TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KẾ TOÁN KIỂM TOÁN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH BS6010 TÊN CHỦ ĐỀ Chủ đề 1 Một số ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến Chủ đề 2 Một số ứn[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KẾ TỐN - KIỂM TỐN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHĨM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH BS6010 TÊN CHỦ ĐỀ: Chủ đề 1: Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến Chủ đề 2: Một số ứng dụng phương trình vi phân Sinh viên thực : Nguyễn Thị Thu Thảo Nguyễn Thị Kim Liên Nguyễn Thị Ly Lại Thảo Anh Lê Ánh Tuyết Trịnh Thị Lý Phan Thị Thùy Dương Phạm Thị Ngọc Diễm Nguyễn Thị Loan Tên lớp : 20221BS6010007 Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Chí Thanh Hà Nội, 18 tháng 11 năm 2022 pg BẢNG ĐÁNH GIÁ TIÊU CHÍ LÀM VIỆC NHĨM( TIÊU CHÍ) Sự Đưa ý Giao tiếp Tổ chức Hồn Tổng điểm Tiêu nhiệt kiến và phối thành chí tình ý tưởng hợp tốt với hướng cơng đánh tham làm thành viên dẫn việc hiệu gia khác nhóm cho cơng giải thành việc vấn viên Tên thành đề chung giá Thảo (TĐA) viên Nguyễn Thị 9 9 45 Thị 9 9 45 Thị 9 9 45 Lại Thảo Anh 9 9 44 Lê Ánh Tuyết 9 9 44 Trịnh Thị Lý 9 9 45 Phan 9 9 44 9 43 9 9 44 Thu Thảo Nguyễn Kim Liên Nguyễn Ly Thị Thùy Dương Phạm Thị Ngọc Diễm Nguyễn Thị Loan TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA CÁC THÀNH VIÊN pg Tên thành viên TĐ = Tổng điểm đánh Điểm trung bình giá tất = thành viên nhóm thành Hệ số cá nhân TĐ/(5xsố (dựa vào bảng qui đổi) viên) Nguyễn Thị Thu Thảo 416.25 9.25 1.2 Nguyễn Thị Kim Liên 395.25 8.78 Nguyễn Thị Ly 392.5 8.72 Lại Thảo Anh 389 8.64 Lê Ánh Tuyết 325.47 7.23 0.8 Trịnh Thị Lý 394.5 8.76 Phan Thị Thùy 381.25 8.47 Phạm Thị Ngọc Diễm 379.25 8.42 Nguyễn Thị Loan 377.5 8.38 Dương BẢNG QUI ĐỔI RA HỆ SỐ CÁ NHÂN Điểm trung [9;10] [8;9) [7;8) [6-7) [5-6) 1.2 0.8 0.6 0.4 bình Hệ số cá nhân A-Mục lục: pg Trang *Phần mở đầu: Giới thiệu *Nội dung báo cáo: Chủ đề 1: Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến 1.Kiến thức cực trị hàm nhiều biến 5-9 Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến toán kinh tế 10-12 Chủ đề 2: Một số ứng dụng phương trình vi phân 1.Định nghĩa phương trình vi phân 12 Một số loại phương trình vi phân 12-17 3.Ứng dụng phương trình vi phân .18-19 *Phần kết luận 19 *Tài liệu tham khảo 19 ──────── * ─────── B-Phần mở đầu: Giới thiệu bao quát nội dung báo cáo Bài báo cáo bao gồm chủ đề: Chủ đề 1: Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến Chủ đề 2: Một số ứng dụng phương trình vi phân Kiến thức cực trị hàm nhiều biến Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến tốn kinh tế Định nghĩa phương trình vi phân Một số loại phương trình vi phân Ứng dụng phương trình vi phân pg C- Phần nội dung báo cáo: ***Chủ đề 1: Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến I Cực trị khơng có điều kiện 1.1 Định nghĩa Hàm số z=f(x,y) đạt cực trị M(x0,y0) Nếu điểm M(x,y) gần khác M, hiệu∆f=f(x,y)−f(x0,y0) có dấu khơng đổi - Nếu∆f < thìf(x0,y0) giá trị cực đại M0 điểm cực đại hàmz=f(x,y) - Nếu∆f >0 f(x0,y0)là giá trị cực tiểu M0 điểm cực tiểu hàm số z=f(x,y) Ví dụ: Hàm số w=x2 + y2 đạt giá trị cực tiểu điểm O(0, 0) Vì x2 + y2 >0với (x, y) thuộc cận điểm (0, 0) 1.2 Định lý a) Điều kiện cần Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị điểm M0(x0,y0) hàm số có đạo hàm riêng f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 Điểm M0(x0,y0) thỏa mãn f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 gọi điểm dừng Điểm dừng M0 khơng điểm cực trị hàm số →Nhận xét 1: Từ định lý ta suy ra: Hàm số đạt cực trị điểm dừng nó, nên để tìm điểm cực trị ta cần tìm số điểm dừng → Nhận xét 2: Một điểm điểm dừng hàm số chưa điểm cực trị Cho nên cần xétđiều kiện đủ để điểm dừng điểm cực trị b) Điều kiện đủ Giả sử z=f(x,y) có điểm dừng Mo có đạo hàm riêng cấp hai lân cận điểm M0 Đặt A= f } rsub {{x} ^ {2} ¿ (M0), B= f } rsub {xy ¿(M0), C= f } rsub {{y} ^ {2} ¿ (M0) Khi đó: − { Nếu B −AC f(x,y) đạt cực tiểu M0 A >0 pg { − Nếu B −AC f(x,y) đạt cực đại M0 − Nếu B2− AC >0 =>f(x,y) khơng có cực trị M0 − Nếu B2− AC=0 chưa có kết luận ( M0 điểm nghi ngờ) A Tọa độ M(x0, y0) Bước 2: Đặt A= f”x2 ; B= f”x ; C=f”y2 Bảng dấu B2-AC Dấu A Kết luận - - Cực đại - + Cực tiểu + Không cực trị Chưa kết luận Bước 3: Kết luận cực trị hàm số VD: z = - x 3+ y +6 x 2−9 x+ y Giải: - Tìm điểm dừng việc xét hệ: { { { f ' x =0 −3 x2 +12 x−9=0 x=3 ; x=1 → → f ' y =0 y=−1 y +8=0 Đặt A= f } rsub {{x} ^ {2}} =-6x+1 ¿ ; B= f } rsub {xy} = ¿ ;C= f } rsub {{y} ^ {2}} =24 {y} ^ {2 ¿ Ta có: B2-AC=0-(-6x+12).24y Với M1(3;-1) →A=-6 , C=2 B2-AC=0-(-6).24=144>0 →M1 không điểm cực trị Với M2(1;-1) →A=6 , C=24 B2-AC=0-6.24=-1440 →M2 điểm cực tiểu ZCT = -10 2.1 Định nghĩa Ta nói hàm số z=f(x,y) đạt cực đại ( cực tiểu) điểm M0(x0, y0) với điều kiện g(x,y)=0 Nếu tồn lân cận D điểm M0 cho f(M)f(M0)) với điểm M∈D , M≠M0, g(M)=0 2.2 Điều kiện có cực trị a) Điều kiện cần Giả sử M0(x0,y0) điểm cực trị hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 Trong f(x,y),g(x,y) hàm số có đạo hàm riêng liên tục Khi tồn số λ cho: ¿ (1) Số λ gọi nhân tử lagrange Hàm số L(x,y, λ ) = f(x,y) + λ g(x,y) gọi hàm Lagrange b) Điều kiện đủ Giả sử điểm M0(x0, y0) thỏa mãn (1) ứng với nhân tử λ Ta gọi M0 điểm dừng tốn cực trị có điều kiện Ta chuyển tốn tìm cực trị hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 thành tốn cực trị khơng điều kiện hàm Lagrange Xét biểu thức : det H= g ' x g ' y L ' ' xy −¿ Khi đó: Nếu det(H(M0))>0 M0 điểm cực đại hàm số Nếu det(H(M0))0 →M(20,-4) điểm cực đại ZCĐ = 800 VD2: Tìm cực trị hàm số z = – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = Giải Đặt g(x,y) = x2 + y2 – Xét hàm Lagrange L(x,y,λ) = - 4x – 3y + λ(x2 + y2 – 1) Tìm điểm dừng việc xét hệ: { ' L x =0 ' L y =0 L'λ=0 { −4 +2 λx=0(1) −3+2 λy=0(2) x 2+ y 2=1(3) Từ (1) (2) ta có : x= λ , y= λ thay vào (3) ta có : + =1 λ 4λ −¿> λ=± ¿ Với λ = x = , y= 5 5 Do M1 ( , ) −5 −4 −3 Với λ = x= , y= Do M2 ( −4 −3 , ) 5 Xét det H= g ' x g ' y L ' ' xy−¿ Trong g ' x =2 x , g ' y =2 y , L } rsub {xy} =0 , {L y =2 λ , L } rsub {{x} ^ {2}} =2 ¿ Do det H= -8λ( x 2+ y ¿ Vậy M1 det H = -20 < , hàm số đạt cực tiểu zct = M2 det H = 20 > , hàm số đạt cực đại zcđ = 11 pg II Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến toán kinh tế Một số ký hiệu: Pi: Đơn giá sản phẩm thứ i Qi: Số lượng sản phẩm thứ i C=C(Q1,Q2): Hàm chi phí tính theo số lượng sản phẩm ⇒ π = P1Q1 + P2Q2 - C(Q1,Q2) a Sản xuất điều kiện độc quyền VD1: Công ty A sản xuất loại sản phẩm có giá thị trường là: P 1=400, P2=600 Chi phí cơng ty bỏ C= Q21 +2Q 22+2 Q1 +4 Q 2+300 Hãy xác định cấu sản xuất (Q1,Q2) để cơng ty đạt lợi nhuận tối đa? Hướng dẫn: - tốn dẫn tới tìm cực trị hàm lợi nhuận π = P1Q1 + P2Q2 - C(Q1,Q2) π=400 Q1+600 Q2−( Q21 +2Q22 +2 Q 1+ Q +300 ) π=−Q 12−2Q22 +398 Q +596 Q2−300 Xét hệ: { π ' Q =0 π ' Q =0 { → −2 Q1 +398=0 −4 Q 2+596=0 { → Q1=199 Q2=149 →M(199,149) Ta đặt: A= π ' ' Q =−2 B= π ' ' Q =0 12 C= π ' ' Q =−4 2 B2-AC=-8