Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn thường gặp ở bậc THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁPHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC

CAO MỘT ẨN THƯỜNG GẶP Ở BẬC THCS

Người thực hiện: Nguyễn Thị Nghiêm Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THCS Trần Mai Ninh

`THANH HOÁ NĂM 2016

A Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

B Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

C Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

I Một số kiến thức cơ sở về phương trình 5

II Một số phương pháp giải phương trình bậc cao một ẩn 7 II.1 Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 7 II.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 10

2.1 Phương trình trùng phương 102.2 Phương trình dạng ax2n + bxn + c = 0 (a 0, n N*) 112.3 Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c 12 2.4 Phương trình đối xứng bậc chẵn 14 2.5 Phương trình đối xứng bậc lẻ 15 2.6 Phương trình bậc bốn phản đối xứng 16

2.7 Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m

II.3 Phương pháp biến đổi phương trình về dạng [f(x) + a]n = b

( nN, n 2; a,b là hằng số) 18

D Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môntoán ở trường THCS Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu củaviệc học tập môn toán.

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học vàgiải bài tập toán phù hợp với mỗi đối tượng học sinh đòi hỏi người giáo viênphải chọn lọc hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập, sử dụng đúng các phương phápdạy học, góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh

Thông qua việc học toán học sinh được cung cấp một cách có hệ thốngkiến thức lí thuyết, được rèn luyện nhiều về phương pháp giải toán, giúp các emnhận dạng, tìm tòi đường lối giải toán nhanh chóng, hình thành kĩ năng, pháttriển tư duy ngày một sâu sắc hơn và qua đó các em càng yêu thích môn toánhơn

Trong số những bài tập được đề cập trong chương trình đại số bậc THCS,tôi nhận thấy bài tập về giải phương trình chiếm một thời lượng lớn nó xuyênsuốt chương trình học Điều đó khẳng định vai trò và vị trí của phương trình - nó

là đối tượng nghiên cứu trung tâm của môn đại số

Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giảiphương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn học sinh giải tương đối thành thạo,ít gặptrở ngại khó khăn nhưng khi gặp một bài toán có liên quan đến phương trình bậccao một ẩn, không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đitheo hướng nào Học sinh thường ngại học các dạng toán có liên quan đếnphương trình bậc cao một ẩn vì các bài toán này rất phong phú đòi hỏi vận dụngnhiều kiến thức, trong khi đó việc tổng hợp kiến thức đã học để giải một bàitoán của học sinh chưa tốt, phương pháp giải hạn chế

Vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc " Hướng dẫn họcsinh lớp 9 cách giải các dạng toán về phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ởbậc THCS" là cần thiết - chính vì những lý do đó mà tôi quyết định chọn đề tàinày

B Mục đích nghiên cứu

- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thốngmột số phương pháp cơ bản về giải phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ởbậc THCS Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lựchọc môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công

cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến phương trình bậc cao một ẩn

- Tạo ra hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sáchtham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập

- Chọn lọc hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phươngpháp giải nhằm mục đích rèn luyện và phát triển kĩ năng giải phương trình bậccao một ẩn cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham giatích cực của người học

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đã học về phân tích đa thức thànhnhân tử, kỹ năng nhẩm nghiệm của đa thức, để giải thành thạo phương trìnhbậc cao một ẩn Qua đó giúp các em học tốt hơn các bài tập về giải phươngtrình, thấy rõ mục đích của việc học toán, góp phần nâng cao chất lượng giáodục

C Đối tượng nghiên cứu :

- Học sinh ở lứa tuổi 15 ở trường THCS vì đa số các em chăm học, thích họctoán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tương đối ổn định

- Đề tài được áp dụng đối với học sinh lớp 9 trường THCS Trần MaiNinh, Thành phố Thanh Hoá trong các tiết học chính khoá, bồi dưỡng học sinhgiỏi, ôn thi vào lớp 10 THPT và lớp 10 chuyên

D Phương pháp nghiên cứu

- Giáo viên phải hệ thống được các khái niệm và các định nghĩa cơ bản củacác dạng phương trình, các tính chất và các cách giải phương trình từ đơn giảnđến phức tạp Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác các kiến thức liên quan đến giảiphương trình bậc cao một ẩn qua tài liệu sách, báo và mạng Internet để tìm đượcnhững ứng dụng đa dạng, phong phú của phương trình Mặt khác phải tìm hiểuđối tượng học sinh, lựa chọn các phương pháp, các dạng bài tập thích hợp đốivới từng đối tượng học sinh Tổng kết, phân tích nguyên nhân, đúc rút kinhnghiệm trong quá trình giảng dạy, từ đó tôi đã định hình cho việc nghiên cứu đềtài

- Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, làm bài tập áp dụng,rút ra một số chú ý (thường được vận dụng để làm bài tập), bài tập tự giải (học sinh

về nhà làm, những bài tập khó có sự hướng dẫn của giáo viên)

PHẦN 2 - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong năm học 2015- 2016 tôi được Ban giám hiệu trường THCS Trần MaiNinh phân công dạy toán lớp 9 và bồi dưỡng học sinh tham gia thi học sinh giỏi

Toán các cấp, kết hợp với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy bản thân tôithấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặcmỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó

Khi trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy những bài toán liên quan đến "Giảiphương trình bậc cao một ẩn" là dạng toán thường gặp, có nhiều cách thức đểgiải xong học sinh lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thờigian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm Tôi đã tìmmột số phương pháp để hướng dẫn học sinh phân tích đề bài, đưa ra nhận xét, từ

đó tìm ra cách giải các bài toán dạng này trên cơ sở các phương pháp mà họcsinh đã được thầy cô được trang bị trong cấp học Qua đó học sinh có hứng thúthực sự với dạng toán này, xóa đi cảm giác phức tạp và không có cách giải tổngquát và đạt được hiệu quả nhất định Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinhnghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng vàphát triển sâu rộng hơn

B Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

a Đối với học sinh

Đối tượng là học sinh khá, giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tương đốivững, có trí tuệ nhất định Song không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toánnào các em cũng làm được, đối với các bài toán "Giải phương trình bậc cao mộtẩn" từ bậc ba trở lên, hầu hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khónên đầu tư vào sẽ mất nhiều thời gian mà chưa chắc đã làm được và lại rất dễmắc sai lầm Do vậy các em thường bỏ qua bài toán này để tập trung thời giangiải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán nàỵ

b Đối với giáo viên

- Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyếtvới nghề và luôn cầu tiến bộ

- Khó khăn:

Kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm Do đó để dành nhiều thời gian vàonghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất hạn chế, nhiều người còn tưtưởng chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhàkhoa học

Đối với bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" không có cách giải mẫumực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán Do đó đòihỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thìmới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình

c Các tài liệu

Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về

số lượng có vô số và lan tràn khắp thị trường, nội dung trùng nhau, lời giải sơ sài,thậm chí nhiều cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính sư phạm không cao Các sáchcủa Bộ giáo dục vì lý do sư phạm vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nênphần giải bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" trong chương trình THCSchỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành mộttài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo

C Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

I Một số kiến thức cơ sở về phương trình

I.1 Cơ sở lý luận

1> Khái niệm về phương trình một ẩn:

Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và

vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

Khi nói a là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) ta hiểu rằng tại x = acác giá trị tương ứng của hai biểu thức A(x), B(x) bằng nhau

Biến x gọi là ẩn

Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm

Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình.

2> Định nghĩa hai phương trình tương đương

Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

3> Các phép biến đổi tương đương các phương trình

3.1 Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phương trình thì

được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: -8x = 16  -8x + 3x = 16 + 3x

- Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trìnhđồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đươngvới phương trình đã cho

Ví dụ: -12x + 9 = 16x - 6  -12x - 16x = -9 -6

- Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thìđược một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: 9x3 + 11x - 13 = 14 + 9x3  11x -13 = 14

3.2 Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương

trình mới tương đương với phương trình đã cho

- Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho

về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương trìnhdạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình

- Khi nghiên cứu về nghiệm của phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 (a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt thức  = b2 - 4ac của phương trình:

vì biệt thức  = b2 - 4ac quyết định số nghiệm của phương trình bậc hai

Ta thấy có các khả năng sau xảy ra:

a)  < 0  phương trình bậc hai vô nghiệm

b)  = 0  phương trình bậc hai có nghiệm kép

a

b x

x

22

1  c)  > 0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

II Một số phương pháp giải phương trình bậc cao một ẩn :

Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìmnghiệm của nó Ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù

có công thức, có sự hỗ trợ của máy tính nhưng việc tìm nghiệm của một sốphương trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoài chương trình THCS

Khi gặp các phương trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải songtrong đề tài này tôi đề cập đến ba phương pháp cơ bản để giải phương trình đại

số bậc cao Đó là:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích.+ Đặt ẩn phụ

+ Biến đổi phương trình về dạng [ f(x) + a]n = b với nN, n 2; a,b là hằng số

II.1 Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

0)(0

)()

(

x g

x f x

g x f

Vì vậy với phương trình bậc cao một ẩn nếu ta phân tích được vế tráithành nhân tử thì sẽ đưa phương trình về dạng phương trình tích của các nhân tử

có bậc thấp hơn, dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải

2 Nội dung

Để giải phương trình bậc cao bằng phương pháp này trước hết HS phảinắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung,dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, tách hạng tử, thêm bớt cùng mộthạng tử, phối hợp nhiều phương pháp và vận dụng một cách thành thạo

Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau:

02

x x x

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 2; x3 = -2

b) x4 + 3x2 - 28 = 0  x4 - 4x2 + 7x2 - 28 = 0  x2(x2 -4) + 7(x2 -4) = 0

 (x2 + 7)(x2 - 4) = 0  (x2 +7 )(x-2)(x+2) = 0 (1)

Vì x2  0 vớix nên x2 + 7  7 với x x2 + 7 > 0 vớix ( 2)

x x





  

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 2; x2 = -2

02

01

02

x x x

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x1 = -1; x2 = -2; x3 = 3

* Song có một số bài tập dựa vào các phương pháp trên học sinh chưa phân tích

đa thức thành nhân tử ngay được

Do đó ngoài các phương pháp trên, giáo viên đưa ra định lí Bơzu giúp các emnhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh nhất

Định lí Bơzu được phát biểu như sau: Phần dư của phép chia đa thức f(x) chonhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x = a

- Khai thác cách nhẩm nghiệm của phương trình:

anxn + an-1xn-1 + +a1x+ a0 = 0 (1) ( ai  Z )

+) Nếu an + an-1 + + a1+ a0 = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x = 1, do đó

vế trái của phương trình chứa thừa số x -1

+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình (1)

có nghiệm x = - 1, do đó vế trái của phương trình chứa thừa số x + 1

+) Mọi nghiệm nguyên của phương trình (1) đều là ước của hệ số tự do a0

+) Nếu số hữu tỉ x = q p ( p, q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phương trình(1) thì p là ước của a0, q là ước của an

Ví dụ 2 : Giải phương trình: x4 - 2x3 + x2 - 4 = 0 (*)

Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phương trình (*)nhận x = - 1 là một nghiệm

Do đó vế trái của phương trình (*) chia hết cho x + 1

Khi đó phương trình (*) có thể viết được dưới dạng:

Phương trình (4) có = (-1)2 – 4.1.2 = -7 < 0, do đó phương trình (4) vô nghiệmVËy ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm lµ x1 = -1 ; x2 = 2.

a) Giải phương trình với m = 1

b) Xác định m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt

01

Muốn phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình (2) phải

có 2 nghiệm dương phân biệt khác

2 1

2

02

03

3

0916

8

2

2 2

m m

m

m m

m m

12

32

0

0)2)(

1(

01)1(8

2 2

m m

m m

 Phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt khi 1<m<2

II.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

1.Cơ sở lí luận

Khi giải phương trình bậc cao một ẩn, ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho mộtbiểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biếtcách giải

Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc hai trunggian: ay2 + by + c = 0

Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào (2) tađược phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0) Giải phương trình này tađược nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu

01

1

y y

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y 0

b Với giá trị nào của m thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt

S P

0 3 4

1

2

m m

3





Đặt xn = y sau đó đưa về phương trình bậc hai đối với biến y: ay2 + by + c = 0

05

Vậy với m = 5 hoặc m= - 3 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất

+ Với m = 5 , ta có (3)  y2 + 4y + 4 = 0 (y+2)2 = 0 y + 2 = 0  y = -2 Với y = - 2  x5 = -2  x = 5 ( 2 )

+ Với m = -3, ta có ( 3)  y2 - 4y + 4 = 0  (y-2)2 = 0  y - 2 = 0  y = 2 Với y = 2 , ta có x5 = 2  x = 5 2

Kết luận:

Với m = 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 ( 2 )

Với m= -3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 2