Hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng và giải một số dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp

Mục lục Nội dung MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Nôi dung 2.3.1.Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 2.3.2 Hệ phương trình giải phương pháp lượng giác hóa 2.3.3 Hệ phương trình hai ẩn không mẫu mực 2.3.4 Bài tập áp dụng phương pháp 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 3 4 5 7 13 17 18 19 20 Các kí hiệu viết tắt THPT : trung học phổ thông HSG : học sinh giỏi ĐH, CĐ : Đại học, cao đẳng GV : giáo viên GVG : giáo viên giỏi NXBĐHQGHN : nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội NXBGD : nhà xuất giáo dục MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Toán học môn khoa học môn học khác, đòi hỏi người học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ kiên nhẫn nắm Nó môn học khó, trừu tượng với thời lượng nội dung chương trình sâu gây khó khăn cho người học người dạy Thực tế cho thấy nhiều học sinh đam mê, yêu thích toán kết thi HSG, thi đại học không cao so với môn khác Là giáo viên trường 15 năm, có kinh nghiệm giảng dạy đội tuyển HSG luyện thi ĐH, THPT quốc gia băn khoăn vướng mắc nhiều vấn đề , đặc biệt hệ phương trình có hệ phương trình nhiều ẩn Tại trường THPT Triệu Sơn nơi công tác, chất lượng đầu vào thấp, giáo viên chưa tiếp cận nhiều, lúng túng chưa giải thỏa đáng cho học sinh, đặc biệt học sinh gần không định hướng được, điều gây cản trở việc ôn thi HSG nhà trường nói chung, chất lượng giảng dạy mũi nhọn nói riêng Theo tinh thần Đại hội Đảng toàn quốc vừa diễn “ giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục đầu tư cho phát triển, nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đối tượng nhân lực chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu hội nhập với giới” cần đối tượng học sinh mũi nhọn để sâu vào nghiên cứu khoa học, giảm thiểu thiếu yếu lính vực Ở không đề cập đến vấn đề giải hệ phương trình bậc hai ẩn ba ẩn giải phương pháp cộng, thông thường kiến thức SGK viết kĩ mà đề cập đến hệ nhiều ẩn giải phương kháp “không mẫu mực” Ta biết hệ phương trình chiếm phần kiến thức quan trọng chương trình toán THPT, không lớp 10 mà lớp 11 đặc biệt lớp 12 Nó không thường xuyên gặp kì thi ĐH, CĐ, thi THPT quốc gia, thi HSG cấp, thi chọn GV giỏi mà kì thi chọn HSG quốc gia bậc THPT Thực tiễn đời sống cần giải toán ứng dụng sản xuất (qui hoạch tuyến tính) đòi hỏi ta giải hệ phương trình, hệ bất phương trình để nhằm đáp ứng nhu cầu xã hội đồng thời rèn luyện tư cho người học Hiện chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu sâu vấn đề khó đề biện pháp giúp học sinh tìm hiểu nắm bắt tốt vấn đề Tôi cho ôn luyện cho học sinh giỏi kì thi bắt gặp nhiều toán hệ phương trình tham số, hệ chứa căn, hệ phương trình giải phương pháp hàm số, đánh giá nhận xét bất đằng thức, công cụ đạo hàm…cụ thể kì thi ĐH nhiều năm, thi HSG trường năm 2004, thi GVG trường 2010-2011, HSG tỉnh Ca si o văn hóa năm 2011 đến 2015, thi thử THPT quốc gia năm 2015, năm 2016 …Một lượng không nhỏ toán chuyển làm việc với đối tượng hệ phương trình thông qua phép đặt ẩn phụ toán phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, v.v…Trong suốt trình giảng dạy ôn luyện HSG cấp, thi ĐH, thi THPT quốc gia giúp học sinh nhận dạng giải số hệ nhiều ẩn với mục đích chuyển đổi toán phức tạp toán đơn giản thông qua việc phân loại đưa tập tương tự đinh hướng, gợi mở, đồng thời đưa số tập tổng hợp.Vì chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng giải số dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm nâng cao khả sáng tạo học sinh ôn luyện thông qua việc tổng quát hóa, giúp GV giảng dạy, khả đúc rút kinh nghiệm dạy hệ phương trình nhiều ẩn phức tạp nhìn khác nhau, khả ứng dụng tiến đề tài việc dạy học giáo dục, đồng thời rèn kỹ nghiên cứu khoa học, tư hàm học sinh đồng thời góp phần nâng cao chất lượng hiệu công tác bồi dưỡng HS giỏi cho giáo viên trường THPT Thông qua hệ phương trình nhiều ẩn giải phương pháp khác phương pháp hàm số hệ hoán vị vòng quanh, phương pháp lượng giác hóa ,cộng đại số, đặt ẩn phụ đặc biệt, đánh giá bất đẳng thức….tạo cho học sinh giỏi nhận dạng , giải thành thạo gặp dạng hệ kì thị HSG trường, tỉnh chọn đội tuyển thi HSG quốc gia Đưa lời giải, biện pháp giúp học sinh giải tốt đứng trước toán hệ phương trình nhiều ẩn khó hay xuất kì thi HSG từ khái quát hóa thành toán khác có liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp : Lớp 12A10,THPT Cầm Bá Thước năm 2003 - 2006 Lớp 12 B2 THPT Cầm Bá Thước năm 2006 – 2009 Lớp 12 A7 THPT Triệu Sơn năm 2011 – 2012 Lớp 12 C1 THPT Triệu Sơn năm 2014– 2015 Lớp 12 B1, 12B5,12B6 THPT Triệu Sơn năm 2015– 2016 Đề tài nghiên cứu, tổng kết đưa “hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng giải dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp ” 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp thực nghiệm ( thông qua thực tế dạy học lớp, dạy đội tuyển, dạy ôn thi đại học, hội thảo chuyên đề tổ, kiểm tra, đánh giá, thi GVG cấp trường, GVG cấp tỉnh…) Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết 1.5 Những điểm SKKN Đối với SKKN đề cập trước có đề tài tương tự không đưa phương pháp tổng quát giải hệ (cộng , thế, đặt ẩn phụ, đồ thị, ) mà xoáy sâu hệ hoán vị vòng quanh, hệ giải phương pháp lượng giác hóa, hệ hai ẩn không mẫu mực giải phương pháp đánh giá gặp kì thi THPT hay gặp kì thi HSG cấp mặt nhận dạng, thể thông qua cách giải tập tương tự NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Định nghĩa1: Hàm số có đạo hàm K( khoảng, đoạn, nửa khoảng) Nếu f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến K Nếu f ' ( x) ≤ 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến K f ' ( x) = hữu hạn điểm thuộc K Hàm số y = f(x) đồng biến K với a, b thuộc K, a < b ⇒ f (a) < f (b) Hàm số y = f(x) nghịch biến K với a,b thuộc K, a < b ⇒ f (a) > f (b)  f ( x1 ) = g( x2 )   f ( x2 ) = g( x3 )  Tính chất 1: Xét hệ phương trình có dạng :   f ( x ) = g( x ) n−1 n   f ( xn ) = g( x1 ) Nếu hàm số f g tăng A ( x1, x2 , xn ) nghiệm phương trình, xi ∈ A, ∀i = 1,2, , n x1 = x2 = = xn Chứng minh : Không tính tổng quát giả sử : x1 = min{ x1, x2 , xn} Giả sử ta có : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇒ g( x2 ) ≤ g( x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ⇒ xn ≤ x1 Vậy : x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ x1 Từ suy : x1 = x2 = = xn  f ( x1 ) = g( x2 )   f ( x2 ) = g( x3 )  Tính chất 2: Xét hệ phương trình có dạng (với n lẻ):   f ( x ) = g( x ) n−1 n   f ( xn ) = g( x1 ) Nếu hàm số f giảm tập A, g tăng A ( x1, x2 , xn ) nghiệm phương trình, xi ∈ A, ∀i = 1,2, , n x1 = x2 = = xn với n lẻ Chứng minh : Không tính tổng quát giả sử: x1 = min{ x1, x2 , xn} Ta có x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ⇒ g( x2 ) ≥ g( x3 ) ⇒ x2 ≥ x3 ⇒ xn ≤ x1 ⇒ f ( xn ) ≥ f ( x1 ) ⇒ x1 ≥ x2 ⇒ x1 = x2 Từ suy ra: x1 = x2 = = xn  f ( x1 ) = g( x2 )   f ( x2 ) = g( x3 )  Tính chất 3: Xét hệ phương trình có dạng (với n chẵn) ):   f ( x ) = g( x ) n−1 n   f ( xn ) = g( x1 ) Nếu hàm số f giảm tập A, g tăng A ( x1, x2 , xn ) nghiệm phương  x = x = = x n−1 trình, xi ∈ A, ∀i = 1,2, , n  x = x = = x với n chẵn  n Tính chất 4: Nếu hai vế phương trình đơn điệu ngược chiều (vế đồng biến, vế nghịch biến tập K) vế đơn điệu, vế số phương trình có tối đa nghiệm nên nhẩm nghiệm nghiệm Tính chất 5: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) Lưu ý: Khi tập xác định hay khoảng đồng biến nghịch biến hai hàm khác ta xử lí hệ hoán vị vòng quanh phương pháp khác Trong phạm vi đề tài ta sử dụng tính chất để giải hệ hoán vị vòng quanh ẩn nhiên số trường hợp cần tạo biến cách thế, đặt ẩn phụ, cộng , trừ, nhân theo vế phương trình hệ với với hệ số thực Ngoài sử dụng phương pháp lượng giác hóa đánh giá bất đẳng thức - Nếu x ≤ a( a > 0) ta đặt x = acosα , với α ∈ [ 0; π ] 2 -Nếu x + y = a( a > 0) ta đặt x = asinα , y = acosα , với α ∈ [ 0; 2π ] 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Vài năm trở lại xu đổi chương trình, SGK theo hướng tích hợp Ngành giáo dục tổ chức nhiều hội thảo, nhiều đợt học chuyên đề cho giáo viên, đổi phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm, đổi cách kiểm tra, đánh giá nhằm phát huy tính chủ động, tích cực học sinh, tăng cường khả tự học học sinh Đi kèm theo theo khâu đề thi ĐH, CĐ, thi THPT quốc gia, thi HSG Bản thân giảng dạy THPT Cầm Bá Thước,Thường Xuân trường THPT Triệu Sơn nơi công tác, nhiều lần tổ chức thi HSG, thi ĐH, thi GVG trường, GVG tỉnh, thi THPT quốc gia, học sinh,giáo viên lúng túng không giải loại toán Phương pháp áp dụng nhiều vấn đề nên việc nhận dạng định hướng gặp khó khăn, chưa nói đến vấn đề biến đổi phức tạp Đây vấn đề khó không học sinh mà GV trực tiếp giảng dạy Do cần đưa biện pháp giải vấn đề Thực chất khảo sát chất lượng lớp chọn trường đến 98% không nhận biết 100% học sinh đại trà không hiểu vấn đề Bảng thống kê số liệu năm Lớp thực nghiệm năm 2003-2006 2006-2009 2009- 2012 2013-2016 Số HS giỏi tiếp thu tổng số học 5/55 sinh lớp 9/55 12/50 16/51 Tài liệu hệ phương trình chưa nhiều, có đưa cách giải, chưa phân tích, nêu biện pháp thực Từ thực trạng trên, thiết nghĩ đưa cách tiếp cận với số dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn hoàn toàn cần thiết nhằm giúp học sinh đơn giản hóa toán phức tạp, qui lạ quen, đề xuất hướng giải toán nảy sinh phân loại toán giải phương pháp lượng giác hóa, nhằm giúp HS “ gỡ rối ” kì thi Đồng thời giúp học sinh có nhìn sâu phương pháp để giải toán thông thường 2.3 Nội dung 2.3.1 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh ( ( ( ) )  x3 + 3x − 3+ ln x2 − x + = y   Thí dụ : Giải hệ phương trình :  y + 3y − 3+ ln y − y + = z   z + 3z − 3+ ln z − z + = x ) (HSG Quốc Gia 1994 ) Giải :  f ( x) = y  Nhận dạng: Đây hệ hoán vị vòng quanh  f ( y) = z  f ( z) = x  Xét hàm số: f ( t) = t + 3t − 3+ ln( t − t + 1) Ta có: f'( t) = 3t2 + 3+ 2t − > 0, ∀t ∈ R t − t+1  f ( x) = y  Vậy hàm số f ( t) đồng biến R Ta viết lại hệ phương trình sau :  f ( y) = z  f ( z) = x  Không tính tổng quát giả sử : x = min{ x, y, z} Lúc : x ≤ y ⇒ f ( x) ≤ f ( y) ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y) ≤ f ( z) ⇒ z ≤ x Hay : x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z Vậy: x = y = z , Xét phương trình : x + 2x − 3+ ln( x − x + 1) = Do hàm số : ϕ ( x) = x + 2x − 3+ ln( x − x + 1) đồng biến R nên pt có nghiệm x = Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = Biện pháp1: Đưa toán tổng quát (Tính chất 1) để HS nhận biết áp dụng  2x + x  ÷ =y    2y3 + y2   =z Thí dụ 2: Giải hệ phương trình:   ÷  4 2z3 + z2     =x   ÷   Giải: Vế trái hệ phương trình dương nên : x, y, z > 2t3 + t2 2t3 + t2 1 Xét hàm số: f ( t) =  ÷ , ta có : f'( t) = − ( 2ln4) ( 3t2 + t)  ÷ < 0, ∀t >  4  4 Vậy hàm số f ( t) nghịch biến ( 0; + ∞ ) Không tính tổng quát giả sử: x = min{ x, y, z} Lúc đó: x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f ( z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z ⇒ f ( x) = f ( z) ⇒ y = x Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = z = Biện pháp 2: Đưa toán tổng quát 2(tính chất 2) để học sinh nhận dạng thể ( x − 1) = 2y   ( y − 1) = 2z Thí dụ 3: Giải hệ phương trình:   ( z − 1) = 2t   ( t − 1) = 2x Giải : Ta có x, y, z, t ≥ Xét hàm số : f ( s) = ( s − 1) , ta có : f'( s) = 2( s − 1) Do hàm số tăng ( 1; + ∞ ) giảm [ 0; 1] ( Do f(s) liên tục R ) Không tính tổng quát giả sử x = min{ x, y, z, t} + Nếu x∈ ( 1; + ∞ ) ⇒ x, y, z, t ∈ ( 1; + ∞ ) , theo toán tổng quát hệ có nghiệm + Nếu x∈ [ 0; 1] ⇒ ≤ f ( x) ≤ 1⇒ ≤ 2y ≤ 1, hay y∈ [ 0;1] Tương tự ⇒ z, t∈ [ 0; 1] Vậy x, y, z, t∈ [ 0; 1] Ta có: x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f ( z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z Vậy x = z ⇒ f ( x) = f ( z) ⇒ y = t 2  ( x − 1) = 2y ( x − 1) = 2y ⇔   x= y ⇔ x = y = 2− Khi :  ( y − 1) = 2x     x = −y Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm : x = y = z = t = 2+ x = y = 2− Biện pháp 3: Đư toán tổng quát( Tính chất 3) để học sinh nhận dạng thể Như số hệ hoán vị vòng quanh học sinh nắm vững ba tính chất giải Ngoài cho HS giải tập áp dụng cuối đề tài Ta xét số hệ hoán vị vòng quanh không giải phương pháp 2.3.2 Hệ phương trình giải phương pháp lượng giác hóa  x 1− y2 + y 1− x2 = Thí dụ 4: Giải hệ phương trình:  ( 1− x) ( 1+ y) = (1) (2) Giải : 1− x2 ≥  x ≤ ⇔ Điều kiện:  − y ≥  y ≤  Đặt x = cosα ; y=cosβ với α ,β ∈ [ 0; π ] , hệ phương trình π  cosα sinβ + cosβ sinα =1  α + β = ⇔ ⇔  ( 1− cosα ) ( 1+ cosβ ) = sinα − cosα − sinα cosα − = 1− t2 Đặt t = sinα − cosα , t ≤ ⇒ sinα cosα = 2 1− t − 1= ⇔ t2 + 2t − ⇒ t = Ta có : t − x = π π  2sin α − ÷ = 1⇒ α = ⇒ β = ⇒  4  y = Nhận xét: Nếu x ≤ a( a > 0) , ta đặt x = acosα , với α ∈ [ 0; π ] Với t = 1, ta có : Nếu giải phương pháp thông thường khó chí không giải Tương tự ta xét ví dụ khác  ( x − y) ( 1+ 4xy) = 2  x + y = Thí dụ 5: Giải hệ phương trình:  ( 1) ( 2) Giải : 2 Do x + y = ⇒ x, y∈ [ −1; 1] Đặt x = sinα , y = cosα với α ∈ [ 0; 2π ] Khi (1) ⇔ ( sinα − cosα ) ( 1+ 2sin2α ) = π  1 π  π   ⇔ 2sin α − ÷.2. sin2α + ÷ = ⇔ 4sin α − ÷ sin2α + sin ÷ = 4  2  6   π  π   π   ⇔ 8sin α − ÷sin α − ÷cos α − ÷ = 4  12  12    π  π π    ⇔ 4cos α + ÷ cos − cos 2α − ÷ = 12      π  π  π    ⇔ 2cos α − ÷− 4cos α − ÷cos 2α − ÷ = 12  12  6    π    π π  π    ⇔ 2cos α − ÷− 2 cos 3α − ÷+ cos α − ÷ = ⇔ −2cos 3α − ÷ = 12  4 12   4      α = −350 + k1200 π  cos 3α − ÷ = − ⇔ 0 4   α = 65 + k120 ( k∈ R) 0 0 0 Hệ có nghiệm ( x, y) = {( sin65 , cos65 ) , ( −sin35 , cos35 ) , ( sin85 , cos85 ) , ( −sin5 , − cos5 ) ,( -sin25 , − cos25 ) , ( sin305 , cos305 ) } 0 0 0 Nhận xét: Nếu : x + y = a( a > 0) , ta đặt x = asinα , y = acosα ,với α ∈ [ 0; 2π ] Đây cách giải toán Học sinh phải nhận dạng 2 2x + x2y = y  Thí dụ : Giải hệ phương trình:  2y + y z = z 2z + z2 x = x  Giải : 10  2x  y = 1− x2 (1)  2y  (2) Ta có : x, y, z ≠ ±1 Do đó:  z = 1− y2   2z (3) x= 1− z2   π π Đặt x = tanα với α ∈  − ; ÷ (4) cho tanα , tan2α , tan4α ≠ ±1  2 kπ 2kπ 4kπ  , z = tan Tương tự hệ có nghiệm  x = tan , y = tan 7   π π Nhận xét: Với số thực x α ∈  − ; ÷ cho x = tanα  2 (5)  ÷, k = 0, ± 1, , ±3  Mặc dù hệ hoán vị vòng quanh không giải phương pháp trước  x − 3z2x − 3z + z3 =  Thí dụ 7: Giải hệ phương trình:  y − 3x y − 3x + x =  z − 3y2z − 3y + y3 =  Giải Viết lại hệ phương trình dạng : ( ) ) )  x 1− 3z2 = 3z − z3    y 1− 3x = 3x − x   z 1− 3y = 3y − y ( ( (I)  3z − z3 x =  1− 3z2   3x − x3 Điều kiện x, y, z ≠ ± Khi hệ (I) ⇔  y = 1− 3x2   3y − y3 z =  1− 3y2  π π (1) (2) (II) (3)   Đặt x = tanα với α ∈  − ; ÷ (4) cho tanα , tan3α , tan9α ≠ ± (5)  2 Khi từ (2), (3), (1) có : y = tan3α , z = tan9α x = tan27α Từ suy ( x, y, z) nghiệm (II) y = tan3α , z = tan9α , x = tanα , với α thỏa mãn điều kiện (4), (5) tanα = tan27α (6) Lại có : ( 6) ⇔ 26α = kπ ( k∈ Z) kπ Với α thỏa mãn (4) (6) α = với k nguyên dương : −12 ≤ k ≤ 12 26 11 Vậy hệ có tất 25 nghiệm : kπ 3kπ 9kπ   x = tan 26 , y = tan 26 , z = tan 26   ÷, k = 0, ± 1, ± 12  Nhận xét: Không phải hệ hoán vị vòng quanh giải phương pháp xét hàm đặc trưng dạng toán thưc nhất, toán giải phương pháp lượng giác hóa khó mặt định hướng GV cho HS giải tập ứng dụng cuối đề tài giúp HS giỏi định hướng ,làm quen, giải tốt phần    1 1  1  3 x + ÷ = 4 y + ÷ = 5 z + ÷ Thí dụ 8: Giải hệ phương trình:   x   y   z   xy + yz + zx =  Giải : Nhận xét: xyz ≠ 0; x, y, z dấu Nếu ( x, y, z) nghiệm hệ phương trình ( − x, − y, − z) nghiệm hệ phương trình x, y, z dương Đặt x = tanα ; y = tanβ ; z = tanγ ( < α , β ,γ < 90 )        = 4 tanβ + = 5 tanγ + ( 1)  3 tanα + ÷ ÷ tanα  tanβ  tanγ ÷    Ta có    tanα tanβ + tanβ tanγ + tanγ tanα = ( 2)   1+ tan2α   1+ tan2β   1+ tan2γ  = = ⇔ = = (1)  ÷  ÷  ÷ ⇔ sin2α sin2β sin2γ  tanα   tanβ   tanγ  ( Từ (2) suy : tanγ ( tanα + tanβ ) = 1− tanβ tanα ⇒ cotγ = tanα + tanβ ) 1− tanβ tanα = tan( α + β ) π π  ⇒ tan − γ ÷ = tan( α + β ) ⇔ α + β + γ = 2    sin2α = sin2β = sin2γ Do  nên 2α,2β,2γ góc tam giác có ba π π  < α , β ,γ < ;α + β + γ =  2 cạnh 3, 4, Do tam giác vuông nên 2γ = 900 ⇒ γ = 450 ⇒ z = tgγ = tan α 2x = ⇔ = ⇒ x= 2 − tan α 1− x tan β 2y tan2β = = ⇔ = ⇒ y= − tan2 β − y2 tan2α = Nhận xét: Ta thường gặp hệ hai ẩn giải phương pháp cộng, ,nhân chia theo vế, đặt ẩn phụ, đưa hệ đồng bậc, xét hàm số đặc trưng, đánh giá Ở ta đưa cách giải hệ hai ẩn không mẫu mực 2.3.3 Hệ phương trình hai ẩn không mẫu mực 12  698  x +y = 81 Thí dụ 9: Giải hệ phương trình:   x2 + y2 + xy − 3x − 4y + = (1) (2) Giải : Giả sử hệ phương trình cho có nghệm Ta thấy (2) tương đương với : x2 + ( y − 3) x + ( y − 2) = Hệ phương trình cho có nghiệm x ∆ = ( y − 3) − 4( y − 2) ≥ ⇔ 1≤ y ≤ 2 2 Mặt khác (2) tương đương với : y + ( x − 4) y + x − 3x + = Hệ phương trình cho có nghiệm y ( (3) (4) 256 49 697 698 x4 + y2 ≤ + = < , không thỏa mãn (1) 81 81 81 ) ∆ = ( x − 4) − x2 − 3x + ≥ ⇔ ≤ x ≤ Từ (3) (4) ta có: Vậy hệ phương trình vô nghiệm Nhận xét: Hệ giải phương pháp đánh giá Biện pháp : Đưa tập tương tự cuối SKKN, yêu cầu Hs giải, chỉnh sửa, gợi ý (nếu cần) Thí dụ 10: (Thi HSG trường Triệu Sơn năm 2015) 2x2 + xy − y2 = Tìm tất giá trị m để hệ phương trình:  (1) có nghiệm  x + xy + y = m Giải : Nhận xét: Đây hệ đẳng cấp bậc hai, đặt x = ty 2x2 = 1 y = + Với hệ trở thành  Hệ có nghiệm m= x = m   2 t + t − =  y2 x  2t + t − = y2  ⇔ (2) + Với y ≠ 0, đặt y = t , hệ trở thành   t2 + t + 1= m t2 + t + = m 2t2 + t −   y2 ( ) Vậy HPT (1) có nghiệm ( x, y) HPT (2) có nghiệm ( t, y) t < −1 Xét hệ (2), từ 2t + t − 1= y2 suy 2t + t − 1> ⇔  t>  2 13 1  t2 + t + ⇔ m= có nghiệm t ∈ ( −∞, −1) ∪  , + ∞ ÷ Xét 2t + t − 2  1  t + t+1 hàm số f ( t) = khoảng ( −∞, −1) ∪  , + ∞ ÷ 2t + t − 2  t + 6t +  t = −3− , f'( t) = ⇔  Ta có : f'( t) = − 2t + t −  t = −3+ Do (2) có nghiệm ( t, y) ( ) Lập bảng biến thiên : −∞ t -1 −3 − f’(t) - + + +∞ −3+ - +∞ +∞ f(t) 14 + −∞ 28+ 11 Từ BBT ta có : m≥ 14 + 28+ 11 - −∞ Biện pháp 5: ax + bxy + cy = d Đưa dạng hệ đẳng cấp bậc hai, bậc 3, hệ đồng bậc  a ' x + b' xy + c ' y = d ' Cách giải chia theo vế, đặt x = ty  x3 ( + 3y) = Thí dụ 11: Giải hệ phương trình:   x y − = ( ) ( 1) ( 2) Giải : Rõ ràng y = hệ vô nghiệm Với y ≠ , từ (2) suy x = Xét hàm số: f ( y) = Ta có: f'( y) = − ( 27( + 3y) ( ) y3 − 27( + 3y) = (3) , thay vào(1) ta có : y3 − y −2 ( − 1, ) 81 8y3 + 6y2 + ( y − 2) 3 ) Suy : f'( y) = ⇔ y = −1 14 Ta có BBT : y f’(y) f (y) −∞ +∞ -1 0 + - +∞ −∞ - −∞ Từ BBT suy pt(3) nghiệm ( −∞; −1) ( −1; 2) Phương trình có nghiệm y = −1 nghiệm khoảng Ta thấy y = nghiệm thuộc ( ) ( 2, + ∞ −∞ ) 2, + ∞ 1  Vậy hệ có hai nghiệm : ( −1; −1)  ; 2÷ 2  Biện pháp 6: Đánh giá đạo hàm, sử dụng tính chất nêu phần lí luận Thí dụ 12: (Thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 trường Triệu Sơn 5) ( )  1+ 42x− y 51− 2x+ y = 1+ 22x− y+1  Giải hệ phương trình:   y + 4x + 1+ ln y + 2x = ( ) Giải : Nhận dạng: Đưa phương trình thứ dạng hai vế đơn điệu ngược chiều, sử dụng tính chất 4, yêu cầu làm tương tự cuối SKKN Điều kiện: y2 + 2x > Đặt t = 2x − y phương trình thứ hệ trở thành: ( ) 1+ 4t 51−t = 1+ 2t+1 ⇔ 1+ 4t 1+ 2t+1 = (1) 5t Vế trái hàm nghịch biến, vế phải hàm đồng biến nên t = nghiệm (1) Thay vào phương trình thứ hai ta : y + 2y + 3+ ln( y + y + 1) = ( 2) Vế trái hàm đồng biến nên y = -1 nghiệm (2) Đáp số : x = 0, y = −1  7x + y + 2x + y = Thí dụ 13: Giải hệ phương trình:   2x + y + x − y = ( HSG Quốc Gia 2000 B ) Giải : 15 Nhận xét: Sử dụng phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn Điều kiện: min{ 7x,2x} ≥ − y Đặt 7x + y = a với 2x + y = b ( 1) ( 2)  a + b = Ta có : b+ x − y =  Nhận thấy : a2 − b2 = 5x Kết hợp với (1) suy : b = 5− x + x − y = ⇔ x = 2y− ( 5− x) , thay vào (2) ta : ( 3) Thay (3) vào (2) ta có: 5y − + y − = ⇒ y = 11− 77 Thay vào (3) suy nghiệm hệ phương trình là: x = 10 − 77, y = 11− 77    =2  3x. 1+ x + y ÷   Thí dụ 14: Giải hệ phương trình:   7y. 1−  =   x+ y÷    ( HSG Quốc Gia 1996 A ) Giải : Nhận xét: Biến đổi hệ, nhân theo vế, đưa phương trình đẳng cấp bậc hai Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ với x2 + y2 ≠ Dễ thấy, ( x, y) nghiệm hệ pphương trình ta phải có x > 0, y > Do :    1+ ÷= x + y    Hệ ⇔    1−  = ÷   x+ y  3x 7y  1 2 = −  3x 7y  x+ y ⇔ 1 = + 2  3x 7y  ( 1) ( 2) Nhân (1) với (2) ta được: 1 = − ⇔ 21xy = ( x + y) ( 7y − 3x) ⇔ ( y − 6x) ( 7y + 4x) = ⇔ y = 6x (x>0,y>0) x + y 3x 7y Thay vào (2) giải ta : x = 11+ 22 + , y= 21 2.3.4 Bài tập áp dụng phương pháp Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 16 a  y3 − 6x2 + 12x − =   z − 6y + 12y − =  x3 − 6z2 + 12z − =   x3 + x( y − z) =  d  y + y( z − x) = 30   z + z( x − y) = 16 ( ( ( ) ) )  x3 y2 + 3y + = 3y2   2 g  y z + 3z + = 3z  2  z x + 3x + = 3x 2x3 − 7x2 + 8x − = y  i  2y − 7y + 8y − = z  2z3 − 7z2 + 8z − = x  12x2 − 48x + 64 = y3  b 12y − 48y + 64 = z 12z2 − 48z + 64 = x3  e ( ( ( ) ) )  x19 + y5 = 1890z + z2001  19 2001 c  y + z = 1890x + x  z19 + x5 = 1890y + y2001   x2 ( x + 1) = y3 − x +    y ( y + 1) = z − y +   z ( z + 1) = x − z +  x5 − x4 + 2x2y =  f  y − y + 2y z =  z5 − z4 + 2z2x =   x2 + y2 = − y( x + z)  h  x + x + y = −2yz 3x2 + 8y2 + 8xy + 8yz = 2x + 4z +   x3 + 3xy2 = −49 k  2  x − 8xy + y = 8y − 17x ( HSG Quốc Gia 2004 B )  x2 = y3 + y + a  Bài 2: Chứng minh với a ∈ R ,  y = z + z + a có nghiệm  z2 = x3 + x + a  Bài Giải hệ phương trình sau:  x2 − 2x + 6.log ( − y) = x   a  y − 2y + 6.log3 ( − z) = y (Thi thử HSG Casio 2015 trường Triệu Sơn 5)   z − 2z + 6.log3 ( 6− x) = z  x3 + 3x2 + 2x − = y  b  y + 3y + 2y − = z (HSG Quốc Gia 2006 B)  z3 + 3z2 + 2z − = x  Biện pháp: Giao tập cho HS đội tuyển chuẩn bị tuần,nếu cần gợi ý,đưa kết Thu nạp, chấm, sửa chữa, phân tích sai sót HS Đồng thời củng cố việc nhận dạng, nêu phương pháp giải 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm SKKN phân loại số toán hệ phương trình nhiều ẩn giải cách khác nhau, đưa ví dụ, phân tích nêu biện pháp giúp học sinh phần định hướng, nhận dạng, thể toán hệ không mẫu mực 17 Đồng thời tập tương tự để hoc sinh tự giải nhằm củng cố Qua việc bồi dưỡng HSG luyện thi ĐH, thi THPT QG bước đầu coi thành công Năm 2008 Tôi trực tiếp ôn đội tuyển HSG tỉnh trường THPT Cầm Bá Thước : * Em Nguyễn Quốc Huy đạt giải môn Toán với 18 điểm đậu ĐH khối A, B khối B môn toán em đạt 9,5 điểm * Em Lê Xuân Long đạt giải nhì môn Toán (16,5đ) đậu khối A(26,75 điểm), B khối B 10 điểm môn Toán * Các em Lê Minh Quyền, Lê Văn Hai, Phan Thị Thu Liên, Ngô Anh Tuấn đạt giải PhanThị Thu Liên đậu A, B khối A (24,5điểm), môn toán 9,5 điểm Năm 2009 tiếp tục ôn thi có nhiều em đậu ĐH với điểm số cao,thi HSG văn hóa Casio nhiều giải: * Em Trịnh Việt Cường giải môn toán cấp tỉnh, khuyến khích Casio * Em Lê Thị Việt Trinh giải khuyến khích môn Toán… Năm 2015 có em đạt HSG cấp trường Triệu Sơn môn Toán, em Nguyễn Xuân Trường đạt giải khuyến khích giải toán CASIO cấp tỉnh * Em Phạm Văn Bằng, Vũ Trọng Hưng, Lê Văn Tuấn, Nguyễn Thị Thảo, … đạt từ điểm trở lên kì thi THPT Quốc Gia SKKN giúp đông nghiệp tổ nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG giỏi đặc biệt việc bồi dưỡng ôn luyện HSG thi chọn đội tuyển HSG tỉnh năm nhằm nâng dần chất lượng mũi nhọn thành tích HSG tỉnh đơn vị Đồng thời thời tìm hướng giải hệ phương trình khó cho học sinh trường vốn non yếu phần góp phần nâng cao phong tào giáo dục mũi nhọn nói riêng, phong trào nhà trường nói chung làm thay đổi diện mạo địa phương Kết năm học 2016-2017 trường THPT Triệu Sơn 5, chí em lớp chọn 11, lớp chọn 10 tiếp thu thừa nhận tính chất đơn điệu hàm số Lớp thực nghiệm 12B1 12B5 12B6 Số HS giỏi tiếp thu 7/38 tổng số học sinh lớp 9/39 11/38 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ + Kết luận 18 Việc đưa biện pháp thực qua thí dụ cho ta thấy việc nhìn nhận phương pháp giúp ta giải vấn đề : + Qui toán lạ quen + Chuyển toán từ đại số lượng giác, giải tích ngược lại + Giáo viên, đồng nghiệp tổ tự đề cho học sinh giỏi 10, 11,12 xuất phát từ toán SKKN tàiliệu tham khảo giúp hoc sinh định hướng, tiếp cận để giải câu khó đề thi ĐH HSG, thi THPTQG giúp GVquen thuộc việc hướng dẫn học sinh giải lớp toán phương pháp hoán vị vòng quanh, xét hàm số đặc trưng, phương pháp lượng giác hóa, đánh giá hệ không mẫu mực… + Kiến nghị Đối với trường THPT Triệu Sơn cần quan tâm việc phát đào tạo học sinh giỏi ôn luyện hoc sinh thi THPTQG để đề tài phát huy tính tự học HS, tính tự bồi dưỡng giáo viên Đối Sở GD- ĐT cần trọng công tác kiểm tra đánh giá chất lượng giáo dục, đổi khâu đề thi chọn HSG tỉnh, GVG tỉnh,thi chọn đội tuyển dự thi HSG QG để đề tài có ý nghĩa Đối với Bộ giáo dục đào tạo, đổi khâu đề thi THPTQG thi HSG quốc gia câu phân luồng 4.TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Nguyễn Văn Mậu, chuyên đề chọn lọc lượng giác, NXB GD 2008 [2] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề hệ phương trình [3] Các website: http://www.mathscope.org, http://www.mathlinks Org 19 [4] Tạp chí toán học tuổi trẻ [5] Đặng Thành Nam, Kĩ thuật giải nhanh hệ phương trình, NXB ĐHQGHN 2015 [6] Trần Phương, Chuyên đề hàm số, NXB ĐHQGHN 2009 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ThanhHóa,ngày 20 tháng năm 2017 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Trọng Hoàng 20 SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI THPT NHẬN DẠNG VÀ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN THƯỜNG GẶP Người thực hiện: Lê Trọng Hoàng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2017 21 ... TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI THPT NHẬN DẠNG VÀ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN THƯỜNG GẶP Người thực hiện:... kết đưa hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng giải dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp ” 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp thực nghiệm ( thông qua thực tế dạy học lớp, dạy... tập tương tự đinh hướng, gợi mở, đồng thời đưa số tập tổng hợp.Vì chọn đề tài Hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng giải số dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp 1.2 Mục đích