Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 8 trường THCS thiệu khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ ,GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS THIỆU KHÁNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ Người thực hiện: Nguyễn Thị Hoan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thiệu Khánh SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2016 MỤC LỤC Trang Phần I : Đặt vấn đề Lý chọn đề ……………………………………………………… Mục đích nghiên cứu …………………………………………………3 3.Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………………4 Phần II: Giải vấn đề ……………………………………………………… 1/ Cơ sở lí luận ………………………………………………………… 2/Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………… 3/Các giải pháp thực ……………………………………………… Lý thuyết ……………………………………………………………5 Phương pháp giải…………………………………………………….6 Các ý quan trọng…………………………………………………8 4/Các dạng tập thường gặp ………………………………………….10 5/Những sai lầm thường gặp giải toán cực trị……………… 17 Phần III: Kết luận kiến nghị ………………………………………………….20 1/ Kết luận vấn đề nghiên cứu …………………………………………20 2/ Kiến nghị vấn đề nghiên cứu ……………………………….21 I.ĐẶT VẤN ĐỀ 1/ Lý chọn đề tài : Toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao tri thức, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám cho đất nước Toán học môn khoa học tự nhiên hình thành từ sớm gắn bó chặt chẽ với thực tiễn đời sống người Toán học giúp cho việc hình thành phát triển cho người học lực tư logic, phương pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, tư tưởng đạo đức Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học người giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức phương pháp truyền thụ phù hợp Thực tế cho thấy hầu hết giáo viên có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phương pháp nhiều hạn chế, thầy cô dạy môn toán ngoại lệ Vậy đâu nguyên nhân ? Theo nguyên nhân là: - Giáo viên chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ bước cần thiết giải toán, toán toán khó nên học sinh chưa có phương pháp suy nghĩ, suy luận tìm tòi lời giải - Chỉ nặng trình bày lời giải mà không ý đến việc hướng dẫn học sinh tự tìm lời giải Bởi học sinh hiểu lời giải cụ thể ,mà chưa suy luận để giải toán tương tự - Chưa trọng đến việc phân tích toán theo nhiều khía cạnh, theo loại để tạo phương pháp lời giải khác nhau, chưa rèn luyện cho học sinh kĩ tính toán, biến đổi, suy luận 2/ Mục đích nghiên cứu : Nhìn chung Toán học môn học trừu tượng Tính trừu tượng logic tăng dần em học lên lớp Từ năm học lớp khó khăn học sinh bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đây đề tài thú vị, thường quy tắc giải tổng quát Do học sinh hay mắc thiếu sót sai lầm giải toán loại này.Chính mà mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh ,giỏi lớp trường THCS Thiệu Khánh số phương pháp giải toán cực trị ” 3/ Đối tượng nghiên cứu : Hướng dẫn học sinh ,giỏi lớp trường THCS Thiệu Khánh số phương pháp giải toán cực trị 4/ Phương pháp nghiên cứu : - Khái quát hệ thống thức - Các phương pháp giải toán cực trị - Các dạng tập - Lưu ý cho học sinh sai lầm thường gặp giải toán cực trị II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1/ Cơ sở lí luận: -Trước thực đề tài đầu năm học cho học sinh giỏi phụ trách làm toán tìm cực trị lớp 8, ghi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm ngộ nhận nêu đề tài Sau em nắm nội dung kiến thức kỹ làm toán cực trị tiến đặc biệt kiểm tra, 100% học sinh không mắc phải sai lầm đáng tiếc nữa, nghĩ thành công bước đầu đề tài Tóm lại, từ yêu cầu thực tế ngành giáo dục, từ khó khăn giáo viên học sinh thường hay mắc sai lầm việc giải toán cực trị, chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh ,giỏi lớp trường THCS Thiệu Khánh số phương pháp giải toán cực trị ”để nghiên cứu với hy vọng đề tài góp phần vào việc giải khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên học sinh việc dạy học kiến thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 2/ Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Được phân công Ban giám hiệu trường THCS Thiệu Khánh dạy bồi dưỡng môn toán lớp ,tôi thấy qua trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm gần thân thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho toán dạng toán công việc khó Khi trực tiếp bồi dưỡng, tự thấy kiến thức em nắm tương đối vững ,xong toán hay dạng toán em làm được, đặc biệt toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hầu hết em cho loại toán khó nên đầu tư vào nhiều thời gian mà chưa làm lại dễ mắc sai lầm Do em thường bỏ qua toán để tập trung thời gian giải toán khác nhiều em hứng thú gặp toán 3/ Giải pháp thực hiện: - Giáo viên trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức - Giáo viên yêu cầu học sinh nắm vững chất toán cực trị - Giới thiệu phương pháp giải toán cực trị - Một số tập áp dụng cụ thể - Một số sai lầm mắc phải a/ Cách giải vấn đề làm: *Biện pháp 1: Giáo viên trang bị cho học sinh đơn vị lý thuyết cần thiết Cụ thể sau: Lý thuyết: Cho hàm số F(x) xác định miền D; (với D ⊂ Rn) a/ M gọi giá trị lớn f(x) miền D hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: * F(x) ≤ M với ∀ x ∈ D * ∃ x0 ∈ D cho f(xo) =M Ký hiệu M = max f(x), x ∈D b/ m gọi giá trị nhỏ f(x) miền D hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: * F(x) ≥ m với ∀ x ∈ D * ∃ x0 ∈ D cho f(xo) =m Ký hiệu m = f(x), x ∈D c/ Các kiến thức cần nhớ: Xét tập hợp số thực R c1/ x2 ≥ với ∀ x, tổng quát: (f(x))2k ≥ với ∀ x; k ∈ Z Từ suy ra: (f(x))2 + m ≥ m M - (f(x))2 ≤ M c2/ a/ | x | ≥ b/ | x + y | ≤ | x | + | y | Dấu "=" xảy ⇔ x, y dấu c/ | x - y | ≥ | x | - | y | Dấu "=" xảy ⇔ x, y dấu c3/ Bất đẳng thức Côsi có dạng sau: * (a + b)2 ≥ 4ab Dấu "=" xảy ⇔ a = b/ * a b + ≥ Với ab > b a Dấu "=" xảy ⇔ a = b/ * a + b ≥ ab với a ≥ 0, b ≥ 0, Dấu "=" xảy ⇔ a = b/ C4/ Các hệ + Với a ≥ 0, b ≥ ; a + b = k (không đổi) k2 ⇒ max (ab) = ⇔a = b + Với a ≥ 0, b ≥ ; ab = k (không đổi) ⇒ (a + b) = k ⇔ a = b C5/ Bất đẳng thức Bunhiakôpski (ax + by)2 ≤ (a2 + b2).(x2 + y2) Dấu "=" xảy ⇔ a b = x y Phương pháp giải 2.1 Phương pháp giải bất đẳng thức Giả sử cho hàm số f(x) có miền xác định D, ta phải chứng minh: a/ f(x) ≤ M f(x) ≥ m b/ Chỉ trường hợp x = xo ∈ D cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức Ví dụ 1: Tìm giá tị nhỏ biểu thức sau: a/ A = (x - 2)2 + b/ B = | x | + | - x | a b c c/ C = ( a + b + c).( + + ) Với a, b, c > Giải: a/ Với ∀ x ta có: (x - 2)2 ≥ Dấu "=" xảy ⇔ x = ⇒ (x - 2)2 + ≥ Vậy A = ⇔ x = b/ Áp dụng đẳng thức: | x | + | y | ≥ | x + y | Dấu "=" xảy ⇔ x.y ≥ Ta có B = | x | + | - x | ≥ | x + - x | = Dấu "=" xảy ⇔ x.(8 - x) ≥ Lập bảng xét dấu: x x 8-x x.(8 - x) + - + + + + - Suy ra: x.(8 - x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy B = ⇔ ≤ x ≤ c/ Ta có: C= a b a a a b b b c c c + + + + + + + + a b c a b c a b c b a a c c a c b b c =( + ) + ( + ) + ( + ) + Áp dụng bất đẳng thức: a b + ≥ (Với a, b > 0) b a Ta có: C ≥ + + + = Dấu "=" xảy ⇔ a = b = c Vậy C = ⇔ a = b = c Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức sau a/ P = - (2x - 1)2 b/ G = | x + 2y + 3z | biết số x, y, z Thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = Giải: a/ Ta có (2x - 1)2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = ⇒ - (2x - 1)2 ≤ ⇔ - (2x - 1)2 ≤ Vậy max 3 − (2 x − 1)  = ⇔ x = b/ áp dụng bất đẳng thức Bunhiaskôpski ta có: (x + 2y + 3z)2 ≤ (12 + 22 + 32).(x2 + y2 + z2) = 14 (Vì x2 + y2 + z2 = 1) ⇒ | x + 2y + 3z | ≤ 14 Dấu "=" xảy ⇔ x y z = = ⇔ y = x z = 3x Vậy max | x + 2y + 3z | = 14 ⇔ y = 2x z = 3x 2.2 Phương pháp miền giá trị hàm số Giả sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D/ Gọi yo giá trị f(x) với x ∈ D Điều có nghĩa phương trình f(x) = yo (với ∀ x ∈ D) phải có nghiệm Sau giải phương trình, điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức: m ≤ yo ≤ M Từ suy f(x) = m ; x ∈ D; max f(x) = M ; x ∈ D/ Cũng có trường hợp ta tìm giá trị nhỏ mà giá trị lớn ngược lại Ví dụ 3: Tìm cực trị hàm số a/ y = 7x2 - 4x + b/ y = 2( x + x − 1) x2 +1 Giải: a/ Hàm số xác định với ∀ x ∈ R Giả sử yo giá trị y để y0 = 7x2 - 4x + Do phương trình ẩn x: 7x2 - 4x + -y0 = phải có nghiệm ∆' =(- 2)2 - 7(1 - y0) ≥ ⇔ - + 7y0 ≥ ⇔ 7y0 - ≥ ⇔ y0 ≥ Vậy y = ⇔x = 7 b/ Vì x2 + > với ∀ x ∈ R nên hàm số xác định với ∀ x ∈ R Giả sử y0 giá trị để y0 = 2( x + x − 1) x2 +1 ⇔ Phương trình y0 (x2 + 1) =2.(x2 + x + 1) Có nghiệm ⇔ (y0 - 2).x2 - 2x + (y0 - 2) = (*) có nghiệm ⇔ ∆' = - (y0 -2)2 ≥ ⇔ (1 - y0 + 2).(1 + y0 - 2) ≥ ⇔ (3 - y0)(y0 - 1) ≥ ⇔ ≤ y0 ≤ + Khi y0 = Ta có (*) ⇔ - x2 - 2x - = ⇔ x2 + 2x = = ⇔ (x + 1)2 = ⇔ x = - + Khi y0 = Ta có (*) ⇔ x2 - 2x + = ⇔ (x - 1)2 = ⇔ x = - Vậy max y = ⇔ x = y = ⇔ x = 3 Các ý quan trọng 3.1 Muốn tìm cực trị hàm số, ta cần chứng minh bất đẳng thức (f(x) ≥ m ; f(x) ≤ M) mà phải tồn giá trị biến để xảy dấu đẳng thức Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x4 + 2x2 + Ta có A =(x2 + 1)2 ≥ 0, muốn cho A = ta phải có x + = điều kiện không xảy R, luận A = Ta phải giải sau: Ta có x2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = x4 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = ⇒ x4 + 2x2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = Vậy A = ⇔ x = 3.2 Có trường hợp biểu thức cho tổng nhiều biểu thức đại số khác, chẳng hạn A = B + C Để tìm cực trị A ta tìm cực trị B C phải chứng minh B đạt cực trị đồng thời C đạt cực trị (với giá trị biến) ngược lại Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x + 2)2 + (x - 1)2 Ta có (x + 2)2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔x = - (x - 1)2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = Nên A ≥ kết luận A = không đồng thời xảy dấu đẳng thức Ta phải giải sau: 5  A = x2 + 4x + + x2 - 2x + = 2x2 + 2x + = 2. x + x +   2   1  9 1 9 = 2. x + x +  +  = 2 x +  +   4 2    1  Vì  x +  ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = − ⇒ A ≥ 2 2  ⇒ A = ⇔x=− 2 3.3 Khi tìm cực trị biểu thức có ta thay đổi điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị: A lớn (A ≠ 0) ⇔ nhỏ A B lớn (B > 0) ⇔ B2 lớn Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: B= x4 +1 (x ) +1 Giải: Ta có: x4 + > (x2 + 1)2 > với ∀ x ⇒ B > Nên B lớn ⇔ nhỏ B B B nhỏ ⇔ lớn ( x + 1) x + x + x + x + 2x = = = 1+ (*) Ta có = B x +1 x4 +1 x4 +1 x +1 + Vì 2x2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = x4 + > với ∀ x Từ (*) ⇒ ⇒ 2x ≥0 x4 +1 2x ⇔ x =1+ ≥ ⇒ = ⇔ x = Vậy max B = ⇔ x = B B x +1 + Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x + ≥ 2x2 Dấu "=" xảy ⇔ x ±1 Suy ra: 2x 2x 1 ≤ = ⇒ ≤ + = ⇒ max = ⇔ x = ±1 B B x + 2x Vậy B = ⇔ x = ± 4/ Các dạng tập thường gặp: 4.1 Đa thức bậc có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = |2x - 3| B = |5x - 3x| + C = |x - 1996| + |x -2000| Giải: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có: |2x - 3| ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ 2x - = ⇔ x = 1,5 Vậy A = ⇔ x = 1,5 Ta có |5 - 3x| ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = Vậy B = ⇔ x = ⇒ |5 - 3x + ≥ 3 Cách 1: áp dụng bất đẳng thức |x| + |y| ≥ |x + y| Dấu "=" xảy ⇔ xy ≥ Ta có: C = |x - 1996| + |2000 - x| ≥ |x - 1996 + 2000 - x| = |4| = Dấu "=" xảy ⇔ (x - 1996)(2000 - x) ≥ Ta có bảng xét dấu x x - 1996 2000 - x 1996 + 2000 + + + 10 a/ Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = 2x − x − Giải: Ta có A = 1 == - ( x − 1) + 2 2x − x − 2x − x − Vì (x - 1)2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = ⇒ (x - 1)2 + ≥ ⇒ Vậy A = - 1 1 ≤ ⇒ ≥ 2 ( x − 1) + ( x − 1) + 3 ⇔ x = Chú ý: a > b suy 1 > ⇔ a, b dấu b b b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D= x2 + x +1 ( x + 1) ( x + x + 1) − ( x + 1) + 1 = 1− + Cách 1: Ta có D = x + ( x + 1) ( x + 1) Giải: 1  1 Đặt t = Ta có D = 1- t + t2 = t2 - t + + =  t −  + x +1 4  2  1 Vì  t −  ≥ Với ∀ t Dấu "=" xảy ⇔ t =  2 2 1 1 3 = ⇔x + = ⇔x = ⇒ D =  t −  + ≥ Dấu "=" xảy ⇔ t = ⇔ x +1 4  2 Vậy D = ⇔x = Cách 2: Ta có D = x + x + x + x + 3x + x + + x − x + = = ( x + 1) 4( x + 1) 4( x + 1) 3.( x + 1) + ( x − 1) ( x − 1) = + = 4.( x + 1) 4.( x + 1) ( x − 1) Vì ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = 4.( x + 1) ⇒D ≥ 3 Dấu "=" xảy ⇔ x = Vậy D = ⇔ x = 4 c/ Các phân thức khác 14 x2 +1 x2 − x +1 Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = Giải: Ta có: x2 - x + = ( x − ) + > với ∀ x nên biểu thức A có nghĩa với ∀ x x2 +1 Giả sử A0 giá trị A để A0 = x − x +1 phương trình A0(x2 - x + 1) = x2 + phải có nghiệm ⇔ (A0 - 1).x2 + A0x + A0 - = (*) phải có nghiệm Nếu A ≠ (*) có nghiệm ⇔ ∆ = A 20 - 4(A0 - 1).(A0 -1) ≥ ⇔ A 20 - 4( A 20 - 2A0 + 1) ≥ ⇔ A 20 - A 20 + 8A0 - ≥ ⇔ -3 A 20 + 8A0 - ≥ 16 4 4 2 4 ⇔ A − A + − ≤ ⇔  A −  ≤ ⇔ A − ≤ ⇔ − + ≤ A ≤ + 9 3 3 3 3  ⇔ ≤ A0 ≤ Vậy max A = ⇔ x = 1; A = ⇔ x = -1 4.5 Căn thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x − ≥ Giải: Điều kiện để A xác định  4 − x ≥ x−2 + 4−x x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ (*) Với điều kiện (*) A ≥ 0, bình phương vế ta được: A2 = x - + - x + ( x − 2).(4 − x) = + ( x − 2)(4 − x) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: (x - 2) (4 - x) Ta có: ( x − 2)(4 − x) ≤ x - + - x = Dấu "=" xảy ⇔ x - = - x ⇔ 2x = ⇔ x = ⇒A2 ≤ + = Vì A ≥ ⇒ ≤ A ≤ Vậy max A = ⇔ x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= − 3x 1− x2 Giải: 15 Ta có B xác định ⇔ - x2 > ⇔ - < x < (*) Với điều kiện (*) ta có:  − 3x  25− 30x+ 9x2 16− 16x2 + − 30x+ 25x2 16(1− x)2 + (3− 5x)2 (3− 5x)2 = B2 =  = = = 16+  2 1− x2 1− x2 1− x2 1− x2  1− x  Vì - x2 > 0, (3 - 5x)2 ≥ với -1 ≤ x ≤ Dấu "=" xảy ⇔ x = ⇒ B2 ≥ 16 với -1 < x < Vì - 3x > với - < x < nên B > Suy B ≥ Vậy B = ⇔ x = BÀI TẬP Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a/ A = 2003 + x − 2x b/ B = x - x + c/ C = x + x + + x − x + d/ D = x + x − + x − x − e E = x - xy + 3y - x + Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức a/ F = x − + − x b/ G = x − x c/ S = 6−x− x x+3 4.6 Cực trị có điều kiện (Các biến bị ràng buộc thêm hệ thức cho trước) Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ x + y Giải: Ta có (x - y)2 ≥ với ∀ x Dấu "=" xảy ⇔ x = y ⇒ x2 + y2 ≥ 2xy ⇒ 2.(x2 + y2) ≥ x2 + y2 + 2xy ⇒ (x + y)2 ≤ 2.(x2 + y2) mà x2 + y2 = ⇒ (x + y)2 ≤ ⇒ |x + y| ≤ Vậy max (x + y ) = ⇔ x = y = ⇒ − ≤ (x+ y)≤ 2 ; (x + y) = 2 ⇔x = y = - 2 Ví dụ 2: Cho hai số dương x, y có tổng 16   Tìm giá trị nhỏ của: P = 1 −   Giải: Ta có P = 1 − x2   1 −   x  y   ( x − 1)( y − 1) ( x − 1)( x + 1)( y − 1)( y + 1)  = (*) .1 −  = y  x2 y2 x2 y2  mà x + y = ⇒ x - = - y; y - = - x Thay vào (*) ta được: P= (− y )( x + 1)(− x)( y + 1) ( x + 1)( y + 1) xy + x + y + = = = 1+ (Vì x + y =1) 2 xy xy xy x y Ta lại có x + y ≥ xy (theo bất đẳng thức Côsi) Suy xy ≤ 1 2 ⇒ x.y≤ ⇒ ≥ 8⇒ P = 1+ ≥ 1+ = ⇒ P ≥ xy xy Dấu "=" xảy ⇔ x = y = Vậy P = ⇔ x = y = BÀI TẬP: Bài 1: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ B = x3 + y3 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x + 3y - 4z Biết x, y, z thỏa mãn hệ 2x + y + 3z = phương trình:  (Với x, y, z ≥ 0) x + y − z =  Bài 3: Cho x + y + z = a/ Tìm giá trị nhỏ G = x2 + y2 + z2 b/ Tìm giá trị lớn H = xy + yz + xz Bài 4: Cho biểu thức P = x2 + y2 + z2 + t2 với x, y, z số nguyên không âm Hãy tìm giá trị nhỏ P giá trị tương ứng x, y, z biết rằng: x − y + t = 21  2 x + 3y + 4z = 101 5/ Những sai lầm thường găp giải toán cực trị: 5.1 Sai lầm chứng minh điều kiện 1: x − x + 17 Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + ≥ ⇒ (x2 - 6x + 17) = ⇔ x =3 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 17 Vậy max A = ⇔ x = Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai lập luận sai khẳng định: "A có tử không đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất" mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Ví dụ: Xét biểu thức B = Với lập luận "Phân thức B có tử x −4 không đổi nên giá trị lớn mẫu nhỏ nhất", mẫu nhỏ - x = nên max B = − 1 ⇔ x = Điều không đúng; − giá trị 4 1 >− Mắc sai lầm không nắm vững tính chất bất đẳng thức, máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét x - 6x + 17 = (x - 3) + ≥ nên tử lớn B/ Chẳng hạn với x = B = mẫu A số dương; từ nhận xét suy ra: A > A lớn nhỏ ⇔ x2 - 6x + 17 nhỏ A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ A =x2 + y2 biết x + y = Lời giải sai: Ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy A nhỏ ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ ⇔x + y = Khi A = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh f(x,y) ≥ g(x,y) chưa chứng minh f(x,y) ≥ m với m số Ta đưa ví dụ: Với lập luận trên, từ bất đẳng thức (x - 2)2 ≥ ⇒x2 ≥ 4x - ⇒x2 nhỏ ⇔ x2 = 4x - ⇔ x = ⇒min x2 = ⇔ x = Dễ thấy kết phải là: x2 = ⇔ x = Lời giải đúng: Ta có x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có: (x - y)2 ≥ ⇒ x2 + y2 - 2xy ≥ (1) (2) Từ (1) (2) ⇒ 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ Vậy A = ⇔ x = 18 5.2 Sai lầm chứng minh điều kiện 2: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A = x + x Lời giải sai: Ta có: A = x + 1  1 1  x =  x + x +  − =  x +  − ≥ − Vậy A = − 4  2 4  Phân tích sai lầm: 1 Sau chứng minh f(x) ≥ − , chưa trường hợp f(x) = − Xảy dấu 4 đẳng thức: ⇔ x = − , điều vô lý Lời giải đúng: Để tồn x phải có x ≥ Do A = x + Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ A = x ≥ nên A = ⇔ x = ( x + a )( x + b) với x > 0; a b x số dương cho trước Lời giải sai: Ta có x + a ≥ ax (1); x + b ≥ bx (2) ( x + a )( x + b) ax bx ≥ = ab ⇒ A = ab ⇔ x = a = b x x Phân tích sai lầm: Do đó: A = Chỉ xảy A = ab (1) (2) xảy dấu đẳng thức, tức x = a x = b Như đòi hỏi phải có a = b, a ≠ b A = ab ab  ( x + a )( x + b) x + ax + bx + ab  =  x +  + (a + b ) Lời giải đúng: Ta có A = = x x x  Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x + Suy A ≥ ab + a + b = ( ab ≥ ab x ab  x = Dấu "=" xảy ⇔  x ⇔ x = ab x > ) a + b Vậy A = ( a+ b ) ⇔x = ab b/ Kết kiểm nghiệm: Thời điểm Tổng số Giỏi SL TL Khá SL TL TB SL TL Yếu SL TL 19 Khi chưa thực 33 Khi thực 33 c Các minh chứng: 00 15,2 0 16 48,5 0 11 33,3 0 21,2 0 13 39,4 0 12 36,4 0 0,3 0 Trước thực đề tài thấy : Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng giải toán tìm cực trị Chưa nắm tính chất bất đẳng thức Chưa hệ thống, phân dạng tập loại Sau thực áp dụng vào đề tài vào thực tế giảng dạy thấy : - Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học toán, từ tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển tư logic, óc quan sát, suy luận toán học - Trong trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái quát , mà tự tin vào khả học tập - Nhiều em giỏi tìm cách giải hay ngắn gọn phù hợp đặc biệt không mắc sai lầm đáng tiếc III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận vấn đề nghiên cứu : Trong trình giảng dạy, hẳn mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập em tốt hơn, tạo cho em có đầy đủ điều kiện bước vào sống học lên Vì đòi hỏi người tạo sản phẩm cần phải: - Có kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh - Yêu cầu học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành loại toán, giải nhanh, thành thạo nhiều cách Trên sở giải tập, biết đặt tập để kích thích say mê học toán - Đa dạng hoá loại tập, kể loại tập yêu cầu học sinh phát thiếu sót, sai lầm lời giải cho trước từ tìm cách giải - Giáo viên có điều kiện bổ sung, củng cố kiến thức cũ học mới, tránh tình trạng sai sót, rút hạn chế học sinh lớp trước để uốn nắn học sinh lớp sau tránh sai sót mà lớp trước mắc phải 20 - Ngoài ra, bên cạnh kinh nghiệm có giảng dạy, thân thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để tìm hướng dạy phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Mỗi năm, lại có dịp tham khảo thêm tài liệu hướng dẫn nên từ việc nhận thức kĩ truyền thụ kiến thức cho học sinh nâng cao, đồng thời tránh sai lầm cho học sinh trình học toán Việc nghiên cứu đề tài việc làm thiết thực, góp phần cho GV dạy tốt hơn, học sinh học chủ động hơn, đặc biệt phát sai lầm toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ để tự điểu chỉnh, khắc phục, sửa chữa Đề tài nêu lên số phương pháp số sai lầm điển hình toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ tạo cho học sinh thêm linh động, chắn giải toán 2/ Kiến nghị vấn đề nghiên cứu : Những biện pháp học trình bày trên, bước đầu đạt kết chưa thật mỹ mãn Tuy nhiên, thực tốt góp phần đổi phương pháp dạy học mà ngành quan tâm đạo để nâng cao chất lượng học sinh nói chung chất lượng mũi nhọn nói riêng Mặt khác, với cách trình bày (nếu thành công), thiết nghĩ, sau học xong tài liệu học sinh không lúng túng, không mắc sai lầm giải toán cực trị Nội dung đề tài kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé để góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong góp ý, xây dựng thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp, nhằm giúp bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy Thanh Hóa,Ngày 15 tháng năm 2016 Xác nhận thủ trưởng đơn vị Tôi cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên 21 Nguyễn Thị Hoan TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK toán – Phan Đức Chính – Tôn Thân - NXB Giáo dục – 2004 SGV Toán – Phan Đức Chính – Tôn Thân - NXB Giáo dục – 2004 Toán nâng cao chuyên đề đại số - Vũ Dương Thụy – Nguyễn Ngọc Đạm - NXB Giáo dục - 2013 Các dạng toán phương pháp giải toán - Tôn Thân – Vũ Hữu Bình – Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên - NXB Giáo dục - 2009 Toán nâng cao phát triển – Vũ Hưu Bình - NXB Giáo dục - 2009 22 MỤC LỤC Trang Phần I : Đặt vấn đề .2 Lý chọn đề ……………………………………………………… 2 Mục đích nghiên cứu …………………………………………………3 3.Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………………4 .2 Phần II: Giải vấn đề ……………………………………………………… 1/ Cơ sở lí luận ………………………………………………………… 2/Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………… 3/Các giải pháp thực ……………………………………………… .2 1.Lý thuyết ……………………………………………………………5 .2 2.Phương pháp giải…………………………………………………….6 3.Các ý quan trọng…………………………………………………8 4/Các dạng tập thường gặp ………………………………………….10 .2 5/Những sai lầm thường gặp giải toán cực trị……………… 17 Phần III: Kết luận kiến nghị ………………………………………………….20 1/ Kết luận vấn đề nghiên cứu …………………………………………20 .2 2/ Kiến nghị vấn đề nghiên cứu ……………………………….21 a/ Cách giải vấn đề làm: Lý thuyết: Phương pháp giải .6 2.1 Phương pháp giải bất đẳng thức 2.2 Phương pháp miền giá trị hàm số Các ý quan trọng 4/ Các dạng tập thường gặp: 10 4.1 Đa thức bậc có chứa dấu giá trị tuyệt đối 10 4.2 Đa thức bậc hai 11 23 4.3 Đa thức bậc cao 13 4.4 Phân thức .13 4.5 Căn thức .15 4.6 Cực trị có điều kiện .16 5/ Những sai lầm thường găp giải toán cực trị: 17 5.1 Sai lầm chứng minh điều kiện 1: 17 5.2 Sai lầm chứng minh điều kiện 2: 19 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự – Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CHUYỂN ĐƠN VỊ Kính gửi : - Thủ trưởng sư đoàn 324 Họ tên: - Thủ trưởng tham mưu quân khu Lê Văn Lực Sinh ngày : 31 tháng 10 năm 1976 Giới tính : Nam Sinh quán : Quảng Châu – Quảng Xương –Thanh Hóa Nơi gia đình : Số nhà 10B ngõ 91- Nam sơn - Phường Nam Ngạn - Thành phố Thanh Hóa Nhập ngũ : Tháng năm 1994 24 Trình độ học vấn : 12/12 Cấp bậc : Trung úy CN Chức vụ : Y tá Đang hưởng lương : Bậc 5/10, hệ số 4,2 ( nhận tháng năm 2012) Đơn vị công tác : Đại đội 24 – Trung đoàn – Sư đoàn 324 – QK4 Xin chuyển đến đơn vị : Đoàn kinh tế quốc phòng thuộc QK4 Lý xin chuyển : Do hoàn cảnh gia đình gặp khó khăn kinh tế Họ tên bố : Lê Văn Sinh Sinh năm : 1943 Nghề nghiệp : Bộ đội hưu Họ tên mẹ : Nguyễn Thị Châu Sinh năm : 1943 Nghề nghiệp : Làm ruộng Họ tên vợ : Nguyễn Thị Hoan Sinh năm : 1979.Nghề nghiệp : Giáo viên Con : Lê Thanh Huyền Sinh năm 2004 Con : Lê Thu Trang Sinh năm 2007 TÓM TẮT QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CỦA BẢN THÂN THÂN KHI NHẬP NGŨ ĐẾN NAY: Thời gian Cấp bậc Chức vụ Đơn vị công tác Từ Đến 2/1994 6/1994 1/1995 7/1995 12/1996 7/1997 6/2003 5/1994 12/1994 6/1995 11/1996 7/1997 5/2003 9/2007 B2 H1 H1 H2 Chuẩn úy Chuẩn úy Thiếu úy Chiến sỹ Học viên y tá Y tá Y tá Y tá Y tá Y tá D6/E270/F324/QK4 Viện quân y 4/ QK4 C20 / F341/QK4 C20 / F341/QK4 C20 / F341/QK4 C24 /E273/F341/QK4 C10/D9/E3/F324/QK4 10/2007 11/2013 Trung úy Y tá C24/E3/F324/QK4 11/2013 6/2014 Trung úy Y tá C10/D9/E3/F324/QK4 6/2014 Nay Trung úy Y tá C24/E3/F324/QK4 Ngày 29 tháng năm 2014 Người viết đơn 25 Lê Văn Lực Ngày … tháng …năm Ngày…… tháng…… năm Cơ quan quân lực tiếp nhận Cơ quan quân lực đơn vị quản lý Ngày… tháng… năm Ý kiến huy đơn vị tiếp nhận Ngày… tháng… năm Ý kiến huy đơn vị quản lý CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự – Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CHUYỂN ĐƠN VỊ Kính gửi : - Thủ trưởng sư đoàn 324 - Thủ trưởng tham mưu quân khu Họ tên: Lê Văn Lực Sinh ngày : 31 tháng 10 năm 1976 Giới tính : Nam Sinh quán : Quảng Châu – Quảng Xương –Thanh Hóa Nơi gia đình : Số nhà 10B ngõ 91- Nam sơn –Phường Nam Ngạn – Thành phố Thanh Hóa Nhập ngũ : Tháng năm 1994 26 Trình độ học vấn : 12/12 Cấp bậc : Trung úy CN Chức vụ : Y tá Đang hưởng lương : Bậc 5/10, hệ số 4,2 ( nhận tháng năm 2012) Đơn vị công tác : Đại đội 24 – Trung đoàn – Sư đoàn 324 – QK4 Xin chuyển đến đơn vị : Đoàn kinh tế quốc phòng thuộc QK4 Lý xin chuyển : Do hoàn cảnh gia đình gặp khó khăn kinh tế Họ tên bố : Lê Văn Sinh Sinh năm : 1943 Nghề nghiệp : Bộ đội hưu Họ tên mẹ : Nguyễn Thị Châu Sinh năm : 1943 Nghề nghiệp : Làm ruộng Họ tên vợ : Nguyễn Thị Hoan Sinh năm : 1979.Nghề nghiệp : Giáo viên Con : Lê Thanh Huyền Sinh năm 2004 Con : Lê Thu Trang Sinh năm 2007 Ngày 30 tháng năm 2014 Người viết đơn Lê Văn Lực Xác nhận chi ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Ngày ……tháng… năm 2014 T/M CHI BỘ BÍ THƯ 27 Xác nhận đảng ủy huy trung đoàn ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Ngày … tháng … năm 2014 T/M ĐẢNG ỦY CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN 28 ... giải toán loại này.Chính mà mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh ,giỏi lớp trường THCS Thiệu Khánh số phương pháp giải toán cực trị ” 3/ Đối tượng nghiên cứu : Hướng dẫn học sinh ,giỏi lớp. .. ,giỏi lớp trường THCS Thiệu Khánh số phương pháp giải toán cực trị 4/ Phương pháp nghiên cứu : - Khái quát hệ thống thức - Các phương pháp giải toán cực trị - Các dạng tập - Lưu ý cho học sinh sai... khó khăn giáo viên học sinh thường hay mắc sai lầm việc giải toán cực trị, chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh ,giỏi lớp trường THCS Thiệu Khánh số phương pháp giải toán cực trị ”để nghiên cứu với