Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm số trong chương trình toán lớp 12

LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành Trường Đại học Tây Bắc Trong q trình làm khóa luận tốt nghiệp nhận nhiều giúp đỡ để hồn thành khóa luận Trước tiên tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Giảng viên TS Hồng Ngọc Anh tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Xin gửi lời cảm ơn đến q thầy Khoa Tốn – Lý – Tin Trường Đại học Tây Bắc, người truyền đạt kiến thức quý báu cho suốt thời gian tơi thực khóa luận Sau xin gửi lời cảm ơn đến gia bạn sinh viên lớp K55 Đại học sư phạm Toán ln đồng hành, giúp đỡ tơi q trình làm khóa luận Một lần nữa, tơi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Phan Thị Minh Ngọc DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ THPT Trung học phổ thông TS Tiến sĩ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn khóa luận Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu 4.2 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NỘI DUNG Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đạo hàm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm 1.2 Ứng dụng đạo hàm để nghiêm cứu hàm số 1.2.1 Sự biến thiên hàm số 1.2.2 Cực trị hàm số 1.2.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1.2.4 Đường tiệm cận 1.2.5 Sự tương giao 1.2.6 Tiếp Tuyến Chƣơng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN LỚP 12 11 2.1 Bài tốn tìm biến thiên hàm số 11 2.1.1 Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số 11 2.1.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu 15 2.2 Bài toán cực trị hàm số 18 2.2.1 Dạng 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu hàm số 18 2.2.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu 22 2.3 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 25 2.3.1 Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 25 2.3.2 Dạng 2: Bài toán vận dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 29 2.4 Đường tiệm cận 32 2.4.1 Dạng 1: Tìm phương trình tiệm cận ngang, tiệm cận đứng 32 2.4.2 Dạng 2: Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang thỏa mãn điều kiện cho trước 36 2.5 Sự tương giao 39 2.5.1 Dạng 1: Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số 39 2.5.2 Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hai hàm số có giao điểm 42 2.6 Tiếp tuyến 47 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lý chọn khóa luận Trong chương trình tốn phổ thơng đặc biệt chương trình tốn lớp 12 “Đạo hàm” phần kiến thức thiếu học sinh Việc nắm vững kiến thức đạo hàm như: định nghĩa đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, cơng thức tính đạo hàm ứng dụng đạo hàm vào giải toán giúp học sinh giải toán hàm số cách đơn giản nhanh gọn, từ phát triển tư học sinh bồi dưỡng lực cho em Vận dụng đạo hàm để giải số toán hàm số chương trình Tốn lớp 12 nội dung trọng tâm ôn thi THPT Quốc gia Với mong muốn làm rõ khía cạnh khai thác đạo hàm để giải tốn thường gặp chương trình Tốn lớp 12, qua xây dựng cho học sinh phương pháp chủ đạo hình thành kỹ việc giải toán Hàm số, phục vụ tốt cho việc dạy học mơn Tốn lớp 12, vậy, tơi chọn khóa luận: “Ứng dụng đạo hàm để giải số toán hàm số chương trình Tốn lớp 12” Mục đích nghiên cứu Trên sở tổng hợp lại kiến thức đạo hàm, sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải số tốn hàm số thường gặp chương trình Tốn lớp 12 Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng hợp lại kiến thức đạo hàm; - Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải số tốn hàm số thường gặp chương trình Toán lớp 12 Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tƣợng nghiên cứu Một số tốn hàm số thường gặp chương trình Tốn lớp 12 4.2 Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng Đạo hàm để giải số toán hàm số chương trình Tốn lớp 12 Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài bao gồm chương: Chương Một số kiến thức Chương Ứng dụng đạo hàm để giải số toán hàm số chương trình Tốn lớp 12 NỘI DUNG Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đạo hàm 1.1.1 Định nghĩa a) Đạo hàm điểm Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng (a; b) x0  (a;b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) giới hạn gọi đạo hàm x  x0 hàm số y  f ( x ) điểm x0 ký hiệu f '( x0 ) y '(x0 ) , tức f '( x0 )  lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 b) Đạo hàm khoảng Hàm số y  f ( x ) gọi có đạo hàm khoảng (a; b) có đạo hàm điểm x thuộc khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f ' : (a; b)  x f '( x ) Là đạo hàm hàm số y  f ( x) khoảng (a; b) , kí hiệu y ' f '( x) c) Đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) ta gọi giới x  x0 hạn đạo hàm bên phải hàm số y  f ( x ) x  x0 kí hiệu f ( x0 ) Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 gọi đạo hàm bên trái hàm số y  f ( x ) x  x0 kí hiệu f ( x0 ) Các đạo hàm bên phải bên trái gọi chung đạo hàm bên d) Đạo hàm đoạn Hàm số y  f ( x) gọi có đạo hàm đoạn  a; b thỏa mãn điều kiện sau: Có đạo hàm x   a; b  Có đạo hàm bên phải x  a Có đạo hàm bên trái x  b 1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm (C)'  (C = const) 13 (ku)'  ku ' (k số) ( x )'  14 (u  v  w)'  u ' v ' w'  x  ' '  ax  by  ad  bc 15     cx  dy   cx  dy  x   x n  n x n1 16  sin x   cos x  u  v  '  u' v' 17  cos x    sin x '   ' u  ' ' u' u 18  tan x   ' ' 1     x x cos2 x 19  cot x    '   sin x un  n.un1.u ' 20  sinu   u '.cosu 10  u.v  '  u ' v  uv ' 21  cosu   u '.sinu ' ' ' '  u  u ' v  uv ' 11     v  v( x )   v2 v ' v' 1 12      v  v( x )   v v 22  tanu   ' u' cos2 u 23  cotu    ' 1.2 Ứng dụng đạo hàm để nghiên cứu hàm số 1.2.1 Sự biến thiên hàm số a) Kiến thức sở - Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I u' sin u a) Nếu f '( x )  với x  I hàm số f đồng biến khoảng I b) Nếu f '( x )  với x  I hàm số f nghịch biến khoảng I c) Nếu f '( x )  với x  I hàm số f không đổi khoảng I - Dấu nhị thức bậc Nhị thức f ( x )  ac  b có giá trị dấu với hệ số a x lấy giá  b  trị khoảng   ;   , trái dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng  a  b   ;  a    Bảng xét dấu nhị thức bậc hai f ( x )  ac  b x  f ( x )  ac  b  dấu với a b a  trái dấu với a - Dấu tam thức bậc hai Cho f ( x )  ax  bx  c(a  0),   b2  4ac Nếu   f ( x ) dấu với hệ số a, với x  Nếu   f ( x ) dấu với hệ số a, trừ x  b 2a Nếu   f ( x ) dấu với hệ số a x  x1 x  x2 , trái dấu với hệ số a x1  x  x2 ( x1  x2 ) hai nghiệm f ( x ) Bảng xét dấu tam thức bậc hai f ( x )  ax  bx  c (với   ) x f ( x )  ax  bx  c  x1 x2  dấu với a Trái dấu với a dấu với a b) Phương pháp giải Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y ' Tìm điểm xi (i  1,2, , n) mà y '  y ' không xác định Bước 3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tang dần lập bảng biến thiên Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số 1.2.2 Cực trị hàm số a) Kiến thức sở - Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập hợp D( D  ) x0  D a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b)  D f ( x )  f ( x0 ) với x   a; b  \ x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 f ( x )  f ( x0 ) với cho (a; b)  D x   a; b  \ x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực địa giá trị cực tiểu gọi chung cực trị - Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Giả sử hàm số y  f (x) lien tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \  x0  với h  a) Nếu f '( x0 )  khoảng  x0 ; x0  h   x0  h; x0  f '( x0 )  khoảng x0 điểm cực đại hàm số f ( x ) b) a) Nếu f '( x0 )  khoảng  x0  h; x0  f '( x0 )  khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) b) Phương pháp giải Để giải toán cực trị hàm ta áp dụng hai Quy tắc tìm cực trị sau: Quy tắc 1: A m  B Với m C m  D Khơng có m Đáp án: C Câu 2: Với điều kiện tham số m cho đây, đồ thị hàm số x 2 có tiệm cận đứng  Cm  : y  x  3x  m A m B m  C m   D m   Đáp án: D x  3x  Câu 3: Để đường cong (C) : y  có đương tiệm cận đứng x  ax  a giá trị a là: A a  a  C  a  B a  a  D  a  Đáp án: C Câu 4: Tìm tất giá trị m để hàm số y  x 3 mx  có hai tiệm cận ngang A m  B m  C m  D m  1 Đáp án: D Câu 5: Với giá trị tham số m cho thì, đồ thị hàm số x  m 1 khơng có tiệm cận ngang? y x 1 A Với m B m  C m  D Khơng có m Đáp án: C Câu 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số x 1 có hai đường tiệm cận đứng (C ) : y  x  xm A Mọi m m   C  m   m   B  m   D m  Đáp án: B Câu 7: Tìm tất giá trị tham số m cho tiệm cận ngang đồ thị 38 hàm số y  mx  tiếp xúc với parabol y  x  x  m 1 A Khơng có giá trị m B m  C m  D Với m  Đáp án: B ax  đồ thị hàm số nhận trục hoành x  3b  trục tung làm tiệm cận ngang tiệm cận đứng Khi tổng a  b bằng: Câu 8: Cho hàm số y  A C  B D Đáp án: C 4mx  3m Với giá trị m đường tiệm cận x 2 đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích 2016 Câu 9: Cho hàm số y  A m  1008 B m  504 C m  252 D m  1008 Đáp án: C Câu 10: Cho hàm số y  5x  với m tham số thực Chọn khẳng định x  4x  m sai: A Nếu m  4 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang B Nếu m  4 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tiệm cận đứng C Nếu m  4 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang D Với m hàm số ln có hai tiệm cận đứng 2.5 Sự tƣơng giao 2.5.1 Dạng 1: Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số a) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giao điểm đường thẳng d: y  x  đồ thị hàm số (C) : y  x  x  x  39 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d với đồ thị hàm số (C) là: x   x3  x2  2x   x3  x2   x ( x  1)  x   y  3  A(0;-3)    x  1  y  5  B(1; 5) Vậy A(0; 3),B( 1; 5) giao điểm đường thẳng d với đồ thị hàm số (C) Ví dụ 2: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số (C) : y   x  x  với trục Ox Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (C) với trục Ox là: x4  2x2    ( x  1)2  (PTVN) Vậy số giao điểm giao điểm đồ thị hàm số (C) với trục Ox x2  2x  Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số (C) : y  đường x 2 thẳng d : y  x  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (C) với đường thẳng d là: x2  2x   x 1 x 2  x  x   ( x  2)( x  1)  x  1 Với x  1  y   A(1;0) Vậy A(1;0) tạo độ giao điểm đồ thị hàm số (C) đường thẳng d b) Bài tập tƣơng tự Câu 1: Số giao điểm đường cong y  x  x  x  đường thẳng y   x là: A B C 40 D Đáp án: B Câu 2: Biết đường thẳng y  5x  cắt đồ thị hàm số t y  x  x  điểm ( x0 ; y0 ) Tìm y0 A y0  B y0  1 C y0  D y0  Đáp án: D Câu 3: Đồ thị hàm số y  x  3x  cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ x1; x2 Khi x1  x2 bằng: A B C D 2 Đáp số: C Câu 4: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) đồ thị ( P) : y   x Số giao điểm đồ thị (C) đồ thị (P) là: A B C D Đáp án: A Câu 5: Số giao điểm hàm số y  x  x  y  x  13x A B C D Đáp án: C Câu 6: Đồ thị hàm số y  x  x  đồ thị hàm số y  x  x  có tất điểm chung? A B C D Đáp án: B Câu 7: Tọa độ giao điểm (C) : y  A M(1;1),N(1;2) M(1; 2) x 1 d : y   x  là: 2x 1 B M(1;0),N(1;2) C M(1;0),N(1;2) D Đáp án: B Câu 8: Gọi M, N giao điểm đường thẳng a : y  x  đường cong (C ) : y  2x  Khi hồnh độ trung điểm I đoạn thẳng MN bằng: x 1 A  B C 41 D Đáp án: C x Gọi M điểm thuộc (C) cho khoảng cách x 1 từ M đến đường thẳng d : 3x  y  Hỏi có tất điểm M thỏa mãn điều kiện đề Câu 9: Cho đồ thị (C) : y  A Có điểm C Có điểm B Khơng có điểm D Có vơ số điểm Đáp án: A x 3 Biết rằng, có hai điểm thuộc đồ x 1 thị (C) cách hai điểm A(2;0) B(0; 2) Gọi điểm M Câu 10: Cho (C) đồ thị hàm số y  N Tọa độ trung điểm I đoạn MN là: A I (1;1) 3  B I  0;   2   3 C I  0;   2 D I (2;2) Đáp số: A 2.5.2 Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hai hàm số có giao điểm a) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm m để đường thẳng d: y  m cắt đồ thị hàm số (C) y  x  3x  điểm phân biệt Lời giải  x  1 Đạo hàm: y '  3x  , y '   x     x  Bảng biến thiên: x  y' 1 + y  x  3x   +    Từ bảng biến thiên ta thấy để đường thẳng d: y  m cắt đồ thị hàm số (C) y  x  3x  điểm phân biệt  m  42 Vậy  m  giá trị cần tìm Ví dụ 2: Tìm m để đường cong (C) : y  x  mx  mx  cắt đường thẳng d : y  x  điểm phân biệt Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong (C) với đường thẳng d là: x  mx  mx   x   x  mx  mx  x   x ( x  mx  m  1)  (1) x    g (x)  x  mx  m   Để đường cong (C) : y  x  mx  mx  cắt đường thẳng d : y  x  điểm phân biệt phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác khi: m2  4.(m  1)  m  0, m       g(0)  m   m  Vậy để đường cong (C) : y  x  mx  mx  cắt đường thẳng d : y  x  điểm phân biệt m  2, m  Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  x  x  điểm phân biệt Lời giải x  Đạo hàm: y '  x  x , y '   x  x   x ( x  1)    x  1  x  Bảng biến thiên: 43  x 1  y' 0 +    +  y  x4  2x2  2 Từ bảng biến thiên ta thấy để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  x  x  điểm phân biệt  m  Vậy  m  giá trị cần tìm Ví dụ 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng 2x  hai điểm phân biệt d : y   x  m cắt đồ thị hàm số (C) : y  x2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C) là: 2x    x  m 2 x   ( x  2)( x  m)    x2 x   x   x  x  mx  2m    x   x  (4  m) x  2m   (1)  x  Để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khi:      m    2m  1   m2  12  0m Vậy với giá trị m đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phân biệt Ví dụ 5: Cho hàm số (C) : y  x 5 Tìm m để đường thẳng d : y  x cắt đồ thị xm hàm số (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB  44 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (C) đường thẳng d là:  x 5 x  x   x ( x  m)  x  mx  x      x  m x   m   x  m   x  m g( x )  x  (m  1)x   (1)   x  m Để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm A, B phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm khác m khi: m2  2m  19      g(m)  m  5 Giả sử A( x1; x1 ) , B( x2 ; x2 ) , x1, x2 nghiệm phương trình (1) x  x  m  Áp dụng định lý Viet ta có:   x1 x2  Theo ta có: AB   ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2   2( x1  x2 )2   ( x1  x2 )2   ( x1  x2 )2  x1 x2  16  m  5 (Lo¹i)  (m  1)2  4.5  16  m  2m  35     m  (TM§K) Vậy m = giá trị cần tìm b) Bài tập tƣơng tự Câu 1: Cho hàm số y  x  3x  Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  m điểm phân biệt khi: A 3  m  B 3  m  C m  D m  3 Đáp án: A Câu 2: Đồ thị hàm số y  x  x  (m  6) x  3m cắt trục hoành điểm phân biệt khi: 45 A m  m  1 C  m  15 B m  1 m  D  m  15 Đáp án: D Câu 3: Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y  mx  3m cắt đồ thị hàm số (C) : y  x  3x điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12  x22  x32  15 A m  B m   C m  D m  3 Đáp án: C Câu 4: Tìm tất giá trị thực m để phương trình x  3x  2m có nghiệm phân biệt, có nghiệm thuộc khoảng  1;0  A  m  B 1  m  C 2  m  D  m  Đáp án: D Câu 5: Đồ thị hàm số y  x  x  cắt đường thẳng y  m điểm phân biệt khi: A m   4; 3 C m B m   4; 3 \  4; 3 D m  Đáp án: B Câu 6: Giá trị m để đồ thị hàm số y  x  2mx  m  cắt trục tung điểm có tung độ là: A m  3 B m  C m  D Khơng có giá trị m Đáp án: A Câu 7: Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số (C) : y  x  mx  m  cắt trục hoành điểm phân biệt m  A  m  B Khơng có m C m  D m  Đáp án: A Câu 8: Đồ thị (C) : y  mx  Với giá trị m (C) qua điểm 2x  m 46 M(1;0) A  1 C 2 B D Đáp án: D Câu 9: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y  m  x cắt đồ thị hàm số (C) : y  A m  2x  hai điểm phân biệt x 1 B m  C m  D m  Đáp án: A 2x  Đường thẳng d : y   x  m cắt (C) x2 hai điểm phân biệt A, B cho độ dài AB nhỏ khi: Câu 10: Cho hàm số (C) : y  A m  B m  C m  D m  1 Đáp số: B 2.6 Tiếp tuyến a) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  3x  điểm có hồnh độ x  Lời giải Ta có: y '  3x  x , y '(1)  3.12  6.1  y(1)  13  3.12    Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số là: y   9( x  1)  y  x  Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  hoành độ x  Lời giải Ta có: y '  5 5 , y '(1)  (1  2)2 ( x  2) y(1)  2.1  3 1  47 2x  điểm có x   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số là: y   5( x  1)  y  5x  Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  5x  Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số (C) : y  x  3x  Tìm tiếp tuyến (C) qua điểm A(0;3) Lời giải Ta có: y '  3x  x Giả sử phương trình tiếp tuyến qua điểm A(0;3) có hệ số góc k có dạng: y   k( x  0)  y  kx  (d) Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  x  3x   kx   (*)   3x  x  k  x     x  Giải hệ phương trình (*) ta được:   15  3 k   Với k  15 15 , Phương trình tiếp tuyến là: y  x  4 Với k  3 , Phương trình tiếp tuyến là: y  3x  15  y  x 3  Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) là:   y  3 x  Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y  x 2 Biết tiếp x 1 tuyến song song với đường thẳng d : y  3x  Lời giải Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  3x  nên k( C )  kd  Ta có: y '   x  1   x  1  x  (loai) 3   x  2 48 Với x  2  y  8  M(2; 8)  Phương trình tiếp tuyến (C) là: y   3( x  8)  y  3x  22 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) là: y  3x  22 b) Bài tập tƣơng tự Câu 1: Phương trình tiếp tuyến đường cong (C) : y  x  x điểm có hồnh độ 1 là: A y  x  y  x  B y  x  C y   x  D Đáp án: B Câu 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x điểm có hồnh độ x0  1 là: A y  3x  B y  3x  C y  3x  D y  3x  Đáp án: C Câu 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 1 điểm có hoành x2 độ x  3 là: A y  3x  B y  3x  13 C y  3x  13 D y  3x  Đáp án: C Câu 4: Cho hàm số (C) : y  2x  Phương trình tiếp tuyến (C) giao x 2 điểm (C) với trục tung là: A y  x  B y  x 3 C y  x  D y  x 2 Đáp án: B x2  x  Viết phương trình tiếp tuyến Câu 5: Cho đồ thị hàm số (C) : y  (C) qua điểm M(2; 1) A y  x  B y  2 x  C y  x  D y  x  Đáp án: C Câu 6: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y  x  x điểm 49 M(1;3) là: A y  x  B y  x  C y  7 x  D y  7 x  Đáp án: B Câu 7: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y  x  3x  có hệ số góc là: A y  x  18; y  x  22 B y  x  14; y  x  18 C y  x  18; y  x  22 D y  x  14; y  x  18 Đáp án: B Câu 8: Tiếp tuyến đồ thị (C) : y  2x  song song với đường thẳng x2  : 3x  y   có phương trình là: A y  3x  B y  3x  C y  3x  14 D y  3x  Đáp án: C Câu 9: Có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y  2x  1 x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  3y   là: A B C D Đáp án: B Câu 10: Cho hàm số y  x  x  x có đồ thị (C) Gọi x1, x2 hoành độ điểm M, N (C) , mà tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y   x  2017 Khi x1  x2 bằng: A B  C Đáp án: A 50 D 1 KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu, khóa luận thu số kết sau: Khóa luận hệ thống lại số kiến thức sở đạo hàm Phần kiến thức sở nêu định nghĩa đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, kiến thức sở phương pháp giải toán như: khoảng biến thiên hàm số; cực trị hàm số; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số; tiệm cận hàm số; tương giao, tiếp tuyến đồ thị hàm số Hệ thống dạng toán hàm số thường gặp chương trình Tốn lớp 12, cách giải dạng tốn số tập tương tự Từ đó, giúp học sinh hình thành phương pháp giải số toán hàm số, giúp cho học sinh có sở vận dụng linh hoạt sáng tạo phương pháp làm việc với toàn Tơi mong khóa luận hồn thành tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên Sư phạm Toán Trường Đại học Tây Bắc cho em học sinh Trung học phổ thông quan tâm Do lực điều kiện nghiên cứu có hạn nên khóa luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên khoa để nội dung khóa luận thêm đầy đủ hoàn thiện 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, 2015, Đại số 10, Lần 9, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo, 2017, Đại số 10, Lần 10, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXB Giáo dục [4] Trần Luận (1995), Phát triển tư sáng tạo cho học sinh thơng qua hệ thống tập tốn, Nghiên cứu giáo dục [5] Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn tốn, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [6] Đồn Quỳnh, 2015, Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [7] Đoàn Quỳnh, 2017, Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục việt Nam [8] Polya G.(1995), Toán học suy luận có lý, NXB Giáo dục [9] Polya G.(1997), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục 52 ... Ứng dụng đạo hàm để giải số tốn hàm số chương trình Tốn lớp 12 Mục đích nghiên cứu Trên sở tổng hợp lại kiến thức đạo hàm, sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải số toán hàm số thường gặp chương trình. .. chương: Chương Một số kiến thức Chương Ứng dụng đạo hàm để giải số tốn hàm số chương trình Tốn lớp 12 NỘI DUNG Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đạo hàm 1.1.1 Định nghĩa a) Đạo hàm điểm Cho hàm. .. cứu 4.1 Đối tƣợng nghiên cứu Một số toán hàm số thường gặp chương trình Tốn lớp 12 4.2 Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng Đạo hàm để giải số tốn hàm số chương trình Tốn lớp 12 Phƣơng pháp nghiên cứu -