Một số ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế. Trình bày cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc

Toán cao cấp là một trong những môn học chính ở những năm đầu bậc đại học. Đặc trưng của nó là môn toán cơ sở mang tính hệ thống chặt chẽ, chính xác và trừu tượng . Vì vậy để học tập và hiểu thật kĩ môn toán cao cấp là một thách thức đối với nhiều bạn sinh viên. “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc. Ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế” là một trong những nội dung khá quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ môn toán cao cấp. Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để được cùng các bạn sinh viên và cô giáo trao đổi, thảo luận về nội dung này, chúng em đã chọn nội dung này làm đề tài thảo luận cho nhóm.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA KẾ TOÁN – KIỂM TỐN  ĐỀ TÀI THẢO LUẬN MƠN TỐN CAO CẤP Đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG THỰC TẾ TRÌNH BÀY CÁCH ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC, CHUẨN TẮC Nhóm: Lớp học phần: 2265FMAT0111 Người hướng dẫn: Nguyễn Thu Thủy Hà Nam, tháng 12 năm 2022 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG IV: DẠNG TOÀN PHUƠNG A LÝ THUYẾT I Các khái niệm Mở đầu dạng toàn phương Dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc Phép biến đổi tuyến tính Giá trị riêng vectơ riêng II Đưa dạng toàn phương dạng toàn phương tắc, chuẩn tắc Phương pháp giá trị riêng Phương pháp Jacobi Phương pháp Lagrange 10 Định luật quán tính 12 B ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VÀO THỰC TẾ 12 I Nhận dạng đường, mặt bậc hai 12 II Ứng dụng dạng toàn phương việc giải số toán cực trị 15 Điều kiện cần đủ cực trị 15 Giải tốn tìm cực trị khơng điều kiện 16 PHẦN KẾT LUẬN 17 LỜI MỞ ĐẦU Toán cao cấp mơn học năm đầu bậc đại học Đặc trưng mơn tốn sở mang tính hệ thống chặt chẽ, xác trừu tượng Vì để học tập hiểu thật kĩ mơn tốn cao cấp thách thức nhiều bạn sinh viên “Đưa dạng toàn phương dạng tắc, chuẩn tắc Ứng dụng dạng tồn phương thực tế” nội dung quan trọng cần thiết chương trình học mơn tốn cao cấp Để hiểu sâu xác hơn, để bạn sinh viên cô giáo trao đổi, thảo luận nội dung này, chúng em chọn nội dung làm đề tài thảo luận cho nhóm Đề tài gồm phần lý thuyết, phần tập ứng dụng thực tế Phần lý thuyết trình bày cách đọng khái niệm dạng tồn phương tập trung vào hai nội dung bản: biến đổi dạng tồn phương dạng tắc, chuẩn tắc ứng dụng dạng toàn phương thực tế Sau nội dung có ví dụ minh họa, cuối đề tài phần tập gồm tập có liên quan giải cách chi tiết nhiều phương pháp để thấy phương pháp phù hợp Qua đề tài này, hy vọng phần cung cấp lại cho bạn nhóm bạn sinh viên lớp nội dung kiến thức: Thế dạng tồn phương? Có phương pháp để đưa dạng tồn phương dạng tắc, chuẩn tắc? Và ứng dụng dạng toàn phương thực tế Cuối cùng, nhóm chúng em chuẩn bị đề tài kỹ khơng thể tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý bạn cô giáo để đề tài hoàn thiện PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG IV: DẠNG TOÀN PHƯƠNG A LÝ THUYẾT I Các khái niệm Mở đầu dạng toàn phương Định nghĩa (*): Cho n biến thực 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛  Một tổng có dạng n F(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≔ ∑ i,j=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 , (*) 𝑎𝑖𝑗 số thực thỏa mãn 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 với i,j = 1,2, n, gọi dạng toàn phương với biến 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛  Ma trận 𝑎11 𝑎21 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 ) 𝐴  ≔ (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑚 = ( 𝑎22 ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 gọi ma trận dạng toàn phương (*)  Thơng thường dạng tồn phương cho dạng 𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∶= ∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖≤𝑗 nghĩa i < j thì: 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 + 𝑎𝑗𝑖 𝑥𝑗 𝑥𝑖 = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 Khi đó, phần tử ma trận A xác định bởi: 𝑎𝑖𝑖 = 𝑏𝑖𝑖 i = j; 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 = 𝑏𝑖𝑗 i < j  Hạng ma trận A gọi hạng dạng toàn phương (*)  Nếu r(A) < n hay |𝐴| = ta nói dạng tồn phương (*) suy biến Trường hợp ngược lại: r(A) = n hay |𝐴| ≠ ta nói dạng tồn phương khơng suy biến  Từ giả thiết 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 ta thấy ma trận A đối xứng qua đường chéo chính, nghĩa 𝐴 = 𝐴′ Ký hiệu vectơ n chiều dạng cột: 𝑋 ∶= (𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )′ , dạng tồn phương trở thành 𝐹 (𝑋) = 𝑋′ 𝐴𝑋 Đây biểu diễn ma trận dạng toàn phương (*) Như vậy, 𝐹 ∶ 𝑅 𝑛 → 𝑅 Nói cách khác, F hàm vectơ, xác định Rn , nhận giá trị R Ta ln có 𝐹 (0) = 0′ 𝐴0 = từ nhận xét cuối chương 2, ta có kết sau: Mệnh đề(*): Các mệnh đề sau tương đương:       Dạng toàn phương 𝐹 (𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 suy biến Tồn 𝑋 ≠ R𝑛 , cho 𝐹 (𝑋) = r(𝐴) < 𝑛 |𝐴| = Hệ phương trình 𝐴𝑋 = có nghiệm khơng tầm thường A có giá trị riêng Dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc Định nghĩa(**): Nói dạng tồn phương (*) có dạng tắc 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗 Nói cách khác, ma trận có dạng đường chéo chính: 𝑛 𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∶= ∑ 𝑘𝑖 𝑥𝑖 2(𝑘𝑖 ∈ 𝑅 ) 𝑖=1 Nếu dạng tồn phương tắc hệ số 𝑘𝑖 nhận giá trị hoặc -1 ta nói dạng tồn phương có dạng chuẩn tắc Ma trận dạng tồn phương tắc 𝑘1 0 𝑘2 𝐴=( … … 0 … … … … … 0 ) … 𝑘𝑛 Chú ý  Trong biểu thức dạng tắc ta gọi ngắn gọn 𝑘𝑖 hệ số biến 𝑥𝑖  Trong biểu thức dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc tên gọi số thứ tự biến khơng thực quan trọng Vì thế, ta dùng kí hiệu 𝑥𝑖 để biến đổi số thứ tự biến cho Ví dụ: 𝐹(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 ) = 3𝑥12 + 5𝑥22 − 7𝑥32 ; 𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥22 − 4𝑥32(= 0𝑥12 + 𝑥22 − 4𝑥32 ) dạng tồn phương tắc 𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥12 + 𝑥22 − 𝑥32 ; 𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥22 − 𝑥32(= 0𝑥12 + 𝑥22 − 𝑥32 ) dạng toàn phương chuẩn tắc Phép biến đổi tuyến tính Dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc đơn giản nhiều so với dạng toàn phương dạng tổng quát Vì người ta thường tìm cách đưa dạng tồn phương dạng tắc chuẩn tắc cho q trình khơng tính chất quan trọng dạng tồn phương Điều thỏa mãn phép biến đổi tuyến tính 𝑋 = 𝑆𝑌 (xem chương 2), ma trận biến đổi 𝑆 = (𝑠𝑖𝑗 )𝑛 × 𝑛 không suy biến Với phép biến đổi không suy biến này, dạng tồn phương mới, kí hiệu 𝐺(𝑌) 𝐹(𝑋) = 𝑋′ 𝐴𝑋 = (𝑆𝑌)′ 𝐴(𝑆𝑌) = 𝑌 ′ (𝑆 ′ 𝐴𝑆)𝑌 ∶= 𝑌 ′ 𝐵𝑌 ∶= 𝐺 (𝑌) Như vậy, ma trận dạng toàn phương cũ liên hệ với sau: 𝐵 = 𝑆 ′ 𝐴𝑆 Dạng tắc 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 đưa dạng chuẩn tắc phép biến đổi không suy biến 𝑦𝑖 = √|𝑘𝑖 |𝑥𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) Nhận xét:  Do biến X có mặt hai lần dạng tồn phương 𝐹 (𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 nên mối phép biến đổi tuyến tính 𝑋 = 𝑆𝑌 tương ứng với hai lần nhân ma trận: 𝑆′ vào bên trái 𝐴, 𝑆 vào bên phải 𝐴  Với S ma trận biến đổi sơ cấp 𝑆 (𝑖) (𝑖 = 1,2,3), nhân (𝑆 (𝑖) )′ vào bên trái A đồng thời nhân (𝑆 (𝑖) ) vào bên phải A điều tương ứng với phép biến đổi tuyến tính vectơ X Phép biến đổi thực chất biến đổi sơ cấp đồng thời dòng cột A cách “đối xứng” Giá trị riêng vectơ riêng Ta biết, với A ma trận vuông cấp n, E ma trận đơn vị cấp n Phương trình đại số |𝐴 − 𝑘𝐸| = 0, trog k ẩn số cần tìm, goi phương trình đặc trưng A Phương trình đặc trưng có n nghiệm phức Các nghiệm phức phương trình đặc trưng giá trị riêng ma trận A Nói chung, tính chất quan trọng A định phân bố giá trị riêng mặt phẳng phức Nếu 𝐴 = 𝐴′ phân bố giá trị riêng trục thực R Ta thấy điều phần “tính xác định dấu” Giả sử k giá trị riêng A, nghĩa |𝐴 − 𝑘𝐸| = Vậy hệ ( 𝐴 − 𝑘𝐸 )𝑋 = có nghiệm khơng tầm thường, nghĩa là, tồn vectơ 𝑉 ≠ 𝑅 𝑛 cho (𝐴 − 𝑘𝐸 )𝑉 = hay 𝐴𝑉 = 𝑘𝑉 Vectơ 𝑉 ≠ thỏa mãn đẳng thức gọi vectơ riêng ma trận A Người ta chứng minh đươc rằng: Mệnh đề (**): Nếu A ma trận thực, đối xứng gia riêng A số thực Nếu X,Y,…,Z vectơ riêng A, ứng với giá trị riêng khác ℎ ≠ 𝑘 ≠ ⋯ ≠ 𝑙 {𝑋, 𝑌, … , 𝑍} mơt hệ vectơ độc lập tuyến tính Định nghĩa: Ma trận A vng cấp n gọi trực giao khả nghịch có ma trận nghịch đảo ma trận chuyển vị Nói cách khác, ma trận vng A gọi ma trận giao 𝐴′ = 𝐴−1 hay 𝐴𝐴′ = 𝐴′ 𝐴 = 𝐸 Chú ý  Các ma trận trực giao vuông không suy biến  Định thức ma trận trực giao hoặc -1  Các giá trị riêng ma trận trực giao hoặc -1  Các phép biến đổi tuyến tính với ma trận biến đổi ma trận trực giao gọi cách ngắn gọn phép biến đổi trực giao II Đưa dạng tồn phương dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc Phương pháp giá trị riêng Xét dạng toàn phương F(X) = X’AX Rn Khi n khơng q lớn việc tìm giá trị riêng A khơng q phức tạp, ta đưa dạng tồn phương dạng tồn phương tắc theo cách sau Định lí: Giả sử 𝑘₁; 𝑘2 ; ; 𝑘𝑛 nghiệm, kể nghiệm nghiệm bội phương trình đặc trưng |A – kE| = dạng toàn phương F(X) = X’AX Khi đó, G(𝑥1 ; 𝑥2 ; ; 𝑥𝑛 ):= 𝑘₁𝑥12 + 𝑘2𝑥22 + 𝑘𝑛 𝑥𝑛2 dạng toàn phương tắc dạng tồn phương nói Ví dụ 2: Đưa dạng toàn phương sau dạng toàn phương tắc, chuẩn tắc F(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 4𝑥12 + 4𝑥22 − 8𝑥32 − 10𝑥₁𝑥₂ + 4𝑥₂𝑥₃ + 4𝑥₃𝑥₁ Lời giải Ma trận dạng toàn phương (−5 −5 2) −8 −5 4−𝑘 2 ] = ⇔ k = 9;k=−9;k=0 −8 − 𝑘 Phương trình đặc trưng: 4−𝑘 |A-kE| = [ −5 Vậy, dạng toàn phương tắc là: G(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦₃) = 9𝑦12 − 9𝑦22 + 0𝑦32 = 9𝑦12 − 9𝑦22 𝑥₁ = 3𝑦₁ Đặt tiếp {𝑥₂ = 3𝑦₂ , ta có dạng toàn phương chuẩn tắc: 𝑥3 = 𝑦₃ H(𝑧1; 𝑧2; 𝑧3) = 𝑧12 − 𝑧22 + 0𝑧32 = 𝑧12 − 𝑧22 Như lưu ý phần trên, ta dùng lại biến 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 Ta có: H(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 𝑥12 − 𝑥22 + 0𝑥32 = 𝑥12 − 𝑥22 Nhận xét: Với n > 2, việc tìm giá trị riêng ma trận A nói chung khó Đó hạn chế lớn phương pháp nói Phương pháp Jacobi Cho ma trận:  a11 A  (aij )   a  n1 a1n    ann  Các định thức A là: D1  a11 a12  a D2   11   a21 a22  D3 | A | Định lí Jacobi: Nếu ma trận dạng tồn phương có định thức 𝐷𝑖 ≠ 0∀𝑖 = 1,2, … 𝑛 dạng tồn phương tắc là: G(𝑦1 , 𝑦2 , … 𝑦𝑛 )=𝐷1𝑦12 + 𝐷2 𝐷1 𝑦22 + ⋯ + 𝐷𝑛 𝑦2 𝐷𝑛−1 𝑛 Phương pháp:  Bước 1: Viết ma trận dạng tồn phương  Bước 2: Tính định thức  Bước 3: Kiểm tra điều kiện định thức khác thay vào cơng thức dạng tồn phương tắc G(𝑦1 , 𝑦2 , … 𝑦𝑛 )=𝐷1𝑦12 + 𝐷2 𝐷1 𝑦22 + ⋯ + 𝐷𝑛 𝑦2 𝐷𝑛−1 𝑛 Ví dụ 1: Đưa dạng tồn phương sau dạng tồn phương tắc: 𝐹 (𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 𝑥12 − 2𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1𝑥3 + 2𝑥2 𝑥3 1 Ma trận dạng toàn phương: A=(1 −2 1) 1 1 Các định thức : 𝐷1 = 1; 𝐷2 = | | = −2 − = −3; −2 1 𝐷3 = |1 −2 1|= − + + + – – = 1 Các định thức khác 0, ta có dạng tồn phương tắc: G(𝑦1 , 𝑦2 , … 𝑦𝑛 )=𝐷1𝑦12 + 𝐷2 𝐷1 𝑦22 + 𝐷3 𝐷2 𝑦32 = 𝑦12 − 3𝑦22 − 𝑦32 3 Phương pháp Lagrange Nội dung phương pháp là: thực liên tiếp phép biến đổi tuyến tính (theo cách đặt Lagrange), khơng suy biến, đưa dạng tồn phương 10 dạng tổng quát dạng tắc mà bước biến đổi tất tích chéo biến biến khỏi tổng a) Trường hợp 1: Tồn hệ số 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, khơng tính tổng qt Giả sử 𝑎11 ≠ F (𝑥₁, 𝑥₂, , 𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑖,𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 =𝑎11 [𝑥1 + 2𝑥₁ ∑𝑛𝑖=2 𝑎𝑖1 𝑎11 =𝑎11 [𝑥1 + 2𝑥₁ ∑𝑛𝑖=2 𝑥𝑖 ] + số hạng không chứa 𝑥₁ 𝑎𝑖1 𝑎11 𝑥𝑖 ] 2+ 𝑔 (𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 ) 𝑎 𝑦1 = 𝑥1 + 2𝑥₁ ∑𝑛𝑖=2 𝑖1 𝑥𝑖 𝑎11 Đặt {𝑦2 = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑥2 𝑦3 = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑔 Khi đó: F (𝑥₁, 𝑥₂, , 𝑥𝑛 ) = G((𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦₃) = 𝑎11 𝑦1 + 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , ⋯ 𝑦𝑛 ) Vậy cần xét tiếp dạng toàn phương n−1 biến 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , ⋯ 𝑦𝑛 ) Tiếp tục trình nhận kết n−1 bước b) Trường hợp 2: 𝑎𝑖𝑖 = 0, ∀𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 có 𝑎𝑖𝑗 ≠ Giả sử 𝑎12 ≠ Trường hợp đưa dạng a) cách đặt: 𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑥3 = 𝑦3 ⋯ { 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 Nhận xét:  Phương pháp Lagrange chậm chắn đưa dạng tồn phương dạng tắc  Trong trình biến đổi phải ý bước biến đổi tất tích chéo biến biến  Trong q trình biến đổi ý giữ nguyên số biến Ví dụ: Đưa dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc: F(𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 𝑥12 + 4𝑥22 + 4𝑥32 + 4𝑥₁𝑥₂ + 4𝑥₁𝑥₃ + 16𝑥₂𝑥₃ Lời giải Vì 𝑎11 = ≠ F(𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (𝑥₁ + 2𝑥₂ + 2𝑥₃)2 + 8𝑥2 𝑥3 nên ta đặt: 11 𝑦₁ = 𝑥₁ + 2𝑥₂ + 2𝑥₃ 𝑦₂ = 𝑥₂ { 𝑦₃ = 𝑥₃ Dạng toàn phương trở thành G(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦₃) = 𝑦12 +8𝑦₂𝑦₃ Đặt tiếp: 𝑦₁ = 𝑧₁ {𝑦₂ = 𝑧₂ + 𝑧₃ 𝑦₃ = 𝑧₂ − 𝑧₃ Ta có dạng tắc: H(𝑧1; 𝑧2; 𝑧3 ) = 𝑧12 + 8𝑧22 −8𝑧32 Đặt tiếp: 𝑡₁ = 𝑧₁ {𝑡₂ = √8𝑧₂ 𝑡₃ = √8𝑧₃ Ta có dạng tắc: F(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = K(𝑡1; 𝑡2 ; 𝑡3 ) = 𝑡12 + 𝑡22 −𝑡32 Định luật quán tính Số hệ số mang dấu dương, số hệ số mang dấu âm số hệ số khơng dạng tồn phương tắc nhận khơng đổi ta đưa dạng tồn phương dạng tồn phương tắc phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến khác B ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VÀO THỰC TẾ I Nhận dạng đường, mặt bậc hai Phép biến đổi trực giao Xét không gian vectơ R𝑛 với sở trực chuẩn Phép biến đổi tuyến tính có ma trận biến đổi ma trận trực giao gọi phép biến đổi trực giao Phép biến đổi có nhiều ưu điểm bảo tồn nhiều tính chất quan trọng đối tượng, mơ tả dạng tồn phương Ma trận biến đổi trực giao thường lập từ hệ vectơ riêng, độc lập tuyến tính ma trận A Véc tơ X = (𝑥1; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 ) có độ dài 1, nghĩa (𝑥12 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛2 )1⁄2 = gọi vectơ chuẩn hóa Người ta chứng minh kết sau: Định lí: Xét dạng tồn phương F(X)=X’AX Nếu ma trận phép biến đổi tuyến tính có cột véc tơ riêng độc lập tuyến tính ma trận A phép biến đổi đưa dạng tồn phương cho dạng tắc 12 Nếu ma trận phép biến đổi tuyến tính có cột véc tơ riêng độc lập tuyến tính chuẩn hóa ma trận trực giao đưa dạng toàn phương cho dạng tồn phương tắc Duới đây, ta đưa ví dụ việc tìm ma trận trực giao từ vectơ riêng để đưa dạng tồn phương dạng tắc Ví dụ: Cho dạng toàn phương F(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥12 + 2𝑥22 + 3𝑥32 + 4𝑥1 𝑥2 + 4𝑥2 𝑥3 Đưa dạng toàn phương dạng toàn phương dạng tồn phương tắc ma trận biến đổi ma trận lập từ vectơ riêng độc lập tuyến tính ma trận A Lời giải Ta có A = (2 2 2) Các giá trị riêng A 𝑘1 = −1; 𝑘2 = 2; 𝑘3 = Với k = 𝑘1 = −1, ta tìm vectơ riêng V dạng V = (𝑎, 𝑏, 𝑐 )′ cho − (−1) 2 − (−1) ( 𝑎 𝑏 ) ( ) = (0) − (−1) 𝑐 Lấy c = ta b = −2; a = Vậy 𝑉1 = (2, −2, 1)′ Tương tự vơi k = 𝑘2 = tìm vectơ riêng tương ứng 𝑉2 = (−2, −1,1)′, với k = 𝑘3 = tìm 𝑉3 = (1,2,2)′ Do −2 ( S = 𝑉1 |𝑉2 |𝑉3 ) = (−2 −1 2) 1 Gọi sở cũ E sở F Như nói trên, sở F, nhận từ sở E ma trận đổi sở S, ma trận dạng toàn phương −9 B = S’AS = ( 0 18 0 0) 45 Đây ma trận có dạng đường chéo Vậy dạng tồn phương tắc F(X) = G(Y) = −9𝑦12 + 18𝑦22 + 45𝑦32 Dạng toàn phương chuẩn tắc 13 F(X) = G(Y) = H(Z) = −𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧32 Lưu ý rằng, ví dụ ma trận đổi sở chưa phải ma trận trực giao Phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc gọi phương pháp vectơ riêng  Nhận dạng đường cong Trong hệ tọa độ trực chuẩn xOy không gian 𝑅 đường cong có phương trình tổng qt 𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = (𝐴2 + 𝐵 + 𝐶 ≠ 0) gọi đường bậc hai Viết lại phương trình đường cong sau: 𝐹 (𝑥; 𝑦) ∶= 𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 = −𝐷𝑥 − 𝐸𝑦 − 𝐹 Ta thấy vế trái phương trình dạng toàn phương hai biến x;y Câu hỏi đặt là: Với hệ số cho (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐹), ta muốn biết xem đường cong có phương trình cho đường tròn, đường elip, đường parabol hay hybebol? Viết phương trình tắc đường cong Ta làm điều cách tịnh tiến, quay hệ trục tọa độ, cho vế phương trình đường cong có dạng tồn phương tắc Phép biến đổi tuyến tính ma trận trực giao thực chất phép quay hệ tọa độ Để xử lý hệ số vế phải phương trình đường cong ta sử dụng phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Dễ thấy, với cách biến đổi thế, góc hai đường thẳng khoảng cách hai điểm khơng thay đổi Nói cách khác, khơng gian 𝑅 phép biến đổi trực giao phép tịnh tiến hệ trục tọa độ khơng làm thay đổi hình dáng hình Ví dụ: Viết phương trình tắc, nhận dạng đường bậc hai: 4xy + 16x +1 = Lời giải Xét dạng toàn phương 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 Ta có 𝐴 = ( ) A có hai giá trị riêng 𝑘1 = 2; 𝑘2 = −2 Tìm vectơ riêng tương ứng với k = 𝑉1 = (1,1)′ Tìm vectơ riêng tương ứng với k = −2 𝑉2 = (1, −1)′ Chuẩn hóa 𝑉1 , 𝑉2 sau: 14 𝑉1 1 ′ 𝑉1 1 ′ 𝑉̂1 = = ( , ) ; 𝑉̂2 = = ( ,− ) |𝑉1 | |𝑉1 | √2 √2 √2 √2 Ma trận 𝑆 = (√1 √2 √2 − ) trực giao, nghĩa thỏa mãn 𝑆 −1 = 𝑆 ′ Với ma trận √2 đổi sở này, gọi (𝑢, 𝑣 ) tọa độ điểm (𝑥, 𝑦) sở ta có 𝑥= { 𝑦= √2 √2 𝑢+ 𝑢− √2 √2 𝑣 𝑣 Trong sở này, phương trình đường cong là: 2𝑢2 − 2𝑣 + 8√2𝑢 + 8√2𝑣 + = hay 2 2(𝑢 + √8) − 2(𝑣 − √8) + = Đổi (tịnh tiến) hệ trục tọa độ: 𝑧 = 𝑢 + √8 { 𝑡 = 𝑣 − √8 ta phương trình đường cong hệ tọa độ 𝑡2 𝑧2 − = 1 2 Đây phương trình tắc Hypebol có bán trục thực trục ảo 1 √2 bán √2 II Ứng dụng dạng toàn phương việc giải số toán cực trị Điều kiện cần đủ cực trị Điều kiện cần: Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓𝑥 ′(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑓𝑦 ′(𝑥0 , 𝑦0 ) = Điểu kiện đủ: Nểu hàm 𝑓 (𝑥, 𝑦) liên tục lân cận s điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), có 15 f x  x0 , y0   f y  x0 , y0   0, f x*2 ( x, y ), f y2 ( x, y ), f xy* ( x, y ) liên tục s d f  x0 , y0   d f  x0 , y0   , nên hàm đạt cực tiểu  x , y0  Nếu d f  x0 , y0    hàm đạt cực đại  x , y0  Giải tốn tìm cực trị khơng điều kiện Vi dụ Tìm cực trị hàm số z  x3 y  x y  x3 y ( x, y  0) Giải Điểm dùng hàm xác định từ hệ 2 2   z x  18 x y  x y  x y     z y  12 x y  yx  3x y   z x  x y (18  x  y )    M (3, 2)  z y  x y (12  x  y )    d z ( x, y )  36 xy  12 x y  xy dx    12 x3  x  x3 y dy   2 36 x y  x y  x y dxdy  d z (M )  144dx  216dxdy  162dy Đây dạng toàn phương biến dx, dy có ma trận  144 108 A   108 162 Ta thấy Ai | 144 | 144  , | A | 144 108  11664  108 162 nên dạng toàn phưong xác định âm theo tiêu chuẩn Sylvester 16 PHẦN KẾT LUẬN Toán cao cấp mơn học năm đầu bậc đại học Đặc trưng mơn tốn sở mang tính hệ thống chặt chẽ, xác trừu tượng Vì để học tập hiểu thật kĩ mơn tốn cao cấp thách thức nhiều bạn sinh viên “Đưa dạng tồn phương dạng tắc, chuẩn tắc Ứng dụng dạng toàn phương thực tế” nội dung quan trọng cần thiết chương trình học mơn tốn cao cấp Để hiểu sâu xác hơn, để bạn sinh viên cô giáo trao đổi, thảo luận nội dung này, chúng em chọn nội dung làm đề tài thảo luận cho nhóm Đề tài gồm phần lý thuyết, phần tập ứng dụng thực tế Phần lý thuyết trình bày cách đọng khái niệm dạng toàn phương tập trung vào hai nội dung bản: biến đổi dạng toàn phương dạng tắc, chuẩn tắc ứng dụng dạng toàn phương thực tế Sau nội dung có ví dụ minh họa, cuối đề tài phần tập gồm tập có liên quan giải cách chi tiết nhiều phương pháp để thấy phương pháp phù hợp Qua đề tài này, hy vọng phần cung cấp lại cho bạn nhóm bạn sinh viên lớp nội dung kiến thức: Thế dạng tồn phương? Có phương pháp để đưa dạng tồn phương dạng tắc, chuẩn tắc? Và ứng dụng dạng toàn phương thực tế Cuối cùng, nhóm chúng em chuẩn bị đề tài kỹ tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý bạn giáo để đề tài chúng tơi hồn thiện 17