Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng hệ thức vi et vào giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc 2

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học đời từ nhu cầu thực tiễn, gắn liền với lịch sử phát triển xã hội lồi người, có ý nghĩa thực tiễn lớn lao quan trọng đồng chí Phạm Văn Đồng nói: "Tốn học mơn thể thao trí tuệ cho rèn luyện trí thơng minh sáng tạo" Tốn học khơng cung cấp cho người kĩ tính tốn cần thiết mà cịn rèn luyện cho người khả tư lơgíc, phương pháp luận khoa học Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định: Phương pháp dạy học toán nhà trường cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập sáng tạo tư Bắt nguồn từ định hướng giáo viên cần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tịi áp dụng phương pháp dạy học cho phù hợp với vùng miền, đối tượng học sinh, kiểu làm cho hiệu học đạt cao Trong chương trình tốn THCS nói chung phân mơn đại số nói riêng, tốn phương trình bậc hai đa dạng phong phú Đặc biệt toán liên quan đến phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải thường xuất kì thi học kì II, thi học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông Tuy nhiên, nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Theo nhận định chủ qua thân thấy đa số em làm tập đơn giản như: Nhẩm nghiệm phương trình; Tính tổng, tích hai nghiệm phương trình; Tìm hai số biết tổng tích, cịn tập nâng cao em thực lúng túng chí khơng biết hướng giải Để giúp học sinh có định hướng đắn có phương pháp giải phù hợp gặp toán phương trình bậc hai, đồng thời giúp em có lịng đam mê học tốn, tự tin học tập đạt kết cao kỳ thi, q trình giảng dạy tơi trăn trở, tìm tòi, đúc rút "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai" thực mang lại hiệu tốt xin chia sẻ đồng nghiệp qua nội dung đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu thực trạng kĩ giải toán phương trình bậc hai có vận dụng hệ thức Vi-ét học sinh - Đưa dạng toán phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải Mỗi dạng có phương pháp giải cụ thể nhằm rèn kĩ trình bày lời giải tốn cho học sinh giúp em tự tin làm tốt tốn phương trình bậc hai - Rèn luyện cho học sinh tính tư logic, sáng tạo tốn, say mê u thích học mơn tốn nhiều 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu 35 học sinh học lớp 9B trường THCS mà công tác 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp kiểm nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm a) Định hướng chung đổi phương pháp dạy học nhằm trọng phát triển lực học sinh - Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học (sử dụng SGK, sách tham khảo, nghe, ghi chép, tìm kiếm thơng tin,…), sở trao dồi phẩm chất cách linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư - Sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học gắn chặt với hình thức tổ chức dạy học đa dạng Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng điều kiện cụ thể mà có hình thức tổ chức thích hợp b) Một số kiến thức phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét * Định nghĩa phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng: ax + bx + c = 0, x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a khác * Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Đối với phương trình ax2 + bx + c = (a) biệt thức = b2 – 4ac + Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1= , x2 = = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = + Nếu + Nếu < phương trình vơ nghiệm * Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Đối với phương trình: ax2 + bx + c = (a) b = 2b’, biệt thức ’ = b’2 –ac + Nếu ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = + Nếu’ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = + Nếu ’ < phương trình vơ nghiệm * Hệ thức Vi-ét ứng dụng - Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) thì: Lưu ý: Để áp dụng hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai phải có nghiệm - Ứng dụng: + Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai a �0  Nếu phương trình ax2 + bx + c =  có a + b + c = phương trình có nghiệm x1  , nghiệm x2  c a a �0  Nếu phương trình ax2 + bx + c =  có a - b + c = phương trình x1  1 x2   có nghiệm , cịn nghiệm + Ứng dụng 2: Tìm số biết tổng tích c a Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: x2 - Sx + P = Điều kiện để có hai số là: S  P �0 2.2 Thực trạng vấn đề Trong trình dạy học phần giải phương trình bậc hai có vận dụng hệ thức Vi-ét cho học sinh lớp nhận thấy rằng, hầu hết học sinh cịn khó khăn việc tìm phương pháp giải cho tốn số đơng em biết vận dụng kiến thức học vào giải toán dạng nhận biết thông hiểu, tập dạng vận dụng thấp số em lúng túng, cịn dạng tập vận dụng cao số học sinh làm không nhiều Cụ thể: + Hầu hết học sinh chưa có kĩ tìm hiểu tốn phân dạng tốn để có phương pháp giải phù hợp + Đối với học sinh trung bình trở xuống làm tốn đơn giản như: Tính tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm; Tìm hai số biết tổng tích; Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai mà hệ số có mối quan hệ đặc biệt; Lập phương trình bậc hai biết số cho trước làm nghiệm + Đối với học sinh khá, giỏi làm tập: Tính giá trị biểu thức (dạng đơn giản) chứa nghiệm phương trình bậc hai cho; Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm cịn lại; Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai (dạng đơn giản), cịn tập nâng cao như: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn hệ thức đó; Tìm hệ thức độc lập nghiệm với tham số; Tìm giá trị tham số để biểu thức chứa nghiệm phương trình đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,… học sinh làm q trình làm cịn gặp nhiều sai sót Kết thực trạng: Khảo sát 35 học sinh lớp 9B năm học 2019 - 2020 trường THCS a) Đề khảo sát sau (Thời gian 45 phút): Bài 1(2 điểm) Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 2019x2 + x - 2020 = b) x2 + 10x + 21 = Bài 2(2 điểm) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 25x2 + 10x + = b) x2 - 2x + m = Bài 3(1 điểm) Tìm hai số u, v biết: u + v = 14, uv = 40 Bài 4(3điểm) Cho phương trình : x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 - x2 = Bài 5(2 điểm) Cho phương trình x2 - 2(m+1)x + 4m - m2= với m tham số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= b) Kết khảo sát: Giỏ Khá Trung bình Yếu Kém Ghi i em 10 em (28,6%) 12 em (34,3%) 13 em (37,1%) 2.3 Giải pháp tổ chức thực Các tốn có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải đa dạng phong phú, nhiên đề tài đề cập đến tốn phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải Cụ thể, tơi xin đưa 10 dạng tập có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán liên quan đến phương trình bậc hai mà tơi áp dụng thành cơng q trình giảng dạy Mỗi dạng trình bày theo cấu trúc: + Phương pháp + Ví dụ + Bài tập áp dụng + Một số lưu ý ( cần) a Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai a1) Trường hợp phương trình bậc hai có hệ số đặc biệt thỏa mãn a +b +c = a - b+ c = * Phương pháp: Sử dụng ứng dụng 1của hệ thức Vi-ét, cụ thể: Xác định hệ số a, b, c để tính tổng a + b + c = a – b + c = kết luận nghiệm phương trình * Ví dụ: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 2x2 + 5x + = (1) b) 3x  x  11  (2) c) (m-3) x + mx +3 = 0, (m �3) (3) Giải a) Phương trình (1) có a – b + c = – + = 0, nên có nghiệm x = -1 nghiệm x2 = b) Phương trình (2) có a + b + c = + + (-11) = 0, nên có nghiệm x =1 nghiệm x2 = c) Phương trình (3) phương trình bậc hai ẩn x (do m �3) có: a – b + c = m – - m + = 0, nên phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm c x2 = a =  * Bài tập áp dụng: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35 x  37 x   b) c) 4321x  21x  4300  d) (2m - 4) x2 + 2mx + = 0, (m �2) e) mx2 - 2(m-1)x + (m-2)=0 g) (m-1)x2 + (m+1)x + =0 * Lưu ý: Đối với tập nhẩm nghiệm phương trình bậc hai có hệ số âm chứa tham số em cần ý xác định xác hệ số a, b, c sử dụng ứng dụng để giải a2) Trường hợp phương trình bậc hai khơng có đặc biệt hệ số có nghiệm nguyên đơn giản * Phương pháp: Phương trình bậc hai dạng: x2 – Sx +P =0 có u + v = S u.v =P u v hai nghiệm phương trình * Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình sau a) x2 - 7x + 12 = b) x2 + 7x +12 = Giải a) Vì + = 3.4 = 12 nên x1 = 3, x2 = hai nghiệm phương trình b) Vì -3 + (-4) = -7 (- 3).(-4) = 12 nên x 1= -3, x2= -4 hai nghiệm phương trình * Bài tập áp dụng: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2 - 12x + 20 = b) x2 - 3x -10 = c) x2 + 3x -10 = d) x2 + 8x +15 = * Lưu ý: Khi giải phương trình bậc hai ta cần ý vận dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình Nếu khơng tính nhẩm nghiệm phương trình ta dùng công thức nghiệm để giải Việc vận dụng hệ hệ thức Vi-ét cho phép tính nhanh chóng nghiệm phương trình b Dạng 2: Tính tổng tích nghiệm phương trình bậc hai * Phương pháp: Tính  (hoặc ’),   (hoặc ’  0) dùng hệ thức Vi-ét để tính tổng, tích nghiệm phương trình * Ví dụ: Khơng giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, tính tổng tích nghiệm (nếu có) phương trình: a) 2x2 – 7x + = b) 1,4x2 - 3x + 1,2 = c) 5x2 + x + = Giải a) Ta có:  = (-7)2 - 4.2.2 = 33 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = ; x1.x2 = b) Ta có:  = (-3)2 - 4.1,4.1,2 = 1,16 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = ; x1.x2 = c) Ta có:  = 12 – 4.5.2 = -39 < 0, nên phương trình vơ nghiệm * Bài tập áp dụng: Khơng giải phương trình, dung hệ thức Vi-ét, tính tổng tích nghiệm ( có) phương trình: a) 2x2+ 9x + = b) 159x2 – 2x -1 = c) (2-)x2 + 4x + 2+= c Dạng 3: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai * Phương pháp: Dựa vào quan hệ dấu tổng tích hai số với dấu hai số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét ta xét dấu hai nghiệm tìm điều kiện tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện dấu Giả sử phương trình trình bậc hai: ax + bx + c = (a khác 0) có hai nghiệm x1, x2 Gọi S tổng hai nghiệm, P tích hai nghiệm Ta lập bảng xét dấu nghiệm phương trình P 0: Hai nghiệm dương   P > Hai nghiệm dấu S < : Hai nghiệm âm * Ví dụ: Ví dụ : Khơng giải phương trình, xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 + 5x - = b) x2 - x + = Giải: a) Ta có: P =< nên phương trình có hai nghiệm trái dấu c) x2 - x + = b) Ta có: ' = > 0; S = > 0; P = = > nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c) Ta có:  ' = -1 < nên phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Tìm điều kiện m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt âm c) Có hai nghiệm phân biệt dương d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Giải a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu P < hay m - <  m < b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi: c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương khi: �  � 2m  3  �m  � � � � �S  � �  2m  � � m� �P  � m   � � � � � 0 �  2m  3  � � �S  � �1  2m  � �P  � m 1  � � khơng có giá trị m thoả mãn d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phương trình có hai nghiệm đối nhau.Phương trình có hai nghiệm đối khi:  �0 � � �S   - 2m =  m= * Bài tập áp dụng: Bài Không giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) 3x2 - 7x + = b) 2x2 - 13x + = Bài Tìm m để phương trình: mx2 - 2(m+1)x + (m-4) = có hai nghiêm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? Bài Xác định tham số m cho phương trình: 3mx + 2(2m + 1) x + m = có nghiệm âm Bài Xác định tham số m cho phương trình: (m - 1)x + 2x + m = có nghiệm không âm Bài Xác định tham số m cho phương trình: mx – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = có hai nghiệm dấu * Lưu ý: + Đối với phương trình có hệ số a chức tham số, phải tìm điều kiện để a khác + Khi  < khơng cần xét dấu nghiệm phương trình phương trình vơ nghiệm + Khi P < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu  > + Khi P > ta phải xét đến hai yếu tố lại  S d) Dạng 4: Tìm nghiệm giá trị tham số phương trình bậc hai có chứa tham số d1) Tìm nghiệm giá trị tham số phương trình bậc hai, biết nghiệm phương trình * Phương pháp: + Cách 1: Thay giá trị nghiệm biết vào phương trình để tìm tham số, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm cịn lại + Cách 2: Thay giá trị nghiệm biết vào hai hệ thức Vi-ét ( x1+x2 = x1 x2 =) để tìm nghiệm thứ hai, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét cịn lại để tìm giá trị tham số * Ví dụ: Phương trình x2 + mx -35 = có nghiệm x1 = Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phương trình tìm giá trị m Giải Cách 1: Vì phương trình có nghiệm x1 = nên thay x = x1 = vào phương trình, ta được: 72 + m.7 - 35 = ⇔ m = -2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 = -35 mà x1 = nên x2 = -5 Vậy : m = -2, x2 = -5 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 = -3 7x2 = -35 ( x1= 7) ⇔ x2 = -5 Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = - m Suy ra: m = -7 +5 ⇔ m = -2 Vậy: m = -2 , x2 = -5 * Bài tập áp dụng: Bài Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phương trình tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình: , biết nghiệm x1 = b) Phương trình: 4x2 +3x – m2 + 3m = 0, có nghiệm x1 = -2 c) Phương trình: mx2- 2(m-2)x + m - = 0, biết nghiệm x1 = -3 Bài Cho phương trình: x2 + (2m-3)x + m2 - 11= Tìm m để phương trình có nghiệm -1, tìm nghiệm cịn lại d) Tìm hai nghiệm giá trị tham số phương trình bậc hai, biết mối quan hệ hai nghiệm phương trình * Phương pháp: Bước 1: Sử dụng mối quan hệ hai nghiệm, kết hợp với hai hệ thức định lí Vi-ét ( x1+x2 = x1 x2 = ) để tìm hai nghiệm x1, x2 phương trình Bước 2: Thay giá trị x1, x2 tìm bước vào hệ thức cịn lại định Vi-ét để tìm giá trị tham số * Ví dụ: Tìm hai nghiệm tham số q phương trình sau: a) x2 – 7x + q = 0, biết phương trình có hiệu hai nghiệm 11 b) x2 –qx + 50 = 0, biết phương trình có nghiệm lần nghiệm Giải a) Vì vai trị x1, x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức �x1  x2  11 �x1  �� � �x1  x2  �x2  2 Vi-ét: x1+ x2 = 7, ta có hệ phương trình sau: Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x2 = q q = 9.(-2) = -18 Vậy: x1 = 9, x2 = -2, q = -18 b) Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài, giả sử: x1 = 2x2 theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 Ta có hệ phương trình sau: + Với x2 = x1= 10 + Với x2 = -5 x1 = -10 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1+ x2 = q + Với x1 = 10, x2 = 5, q = 10 + = 15 + Với x1 = -10, x2 = -5, q = -10 - = -15 Vậy: x1 = 10, x2 = 5, q = 15 x1= -10 , x2 = -5, q = -15 * Bài tập áp dụng: Tìm hai nghiệm tham số m phương trình sau: a) x2 – 11x + m = 0, biết phương trình có tổng hai nghiệm 11 b) x2 - mx + 18 = 0, biết phương trình có nghiệm nghiệm e) Dạng Tìm hai số biết tổng tích chúng * Phương pháp: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi- ét * Ví dụ: Tìm hai số a, b biết: a) a + b = - tích a.b = - b) a  b = ab = 36 2 c) a + b = 61 ab = 30 d) a + b = a2 + b2 = 41 Giải a) Vì a + b = -3 a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 +3x – 4= (1) Giải phương trình (1) ta x1= x2= -4 Vậy: a = b = -4 a = -4 b = b) Phân tích: Đã biết tích: ab = 36, cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đặt c =  b Khi : a + c = a.c =  36 Hai số a, c hai nghiệm phương trình: x2 - 5x - 36 = (2) Giải phương trình (2) ta x1 = x2 = - + Nếu a = c = -4  b = + Nếu a = -4 c =  b = -9 Vậy: a = b = a = -4 b = -9 Cách 2: a  b  13 � �  a  b   132 � �  4ab  169 a  b  13 � a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b  Từ  +) Với a  b  13 ab = 36, hai số a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 13x + 36 = (3) Giải phương trình (3) ta x1= -9 x2= -4 Suy ra: a = 4 b = -9 +) Với a  b  13 ab = 36, hai số a, b hai nghiệm phương trình: 2 2 x2 -13x + 36 = (4) Giải phương trình (4) ta x1= x2= Suy ra: a = b = Vậy: a = b = a = - b = -9 c) Phân tích: Ta biết: Tích ab = 30, cần tìm tổng a+b hoặc: Tổng a2 + b2 = 61, tìm tích a2b2 Tìm hai số a2và b2, suy a b Cách 1: Từ: a2 + b2 = 61 �  a  b a  b  11 � ��  a  b  2ab  61  2.30  121  11 a  b  11 � 2 +) Với a + b = -11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 11x + 30 = (5) Giải phương trình (5) ta được: x1= -6 x2= -5 Suy ra: a = -5 b = -6 a = -6 b = -5 +) Với a + b = 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x2 - 11x + 30 = (6) Giải phương trình (6) ta được: x1= x2= a = b = a = b = Vậy: a = -5và b = -6 a = -6 b = -5 a = b = a = b = Cách 2: Từ ab = 30  a2 b2 = 900 Hai số a2 b2 hai nghiệm khơng âm phương trình: x2 - 61x + 900 = (7) Giải phương trình (7) ta được: x1 = 36 (thỏa mãn) x2 = 25 (thỏa mãn) Vậy: a = -5 b = -6 a = -6 b = -5 a = b = a = b = d) Phân tích: Ta biết tổng a + b = 9, cần tìm tích ab Giải 81  a  b 2 2 a  b  �  a  b   81 � a  2ab  b  81 � ab   20 Từ Do đó, hai số a b nghiệm phương trình: x2 - 9x + 20 = (8) Giải phương trình (8) ta được: x1 = x2 = Vậy: a = b = a = b = * Bài tập áp dụng: Bài 1.Tìm hai số u,v trường hợp sau: a) u + v = 14, uv = 40 b) u + v = -5, uv = -24 c) u + v = -7, uv = 12 d) u - v = 10, uv = 24 e) u + v = 4, uv = 19 f ) u2 + v2 = 85, uv = 18 Bài Tìm hai số biết: a) Tổng chúng 2, tích chúng b) Tổng chúng 1, tích chúng g) Dạng Lập phương trình bậc hai * Phương pháp: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi-ét Bước 1: Tính tổng (S) tích (P) hai nghiệm phương trình cần lập Bước 2: Lập phương trình dạng: x2 – Sx + P = ( Với ĐK: S2- 4P > ) g1 ) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm số cho trước * Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) -4 b) - + Giải a) Ta có: S = -4 +7 = 3; P = (-4) = -28 ; S 2- 4P = 49 - 4.(-28) = 49 + 112 = 161 > nên tồn phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện, phương trình bậc hai là: x2 – 3x – 28 = Vậy: Phương trình cần lập có dạng: x2 – 3x – 28 = b) Ta có: S = ( 3-) + ( 3+) = 6, P = (3- ).(3+) = - =   S2- 4P = 62- 4.4 = 36 - 16 = 20 > nên tồn phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện, phương trình bậc hai là: x2 – 6x + = Vậy: Phương trình cần lập có dạng: x2 – 6x + = g2) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình bậc hai cho trước * Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x2  1 y2  x1  x1 x2 Giải Vì phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = 3, x1x2 = Ta có: � �� � 1 P  y1 y2  �x2  � �x1  � x1.x2     11  x1 x2 2 � x1 �� x2 � S 2- 4P = nên tồn phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện, phương trình y2  9 y   � y2  y   2 bậc hai Vậy, phương trình cần lập có dạng: * Bài tập áp dụng: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) b) 1,9 5,1 c) 12 Bài 2: Cho phương trình 3x + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x1  1 y2  x2  x1 x2 Bài 3: Cho hai số x1 = - ; x2 = + a) Tính x1 + x2 x1.x2 b) Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 hai nghiệm h) Dạng 7: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai * Phương pháp: Bước 1: Xét điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm (∆ ≥ ∆’ ≥ 0) Áp dụng định lí Vi-ét để tính tổng tích hai nghiệm phương trình Bước 2: Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm phương trình, thay giá trị tổng tích nghiệm tìm bước vào biểu thức tính Cách biến đổi số biểu thức thường gặp: 2 2 + ) x1  x2  ( x1  x1 x2  x2 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1x2 x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2  � �x1  x2   3x1 x2 � � +) 2 x  x  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   x12 x22  � ( x1  x2 )  x1 x2 � � � x1 x2 +) 1 x1  x2   x1 x2 + x1 x2 2 * Ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình: 2x2 - 7x + = x1, x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: x13 + x23 Giải Ta có:    7   4.2.4  49  32  17  � Phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 � �x1  x2  � � �x1.x2  2 Áp dụng định lí Vi–ét ta có: 3 x13  3x12 x1  x1 x22  x23    x12 x1  3x1 x22   x  x Ta có: = = x  x2   x1 x2  x1  x2  �7 � �7 � 343 42 343  168 175    � � 3.2 � � �2 � �2 � = 8 = 175 Vậy: x13 + x23 = Ví dụ 2: Cho phương trình x2+ mx + = (m tham số) Biết phương trình có x x nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m Giải Để phương trình có nghiệm = m2 – 0m -2 m Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = -m x1.x2 = x x Ta có: (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2 - nên = m  Ví dụ 3: Cho phương trình: x2- 4x + = (1) Tính giá trị biểu thức: A  x14  x1   x1 (với x1 nghiệm phương trình cho) Phân tích: - Quan sát biểu thức ta thấy: Cần biến đổi biểu thức dấu bậc hai thành B( x )  x 1 dạng bình phương để đưa A dạng A = - Bằng cách xét dấu nghiệm ta chứng tỏ B(x1) > 0, từ tính giá trị A Giải Ta có: ’ = (-2)2 – = > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Vì x1 nghiệm phương trình x12 = 4x1 -1  x14 = 16x12 - 8x1+ A  32 x12  x1  11  x1  25 x12  x12  x1  11  x1  25 x12  7(4 x1  1)  x1  11  x1 (do x12  x1  1)  25 x12  20 x1   x1   x1    x1  x1   x1 �x1  x2   � Theo định lí Vi-ét ta có: � x1 x2   phương trình có hai nghiệm dương Ta có: x1 >  5x1+ >  A = 5x1 + - 5x1 = Vậy: A = 2 Ví dụ 4: Cho phương trình x - x +1 = Giả sử phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: x12  x1 x2  3x22 A x1 x23  x13 x2 Giải Ta có = (-)2 – 4.1.1 = > nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét: S = x1 + x2 = P = x1x2 = x12  x1 x2  x22 A x1 x23  x13 x2 == A 14 Thay S P vào A ta được: * Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, khơng giải phương trình, tính: a) x  x2   x1  x2  x x2 c) x1 x2  x x1 b) d) Bài 2: Cho phương trình: x2 - x + = có nghiệm x 1, x2 Khơng giải phương Q x12  10 x1 x2  x2 x1 x23  x13 x2 trình, tính: Bài 3: Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, có nghiệm x1, x2 (x1 > x2) Tính giá trị biểu thức: A = x13x2 + x1x23 theo m Bài 4: Cho phương trình x2 + x - = x1, x2 nghiệm phương trình (x10 m Bài tập tổng hợp Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x - m = a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm âm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để x1  x2 nhỏ Bài Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 + = (với x ẩn số, m tham số) a) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Đặt A = x1.x2 – 2(x1 + x2) với x1, x2 hai nghiệm phương trình Chứng minh A = m2 + 8m + c) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng m Bài Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m -3 = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi hai nghiệm phương trình cho x1, x2 Tính tổng P = x12 + x22 theo m tìm giá trị nhỏ P Bài Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + 2m -3 = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho hệ thức khơng phụ thuộc vào m (Trích đề thi TS vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2004 - 2005) Bài Cho phương trình: x2 + mx – = ( m tham số) Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình (1), tìm m để: x1(x22 +1) + x2(x12+1) >6 (Trích đề thi vào THPT năm học 2010- 2011 tỉnh Thanh hóa) Bài Cho phương trình: x2– (2p – 1)x + p(p-1) = ( Với p tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với p b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (x1< x2) Chứng minh: x12 –2x2 +3 (Trích đề thi vào THPT năm học 2011- 2012 tỉnh Thanh hóa) Bài Cho phương trình : x2 + 2(a + b)x + 4ab (1) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 với a, b b) Tính x12 + x22 c) Với giá trị a b phương trình có nghiệm không âm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Tôi áp dụng đề tài "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai " trường THCS nơi công tác Sau học sinh tiếp thu thời gian buổi, nhận thấy rằng: - Học sinh biết nhận dạng đưa phương pháp giải phù hợp với tốn phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét, có nhiều sáng tạo cách giải trình bày lời giải chặt chẽ, khơng cịn cảm giác lo sợ, lúng túng Các em không làm tập dạng nhận biết thơng hiểu mà cịn giải thành thạo toán dạng vân dụng thấp, nhiều em giải tập dạng vận dụng cao cách linh hoạt sáng tạo Các em tự tin, hứng thú gặp giải tốn phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét Đặc biệt với tốn đưa em ln biết cách phân tích tốn tìm cách giải khác nhau, biết khai thác phát triển toán theo nhiều hướng khác nhau, biết tìm cách giải hay, ngắn gọn, giải nhiều tập khó Qua rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo phát triển lực mơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn nói riêng kết giáo dục tồn diện nói chung - Kết chứng minh qua chất lượng kiểm tra Bài kiểm tra sau khả quan kiểm tra trước trình độ nhận thức, phương pháp giải, kỹ làm bài, tính thơng minh sáng tạo Tơi nghiên cứu, tham khảo tài liệu đề kiểm tra tổng hợp với thời gian làm 45 phút Đề bài: Bài 1(2 điểm) Dùng hệ thức Vi- ét để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2 – 2021x - 2022 = b) x2 – 3x – 10 = Bài 2(2 điểm) Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x1  1 y2  x2  x2 x1 Bài 3(6 điểm) Cho phương trình: (m - 3)x2 - 2mx +m + = (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương b) Giả sử x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ x12 + x22 c) Viết hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m * Kết thu thật đáng phấn khởi Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Ghi em (22,9%) 16 em (45,8%) em (22,9%) em (8,4%) Căn vào kết khảo sát kết kiểm nghiệm ta thấy, trước truyền thụ kinh nghiệm khơng có học sinh đạt điểm giỏi, tỉ lệ yếu cao (37,1%) Sau truyền thụ kinh nghiệm tỉ lệ khá, giỏi tăng (8 em đạt điểm giỏi, 16 em đạt điểm ), tỉ lệ yếu giảm đáng kể ( 8,4%) * Ngoài kết đạt cách chứng minh kiểm tra mà giáo viên đề cịn chứng minh qua kết thi vào lớp 10 THPT Trong 35 em có tới 27 em làm hồn chỉnh tốn phương trình bậc hai trường đứng tốp đầu kết thi vào lớp 10 tồn huyện có học sinh đạt thủ khoa mơn tốn trường Lê Hoàn KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Bản thân tơi phó hiệu trưởng đào tạo mơn tốn học tham gia giảng dạy tiết/tuần Với lịng u nghề, say mê mơn tơi ln tìm tịi, nghiên cứu tài liệu để vận dụng vào giảng dạy môn đạt hiệu cao Bài học kinh nghiệm mà thân rút để thực có hiệu việc hướng dẫn học sinh lớp vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn phương trình bậc hai là: - Xác định chuẩn kiến thức, kỹ năng, thái độ, phát triển lực, phẩm chất phần "Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét ứng dụng" chương IV - Đại số - Tìm hiểu, nghiên cứu, phân loại dạng tập phương trình bậc hai có vận dụng hệ thức Vi-ét để giải, sau phân tích kỹ dạng đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng Truyền thụ kiến thức cho học sinh từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ dạng toán thường gặp đến dạng tốn gặp Khi giảng dạy giáo viên phải chia đơn vị kiến thức thành phần, dạng, tiết cụ thể chia học sinh thành đối tượng để lựa chọn phương pháp cho phù hợp Đối với học sinh trung bình trở xuống truyền thụ cho học sinh dạng 1, dạng 2, dạng (ví dụ 1), dạng (mục d1), dạng (ví dụ a, b), dạng (mục g1), học sinh khá, giỏi truyền thụ 10 dạng đề tài - Chú trọng việc không ngừng khai thác kiến thức, vận dụng hiểu biết mở rộng, hệ thống hóa kiến thức cho học sinh Qua xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập Khi dạy người giáo viên cần thiết kế tiến trình tổ chức hoạt động dạy học đáp ứng yêu cầu em tiếp nhận kiến thức cách chủ động, có hệ thống, phát triển trí thơng minh, sáng tạo học sinh Cốt lõi giúp học sinh hướng tới việc học tập chủ động, chống lại thói quen thụ động, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh - Rèn cho em kỹ vận dụng lý thuyết linh hoạt vào giải tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét liên quan đến phương trình bậc hai, kỹ trình bày lời giải toán, biết phối hợp điều kiện toán cách hợp lý có phát hiện, tìm tòi phương pháp giải hay hơn, ngắn gọn hơn, tránh tình trạng nắm hướng giải tốn lại lúng túng trình bày lời giải Trên kinh nghiệm mà thân đúc rút thực mang lại hiệu lớn cho thân q trình Dạy - Học Tơi mong góp ý bạn đọc để tích lũy thêm kinh nghiệm quý dạy học môn 3.2 Kiến nghị: - Đối với giáo viên: Cần tích cực tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, đặc biệt sau dạy xong chuyên đề cần tích lũy kinh nghiệm để góp phần thực tốt việc dạy học nhằm nâng cao chất lượng chất lượng giáo dục toàn diện nhà trường nói chung mơn tốn nói riêng - Đối với cấp quản lý giáo dục: Với đề tài sáng kiến kinh nghiệm giải A cấp huyện sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh cần triển khai cho giáo viên tham khảo, học tập để vận dụng vào trình dạy học môn Thọ Xuân, ngày 25 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 2 2 - 17 18 19 19-20 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán tập 2- Nhà xuất giáo dục Chuẩn kiến thức, kĩ Sách tập Toán tập 2- Nhà xuất giáo dục Sách nâng cao chuyên đề đại số 9- Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục Sách nâng cao phát triển Toán tập 2- Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục 500 toán chọn lọc - Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Hanh, Ngơ Long Hậu-NXB Hải Phịng Hướng dẫn ơn thi vào lớp 10 - Mai Công Mãn ( Chủ biên)- Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 9- Bùi Văn Tuyên - Nhà Xuất giáo dục Các đề thi vào lớp 10 THPT ... x1) = 19 (- 2x1 - x2 + 2) (- 2x2 – x1 + 2) = 19 4x1x2 + 2x 12 – 4x1 + 2x 22 + x1x2 - 2x2 - 4x2 –2x1 + = 19 2( x1 + x2 )2 – 6(x1 + x2) + x1x2 = 15 8(m – 1 )2 – 12( m-1) + 2m – = 15 8m2 - 26 m = 2m(4m -... x 12 + x 22 c) Với giá trị a b phương trình có nghiệm khơng âm 2. 4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Tôi áp dụng đề tài "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng hệ thức Vi- ét vào giải tốn liên. .. x1; x2 hai nghiệm phương trình cho nên, ta có : x 12 – 2mx1 + 2m – = - 2x1 ; x 22 – 2mx2 + 2m – = - 2x2 2 Theo đề ta có: (x1  2mx1  x  2m  3)(x  2mx  x1  2m  3)  19 (2 - 2x1 - x2)( - 2x2