Một số ứng dụng của các định lý giá trị trung bình trong giải tích hàm một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——o0o—— BÙI VĂN HIỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——o0o—— BÙI VĂN HIỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mà SỐ: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Ngọc Khuê Đà Nẵng, 7/2021 LOI CAM DOAN Toi xin cam doan day la cong trinh nghien cfru khoa h9c, d(k l�p cua rieng toi Cac s6 li�u su d\lng phan tich lu� van c6 ngu6n g6c r5 rang Cac k€t qua nghien cfru lu�n van toi t1J tim hi�u, phan tich m9t each trung thvc, khach quan va phu hqp v&i thvc ti€n cuaVi�t Nam Cac k€t qua la trung thvc va chua tung duqc cong b6 b§.t ky cong trinh nghien c(ru nao khac Da Ndng,thang JO nam2021 H9c vien Bui Van Hi�n LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ giúp đỡ hướng dẫn tận tình Thầy giáo TS Trần Ngọc Khuê Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy, giáo tận tình giúp đỡ tơi suốt khố học Đồng thời xin gởi lời cảm ơn đến anh chị em lớp PPTSCK39 nhiệt tình giúp tơi q trình học tập lớp Bùi Văn Hiền ắ8 ơđạ ắyơ à# ẵ:ạ ơđdá àáãẵũ èãẵ ạÃ} ị.à ấu ỉÃi ễSì íãể Tề èázĐ ạÃã èũ èđz ềạ;ẵ ếáôjũ ềá{ ẳ@ Đ ơ:à ăà ắĐ ơ< ?ạ àcá á;ẵ ơv ê ơá$ẵ áÃe ôv êuũ ơđdá á;ẵ ơv ơ|à 2ũ ị.à ấu ỉÃi I HC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Một số ứng dụng định lí giá trị trung bình giải tích hàm biến Ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Lớp K39.PPTSC.QNa Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2170/QĐ-ĐHSP ngày 16 tháng 11 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Phạm Quý Mười Chủ tịch TS Lê Văn Dũng Thư ký TS Hoàng Nhật Quy Phản biện PGS.TS Nguyễn Thành Chung Phản biện TS Nguyễn Đức Hiền a Thành viên có mặt:5 Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Thống khái niệm giống luận văn, sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện c) Các ý kiến khác: không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,6 Bằng chữ: tám sáu 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Lê Văn Dũng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Phạm Quý Mười ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc PHIẾU ĐÁNH GIÁ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Bùi Văn Hiền Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Lớp: K39.PPTSC.QNa Tên đề tài: Một số ứng dụng định lý giá trị trung bình giải tích hàm biến Kết quả: Điểm số: 8.7/10 Điểm chữ: Tám điểm bảy/mười, chi tiết: Tiêu chí chấm điểm TT Nội dung luận văn Đối tượng mục đích nghiên cứu: Có phạm vi phù hợp với tên đề tài; Được thể rõ ràng câu hỏi nghiên cứu Điểm tối đa 6.0 Kết 1.0 Cơ sở lí luận: Phù hợp với đối tượng mục đích nghiên cứu; Bao hàm khái niệm liên quan đến nghiên cứu; Thể tư độc lập phê phán người nghiên cứu; Có trích dẫn phù hợp 1.5 yêu cầu Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng công cụ thu thập liệu có độ 5.7 tin cậy cao; Dựa khung lí thuyết/phân tích bao gồm đơn vị phân tích phù hợp; Phương pháp phân tích liệu hợp lí; Miêu tả phân tích 1.5 liệu rõ ràng, quán, thể tư độc lập phê phán người nghiên cứu Kết nghiên cứu: Có độ tin cậy cao; Trả lời câu hỏi nghiên cứu; Lập luận mạch lạc, khách quan, dựa kết phân tích liệu; 2.0 Có ý nghĩa lí luận thực tiễn Hình thức luận văn 1.0 - Năng lực diễn đạt/hành văn/cấu trúc đoạn/chương… 0.5 1.0 - Hình thức trình bày (in ấn, format, hình thức, lỗi tả, đánh máy) theo thơng báo số: 824/TB - ĐHSP ngày 22/9/2017 việc Kết luận Hiệu trưởng công tác đào tạo sau đại học 0.5 Báo cáo trước Hội đồng 2.0 - Bài báo cáo (hình thức, cấu trúc…) - Tác phong trình bày (tự tin, rõ ràng, mạch lạc…) - Trả lời câu hỏi Hội đồng 0.5 0.5 1.0 2.0 Điểm thành tích nghiên cứu khoa học (tối đa điểm) 1.0 - Cơng trình cơng bố mà học viên tác giả (hoặc tác giả thứ nhất) (được đăng tạp chí khoa học chuyên ngành Hội đồng Chức danh 1.0 giáo sư nhà nước quy định) - Cơng trình cơng bố mà học viên đồng tác giả (thứ 2, thứ ) (được đăng tạp chí khoa học chuyên ngành Hội đồng Chức danh 0.5 0.0 giáo sư nhà nước quy định) - Các tạp chí khác khơng thuộc danh mục tạp chí khoa học chuyên ngành Hội đồng Chức danh giáo sư nhà nước quy định đề tài ứng dụng nơi ứng dụng đồng ý văn việc chuyển giao, 0.1-05 triển khai kết nghiên cứu - Bài báo in toàn văn Kỷ yếu khoa học cấp trường đại học trở lên 0.1-0.3 TỔNG 10 Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Ghi chú: Điểm chấm luận văn theo thang điểm 10, lẻ đến chữ số thập phân, gồm: - Điểm nội dung luận văn tối đa điểm; - Điểm thành tích nghiên cứu tối đa điểm Thành viên Hội đồng (Chữ ký, họ tên) TS Hoàng Nhật Quy 8.7 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc -o0o BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho thành viên hội đồn phản biện) Tên đề tài luận văn: Một số ứng dụng định lý giá trị trung bình giải tích hàm biến Ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Họ tên học viên: Mã ngành: 8.46.01.03 Bùi Văn Hiền Người nhận xét: TS Nguyễn Đức HIền Đơn vị công tác: Trường Đại học Duy Tân NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài: Các định lý giá trị trung bình có minh họa hình học áp dụng giải loại tốn chứng minh tồn nghiệm phương trình có liên quan chặt chẽ với tốn khảo sát tồn tính chất nghiệm phương trình; giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình; xét tính đơn điệu cực trị hàm số; chứng minh đẳng thức bất đẳng thức; tính giới hạn dãy số; tính giới hạn hàm số; tính gần đúng, .việc nghiên cứu khảo sát, hiểu bẩn chất ứng dụng vấn đề dược quan tâm Cơ sở khoa học thực tiễn: Các định lý giá trị trung bình có vai trị quan trọng giải tích tốn học chúng công cụ tảng cho việc chứng minh nhiều kết toán học khác Lịch sử định lý bắt nguồn từ cơng trình nghiên cứu nhà toán học Tiệp Khắc tên Bernard Bolzano năm 1817, ba nhà toán học người Pháp, là, Michel Rolle năm 1691, Joseph-Louis Lagrange năm 1797 Augustin-Louis Cauchy năm 1821, 1823, nhà toán học người Anh tên Brook Taylor năm 1715 với Định lý Taylor với phần dư dạng Lagrange, Nghiên cứu ứng dụng định lý giá trị trung bình việc giải tốn khó, phục vụ cơng tác giảng dạy có ý nghĩa khoa học thực tiễn Phương pháp nghiên cứu: Quá trình làm luận văn học viên sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét q trình nghiên cứu lí thuyết, thảo luận với giáo viên hướng dẫn, xếp ví dụ minh họa, trình bày cách rõ ràng Kết nghiên cứu: Đề tài đạt số kết nội dung sau - Hệ thống lại kiến thức tương đối đầy đủ về định lý giá trị trung gian cho hàm số liên tục định lý giá trị trung bình vi phân tích phân hàm biến Đó định lý: Định lý Weierstrass thứ thứ hai, Định lý Bolzano-Cauchy thứ thứ hai, Định lý Fermat, Định lý Rolle, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy, Định lý Taylor, Định lý giá trị trung bình tích phân thứ Định lý giá trị trung bình tích phân thứ hai Các định lý cổ điển chứng minh chi tiết - Trình bày ứng dụng việc khảo sát tồn nghiệm tính chất nghiệm phương trình; giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình; xét tính đơn điệu cực trị hàm số; chứng minh đẳng thức bất đẳng thức; tính giới hạn dãy số; tính giới hạn hàm số; tính gần Hình thức luận văn: Báo cáo tổng kết phần mục lục, tài liệu tham khảo bao gồm 80 trang phần mở đầu trang phần nội dung kết nghiên cứu gồm chương với 78 trang biên soạn Latex đảm báo hình thức văn tính xác ngơn ngữ tốn học, gồm nội dung cần thiết yêu cầu Báo cáo tổng kết luận văn thạc sĩ Nên gộp định nghĩa 1.1.1 1.1.2 thành định nghĩa, số trang bị tràn soạn thảo Đánh giá chung (Nêu rõ đồng ý hay không đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ) Đề tài đạt tất mục tiêu đề Báo cáo tổng kết có đầy đủ yêu cầu theo quy định, trình bày sáng sủa, logic, xác Tơi đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Nguyễn Đức Hiền CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc -o0o BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Một số ứng dụng định lý giá trị trung bình giải tích hàm biến Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã ngành: 8.46.01.13 Họ tên học viên: Bùi Văn Hiền Người nhận xét: TS Hoàng Nhật Quy Đơn vị công tác: Trường ĐH Sư phạm - ĐHĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài: Các định lý giá trị trung bình hàm biến số đối tượng cơng cụ quan giải tích tốn học lý thuyết ứng dụng Về mặt lý thuyết, kết quan tâm nghiên cứu mở rộng cho lớp hàm rộng (các hàm liên tục, hàm khả vi) Trong ứng dụng, định lý giá trị trung bình hàm biến số chủ đề thú vị, xuất thường xuyên ký thi học sinh giỏi sinh viên giỏi Học viên chọn chủ đề nghiên cứu khơng chi góp phần nâng cao lực toán học cho thân mà kỳ vọng kết đề tài trở thành tài liệu tham khảo tốt cho học sinh phổ thơng, góp phần xây dựng chủ đề tự chọn đào sâu kiến thức tốn học phổ thơng đáp ứng dạy học phân hóa theo định hương chương trình giáo dục phổ thông 2018 Cơ sở khoa học thực tiễn: Kết luận văn xây dựng dựa kiến thức cở giải tích tốn học kinh nghiệm thực tiễn nghiên cứu giảng dạy học viên bậc phổ thông Phương pháp nghiên cứu: Sau xác định chủ đề nghiên cứu, học viên sưu tầm nguồn tài liệu tham khảo phong phú đa dạng, tiến hành nghiên cứu, chọn lọc phân loại theo định hướng mục tiêu nghiên cứu Kết nghiên cứu: Kết nghiên cứu đề tài biên soạn thành luận văn gần 85 trang nội dung chia làm hai chương Chương 1, tác giả trình bảy kiến thức chuẩn bị gồm kết hàm thực biến, định lý giá trị trung bình (gồm chứng minh nhận xét ý nghĩa hình học) Chương 2, tác giả chọn lọc, phân loại dạng toán ứng dụng định lý giá trị trung bình cụ thể Nhìn chung, hệ thống kiến thức luận văn trình bày rõ ràng, có tính logic cao Các dạng toán phong phú với nhiều tập sưu tầm chứng chi tiết - Một số góp ý: + Trang số 5: có định nghĩa hàm liên tục điểm (thực chất định nghĩa thứ giới hạn hàm số) Đề nghịa sửa lại + Ký hiệu vô bé nên đưa vào lần đề cập tới khái niệm Định nghĩa 1.2.2 (trong luận văn tác giả đưa vào sau Nhận xét 1.2.4) + Trong mục 2.2.1 xét tính đơn điều hàm số Tác giả nên thống sử dụng khái niệm tăng, đồng biến, giảm, nghịch biến (trong luận văn định nghĩa dùng khái niệm tăng, giảm Sau lại dùng đồng biến, nghịch biến) + Trang 19, công thức dài trang - Câu hỏi 1: Cho tập A={1/n: n=1, 2, 3, ….} Tìm SupA, InfA? Các giá trị có phải maxA, minA tập A không? - Câu hỏi 2: Nêu quan hệ bao hàm lớp hàm khả tích, liên tục khả vi? Hình thức luận văn: Luận văn trình bày theo quy định nhà trường Đánh giá chung (Nêu rõ đồng ý hay không đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ) Tôi đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Hoàng Nhật Quy cONG HoA xA HOr cHU xcsla vtEr D6c lAp - Trr - Hanh phric BAN NHAN xET LUAN vAN rOt (Danh cho thinh vi€n hOi d6ng TOn d€ td,i, lu\n ud,n: \,[.6t s6 fing dung ciia c6,c li NAN,{ NGHIEP THAC si ngudi ph6n bien) dinh li gi5, tri trung binh gi6i tich him mOt bi6n Chuy€n ngd,nh:Phrtong ph6p to5,n so c6p lt[d ngdnh: 8.46.01.13 Ho utt, t€n hoc ui€n: Bii Vd,n Hidn l{gudi nh\n rdt: Nguy6n Thh,nh Chung (DH Quing Binh) Hoc hd,m, hoc ui,: Ph6 gi6o srr, Ti6n si NQr DUNG NHAN Il xor thict cfra de thi: Dinh lf gi6 tri trung binh d6ng vai trb quan trong to6n hoc n6i chung r,i, gi6,i tich to5,n hoc n6i ri€ng, vrla lh d6i trrong nghiOn cfu, vta ld, cong cu d6 nghien crlu c6c hnh vrrc kh5,c bao g6m cA dinh tinh vh, dinh luong Trong chrrong trinh ph6 thong, c5c dinh li gi5, tri trung binh duoc gi6i thieu tuong d6i don gi6n, chrra th6 hi6n het y nghia vi t6,m quan ciia n6 Vi han chc vO ki6n thfic nen s6ch gi6o Tinh c6p khoa ph6 thong chi c6ng nh6,n c6c k6t qu6 vd dinh li gi6 tri trung binh, chr.ra chrlng minh chi ti6t DO tei "l\,{Ot s6 rlng dung cria c5,c dlnh li gi6, tri trung binh giai tich hdm mOt bi€n" trinh bh,y mOt s6 k6t quA vO dinh If gi5, tri trung binh vd rlng dung gifri to6n Day Id da tdi c5 tinh thiet thuc, gi(rp hoc vi6n c5 thom nhfrng hi6u bi6t vC dinh li gi6, tri trung binh vd tlng dung c6c linh vrtc 1i6n quan III Ca sd khoa hoc vh thuc ti6n: Od tei "l\4Qt s6 rlng dung cria c5,c dinh Ii gi6 tri trung binh gi6i tich hdm m6t bi€nrr c6 y nghia khoa hgc vd" thgc ti6n \,{uc dich cria lu6,n vdn li trinh bhy c5,c dinh Ii gi5 tri trung binh hdm m6t biOn Lu6,n v5,n tliam kh6,o c5,c tdi li6u c6 uy tin, c6 dO tin cfly cao, ld, t),i li€u tham kh&o b6 ich cho c6c d6i tuong quan tAm d6n dinh li gi6 tri trung binh vi (rng dung III/ Phuong ph5,p nghiOn cftu: BXng c5,ch thu thQp, ph6,n tich vd t6ng hop tdi 1i€u ve c5,c clinh If gi6 tri trung binh, t6c giA d6 trinh bdy m6t c5,ch c6 hO th6ng c6c khdi niOm liOn quan, nOi dung c6c dinh li gi6 tri trung binh v5, v6,n dung gid,i to5,n, gifip ngrrdi dqc n{m b6t duclc a r) van d€, rlng dung nghiCn cfiu, gid,ng day Phuong ph6p nghi€n ciru phil hop v6i n6i dung nghiOn cfiu cria lu6,n v5,n IV I KCt quA nghi€n crlu: Ngod,i 1di md dd,u, kOt 1u6,n vd, td,i liQu tham kh6o, Iu6,n v6n duoc chia ld,m chuong ki6n thirc chud,n bi, bao gdm c5,c dinh Ii v6 gi6 tri trung binh d6i v6i hi,rn li6n tuc, vi vb, tich phd,n Trong Chuong 2, tilc gi6 dA trinh bb,y chi ti6t mQt s6 rlng dung ciia dinh Ii gi6, tri trung binh gi6r,i to5,n Nhung kOt qui nghiOn crlu nhy c6 y nghia khoa hoc v), thqc ti6n sA,u s6c, day Ia tli 1i6u tham kh6,o b5 ich cho nhrlng quan t6,m nghiOn cfru vd dinh Ii gi6 tri trung binh vh, c5c vAn d6 licn quan V/ Hinh thfic lu6,n v5,n: Lu6,n vdn drtoc trinh bb,y 81 trang A.4 16 r),ng vd, dep 86 cuc lu6,n v5n hop li, logic, viQc trich d6n td,i 1i0u tham khAo dirng quy dinh VI/ D5r,nh gi5, chung (Ghi ro dd nghr cho hay khOng cho hoc viOn b6o vO iuAn vdn tnrdc Hoi dOng ch6,m lu6,n v5,n thq,c si): Lu6,n r,5,n tr\,{6t s6 fing dung cua c5,c dinh li gi5, tri trung binh giAi tich hA,m rnOt bi6nrr cfra hoc viOn Btri V5,n HiOn duoc trinh bdy 16 rd,ng, Iogic, tr) vi€c hC th6ng h6a c6c ki6n thfic v6 dinh li giSr tri trung binh vA, itng dung giAi to5,n C6c kOt qu6 dat dugc cria lu6,n v5.n c6 y nghia khoa hoc vd, thrrc ti6n, td,i li€u tham kh6,o d(rng quy dinh, d5,p (rng duoc c5c yOu cAu co b6,n cta mOt lu6,n v5,n thac sr chuyOn ngb,nh Phrtong ph6p to5,n so c6p T6m t6t iuan vdn phAn 5,nh trung thinh n6i dung chfnh cria lu6,n v5,n Dd nghi cho ph6p hoc vi€n duOc b6,o v€ luAn v5,n tnl6c hoi dong d6 nhAn hoc vi thac sr to5,n hoc Chrrong dhnh d