skkn phương pháp dựng thiết diện và các dạng toán các dạng toán liên quan tới thiết diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU *** F N A B I O M E H C D G A' B' J D' C' SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN Lĩnh vực: Người viết: Tổ: Đơn vị: Toán học Nguyễn Ngọc Minh Toán- Tin Trường THPT Nguyễn Siêu Hưng Yên, tháng 2- 2014 PHẦN I: MỞ ĐẦU TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN I Lý thực đề tài I.1 Cơ sở lý luận: Bài toán dựng thiết diện môn hình học không gian toán khó học sinh THPT môn học có phần trừu tượng Dạng toán liên quan đến thiết diện đa dạng thường xuyên có mặt đề thi đại học, cao đẳng hàng năm Việc giải toán dựng thiết diện không đơn giản, yêu cầu người giải không nắm vững kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phải cần thực hành nhiều I.2 Cơ sở thực tiễn Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” nhắc đến hình học không gian, cho khó thực được, chứng em thi đại học, cao đẳng em nói toán hình không gian thường để cuối có thời gian làm không thời gian Nguyên nhân em khó liên hệ hình thật hình biểu diễn, liên hệ logic yếu tố không gian yếu nên nhiều toán dễ thành khó em Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo toán thiết diện, giúp em định hướng đường hướng giải cho dạng tập này, viết thành chuyên đề riêng thiết diện dạng toán liên quan I.3 Khảo sát thực tế trước thực đề tài: Cho học sinh lớp 11 (48 em) làm tập sau: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy tam giác cạnh a Qua AB dựng mặt phẳng vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện theo a h Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh (Đề thi ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Kết sau: + 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH  SC, BK  SC kết luận nào, có em kết luận thiết diện tứ giác AHKB + 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH  SC (hoặc BH  SC) khẳng định tam giác AHB thiết diện cần dựng mà không lí luận (không biết lí giải sao) + 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH  SC sau chứng minh CHB = CHA (cgc) suy AH  SC thiết diện tam giác AHB + 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M trung điểm AB chứng minh AB  (SMC) sau dựng MH  SC thiết diện tam giác AHB Nguyên nhân: Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M trung điểm AB để tạo mặt phẳng phụ chứng minh AB  SC từ kẻ MH  SC suy thiết diện vấn đề thiết diện không cung cấp kiến thức cách để học sinh có định hướng phát vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập vấn đề này) Vì lý nên chọn đề tài II Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III Đối tượng nghiên cứu Các toán dựng thiết diện mặt phẳng hình chóp, hình lăng trụ Các toán tính toán liên quan đến thiết diện, toán liên quan đến phân chia khối đa diện… IV Bố cục đề tài Đề tài gồm hai phần nội dung chính: Phần thứ nhất: Cách dựng thiết diện Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh Ở phần này, tác giả tập trung phân tích phương pháp dựng thiết diện trường hợp tổng quát, trường hợp có quan hệ song song, quan hệ vuông góc Phương pháp thể qua số ví dụ chọn lọc Phần thứ hai: Một số toán liên quan đến thiết diện Trong phần này, tác giả vào hai toán liên quan đến thiết diện: - Tính diện tích thiết diện toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích thiết diện - Tính tỉ số thể tích khối đa diện phân chia thiết diện Phần dùng để dạy cho học sinh lớp 12 V Ứng dụng thực tế Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh lớp 11, 12 học sinh ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi Thời gian nghiên cứu: 01 năm Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh PHẦN II: NỘI DUNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T mặt phẳng (P) Phần mặt phẳng (P) nằm T giới hạn giao tuyến sinh (P) cắt số mặt T gọi thiết diện (mặt cắt) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng có song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng có song song với đường thẳng Các cách xác định mặt phẳng: + Biết ba điểm không thẳng hàng + Hai đường thẳng cắt + Một điểm nằm đường thẳng + Hai đường thẳng song song Một số lưu ý: - Giả thiết mặt phẳng cắt (P), hình đa diện T - Dựng thiết diện toán dựng hình cần nêu phần dựng phần biện luận có - Đỉnh thiết diện giao mặt phẳng (P) cạnh hình T nên việc dựng thiết diện thực chất tìm giao điểm (P) cạnh T - Mặt phẳng (P) không cắt hết mặt T - Các phương pháp dựng thiết diện đưa tùy thuộc dạng giả thiết đầu - Các toán liên quan tới thiết diện thường là: + Tính diện tích thiết diện + Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ + Thiết diện chia khối đa diện thành phần có tỉ số cho trước (hoặc tìm tỉ số phần) - Các ví dụ đánh thứ tự liên tục từ đầu hết chuyên đề Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh B NỘI DUNG CHÍNH I Một số phương pháp dựng thiết diện I.1 Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt m t điểm n m ngo i m t đường thẳng… Phương pháp giải Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến (P) với mặt T (thường gọi giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng T ta tìm thêm giao điểm giao tuyến gốc cạnh T nhằm tạo thêm số điểm chung Lặp lại trình với mặt khác T tìm thiết diện Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (AB // CD, AB > CD) Gọi I, J trung điểm SB, SC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AIJ) Giải: Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm S không thẳng hàng A, I, J Có giao tuyến gốc AI, IJ I Kéo dài AD cắt BC K, kéo dài J IJ cắt SK E ta có E điểm chung (AIJ) (SAD) E F A B Nối AE cắt SD F ta có AF, FJ đoạn giao tuyến D Thiết diện tứ giác AIJF C K Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ điểm M, N nằm đoạn thẳng AD, AB Dựng thiết diện hình hộp mặt phẳng (MNC’) Giải: Ta có MN đoạn giao tuyến gốc Ta tìm thêm giao điểm MN cạnh hình bình hành ABCD Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh Kéo dài MN cắt CB CD E, F ta có thêm giao điểm Nối C’E cắt BB’ I, nối C’F cắt DD’ J Ta thiết diện ngũ giác MNIC’J E N A B M F C I D J A' B' D' C' Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, để dựng thường phải giải toán phụ: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P điểm nằm tam giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNP) Giải: D Chưa có giao tuyến gốc mặt phẳng cắt tứ diện Mặt K phẳng(MNP) có điểm chung P với M mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm chung ta tìm giao điểm O MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB M1, kéo dài DN cắt BC N1 I N A C M1 P E N1 F B O Hình a mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M 1N1 nên O giao điểm MN M1N1  OP giao tuyến gốc Nối OP cắt AB BC E, F Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh Tùy theo vị trí OP tam D giác ABC ta có thiết diện tứ giác EFIK (hình a) tam giác I EFI (hình b) M N Khi MN // M1N1 giao tuyến gốc đường thẳng qua P song A C song với M1N1 F E M1 P O N1 B Hình b Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm mặt phẳng (ABCD) cho d song song với BD, M trung điểm cạnh SA Hãy xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (M, d) trường hợp: a Đường thẳng d không cắt cạnh đáy ABCD b Đường thẳng d qua điểm C Giải: a) d giao tuyến gốc ta tìm S thêm giao điểm d với cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F giao điểm AB AC, AD M với d A Xét (M, d) (SAB) có M, H Q N chung nối MH cắt SB N ta có đoạn giao tuyến MN Tương tự nối ME cắt SC P, nối MF P B H D C E F cắt SD Q Thiết diện tứ giác MNPQ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh b) Tương tự phần a lúc S E  C thiết diện tứ giác MNCQ M A Q N B D H F E≡C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác lồi Gọi M, N trọng tâm tam giác SAB SAD; E trung điểm CB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNE) Giải: Gọi I trung điểm SA S Ta có M thuộc BI, N thuộc DI Từ IM IN    MN / / BD IB ID Q Xét mặt phẳng (MNE) mặt N P G M phẳng (ABCD) có E chung MN // BD nên (MNE) cắt I D A K F (ABCD) theo giao tuyến EF // BD (F  CD) B E C Ta có EF giao tuyến gốc Gọi G giao điểm EF AD ta có G điểm chung (MNE) (SAD) Nối GN cắt SD, SA P, Q, nối QM cắt SB K, nối KE, PF Ta có thiết diện ngũ giác EFPQK Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh I.2 Mặt phẳng (P) cho tính chất song song I.2.1 Mặt phẳng (P) qua d v song song với đường thẳng d, chéo với đường thẳng l Phương pháp Trên (P) có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d d’ // l Cách dựng: Ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d cho giao điểm A d (Q) dựng Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A d’ // d (P) xác định hai đường thẳng cắt d d’ Ví dụ Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình hành, H điểm thuộc cạnh SC Dựng thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) chứa AH song song với BD Giải: S Chọn mp (SBD) chứa BD Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng AH H cắt mặt (SBD) I giao điểm AH N SO Trong mp (SBD) kẻ qua I đường I thẳng song song với BD, gọi M, N giao M D C điểm đường thẳng SB SD Mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa AH MN Thiết diện tứ giác AMHN O A B Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB N điểm thuộc cạnh CD không trùng với C D Mặt phẳng (P) chứa MN song song với BC a Hãy xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Giải: a Chọn mặt phẳng (ABC)  BC ta có M giao điểm MN (ABC) Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) (P) xác định MN, ME Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh ·' ME  A' E ' M  E · ·' A ' O  · Mà  E A ' E ' M  900 · ·   E ' ME  ME ' E  90 Suy ra: E’M  A’C hay (P)  (AA’C’C) = E’M Qua M kẻ đường thẳng song song BE cắt AB N Thiết diện hình thang MNB’E’ b Do BE  (ACC’A’)  NM  (ACC’A’)  MN  ME Suy MNB’E’ hình thang vuông chiều cao ME’ S MNB ' E '  1 BE  MN  B ' E ' ME '    BE  ME '  BE.ME ' 2  2a  a (đường cao tam giác cạnh 2a) Ta có : BE = 3a 15 a2 a S ME '  EE'  ME  a   2 2 II Tính tỉ số thể tích phần khối đa diện bị chia thiết diện tính thể tích m t khối đa diện tạo thiết diện Một mặt phẳng chia khối chóp T làm hai phần T1, T2 Khi ta cần xác định tỉ số thể tích hai phần phải làm nào? Thể tích vấn đề chương trình lớp 12 nên phần tác giả giới thiệu số tập, để sâu vào vấn đề tác giả viết đề tài khác Một số lưu ý kiến thức liên quan: Giả sử mặt phẳng (P) chia khối đa diện T thành Bài toán đặt cần tính V1, V2 T1, T2 tỉ số k  V1 V2 - Nếu khối đa diện (P) chia thành khối T1, T2 VT  VT  VT - Công thức: Thể tích khối chóp: V  B h ; Thể tích khối lăng trụ: V = B.h Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 30 - Nếu cắt cạnh SA SB SC hình chóp SABC mp(P) A’, B’, C’ ta có công thức : VSA' B 'C ' SA' SB ' SC '  VSABC SA SB SC - Một khối đa diện T1, T2 có hình dạng phức tạp Để tính khối giả sử V1 ta thường sau: + Bổ sung vào T1 số tứ diện để đa diện tính thể tích Khi V1 hiệu số thể tích tổng thể tích tứ diện bổ sung cho T1 + Chia T1 thành khối đơn giản tính thể tích khối cộng lại Ví dụ 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh BB’, DD’ lấy điểm M, N cho MB’ = ND’ = a Dựng thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (AMN) Tính thể tích phần hình lập phương bị chia thiết diện tỉ số thể tích phần Giải: Gọi K  AM  A' B '; L  AN  A' D ' Đường thẳng KL cắt B’C’, C’D’ F, E Mặt phẳng (AMN) cắt hình lập phương theo thiết diện ngũ giác AMFEN Gọi V, V1, V2 thể tích K khối lập phương, khối đa diện chứa F B' AA’ khối đa diện lại (chứa CC’) E M A' C' D' L Ta có V = a V1 = VAKLA’ – VMB’KF – VND’EL Do MB’ = ND’ = a nên ta tính a KB’ = B’F = ED’ = D’L = Suy ra: N B C D A 3a VAKLA’ = AA ' A ' K A ' L  ; Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 31 a a a a3 VMB’KF = VND’EL =  3 2 72 3a 2a 25a 25a 47 a V1 25    Vậy V1 =  V2  V  V1  a  ;  72 72 72 72 V2 47 Ví dụ 32: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy Cạnh SC lập với mặt phẳng (SAB) góc 300 SC = a Mặt phẳng qua A vuông góc với SC chia hình chóp thành phần Tính tỉ số thể tích phần Giải: Cách dựng giống ví dụ 15 thiết diện nhận tứ giác AMHN S  BC  AB Ta có   BC  ( SAB ) BC  SA  H nên góc SC mặt phẳng N M E · (SAB) góc BSC theo giả thiết B · BSC = 300 đặt V = VSABCD = 2VSABC, C O A D V1 = VSAMHN = 2VSANH, V2 = V – V1 Ta có: V1  SN SH V SB SC Trong tam giác vuông SBC có SB = SCcos300 = a ; a a ; AC = BC = 2 2 a a  SA2  SC  AC  a   2 BC = SCsin300 = SA2 SH SC SA2    Do AH đường cao tam giác vuông SAC nên SC SC SC 2 BC  AN  BC  (SAB)   AN  SB Do  AN  SC  Từ SN đường cao tam giác SAB : Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 32 a2 SA a SN SN      SB a SB 3 V SN SH   Từ suy ra:  V SB SC 3 V V Nên  hay  V V2 2 Ví dụ 33: (Dự bị khối D - 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a điểm K thuộc CC’ cho CK  a Mặt phẳng (P) qua A K song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện Giải + Dựng mặt cắt: gọi O, O’ tâm B' C' hình vuông ABCD A’B’C’D’ gọi I O' K giao điểm OO’ AK I A' D' F G điểm chung (P) (BDD’B’) B Qua I kẻ đường thẳng song song với I C O E BD cắt DD’, BB’ E, F Thiết diện A tứ giác AEKF D + Gọi V thể tích hình lập phương, V = a3 V1 = VABCDEGF, V2 thể tích phần lại Ta có OI  KC Gọi G trung điểm CK EGF.DCB hình lăng trụ đứng tam giác Ta có: V1 = VA.BDEF + VE.KGF + VBDC.FEG 1 a a a3 a  VA.BDEF = AO.BD.OI  3 VEKGF = 1 a a3 EG FG GK  a.a  18 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 33 Vtrụ = ED.SBDC = Suy V1 = a a a3  a3 a3 a3 a3 2a    ; V2  18 3 Ví dụ 34: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a mặt bên nghiêng đáy góc 600 Một mặt phẳng (P) qua AC vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia hình chóp thành phần Tính tỉ số thể tích phần Giải: + Dựng thiết diện: S Gọi O tâm hình vuông ABCD, gọi M, N trung điểm AD, BC K SMN tam giác cân S có góc E I đáy 600 (SMN)  AD Kẻ F M A đường cao NK tam giác SMN ta có NK  (SAD) Mặt phẳng (P) D O B N C chứa AC song song NK Kẻ OI // NK (I SM) nối AI cắt SD E Thiết diện tam giác ACE + Tính tỉ số: Đặt V = VSABCD = 2VDACS, V1 = VDACE, V2 = V – V1 V1 DE  V DS Ta có: Kẻ MF // AE (F  SD) ta có DE DE EF DA IM   ES EF ES AM IS Mà OI đường cao tam giác vuông SOM nên: IM  OM  o    cot 60  IS  OS  Suy ra: DE DE DE    ES DS DE  ES Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 34 Từ Vậy V1 DE    , V DS 5 V1 V1   V2 V  V1 Ví dụ 35: Cho khối chóp tam giác SABC Trên cạnh SA lấy điểm M cạnh SB lấy điểm N cho: SM SN  ,  Mặt phẳng (P) qua MN song song MA NB với SC chia khối chóp thành phần Tính tỉ số phần Giải: + Dựng thiết diện: Kéo dài MN cắt S AB I Xét (P) (SAC) có M chung, (P) // SC nên qua M kẻ đường M thẳng song song với SC cắt AC D Nối DI cắt BC E Thiết diện tứ giác MNED A D N + Ta có E VA MDI AM AD AI 2 16    VA.SCB AS AC AB 3 27  VA MDI C B I 16  VS ABC ( BI=MJ= AB ) 27 1 VI BNE IB IN IE 1 1  VI BNE  VA.MDI  VS ABC    16 27 VI AMD IA IM ID 2 16 Gọi V1 = VAMD.BNE, V2 thể tích phần lại V1 = VA.MDI – VI.BNE = V 5 VS.ABC nên V2 = VS.ABC   9 V2 Ví dụ 36: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Trên A’B’ kéo dài lấy điểm M cho B’M = A’B’ Gọi N, P trung điểm A’C’ B’B a Dựng thiết diện lăng trụ bị cắt mặt phẳng (MNP) b Chứng minh thiết diện chia lăng trụ thành phần có tỉ số thể tích 49 : 95 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 35 Giải: a Gọi K = MN  B’C’ B' A' Q = MP  AB; K C' E = MP  AA’ M Nối NE cắt AC I, nối QI P thiết diện ngũ giác NKPQI Q A b Gọi V1 thể tích phần chứa B I AA’, V2 thể tích phần lại (chứa CC’) C E V1 = VEMNA’ - VE.AIQ – VMB’KP Gọi V, a h thể tích, cạnh đáy, chiều cao lăng trụ a 2h Ta có V = h Ta có: VMB ' P VPBQ VQAE  AE=BP=B'M= ; AI EA a    AI  ; A ' N EA ' VEAIQ 1 a 2h V  EA.SQIA  EA AI AQ.sin 60   288 72 3a h 3V a 2h V VEMNA'  EA'.S MNA'    ; VMB ' KP  PB '.S MB ' K  32 192 48 V1 = 3V V V 49V    ; 72 48 144 V2 = V – V1 = Suy Vậy 95V 144 V1 49V 144 49   V2 144 95V 95 V1 49  V2 95 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 36 Ví dụ 37: (Học viện ngân hàng năm 1999 khối D) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a mội điểm M AB AM = x (0 < x< a) Xét mặt phẳng (P) qua M chứa đường chéo A’C’ hình vuông A’B’C’D’ a Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt (P) b Mặt phẳng (P) chia khối lập phương thành khối đa diện; tìm x để thể tích khối đa diện gấp đôi thể tích khối đa diện Giải: M A O B J N D C A' B' O' D' C' a + Dựng thiết diện: Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC N nối A’M, C’N ta có thiết diện hình thang A’C’NM + Tính diện tích thiết diện: Kí hiệu hình vẽ ta có O’J đường cao hình thang A’C’NM Ta có MN = 2MJ = MB  a  x OJ AM x x2   OJ  Do MN // AC nên O ' J  a  OB AB 2   x2 Vậy Std  a   a  x  a  2 b (P) chia khối lập phương thành phần tích gấp đôi a3  VA'C ' NMB  VLP  Ta có: VA'C ' NMB  VA' BMN  VA' B 'C ' NB 3 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 37 1 Ta có: VA' BMN  AA '.SVBMN  a  a  x  a  2a  x  1 VA' BB 'C ' N  A ' B '.SVBB 'C ' N  a.a  a  a  x   6 a  VA'C ' NMB   x  3ax  3a  Theo giả thiết ta có phương trình: 3  a a3 x  3ax  3a    x  a      III Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = BC = a AD = 2a SA = 2a vuông góc với đáy Gọi M điểm cạnh AB; (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB Đặt x = AM (0< x < a) a Tìm thiết diện hình chóp cắt (P) Thiết diện hình gì? b Tính diện tích thiết diện Bài 2: Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a SA = a vuông góc với đáy (ABC) Tìm thiết diện tứ diện SABC mặt phẳng (P) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a (P) qua S vuông góc với BC b (P) qua A trung tuyến SI tam giác ABC c (P) qua trung điểm M SC vuông góc với AB Bài 3: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B AB = a SA vuông góc (ABC) SA = a M điểm tuỳ ý cạnh AB đặt AM = x (0 < x < a), (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB a Xác định thiết diện tứ diện tạo (P) b Tính diện tích thiết diện theo a x Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy hình vuông cạnh a; SA = a vuông góc đáy Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vuông góc với mặt phẳng (SCD) a Xác định (P) Mặt phẳng (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? b Tính diện tích thiết diện Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 38 Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B AB = a SA vuông góc (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm SC, SB M điểm AB đặt AM = x (P) mặt phẳng chứa EM vuông góc (SAB) Mặt phẳng (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a x Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy tam giác cạnh a AA’ vuông góc (ABC) AA’ = a Gọi M, N trung điểm AB A’C’ Xác định thiết diện lăng trụ mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’) Tính diện tích thiết diện Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi E, F trung điểm C’D’, C’B’ Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành phần Tính thể tích phần Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a SA vuông góc với (ABCD), SA = h Gọi I, J, K trung điểm SA BC, CD Chứng minh mặt phẳng (IJK) chia hình chóp thành phần tích Bài 9: Cho hình chóp SABCD cạnh đáy a Xét mặt phẳng (P) qua A song song với CD vuông góc với mặt phẳng (SCD), chia tam giác SCD thành phần với tỉ số diện tích (phần thứ chứa đỉnh) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I điểm thuộc AB; đặt AI = x (0 < x < a) a Khi góc hai đường thẳng AC’ DI 600, xác định vị trí I b Tính theo a x diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (B’DI) Tìm x để diện tích nhỏ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 39 PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM I Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm để kiểm chứng khả ứng dụng kiến thức học vào giải tập cụ thể II Tổ chức thực nghiệm 2.1 Hình thức thực nghiệm Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo phần nội dung đề cập phần nội dung (phần II) 2.2 Đối tượng thực nghiệm Học sinh lớp 11A1, 11A3 trường THPT Nguyễn Siêu năm học 20122013 Trong lực học 11A1 tốt III Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm tiết, bao gồm nội dung: + Phương pháp dụng thiết diện (6 tiết) + Diện tích thiết diện (2 tiết) IV Đánh giá kết thực nghiệm IV.1 Thái độ học tập học sinh Đa số em tỏ tự tin với phân môn hình học không gian, có số em tỏ thực yêu thích phân môn này, có liên hệ với thực tế IV.2 Đề kiểm tra (Đáp án vắn tắt) Bài 1: Cho tứ diện ABCD , M điểm cạnh AB, N P nằm tam giác BCD tam giác ACD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng MNP Hướng dẫn giải: E A A L L M M H B J D N K H B P I C Hình a Kẻ DN, DP cắt BC AC K, H Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh P D J N K I C Hình b 40 Xét trường hợp: Trường hợp 1: Trong (DKH), NP cắt KH E thiết diện tứ giác MJIL hình a Trường hợp 2: Trong (DKH), NP song song với KH thiết diện tứ giác MJIL hình a MJ song song với KH (Một số trường hợp vẽ hình hình khác cách dựng trên) Ý tưởng đưa ví dụ: Trong ví dụ học sinh gặp phải số khó khăn: - Không làm - Vẽ hình không xác - Làm không xét hết trường hợp Kết thực tế: Đa phần học sinh học xong phân tích làm tập Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a AA’ vuông góc với (ABC) AA’=a Xác định thiết diện mặt phẳng (P) với hình lăng trụ cho tính diện tích thiết diện trường hợp: a) Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với B’C b) Mặt phẳng (P) qua B’ vuông góc với A’I với I trung điểm cạnh BC A' C' A' C' J F B' B' E A C A C I I B B Hình a Hình b a) Thiết diện tam giác AIE với I E trung điểm BC, CC’(Hình a) Chứng minh tam giác vuông có diện tích: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 41 a2 S  AI.IE  (đvdt) b) Thiết diện tam giác FB’C’ với F giao điểm đường thẳng qua J vuông góc với A’I với đường thẳng AA’ (Hình b) Chứng minh tam giác FB’C’ cân F diện tích: a 21 S  B'C'.FJ  (đvdt) V Kết kiểm tra (điểm làm tròn) *) Bài số 1: Lớp 11A1 11A3 Dưới 5-7 18 20 8- 10 27 24 Điểm Ghi chú: Lớp 11A1 có 48 học sinh- Lớp có lực học tốt Lớp 11A3 có 45 học sinh- Lớp có lực học *) Bài số 2: (có độ khó tăng lên so với số 1) Lớp 11A1 11A3 Dưới 5 5-7 20 24 8- 10 23 16 Điểm VI Kết luận Dựa kết học sinh qua hai kiểm tra thái độ em nhận thấy: - Khả học tập phân môn hình học em tốt - Đa số học sinh điểm trung bình - Đa phần em hiểu bài, nắm bắt phương pháp thể kỹ làm tương đối tốt Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 42 PHẦN IV KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm nêu số phương pháp dựng thiết diện cách giải số toán liên quan đến thiết diện Qua phân tích, phương pháp ví dụ học sinh phần nắm cách dựng thiết diện dạng toán liên quan tới thiết diện nhằm củng cố kiến thức cần thiết phần kiến thức Các em yêu thích tự tin với phân môn hình học không gian Khả ứng dụng, triển khai Với cách trình bày logic, khoa học, súc tích sở tảng kiến thức toán THPT, đề tài có khả ứng dụng, triển khai buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, câu lạc toán học, cho ôn thi học sinh giỏi, học sinh ôn thi đại học để nâng cao kiến thức cho học sinh Hướng phát triển Hướng phát triển đề tài, tác giả sâu vào hình học không gian thuộc lớp 12: - Tỉ số thể tích ứng dụng tỉ số thể tích - Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán thiết diện Kiến nghị Để việc dạy học nâng cao kiến nghị sở giáo dục đào tạo nên công bố sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng toàn ngành để giáo viên có điều kiện tham khảo trao đổi chuyên môn để nâng cao lực giảng dạy Lời kết Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết không tránh khỏi sai sót Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp, bạn đọc để đề tài hoàn thiện đạt hiệu giảng dạy học tập học sinh Khoái Châu, ngày 20 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Minh Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học lớp 11 Sách tập hình học lớp 11 nâng cao Đề thi đại học cao đẳng năm gần Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 44 [...]... thẳng và song song với AB cắt SB tại E Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm được cách dựng thiết diện Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 20 II Các bài toán liên quan đến thiết diện II.1 Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện. .. 3a 2 khi và chỉ khi x  4 8 3a 3 3a 2 Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng khi x  8 4 Ví dụ 25:(Tham khảo đề thi ĐH khối B 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm điểm M thuộc AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất Giải: A' D' Gọi O là tâm hình lập phương và E là tâm đáy ABCD Đặt AB = a Do các mặt đối diện của hình lập B' phương song... có IH  MN và IH = a 2 1 a2 IH MN  Vậy SIMN = 2 6 Ví dụ 22: (Học viện quan hệ quốc tế năm 1999 khối D) Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB (P) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD a Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P) b Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi c Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất Giải: A a Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M và AC, qua... giác ABC Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AA’ Đặt AM = x ( a 3 a 3 x ) 3 2 a Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P) b Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x Tìm x để thiết diện đó lớn nhất Giải: a Theo giả thiết M thuộc OA’ S Ta có SO  (ABC)  SO  AA’, tam giác ABC đều G N nên BC  AA’ Vậy (P) qua M song H song với SO và BC Xét (P) và (ABC) có M chung Do (P) // BC nên... a’ qua M Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R) Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện 2 Ví dụ Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện là hình gì? Giải: Ta có (ABCD) chứa M,... lấy các điểm M, N sao cho MB’ = ND’ = a Dựng thiết diện của hình lập 3 phương cắt bởi mặt phẳng (AMN) Tính thể tích mỗi phần của hình lập phương bị chia bởi thiết diện và tỉ số thể tích giữa 2 phần đó Giải: Gọi K  AM  A' B '; L  AN  A' D ' Đường thẳng KL cắt B’C’, C’D’ tại F, E Mặt phẳng (AMN) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác AMFEN Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích K khối lập phương, ...(P) và (BCD) có N chung và chứa A hai đường thẳng song song nên (P)  (BCD) theo giao tuyến NF // BC (F  BD), nối MF, EN M Thiết diện là tứ giác MENF b Theo cách dựng thiết diện ở phần F E a) thiết diện là hình thang MENF N 1 (ME // NF) ta có ME  BC nên để 2 MENF là D B C hình bình hành thì 1 NF  BC hay N là trung điểm CD 2 Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm... khối đa diện T1, T2 có thể có hình dạng phức tạp Để tính một trong 2 khối giả sử V1 ta thường là như sau: + Bổ sung vào T1 một số tứ diện để được một đa diện có thể tính được thể tích Khi đó V1 là hiệu số giữa thể tích đó và tổng các thể tích các tứ diện bổ sung cho T1 + Chia T1 thành các khối đơn giản tính thể tích từng khối rồi cộng lại Ví dụ 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên các cạnh... nhất, nhỏ nhất 1 Một số lưu ý: - Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết diện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng Vì vậy ta có thể áp dụng tất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt phẳng để tính - Công thức diện tích tam giác: 1 1 abc S  ah  ab sin C   pr  p  p  a  p  b  p  c  2 2 4R - Công thức diện tích tứ giác bất kì ABCD:... với BD Gọi (P) là mặt phẳng qua d và C’ a Thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a b Tính góc giữa (P ) và (ABCD) Giải: D' C' a Gọi I, J là giao điểm của d và A' CD, BC, M  d  JC ', N  d  IC ' M Thiết diện là tứ giác AMC’N Ta có tứ giác AMC’N là hình B' N D I C A B J Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh 27 bình hành và M, N là trung điểm của BB’, DD’