Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp giải một số bài toán lãi kép

MỤC LỤC Trang Mở đầu…………………………… 1.1 Lí chọn đề tài………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………… Nội dung……………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận…………………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề……………………………………………… 2.3 Các giải pháp thực hiện………………………………………… 2.3.1 Kiến thức có liên quan…………………………………… 2.3.2 Một số toán thường gặp phương pháp giải………… Bài toán 1…………………………………………………… Bài toán 2…………………………………………………… Bài toán 3…………………………………………………… Bài toán 4…………………………………………………… Bài toán 5…………………………………………………… Bài toán 6…………………………………………………… 2.3.3 Bài tập áp dụng…………………………………………… Kết luận, kiến nghị…………………………………………………… 3.1 Kết luận………………………………………………………… 3.2 Kiến nghị………………………………………………………… 2 3 3 3 4 8 10 10 10 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ‘LÃI KÉP’ Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Ngày 28/9/2016 Bộ giáo dục đào tạo thức công bố phương án thi THPT Quốc gia xét tuyển Đại học, cao đẳng năm học 2017 Bộ giáo dục đào tạo công bố đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm đề thi tham khảo môn Toán học Theo phương án thi công bố, môn Toán học thi hình thức thi trắc nghiệm khách quan, nội dung đề thi hoàn toàn chương trình lớp 12 hành Đặc biệt theo cấu trúc đề thi mà công bố đề thi đưa vào toán ứng dụng thực tế, toán ‘ lãi kép’ đề cập cấu trúc đề thi Bài toán “ lãi kép” toán khó, trước đề cập đề thi học sinh giỏi, sách giáo khoa Giải tích 12 ban toán ‘lãi kép’ lấy làm ví dụ để đặt vấn đề làm xuất hàm số mũ y = a x hàm số logarit Bài tập toán dạng sách giáo khoa sách tập ít, không phong phú tài liệu đề cập bàn sâu đến dạng toán ‘lãi kép’ nhiều thị trường, học sinh học làm tập dạng toán lúng túng làm sai nhiều Để giúp học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương giải tốt toán ‘lãi kép’ trình học ôn tập thi THPT Quốc gia, chọn đề tài: ‘Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp giải số toán ‘lãi kép’’ Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh giải toán liên quan đến toán ‘lãi kép’ tránh tình trạng em gặp phải toán loại lúng túng không giải Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp toán liên quan đến toán ‘lãi kép’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Thứ định hướng chương trình giáo dục với mục tiêu giúp học sinh: phát triển toàn diện đạo đức, trí lực, thể chất, thẫm mĩ kĩ bản, phát triển lực cá nhân, tính động, sáng tạo, hình thành nhân cách người Việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Thứ hai toán ‘lãi kép’ đưa vào cấu trúc đề thi trung học phổ thông quốc gia toán khó chương trình lớp 12 Thứ ba toán ‘vay trả góp, mua hàng trả góp’ toán thực tế nay, nhiều học sinh gia đình học sinh ‘vay trả góp, mua hàng trả góp’ chịu lãi suất thực 1.3 Đối tượng nghiên cứu Là học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Quảng Xương đề tài nghiên cứu toán sau: Bài toán gửi ngân hàng theo thể thức lãi suất đơn (có nghĩa tiền lãi kì hạn trước không cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau) Bài toán gửi ngân hàng theo thể thức lãi suất kép (có nghĩa tiền lãi kì hạn trước cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau) Bài toán ‘vay trả góp mua hàng trả góp’ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : +) Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo -Đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm đề thi tham khảo Bộ giáo dục đào tạo -Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa, đề thi khảo sát chất lượng khối 12 Trường THPT +) Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận Trong chương trình Giải tích 12 toán ‘lãi kép’ nội dung quan trọng, toán lấy làm ví dụ để xây dựng định nghĩa hàm số lũy thừa hàm số logarit Ngoài toán ‘lãi kép’ toán thực tế diễn sống hàng ngày gửi tiền vào ngân hàng, vay tiền ngân hàng, vay trả góp, mua hàng trả góp, việc cung cấp nội dung phương pháp để học sinh giải toán liên quan đến toán ‘lãi kép’ cần thiết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện gặp toán liên quan đến toán ‘lãi kép’, số học sinh lúng túng, chưa biết cách giải thường làm mò sở toán học 2.3 Các giải pháp thực Đầu tiên tiếp cận toán, giáo viên giúp học sinh nắm phương pháp giải, biết phải sử dụng công thức cho phù hợp Sau lập sơ đồ giải, sử dụng máy tính cầm tay bấm để kết cần tìm Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán liên quan đến toán ‘lãi kép’, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân kiến thức hàm số lũy thừa, hàm số lôgarit Sau giáo viên chọn số toán điển hình để học sinh thực hành vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số toán tương đối đầy đủ toán liên quan đến toán ‘lãi kép’ sát với thực tế sống sát với chương trình ôn tập thi trung học phổ thông quốc gia 2017 2.3.1 Kiến thức toán có liên quan -Các khái niệm cấp số cộng cấp số nhân đại số giải tích 11 - Các khái niệm hàm số mũ hàm số logarit giải tích 12 2.3.2 Một số toán thường gặp phương pháp giải Bài toán (Bài toán lãi đơn) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất đơn 7% năm Hỏi số tiền người nhận vốn lãi sau năm ? (Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải: Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 100.106 + 100.106.7% = 100.106.(1 + 1.7%) = 107.000000 -Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 107.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 2.7%) = 114000000 -Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 114.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 3.7%) = 121000000 -Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 121.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 4.7%) = 128000000 -Hết năm thứ người nhận gốc lãi A = 128.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% = 100.106.(1 + 5.7%) = 135000000 (Một trăm ba lăm triệu đồng ) Từ ví dụ theo quy nạp ta có toán tổng quát sau: Một người gửi vào ngân hàng a đồng, với lãi suất đơn r % kì hạn Hỏi số tiền người nhận vốn lãi sau n ( n ∈ ¥ * ) kì hạn ? (Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải: Ta gọi A tổng số tiền gốc lãi người nhận sau n kì hạn A tính công thức: A = a.(1 + n.r %) (1) Phân tích khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất đơn có nghĩa là: Tiền lãi kì hạn trước không cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Như ví dụ ta giải cách áp dụng trực tiếp công thức (1) sau : Lời giải Áp dụng công thức (1) ta có A = 100000000.(1 + 5.7%) = 135000000 đ (Một trăm ba lăm triệu đồng ) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng, với lãi suất đơn 7,2% năm Hỏi người phải gửi năm số tiền người nhận vốn lãi 27200000 đồng ? (Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải Theo công thức (1) ta có: 20.106.(1 + n.7, 2%) = 27200000 ⇒ n = Vậy người phải gửi năm Ví dụ: Một người đầu tư vào công ty 80 triệu đồng, sau năm người nhận vốn lãi 128000000 đồng Hỏi lãi suất tháng người nhận ? Lời giải Theo công thức (1) ta có: 80.106.(1 + 12.r %) = 128000000 ⇒ r = Vậy lãi suất tháng 5% Bài toán (Bài toán lãi kép) Ví dụ: Một người gửi số tiền triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Hỏi người lĩnh tiền sau n năm ( n ∈ ¥ * ), khoảng thời gian không rút tiền lãi suất không thay đổi ? Lời giải: Giả sử n ≥ Gọi số vốn ban đầu a, lãi suất r Ta có a=1 (triệu đồng), r=0,07 -Sau năm thứ nhất: Tiền lãi L1 = a.r = 1.0, 07 = 0, 07 (triệu đồng) Số tiền lĩnh vốn lãi : A1 = a + L1 = a + a.r = a (1 + r ) = 1, 07 (triệu đồng) -Sau năm thứ hai: Tiền lãi L2 = A1.r = 1, 07.0, 07 = 0, 0749 (triệu đồng) Số tiền lĩnh vốn lãi : A2 = A1 + L2 = a (1 + r ) + A1.r = a(1 + r ) + a (1 + r ).r = a (1 + 2r + r ) = a (1 + r ) = (1, 07) = 1,1449 (triệu đồng) -Tương tự, số tiền lĩnh vốn lãi sau n năm : An = a.(1 + r ) n = (1, 07) n (triệu đồng) Vậy sau n năm, người lĩnh (1, 07) n triệu đồng Từ ví dụ theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau: An = a.(1 + r ) n (2) Trong Số vốn ban đầu là: a Lãi suất là: r Thời gian gửi ( kì gửi) là: n Số tiền gốc lãi n kì là: An Phân tích khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép có nghĩa là: Tiền lãi kì hạn trước cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Ví dụ: Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất 7,65%/năm Giả sử lãi suất không thay đổi Hỏi sau năm ông A thu vốn lãi (kết làm tròn đến hàng nghìn đồng)? Lời giải: Áp dụng công thức (2) ta có: A5 = 15.106.(1 + 7, 65%)5 = 21685000 đồng Vậy sau năm ông A thu vốn lãi 21685000 đồng Bài toán (Bài toán kì gửi đặn a đồng theo thể thức lãi kép Hỏi sau n kì số tiền gốc lãi ? ) Ví dụ: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng ( chuyển vào tài khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1%/ tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn số tiền (gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi từ tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh tiền (kết làm tròn theo đơn vị nghìn đồng ) Lời giải Gọi a số tiền gửi, r lãi suất -Cuối tháng thứ mẹ có số tiền : A1 = a.(1 + r ) -Cuối tháng thứ hai mẹ có số tiền : A2 = [a (1 + r ) + a ](1 + r ) = a (1 + r ) + a (1 + r ) -Tương tự theo quy nạp hết tháng thứ n mẹ có số tiền An = a.(1 + r ) (1 + r ) n − r (3) Áp dụng công thức (3) cho 11 kì gửi ý kì 12 không đươc tính lãi ta có A12 = 4.106.(1 + 1%) (1 + 1%)11 − + 4.106 = 50730012, 05 1% Vậy mẹ nhận 50730000 đồng Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép sau : Mỗi tháng người tiết kiệm số tiền a đồng gửi vào ngân hàng theo kì hạn tháng với lãi suất 0,6%/tháng Tìm a để sau ba năm kể từ ngày gửi lần người có tổng số tiền 400 triệu đồng (Biết lãi suất không thay đổi suốt thời gian gửi ) Lời giải: Áp dụng công thức (3) ta có (1 + 0, 6%)36 − A = a(1 + 0, 6%) = 400000000 ⇒ a ≈ 9928000 0, 6% Như người phải gửi vào ngân hàng tháng xấp xỉ 9928000 đồng Bài toán (Ban đầu kì thứ gửi P đồng sau kể từ kì thứ trở kì gửi đặn a đồng theo thể thức lãi kép lãi suất r Hỏi sau n kì tổng số tiền gốc lãi ? ) Ví dụ: Một người gửi gói tiết kiệm tích lũy cho ngân hàng theo thể thức lãi kép, với số tiền tiết kiệm ban đầu 200 triệu đồng, lãi suất 7%/năm Từ năm thứ trở ngày ngân hàng tính lãi người gửi thêm vào 20 triệu đồng Biết người không rút lãi định kì hàng năm lãi suất không thay đổi suốt thời gian gửi Hỏi sau 18 năm người nhận gốc lãi ? Lời giải: -Sau năm thứ người nhận số tiền gốc lãi : 200.106.(1 + 7%) = 214 triệu đồng -Đầu năm thứ người gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ hai người nhận số tiền : (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) đồng -Đầu năm thứ người gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ ba người nhận số tiền : [(214.106 + 20.106 )(1 + 7%) + 20.106 ].(1 + 7%) = = (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) + 20.106.(1 + 7%) đồng -Tương tự, đến hết năm thứ 18 người nhận (214.106 + 20.106 )(1 + 7%)17 + 20.10 6.(1 + 7%) (1 + 7%)16 − = 1335967105 đồng 7% Vậy người nhận 1335967105 đồng Theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau: A = ( P + P.r + a )(1 + r ) n −1 + a (1 + r ) (1 + r ) n − − r (4) Bài toán (Bài toán gửi vào ngân hàng A đồng theo thể thức lãi kép, cuối kì sau gửi rút a (A>a) đồng Hỏi rút a để thời gian n kì hết số tiền gốc lãi ? ) Ví dụ: Một người học Đại học gia đình gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đến ngân hàng rút a đồng để chi tiêu Hỏi tháng người rút tiền để sau năm số tiền vừa hết ? Lời giải: Theo ta có: = 20.106.(1 + 0, 7%)60 − a (1 + 0, 7%)60 ⇒ a = 409367,3765 đồng 7% Vậy người tháng rút 409367,3765 đồng Bài toán (Bài toán vay trả góp mua hàng trả góp) Ví dụ: Một người vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua nhà Nếu cuối tháng, tháng thứ sau vay người trả 5,5 triệu đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0,5% tháng (biết lãi suất không thay đổi ) sau người trả hết số tiền ? Lời giải Giả sử người vay A đồng với lãi suất r tháng Mỗi tháng trả a đồng (a