƣợc nghiên cứu xác hay giá trị ƣớc lƣợng tiên đốn hệ Những kết thí nghiệm hay thực nghiệm vật lí biểu giá trị số Càng sâu vào nghiên cứu ta thấy tốn học vật lí có giao thoa với Những phƣơng pháp toán học dùng vật lí học đại đa dạng bao gồm khối lƣợng lớn kiến thức thuộc chuyên đề nhƣ: Hàm thực, hàm biến phức, phƣơng trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong phƣơng pháp tốn lí ví dụ ta phải dùng đến nhiều cơng thức tốn học để giải tập vật lí Từ sở phƣơng trình Vật lí tốn bản, ứng với loại phƣơng trình xây dựng đƣợc loạt phƣơng trình dao động nhƣ: phƣơng trình sóng chiều, phƣơng trình dao động màng, phƣơng trình truyền nhiệt Kiến thức tốn vơ cần thiết cho bạn sinh viên tiếp thu, thực hành nhƣ nghiên cứu với môn học khác học trƣờng Bên cạnh sở lý thuyết tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm đƣợc kiến thức Các dạng tập vơ phong phú đa dạng Chính vậy, cần phải làm tìm phƣơng pháp tốt nhằm tạo cho niềm say mê u thích mơn học Việc làm có lợi giúp bạn sinh viên thời gian ngắn nắm đƣợc dạng tập, nắm đƣợc phƣơng pháp giải từ phát triển hƣớng tìm tòi lời giải cho dạng tập tƣơng tự Nên em định chọn đề tài “Bài tốn sợi dây phƣơng trình vật lí- tốn” để nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp Mong đề tài tài liệu tham khảo giúp cho bạn sinh viên, đặc biệt sinh viên bắt đầu học phƣơng trình sóng chiều Mặc dù có u thích, với nỗ lực thân việc tìm kiếm thu thập tài liệu Cùng với giúp đỡ cô hƣớng dẫn khoảng thời gian ngắn, lƣợng kiến thức em hạn hẹp nên khơng tránh khỏi sai xót hạn chế Vì em mong đƣợc góp ý hội đồng xét duyệt, quý thầy cô ý kiến bạn đọc để luận văn ngày hoàn thiện Những đóng góp q thầy bạn hành trang giúp em phát huy sáng tạo đƣờng nghiệp sau Mục đích nghiên cứu Phân loại phƣơng pháp giải dạng tập phƣơng trình dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát Giả thuyết khoa học Dùng biểu thức toán học để thiết lập giải tập phƣơng trình dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát Đối tƣợng nghiên cứu Các toán phƣơng trình dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát Phƣơng pháp nghiên cứu Sƣu tầm tài liệu Nghiên cứu kĩ lí thuyết từ đƣa phƣơng pháp giải ứng với tập cụ thể phần dao động sợi dây Ý nghĩa đề tài Cung cấp thêm tài liệu phần dao động sợi dây cho sinh viên trình học tập phần phƣơng trình Vật lí – Tốn Từ giúp việc học tập trở nên nhẹ nhàng đạt hiệu Cấu trúc khóa luận Chƣơng 1: Cơ sở lí thuyết 1.1 Đại cƣơng phƣơng trình vật lí tốn 1.2 Thiết lập phƣơng trình dao động sợi dây 1.2.1 Lập phƣơng trình 1.2.2 Các điều kiện biên sợi dây Chƣơng 2: Phân loại phƣơng pháp giải số toán dao động sợi dây 2.1 Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cauchy 2.2 Dao động tự sợi dây hữu hạn (bài tốn Furie) 2.2.1 Phƣơng trình loại (hai đầu gắn chặt) 2.2.2 Phƣơng trình loại (hai đầu tự do) 2.2.3 Phƣơng trình loại (một đầu cố định, đầu tự do) 2.2.3 Phƣơng trình loại (một đầu tự do, đầu cố định) 2.3 Dao động cƣỡng sợi dây hữu hạn 2.3.1 Bài tốn có điều kiện biên khơng 2.3.2 Bài tốn có điều kiện biên khác khơng NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Đại cƣơng phƣơng trình vật lí tốn [2, 5] Các phƣơng trình mơ tả biến thiên trƣờng theo thời gian thƣờng phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng , chứa hàm chƣa biết (hàm nhiều biến), đạo hàm riêng biến số độc lập Cấp đạo hàm cấp cao hàm chƣa biết có mặt phƣơng trình cấp phƣơng trình Phƣơng trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính bậc hàm chƣa biết đạo hàm riêng Trong xét phƣơng trình vật lí tốn phƣơng trình sóng, phƣơng trình truyền nhiệt phƣơng trình Laplaxơ Sau để đơn giản ta xét việc phân loại phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập Trƣờng hợp nhiều biến số độc lập đƣợc phân loại tƣơng tự Dạng tổng quát phƣơng trình nhƣ là:  2u  2u  2u  2u  2u A  2B C  D E  Fu  G ( x, y ) xy x y x y (1-1) Trong hàm chƣa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y: u  u( x, y) hệ số A, B, C, D, E, F hàm x, y Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp, ta đƣa phƣơng trình (1-1) ba dạng sau: Nếu AC  B2  miền đó, đƣa phƣơng trình (1-1) miền dạng  2u  2u  2u  2u   D1  E1  F1u  G1( , )     (1-2) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại eliptic dạng đơn giản  2u    2u  0 (1-3) Nghĩa D1  E1  F1  G1  Nếu AC  B2  miền đƣa phƣơng trình (1-1) miền dạng  2u  2u  2u  2u   D2  E2  F2u  G2 ( , )     (1-4) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại hypebolic Dạng đơn giản phƣơng trình hypebolic phƣơng trình dao động dây  2u    2u   G2 ( , ) (1-5) Nếu AC  B2  miền phƣơng trình (1-1) đƣa dạng  2u  2u  2u  D3  E3  F3u  G3 ( , )    (1-6) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại parabolic, có dạng đơn giản phƣơng trình truyền nhiệt  2u   E3  2u   G3 ( , ) (1-7) Nghĩa D3  F3  Trong phƣơng trình (1-3) (1-7), ta thƣờng lấy biến số thời gian, biến số tọa độ x, ta có phƣơng trình dao động dây (hay phƣơng trình sóng chiều) :  2u t a  2u (1-8) x Phƣơng trình truyền nhiệt u 2 u a t x (1-9) Phƣơng trình Laplaxơ  2u x   2u y 0 (1-10) Nhiều tốn vật lí kĩ thuật dẫn đến phƣơng trình nên ngƣời ta gọi chúng phƣơng trình vật lí – tốn Các phƣơng trình (1-8), (1-9) (1-10) có vơ số nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện phụ để xác định nghiệm chúng Các phƣơng trình (1-8) (1-9) xuất q trình khơng dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu q trình xảy khoảng không gian x hữu hạn (dao động sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt hữu hạn ta có hai điều kiện sau: 1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t  2) Điều kiện biên cho biết trình xảy biên khoảng khơng gian Bài tốn tìm nghiệm phƣơng trình thỏa mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên gọi toán hỗn hợp, trình xảy khoảng vơ hạn   x   ta cần điều kiện ban đầu Bài tốn gọi tốn Cauchy Phƣơng trình (1-10) khơng chứa thời gian, hai biến số x, y biến số khơng gian Nó xuất nghiên cứu q trình dừng Để xác định nghiệm, ta cần điều kiện biên, vậy, tốn gọi toán biên Các điều kiện biên ban đầu điều kiện biên thƣờng xuất phát từ việc đo đạc thực nghiệm vật lí kĩ thuật nghĩa mang tính chất gần Những sai số nhỏ điều kiện kéo theo sai số nhỏ nghiệm Do đó, ta đòi hỏi nghiệm toán đặt phải phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên điều kiện ban đầu Các tốn đƣợc thiết lập cho nghiệm tồn tại, phụ thuộc liên tục vào điều kiện phụ, gọi toán đƣợc thiết lập Trong đề tài ta tìm hiểu phƣơng trình dao động dây (1-5) (1-8) 1.2 Thiết lập phƣơng trình dao động sợi dây [2, 5] 1.2.1 Lập phƣơng trình a Bài tốn: Xét dây đàn hồi, dao động nhỏ, lực căng dây T tiếp tuyến với dây điểm, độ lớn nhƣ điểm Giả sử dây trùng Ox dao động điểm xảy theo phƣơng Ou vng góc với Ox Gọi u độ lệch dây khỏi vị trí cân u ( x, t ) b Thiết lập phƣơng trình dao động u ( x, t ) Xét đoạn dây nằm khoảng x1, x2 hai đầu dây chịu lực căng T u T 𝛼2 1 T 𝑥1 𝑥2 x Hình 1: [2, 5] Gọi α1, α2 hai góc tạo tiếp tuyến dây hai đầu phƣơng ngang Suy ra: Hình chiếu lực căng tổng hợp tác dụng lên dây phƣơng Ou: T sin   T sin 1 Ngoại lực tác dụng lên dây có mật độ phân bố là: –ρg(x,t) ρ : mật độ khối lƣợng g ( x, t ) : đặc trƣng cho thể tích phần tử đoạn dây x2 Suy hình chiếu trọng lực lên phƣơng Ou:    g ( x, t )dx x1 Gia tốc phần tử đoạn dây: Mx3 Ml  v( x)    x 6 Bước 3: Giải (B): Đây toán dao động tự dây hữu hạn nghiệm dạng:  k t k t  k x  s( x, t )    ak cos  bk sin  sin l l l   k 1  Mx3 Ml s   v   x  t 0 Từ điều kiện ban đầu:  t 0 6 s '  t t 0   k x Mx3 Ml dx   x   ak sin  k 1 l 6  bk  l l 2M k x M  k x  2Ml 2  ak  ( x  l x)sin dx  dx    3 (1)k 3 x cos  6l l 3k  l k      s ( x, t )   2Ml k 1 k  3 (1) k cos k t k x sin l l Vậy nghiệm toán:  Mx3 Ml 2Ml k t k x u ( x, t )  v ( x )  s ( x, t )    x   3 (1) k cos sin 6 l l k 1 k  Bài tập áp dụng Bài tập 1: Tìm nghiệm phƣơng trình: u "tt  a 2u "xx  bx( x  l ) Điều kiện ban đầu: u t 0  0, u 't t 0  Điều kiện biên: u x 0  0, u x l  Hƣớng dẫn giải đáp số Đặt u( x, t )  v( x)  s( x, t ) 77 (1) a v "  bx( x  l ) xx  ( A) v x 0   v x l   s "tt  a s "xx    s x 0  s x l  ( B)   s t 0   v t 0   s ' t 0   v 't t 0 (2) (3) Giải (A): Phƣơng pháp tìm nghiệm riêng bx blx3 bl x   12 12  v( x)   Giải (B): Đây toán dao động tự dây hữu hạn nghiệm dạng:  4l  k at k x k  (  1) cos sin 5  l l k 1 k   s ( x, t )   Vậy nghiệm toán:  bx bl bl 4l  k at k x u ( x, t )  v( x)  s( x, t )    x  x   5  (1) k  cos sin   12 12 l l k 1 k  +) k  2n  u( x, t )  v( x) +) k  2n   u ( x, t )   8l cos (2n  1) at (2n  1) x bx bl bl sin   x  x l l 12 12  Bài tập 2: Tìm nghiệm phƣơng trình: u "tt  u "xx  h cos x k 1 (2n  1) Điều kiện ban đầu: u t 0  h  h cos x, u 't t 0  Điều kiện biên: u x 0  0, u x l  Hƣớng dẫn giải đáp số Đặt u( x, t )  v( x)  s( x, t )  s "tt  s "xx    s x   s x l  ( B)   s t 0  (h  h cos x)  v t 0 s '  t 0   v 't t 0 v "  h cos x xx   ( A) v x 0    v x  l  Giải (A): Phƣơng pháp tìm nghiệm riêng 78  v( x)  h cos x  h(cos l  1) xh l Giải (B): Đây toán dao động tự dây hữu hạn nghiệm dạng: 2h(1  cos l )(1) k 1 k t k x  s ( x, t )   cos sin k l l k 1  Vậy nghiệm toán: u ( x, t )  v( x)  s( x, t )  h cos x   h(1  cos l ) 2h(1  cos l )(1) k 1 k t k x x  h cos sin l k l l k 1 Bài tập 3: Tìm nghiệm phƣơng trình: u "tt  u "xx  b sin x Điều kiện ban đầu: u t 0  0, u 't t 0  Điều kiện biên: u x 0  0, u x l  Hƣớng dẫn giải đáp số Đặt u( x, t )  v( x)  s( x, t )  s "tt  s "xx    s x   s x l  ( B)   s t 0   v t 0 s '  t 0   v 't t 0 v "  b sin x xx  ( A) v x 0   v x l  Giải (A): Phƣơng pháp tìm nghiệm riêng b  v( x)  b sin x  sin x l Giải (B): Đây toán dao động tự dây hữu hạn nghiệm dạng:   s ( x, t )   2bl sin l k 1 k (l k  ) 2 cos k at k x sin l l Vậy nghiệm toán:  b 2bl sin l k at k x u ( x, t )  v( x)  s( x, t )  sin x(b  )   cos sin 2 l l l k 1 k (l  k  ) 79 2.3.2 Bài tốn có điều kiện biên khác khơng Bài tốn: Phƣơng trình dao động sợi dây: u "tt  a 2u "xx   g (2-1)   f1( x) u Các điều kiện ban đầu:  t 0  u 't t 0  f ( x)   1(t ) u Và điều kiện:  x 0  u x l  2 (t ) (2  2) (2  3) Phƣơng pháp giải Bước 1: Ta tìm nghiệm tốn dƣới dạng: u ( x, t )  v( x, t )  w1( x, t )  w ( x, t ) (2-4) Thay (2-4) vào (2-1) ta đƣợc: v ''tt  a 2v "xx  w1 "tt  a 2w1 "xx  w "tt  a 2w "xx   v ''tt  a 2v "xx =a 2w1 "xx  w1 "tt  a 2w "xx  w "tt (2-5) Đặt  F ( x, t )  a 2w1 "xx  w1 "tt  a 2w "xx  w "tt Thì (2-5) có dạng: v ''tt  a 2v "xx   F ( x, t ) (2-6) Nhƣ ta chuyển tốn ban đầu thành tốn phụ sau: Tìm nghiệm v( x, t ) phƣơng trình: v ''tt  a 2v "xx   F ( x, t )   f1( x)  w1 t 0  w t   F1( x) v Các điều kiện ban đầu:  t 0  v 't t 0  f ( x)  w'1 t 0  w'2 t 0  F2 ( x) (2-7)  v t   Các điều kiện biên:   v 't t 0  (2-8)   1(t )  w1 Hàm w1( x, t ) thỏa mãn điều kiện:  x 0   w'1 x l  (2-9)   w x 0  Hàm w ( x, t ) thỏa mãn điều kiện:    w'2 x l  2 (t ) (2-10) Các hàm w1( x, t ) ; w ( x, t ) đƣợc lựa chọn cách thích hợp cho thỏa mãn điều kiện (2-9) (2-10) 80 Bước 2: Nghiệm v( x, t ) phƣơng trình (2-6) dƣới dạng:  v( x, t )   Tk (t )sin k 1 (2k  1) x 2l (2-11) Thay (2-11) vào (2-6) ta đƣợc:   (2k  1)2  (2k  1) x (2k  1) x  2l sin 2l  a  T "k sin 2l   F ( x, t ) k 1 k 1   (2k  1)2   (2k  1) x F ( x, t )   T "k  Tk  sin  2 l l a a2 k 1   Khai triển hàm F ( x, t ) a2  (2-12) thành chuỗi dƣới dạng: (2k  1) x 2l (2-13) F ( x, t ) (2k  1) x  k   sin dx l 2l a (2-14) F ( x, t ) a2    k (t )sin k 1 l Thay (2-13) vào (2-12) ta đƣợc:   (2k  1) x (2k  1)2   (2k  1) x    k (t )sin  T "k  4l 4a2 Tk  sin 2l 2l  k 1 k 1   Đồng thức vế đẳng thức, ta đƣợc: T "k  (2k  1)2  4l 4a Tk   k (t ) (2-15) Phƣơng trình (1-15) cho nghiệm dạng: Tk (t )  ak sin (2k  1) t (2k  1) t  bk cos  Trk (t ) 2la 2la (2-16) Trong đó: Trt (t ) nghiệm khơng Thay (2-16) vào (2-11) nghiệm v( x, t ) dạng: v( x, t )     ak sin k 1 (2k  1) t (2k  1) t  (2k  1) x  bk cos  Trk (t )  sin 2la 2la 2l  81 (2-17) Bước 3: Sử dụng điều kiện ban đầu (2-7):   (2k  1) x v   F1( x)  t 0   ak  Trt (0)  sin l  k 1     (2k  1) x (2k  1) t dTrt  v  b cos   F1( x)  sin  t 0   k la dt l t 0  k 1   l  l (2k  1) x dx ak  Trt (0)   F1( x)sin 2 l    l  (2k  1) t dTrt l (2k  1) x    F2 ( x)sin dx bk cos la dt 2 l t 0   l  l (2k  1) x dx  Trt (0) ak   F1( x)sin 2l   l 4a l (2k  1) x 2la dTrt  b  F ( x )sin dx  k  (2k  1)  2l (2k  1) dt  (2-18) t 0 Thay (2-18) vào (2-17) nghiệm v( x, t ) hoàn toàn tƣờng minh Thay hàm v( x, t ), w1( x, t ), w ( x, t ) vào (2-3) nghiệm u ( x, t ) hồn tồn tƣờng minh Ví dụ 1: Xác định dao động sợi dây gắn chặt mút x  , mút x  l chuyển động theo quy luật u(l , t )  Asin t Biết độ lệch vận tốc ban đầu Phƣơng pháp giải Gọi u ( x, t ) độ lệch dây thời điểm t Bài tốn dẫn tới việc giải phƣơng trình: u "tt  a 2u "xx  (1) Điều kiện ban đầu: u t 0  0, u 't t 0  (2) Điều kiện biên: u x 0  0, u x l  Asin t (3) Bước 1: Đặt u( x, t )  v( x)  s( x, t ) 82 v "  a v "  xx  tt ( A) v x 0   v x l  A sin t  s "tt  a s "xx    s x 0  s x l  ( B)   s t 0   v t 0   s ' t 0   v 't t 0 (4) (5) Bước 2: Giải (A): Tìm nghiệm (4) dƣới dạng: v( x, t )  X ( x)T (t )  T " X  a X "T   T" X"  X a2 T VP  x  T" X"   const  c   VT  t  X a T T " ca 2T   có hệ phƣơng trình   X " cX  có nghiệm thỏa mãn điều kiện v(0)  X (0)T (t )  T (t )    v ( l )  X ( l ) T ( t )  A sin  t    X (0)   X (l )  B  T (t )  A sin t B A A Thay vào T " ca 2T     sin t  ca sin t  B B      ca   c     a 2 2   Thay vào X " cX   X "   X  a Đặt X  erx 2       r e    erx   r  i    r  i a a a rx  X ( x)  c1 cos  a x  c2 sin  a x 83  X (0)  c1   x  sin Từ điều kiện biên  l B a  X ( x)  B  X (l )  B  c2 sin a  c2  l l sin sin  a a  B v( x, t )  X ( x)T ( x)  sin l sin x A a B sin t  a A sin l sin x a sin t a Bước 3: Giải (B): Đây tốn tìm dao động tự sợi dây gắn chặt biên  s "tt  a s "xx    s x   s x l   s  t 0   v t 0  A x  s ' t    v 't t    sin l a  sin  a  Nghiệm (5) thỏa mãn điều kiện (6) có dạng:  k at k at  k x   s( x, t )    ak cos  bk sin  sin l l l   k 1 Tìm ak , bk từ điều kiện ban đầu:  k x 0  s t 0   ak sin l  k 1  k a k x A x  s 't  bk sin  sin t 0  l l l a  k 1 sin  a ak   l   b    A sin  x sin k x dx l  k k a  a l sin  a 84 (5) (6) +) bk   2 A k a sin l l a  sin x a sin k x dx l l    x k x    x k x   I    cos      cos   dx   a l  a l   l l    1 1   k    k    sin      k sin       k   a l  l     a        a l l    a   l l  l  k k k k (  1) sin (  1) sin (  1) sin 1 a  a   l a    2  k   k  2       k    l a l   a   l   a 2 A (1) k 1 k at k x s ( x, t )   sin sin 2 l l  k  k 1 al         a  l   Vậy nghiệm toán: u ( x, t )  v ( x )  s ( x, t )  A sin  x sin t a sin l a 2 A  (1) k 1 k at k x  sin sin  al k 1   2  k 2 l l      a  l  Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm nghiệm phƣơng trình: u "tt  a 2u "xx  (a  const ,0  x  l , t  0) Mx  u   l Thỏa mãn điều kiện ban đầu:  t 0 u 't  t 0  u x 0  Điều kiện biên:  u x l  M cos t 85 Hƣớng dẫn giải đáp số Đặt u( x, t )  v( x, t )  s( x, t )  s "tt  a s "xx    s x 0  s x l  ( B)   s t 0  u t 0  v t 0   s ' t 0  u 't t 0  v 't t 0 v "  a v "  xx  tt ( A) v x 0   v x l  M cos t Giải A: Tìm nghiệm v( x, t ) v( x, t )  X ( x)T (t )  M x sin cos t l a sin a Giải B: Tìm nghiệm s( x, t )  s( x, t )   (1) k 1 2M l2 k l  k 2 2a k 1 cos k at k x sin l l Vậy nghiệm toán: u ( x, t )  v ( x, t )  s ( x, t )   x 2M l2 k at k x sin cos t   (1) k 1 cos sin l a k l  k 2 2a l l k 1 sin a M Bài tập 2: Xác định dao động sợi dây gắn chặt đầu mút x  l , đầu mút x  chuyển động theo quy luật u x 0  B cos t Biết độ lệch ban đầu vận tốc ban đầu không Hƣớng dẫn giải đáp số Đặt u( x, t )  v( x, t )  s( x, t )  s "tt  a s "xx    s x 0  s x l  ( B)   s t 0   v t 0   s ' t 0   v 't t 0 v "  a v "  xx  tt ( A) v x 0   v x l  B cos t Giải A: Tìm nghiệm v( x, t ) 86 x l  x   v( x, t )  X ( x)T (t )   B cos  B cot an sin cos t  a a a   Giải B: Tìm nghiệm s( x, t )  s ( x, t )   k 1 l Bk a  k a  2 2 cos k at k x sin l l Vậy nghiệm toán: x l  x   u ( x, t )  v( x, t )  s( x, t )   B cos  B cot an sin cos t a a a     k 1 l Bk a  k a  2 2 cos k at k x sin l l Bài 3: Tìm dao động đồng chất mà đầu cố định, đầu chịu tác dụng lực Q ( lên đơn vị diện tích  ) dọc theo Biết độ lệch vận tốc ban đầu không Hƣớng dẫn giải đáp số Đặt u( x, t )  v( x, t )  s( x, t )  s "tt  a s "xx    s x 0  s x l  ( B)   s t 0   v t 0   s ' t 0   v 't t 0  v "tt  a 2v "xx   ( A) v x 0   Q v   x l  Giải A: Tìm nghiệm v( x, t ) v( x, t )  X ( x)T (t )  Q  x Giải B: Tìm nghiệm s( x, t ) s ( x, t )  8Ql   (1)k 1  (2k  1)2 cos  k 1 (2k  1) at (2k  1) x sin 2l 2l Vậy nghiệm toán: u ( x, t )  v ( x , t )  s ( x , t )  Q  x 8Ql  (1)k 1  (2k  1)2 cos  2 k 1 87 (2k  1) at (2k  1) x sin 2l 2l Kết luận chƣơng Chƣơng trình bày ba dạng tập dao động sợi dây, đồng thời cách giải loại tập số ví dụ vận dụng cụ thể 88 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ Kết luận Qua thời gian thực đề tài, với cố gắng thân giúp đỡ thầy, giáo khoa Vật lí đặc biệt cô giáo hƣớng dẫn ThS Phạm Ngọc Thƣ, đến em hoàn thành đề tài đạt đƣợc két nhƣ sau: Nội dung gồm: Xây dựng phƣơng trình dao động sợi dây phân loại dạng toán đặc trƣng nhƣ: dao động sợi dây vơ hạn (bài tốn Cauchy), dao động sợi dây hữu hạn, dao động cƣỡng sợi dây hữu hạn Từ đƣa đƣợc cách giải cho loại toán với số toán cụ thể với dạng phƣơng trình khái quát đặc trƣng dạng đƣa dẫn phƣơng pháp giải nhƣ: phƣơng pháp D’lembert, phƣơng pháp tách biến Fourier, phƣơng pháp đặt hàm phụ…từ đƣa bƣớc cụ thể, phạm vi áp dụng Những phân tích, dẫn đƣợc minh họa ví dụ cụ thể Đối với phƣơng pháp có ƣu nhƣợc điểm riêng tùy thuộc vào toán áp dụng phƣơng pháp phù hợp cho toán trở nên đơn giản Đề tài giúp hiểu sâu mơn Phƣơng pháp tốn lí nói chung phƣơng trình sóng chiều riêng Tập thói quen nhƣ khả giải tập dao động sợi dây cách tốt Đề nghị - Thƣ viện tăng thêm số sách tham khảo để việc thực đề tài đƣợc thuận lợi - Các cấp lãnh đạo, đoàn thể thầy cô giáo tạo điều kiện để số sinh viên tham gia nghiên cứu đề tài tăng số lƣợng chất lƣợng 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Chính Cƣơng (2011), Bài tập phương pháp tốn lí, Nhà xuất Đại Học Sƣ Phạm Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lí, Nhà xuất Giáo Dục Phan Huy Thiện (2010), Phương trình tốn lí, Nhà xuất Giáo Dục Phan Huy Thiện (2010), Tuyển tập tập phương trình tốn lí, Nhà xuất Giáo Dục Đỗ Đình Thanh (chủ biên)- Vũ Văn Hùng (2007), Phương pháp tốn lí, Nhà xuất Giáo Dục 90 91 ... MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY 11 2.1 Dạng 1: Dao động sợi dây vơ hạn Bài tốn Cauchy 11 2.2 Dạng 2: Dao động tự sợi dây hữu hạn (bài toán Fourier) 25 2.2.1 Phƣơng trình. .. vật lí tốn 1.2 Thiết lập phƣơng trình dao động sợi dây 1.2.1 Lập phƣơng trình 1.2.2 Các điều kiện biên sợi dây Chƣơng 2: Phân loại phƣơng pháp giải số toán dao động sợi dây 2.1 Dao động sợi dây. .. tự sợi dây hữu hạn (bài toán Fourier) [1, 2, 5] 2.2.1 Phƣơng trình loại (hai đầu gắn chặt) Bài toán: Xét dao động tự sợi dây có chiều dài l (l  0) hai đầu sợi dây gắn chặt Thiết lập dao động sợi