Giúp học sinh lớp 9 áp dụng định lý vi ét vào giải các bài tập có liên quan

Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 MỤC LỤC: STT Tên đề mục Trang Mở đầu 02 Nội dung SKKN 04 Kết luận đề xuất 17 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Với mong muốn góp phần hình thành phát triển phẩm chất, lực học sinh, tự chủ động sáng tạo, có kiến thức văn hóa, khoa học có kỹ giải tốn, có sức khỏe ý chí vươn lên, có lực tự học thói quen học tập suốt đời, có lực vào thực tiễn xã hội góp phần hiệu làm cho dân giàu nước mạnh xã hội cơng bằng, dân chủ văn minh Tốn học nói chung, tốn THCS nói riêng có nhiều loại, nhiều dạng tập nên học sinh gặp nhiều khó khăn đứng trước tốn Đối với lứa tuổi học sinh THCS nói chung đối tượng nghiên cứu học sinh lớp nói riêng, tuổi em khơng phải cịn nhỏ khả phân tích, suy luận, tự minh tìm lời giải cho tốn cịn nhiều hạn chế đối tượng học sinh học yếu lười học Mặt khác đề thi vào lớp 10 trung học phổ thơng, tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Ta thấy để giải tốn có liên qua đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số , thơng qua học sinh có cách nhìn tổng qt hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số Chính nên dạng tốn mơn đại số lớp “ vận dụng hệ thức Vi-ét ứng dụng để giả tập có liên quan” em dạng tốn khó Đối với dạng tốn nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải cịn mắc phải nhiều sai sót Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Chương trình mơn Tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do vậy, học em nắm lý thuyết bản, mà phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải toán rút phương pháp chung để giải dạng bài, sở tìm lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Thơng qua q trình giảng dạy, đồng thời qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức VI-ET vào giải tốn phương trình bậc hai cịn nhiều hạn chế thiếu sót Đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học để biện luận phương trình bậc hai cho có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện đó… Đây phần kiến thức khó em học sinh lớp Bởi lẽ từ trước đến em quen giải dạng tốn tính giá trị biểu thức giải phương trình cho sẵn, gặp phải tốn biện luận theo tham số Mặt khác khả tư em cịn hạn chế, em gặp khó Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 khăn việc phân tích đề tốn, suy luận, tìm mối liên hệ yếu tố tốn nên khơng định hướng cách giải Làm để giúp em có kiến thức tổng thể có đầy đủ dạng tốn phương trình bậc hai, biết cách giải biện luận dạng toán phương trình bậc hai theo tham số Chính nêu số ứng dụng định lý Vi-ét áp dụng giải toán: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số ; nhằm giúp cho em học sinh phổ thông hiểu sử dụng thành thạo định lý Vi-ét giải tốn kích thích hứng thú học tập học sinh II Mục đích nghiên cứu: Giúp em hiểu tầm quan trọng hệ thức VI-ET việc giải tốn phương trình bậc hai Giúp em có hiểu biết phương pháp biện luận nghiệm biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai theo hệ số Rèn luyện cho học sinh tính tư logic, sáng tạo tốn; say mê u thích học mơn tốn III Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9D ( 54 em) trường THCS Minh Khai thành phố Thanh Hóa năm học 2015 - 2016 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp 9, vào thực tế dạy học, hệ thống tập ứng dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán chương trình đại số lớp tơi thấy hệ thống tập SGK, sách tập Bộ giáo dục - đào tạo ấn hành dạng đơn giản, thực tế tập ứng dụng hệ thức Vi ét vào giải toán đa dạng, phong phú thể loại toán phổ biến đại số THCS Trong chương trình sách giáo khoa toán lớp THCS, học sinh làm quen với phương trình bậc hai: Cơng thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt định lý Vi - ét ứng dụng việc giải toán Xong qua việc giảng dạy Toán trường THCS nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức Vi - ét vào giải nhiều loại toán, hệ thức Vi - ét có ứng dụng rộng rãi việc giải toán Đứng trước vấn đề đó, tơi sâu vào nghiên cứu đề tài: “áp dụng định lý Vi -ét việc giải số tốn THCS” với mong muốn tơi giúp cho học sinh nắm vững thành thạo định lý Vi - ét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học tốn kích thích lực hứng thú học tập mơn tốn học sinh Khi tơi dạy phần kiến thức này, học sinh khá, học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên phải biên soạn, sưu tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho dạng toán để dạy phong phú đạt hiệu cao Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn lớp 9, tơi thấy: - Học sinh yếu toán kiến thức hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư q trình học tập - Học sinh cịn học vẹt, làm việc rập khn, máy móc để từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Học không đôi với hành làm cho em củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân khơng phát huy hết Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Nhiều học sinh hài lòng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác phát triển tốn, sáng tạo tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ tốn với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, quan trọng nâng cao tư cho em làm cho em có hứng thú học tốn ứng dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán dạng toán tương đối phù hợp học sinh THCS địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 cách linh hoạt Các toán sử dụng hệ thức Vi - ét hay đưa vào cho nhiều loại đối tượng, học sinh yếu, học sinh đại trà, học sinh khá, học sinh giỏi Song thực chất học sinh làm quen với tốn giải phương trình đơn giản, khối lớp, phương trình bậc hai em học lớp dạng đơn giản học nhiều trường trung học phổ thông, ứng dụng hệ thức Vi - ét để giải toán, thường đưa vào đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông, đề thi học sinh giỏi cấp Vì khơng rèn luyện cho em phương pháp, kỹ giải tốn dạng này, em khó tự học vận dụng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo để giải dạng toán với nhiều khó, phức tạp III Giải pháp tổ chức thực Trước hết giáo viên cần cung cấp cho học sinh - Những kiến thức cần thiết lý thuyết để vận dụng vào giải tập - Hệ thống dạng tập thường gặp - Lựa chọn ví dụ mẫu, bản, điển hình dạng - Phân tích, định hướng giải cho ví dụ - Trình bày lời giải thức cho ví dụ - Rút phương pháp chung cho dạng - Ra tập củng cố, luyện tập cho học sinh qua dạng - Ra tập mang tính vận dụng tổng hợp cho học sinh vận dụng Giải pháp cụ thể hóa sau Lý thuyết chung • Như biết phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0, x1, x2 nghiệm phương trình x1 + x2 = −b x1x2 = a • Ngược lại: Nếu hai số x, y thoả mãn điều kiện: x + y = S xy = P Thì x, y nghiệm phương trình bậc hai X2 - SX + P = (*) Chú ý: Phương trình (*) có nghiệm S2 - 4P ≥ • Hệ (trường hợp đặc biệt) a) Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm x 1= a + b + c = ngược lại a + b + c = x1 =1 x2 = b) Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm x1 = -1 a – b + c = ngược lại a – b + c = x1 = -1 x2 = Sau số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng kiến thức I Ứng dụng định lý vi-ét giải tốn tìm điều kiện tham số để tốn thoả mãn yêu cầu đặt Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12 + x22 = Bài giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt nghiệm kép) m ≠ ∆' = ∆' = (m-2)2- m(m-3) = -m+4 ∆' ≥ ⇔ m ≤ Với ≠ m ≤ 4, theo định lý Vi-ét, nghiệm x ; x phương trình có liên hệ: x1+x2 = ; x1.x2 = 2 Do đó: = x1 + x2 = (x1+x2)2 - 2x1x2= ⇔ m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m ⇔ m2 - 10m + 16 = ⇔ m = m = Giá trị m = -8 không thoả mãn điều kiện ≠ m ≤ Vậy với m = giá trị cần tìm Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn Bài giải:  Δ ' = (−(m− 2))2 − (m2 + 2m− 3)>  Ta phải có:  x1.x2 ≠  1 x1 + x2 =  +  x1 x2 (1) (2) (3) (1) ⇔ ∆' = m2 - 4m + -m2 - 2m + =- 6m + > 0⇔ m < (2) ⇔ m2 + 2m - ≠ ⇔ (m-1)(m+3) ≠ ⇔ m ≠ 1; m ≠ -3 (3) ⇔ x1 + x x1 + x = ⇔ ( x1 + x )(5 − x1 x ) = x1 x * Trường hợp: x1+x2 = ⇔ x1 = -x2 ⇒ m =2 trái với điều kiện (1) * Trường hợp: - x1.x2 = ⇔ x1.x2 = Ta được: m2 + 2m - = ⇔ (m-2)(m+4) = lo¹i m = ⇔ m = −4 tho¶m·n  Vậy m = -4 phương trình cho có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x + x2 1 + = x1 x Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2-2(m+1) x+ (m-4) = (m tham số) a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1+ 4x2 = 3; b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 2( m +1)  x1 + x2 = m  m −4 x1 x2 =  m a) Ta phải có:  x1 + x2 = m ≠     ∆' = ( −( m +1) − m( m − 4) ≥ 0 Từ (1) (3) tính được: x2 = m−2 ; 3m x2 = (1) (2) (3) (4) 5m + 3m Thay vào (2) ⇔ 2m2 - 17m + = Giải phương trình 2m2 -17m +8 m =8; m = thoả mãn điều kiện (4) Vậy m=8; m = nghiệm phương trình thoả mãn x1+4x2=3 b) Theo hệ thức Vi-ét: x1+x2 = + x1.x2 = (*) Thay = x1+ x2 -2 vào (*) x1x2 = 1-2(x1 + x2 - 2) Vậy x 1+ x2 = - 2(x1+x2) Ví dụ 4: Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1) x + mx + = (2) Bài giải: Gọi x0 nghiệm chung phương trình, ta có x 02 + x + m = x + mx0 + = Trừ theo vế hai phương trình cho, ta được: (m-2)x0=m-2 Nếu m =2 (1), (2) x2 + 2x + = nên vơ nghiệm Nếu m ≠ x0 = từ m = -3 Với m =-3: (1) x2+2x -2=0; có nghiệm x1=1 x2=-3 Và (2) x2-3x +2=0; có nghiệm x3 =1 x4 = Vậy, với m = -3 hai phương trình có nghiệm chung x = Bài tập: Bài 1: Cho phương trình x2 - (m+3)x + 2(m+1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1=2x2 Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m+1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phương trình có nghiệm Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1+ 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà khơng phụ thuộc vào m Bài 3: a) Với giá trị m hai phương trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m+4)x + m + = (1) x2 - (m+2)x + m +1 = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình (2) ngược lại: II Ứng dụng định lí Vi-ét giải tốn hàm số đồ thị Các ví dụ: Ví dụ 1: Giả sử đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y =2x - x hai điểm có hồnh độ x1; x2 Tính x12 + x22 Cách giải: Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = 2x2 - x hai điểm có hồnh độ x1; x2 có nghĩa phương trình bậc hai: 2x2 – x – a = có hai nghiệm x1; x2 Từ định lý Vi-ét ta có: x1+ x2 = x1x2 = Từ ta có: x12 + x22 = (x1+x2)2 =2x1x2 =  1 − 2 − a = x + a  2  2 Vậy x12 + x22 = Ví dụ 2: Cho Parabol: y = x2 – x – 2, đường thẳng qua điểm M (1;-1) cắt Parabol hai điểm A, B Tìm toạ độ điểm A, B biết M trung điểm AB Cho biết cơng thức tính toạ độ trung điểm M ABy Với: A(x1; y1); B(x2; y2) Cách giải: Đường thẳng y = mx+n qua điểm M (1;-1) từ tính n =-(1+m) Hồnh độ giao điểm đường thẳng y=mx-(1+m) Parabol y = x2 – x + nghiệm phương trình: x2 – x – = mx - (1+ m) o B -1 -1 A x M Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 hay x2 =(1+ m)x - 1+ m = (1) Gọi x1; x2 hoành độ A, B giao điểm Parabol đường thẳng Ta có x1; x2 nghiệm (1) nên theo định lý Vi-ét: x1+x2 = 1+ m (2) Mặt khác, M trung điểm AB nên (3) Từ (2) (3) suy 1+m = 2, m=1 Khi (1) trở thành x2 - 2x = Phương trình có nghiệm: x1= 0; x2=2 Vậy: A(0; -2) , B(2; 0) Ví dụ 3: Cho Parabol: y=x2 + 7x + Tìm điểm M trục tung cho hai tiếp tuyến với Parabol kẻ từ M vng góc với Cách giải: Đường thẳng y = mx + n qua điểm M (0; y 0) nên y = mx + y 0; hoành độ giao điểm đường thẳng y = mx + y Parabol y = x2 + 7x + nghiệm phương trình: x2 + 7x + = mx + y0 ⇔ x2 + (7- m)x + - y0 = (*) Để đường thẳng Parabol tiếp xúc phương trình (*) có nghiệm kép, tức ∆ = (7 - m)2 - 4(6 - y0) = m2 - 14m + 4y0 + 25 = (1) Để hai tiếp tuyến vuông góc nghiệm m1, m2 (1) phải thoả mãn m1m2 = -1, tức 4y0 + 25 = -1 Từ y0 = - Điểm M phải tìm: (0; -6) Bài tập: Bài 1: Cho Parabol: y = -x2 + 6x - Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;2) có hệ số góc m a) Chứng minh với m, đường thẳng d luôn cắt Parabol hai điểm B, C phân biệt b) Xác định đường thẳng d để BC có độ dài nhỏ Bài 2: Cho Parabol: y = x2 Chứng minh với điểm M thuộc đường thẳng y = - , tiếp tuyến kẻ từ M với Parabol vng góc với III Ứng dụng định lí Vi-ét tốn lập phương trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phương trình bậc hai ẩn Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho x1 = ; x2 = Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 1− 3 −1 = Ta có: x1 = ; x2 = = 1+ 1- Nên x1.x2 = = x1 + x2 = = ( )( ) Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 Vậy phương trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 x2 - x + Hay 2x2 - 2x + = Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - = (1) Khơng giải phương trình (1), lập phương trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phương trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình cho theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gọi y1; y2 nghiệm phương trình phải lập, ta có: y1 + y2 = x14 + x24 y1 y2 = x14 x24 Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 25 + = 27 x14 + x24 = ( x12 x22 )2 - x12 x22 = 729 - = 727 Vậy phương trình cần lập là: y2-727y +1 = 2) Bài tập: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm + Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện: Có tích hai nghiệm: x1.x2 = + = Bài 3: Xác định có số m, n phương trình: x2+mx+n = Sao cho nghiệm phương trình làm m n IV Ứng dụng định lí Vi-ét tốn chứng minh Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b nghiệm phương trình: x + px + = b, c nghiệm phương trình x2 + qx + = Chứng minh: (b-a)(b-c) = pq - Hướng dẫn học sinh giải Đây khơng phải tốn chứng minh đẳng thức thông thường, mà đẳng thức thể liên quan nghiệm phương trình hệ số phương trình Vì địi hỏi phải nắm vững định lý Vi-ét vận dụng định lý Vi-ét vào trình biến đổi đẳng thức, đề suy hai vế Cách giải: Với a,b nghiệm phương trình: x2 + px + = b,c nghiệm phương trình: x2 + qx + = Theo định lý Vi-ét ta có: 10 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 a+ b = -p a+ c = -q   b.c= a.b= Do đó: (a-b) (b-c) = b2 + ac - pq = (-p)(-q) = (a+b)(b+c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac + – = b2 + ac - Từ (1) (2) suy (b-a)(b-c) = pq - (đpcm) Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = -2 (1) ; a2 + b2 + c = Chứng minh số a,b,c thuộc đoạn   − ; 0   (1) (2) (2) biểu diễn trục số Cách giải: Bình phương hai vế (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nên: ab + bc + ca = (4-2) : = ⇒ bc = 1- a(b + c) =1- a(-2 - a) = a2 + 2a +1 Ta lại có: b + c=-(a + 2), b,c nghiệm phương trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = Để tồn X phải có: ∆ ≥ (a + 2)2 - 4(a2 + 2a +1) ≥ a(3a + 4) ≤ ⇔ - ≤ a ≤ Tương tự: - ≤ b ≤ 0; - ≤ c ≤ Bài tập: Bài 1: Gọi a, b hai nghiệm phương trình bậc hai: x + px + = Gọi c,d hai nghiệm phương trình: y2 + qy + = Chứng minh hệ thức: (c - a)(a - b)(b - c)(b - d) = (p - q)2 Bài 2: Cho số a,b,c thoả mãn: a2 + b2 + c2 =   ab+ bc+ ca= Chứng minh rằng: a; b; c≤ V Áp dụng định lí Vi-ét vào giải phương trình hệ phương trình Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 + 3x2 - 3x +11= Cách giải: Đặt: y = x -1 ta có: x = y + thay vào (1) được: (y+3)3 + 3(y+1)2 - 3(y+1) + 11= ⇔ y3 + 3y2 + 3y + 1- 3y2 – y – – 3y – + 11=0 11 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 Đặt: ⇔ y3 - 6y + = (2) y= u + ν (2) trở thành: (u+ν )3 - 6(u +ν ) + = ⇔u3 + 3u2ν + 3ν +ν - 6u - 6ν + = ⇔ u3+ν 3+ (u +ν )(3uν - 6) + = u3 + ν3 = −6 ⇔ 3uν = Hay u3 + ν = −6  3 u ν = Như vậy: u3, ν hai nghiệm phương trình bậc hai: t2 + 6t + = ∆' = - = t1=-3 +1=2 t2=-3 -1=4 Suy u3=-2; ν 3=-4 u3=-4; ν 3=-2 Với: u3=-2 ⇒ u = − u3=- ⇒ u= − v3 = -2 ⇒ v = − ν = -4 ⇒ ν = − Do đó: y = u+ ν = − + − Vậy phương trình cho có nghiệm: x = y +1 = − + − +1 − x  5− x  x + = x +1   x +   Ví dụ 2: Giải phương trình: x Hướng dẫn: TXĐ= {x∈R x≠ -1} Đặt: 5−x   u = x x +  5−x ν = x + x +1  u + ν = ? ⇒  u.ν = ? Tính: u, ν , từ tính x Bài giải: TXĐ = {x∈R x≠ -1} 5−x   u = x x + Đặt:  − x (*) ν = x + x +1    5− x  5− x u + ν =  x x +  +  x x +   u + ν =     ⇒ ⇒ − x − x      u.ν =  x  u.ν = . x +   x + x +    u, ν nghiệm phương trình: x2 - 5x + = ∆ = 25 -24=1 x1 = = x2 = = u =3 ν = u = ν =3 u = (*) trở thành: ν = Nếu:  x2 + 2x+3 = ∆' =1-3 = -2 < 12 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 Phương trình vơ nghiệm: u = ν = Nếu:  (*) trở thành: x2 -3x+ 2=0 Suy ra: x1=1; x2=2 Vậy phương trình có hai nghiệm x1=1; x2 =2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: x + y = 11 a)   xy = 31  x + y + yx = b)  xy + x2y = 12 a) x,y nghiệm phương trình: x2 - 11x +31 = ∆ = (-11)2 - 4.1.31 = 121-124 = -3 < Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm b) Đặt x + y = S xy = P S + P = Ta có hệ:   S.P= 12 Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 - 7t + 12 = Giải phương trình t = t = + Nếu S = P = x,y nghiệm phương trình: u2 + 4u + = ⇒ u = u = Suy (x =1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: ν - 3ν + = Phương trình vơ nghiệm ∆ = - 16 = -7 Nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với m Theo định lý viét ta có: x1+x2 = 2m -1; x1.x2 = m - ⇒ x12 + x 22 = (x1 +x2)2- x1x2 = (2m -1)2 – 2(m-2) = 4m2 - 6m + 5=(2m - )2 + ≥ 4 2 Do giá trị nhỏ x1 + x ⇔ m = Ví dụ 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A=x1x2 - 2x1 - 2x2 Cách giải: 2 ∆' = (m + 2) - 2(m + 4m + 3) = -(m + 1)(m + 5) ≥ ⇒ - ≤ m ≤ - (*) Khi theo hệ thức viét ta có: x1 + x2 = -m - x1 + x2 = Do đó: A =  Ta có: m2 + 8m + 7=(m +1)(m+7) với điều kiện (*) (m+1)(m+7)≤ Suy ra: A = = ≤ Dấu suy (m+4)2 = huy m =-4 Vậy A đạt giá trị lớn là: m =-4, giá trị thoả mãn điều kiện (*) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A=(x4 +1) (y4 +1), biết x,y ≥ 0; x + y = Cách giải: A= (x4 +1)(y4 +1)= x4 + y4 + y4x4 +1 Ta có: x + y = ⇒ x2 + y2=10 - 2xy ⇒ x4 + y4 + 2y4x4 = 100 - 40xy + 4x2y2 ⇒ x4 + y4 = 100- 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t x4 + y4=100 - 40t + 2t2 Do A = 100 - 40t + 2t2 + t4 +1=t4 + 2t2 - 40t + 101 a) Tìm giá trị nhỏ nhất: A=t4 - 8t2 + 16+10t2 - 40t + 40 + 45=(t2-4)2 + 10(t-2)2 + 45 ≥ 45 14 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 MinA = 45 ⇔ t =2, xy = 2; x + y= 10 nên x, y nghiệm phương trình X2 - X + 2=0 Tức x = x = 10 + 10 − ;y= 2 10 − 10 + ;y= 2 b) Tìm giá trị lớn nhất: 2 5 5  x + y   10      (1) Ta có: ≤ xy ≤  = ⇒ ≤ t ≤  = 2 2     Viết A dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101 Do (1) nên t3 ≤ ; t ≤ ⇒ t3+2t - 40 ≤ + 5- 40 < t ≥ nên A ≤ 101 Do MaxA = 101 t = 0, tức x = 0; y = x =; y=0 Bài tập: Bài 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 +2(m-2)x - 2m+7=0 Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ Bài 2: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 - m + (m-2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1+2x2 Bài 3: Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình x2 -2(m+1)x+2m+10 = (m tham số), đặt A= 10x1x2 + x21 + x22 Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị IV Kết : Sau áp dụng đề tài lớp 9D (không áp dụng cho lớp 9A) trường THCS Minh Khai nhận thấy : Các em học sinh lớp cảm thấy hứng thú, say mê gặp tốn phương trình bậc hai cần phải sử dụng đến hệ thức Vi-ét để giải định hướng làm cho tốn, bên cạnh phát huy khả sáng tạo học tốn KÕt qu¶ thĨ ( so sánh hai lớp 9D 9A) Lớp Sĩ số Số HS đạt mức độ TB trở lên Số HS chưa đạt yêu cầu 9D 54 40 em ( chiếm 74% ) 14 em ( chiếm 26%) 9A 54 18 em (chiếm 33%) 36 em ( chiếm 67%) 15 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng định lý Vi-ét việc giải toán dạng tập: Điều kiện tham số để toán thoả mãn yêu cầu đặt ra; hàm số đồ thị, lập phương trình; tìm hệ số phương trình bậc hai ẩn; chứng minh đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình Những ví dụ đưa chưa hay, tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp./ Tơi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận hiệu trưởng Thanh hóa ngày 15 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Bùi Thị Hoa 16 Bùi Thị Hoa – THCS Minh Khai, Thành phố Thanh Hóa - Năm học 2015-2016 TÀI LIỆU THAM KHẢO: SGK Toán – Nhà xuất giáo dục SBT Toán – Nhà xuất giáo dục Sách Nâng cao phát triển toán – Nhà xuất giáo dục Toán bồi dưỡng học sinh ĐẠI SỐ – Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Quang Thiều – Nhà xuất Hà Nội 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp – Nhà xuất giáo dục 17 ... nhằm giúp cho em học sinh phổ thông hiểu sử dụng thành thạo định lý Vi- ét giải tốn kích thích hứng thú học tập học sinh II Mục đích nghiên cứu: Giúp em hiểu tầm quan trọng hệ thức VI- ET vi? ??c giải. .. dụng hệ thức Vi - ét vào giải nhiều loại toán, hệ thức Vi - ét có ứng dụng rộng rãi vi? ??c giải toán Đứng trước vấn đề đó, tơi sâu vào nghiên cứu đề tài: ? ?áp dụng định lý Vi -ét vi? ??c giải số tốn THCS”... lớp “ vận dụng hệ thức Vi- ét ứng dụng để giả tập có liên quan? ?? em dạng tốn khó Đối với dạng tốn nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải cịn mắc phải nhiều sai sót Do vi? ??c hướng dẫn giúp em có