Một số khái niệm cơ bản
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
Giả sử B là không gian Banach, trong đó ta xem xét phương trình vi phân dx(t)/dt = f(t, x(t)), với t thuộc R+ và x(.) thuộc B Hàm f được xác định trên miền D, một miền đơn liên trong không gian Banach B Nghiệm của phương trình này được định nghĩa là hàm x = x(t) khả vi liên tục trên khoảng I ⊂ R+, thỏa mãn điều kiện khi thay vào phương trình ta nhận được một đồng nhất thức dx(t)/dt = f(t, x(t)) cho mọi t thuộc I.
Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 với (t 0 , x 0 ) ∈ I ×B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau: x(t) = x 0 +
Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
Trong bài toán Cauchy, với (t, x) ∈ R + và điều kiện |t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ à, trong đó ε > 0 và à > 0 là lân cận đóng của điểm (t0, x0), ta có thể khẳng định rằng tồn tại duy nhất nghiệm địa phương cho bài toán này.
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của(t 0 , x 0 ) sao cho trong lân cận đó hàmf (t, x) liên tục theo t, ||f (t, x 0 )|| ≤ M 0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
M là một hằng số hữu hạn.
Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x 0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0
Chứng minh Từ giả thiết suy ra tồn tại ε, η > 0 sao cho trong miền |t − t 0 | ≤ ε, ||x − x 0 || ≤ η, ta có:
1 và ký hiệu C δ (B ) là không gian Banach các hàm liên tục x(t) xác định trên |t − t 0 | ≤ δ với chuẩn
Ta thấy toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη.
Hơn nữa, với x 1 , x 2 ∈B η , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá
||x 2 (τ ) − x 1 (τ )||dτ ≤ M (t − t 0 )|||x 2 − x 1 |||. Mặt khác ta lại có:
Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:
Do [δM] n! n → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì S n là toán tử co trong Bη Do đó sẽ tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈B η của phương trình tích phân: x(t) = x 0 +
Z t t 0 f (τ, x(τ ))dτ Định lý 1.1.2 (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)
Giả sử miền [a, b] × B tồn tại, hàm f(t, x) liên tục theo biến t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz Khi đó, với mọi (t₀, x₀) ∈ [a, b] × B, bài toán Cauchy sẽ có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên khoảng [a, b].
Chứng minh tương tự định lý (1.1.1) với chú ý:
(i) Từ giả thiết của định lý ta suy ra hàm f(t, x) giới nội trên [a, b] × D với D là tập compact trong không gian Banach B.
C(B) là tập hợp tất cả các hàm x(t) liên tục trên đoạn [a, b], với giá trị nằm trong không gian Banach B, và chuẩn của nó được xác định bởi một quy tắc cụ thể.
||x(t)||. Định lý 1.1.3 (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t 0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||), trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vô hạn t 0 ≤ t < +∞.
Mặt khác ta có dx(t) dt = f(t, x(t)) và ||f (t, x)|| ≤ L(||x||) ta suy raL(||x||) ≥ d||x|| dt
Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x 0 = x(t 0 ) đến điểm x theo chiều tăng của t ta được:
||x 0 || dr Lr Đổi biến r = x(t) Do
Z r r 0 drL(r) → ∞ khi r → +∞ nên nếu ||x|| → +∞ thì t → +∞, do đó nghiệm có thể thác triển ra vô hạn.
Các khái niệm về ổn định
Giả sử B là không gian Banach Xét phương trình vi phân dx dt = f (t, x(t)) (1.4) trong đó t ∈R + , x(t) ∈ B , f : R + × G → B , f(t, 0) = 0 Để thuận tiện ta xét G là một miền mở chứa gốc tọa độ
G = {x ∈ B : ||x|| ≤ R, R > 0} hoặc G có thể là toàn bộ không gian Banach B.
Giả sử hàm f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (1.4) tồn tại duy nhất và có thể kéo dài ra vô hạn.
Ký hiệu x(t) = x(t, t 0 , x 0 ) là nghiệm của phương trình vi phân (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0, với t 0 thuộc R + và x 0 thuộc G Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t tiến đến +∞, nếu với mọi ε > 0 và t 0 thuộc R +, tồn tại δ = δ(t 0 , ε) sao cho
Định nghĩa 1.1.3: Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được coi là ổn định đều theo Lyapunov nếu tồn tại số δ có thể chọn không phụ thuộc vào t 0, sao cho ∀x 0 ∈ G với ||x 0 || < δ thì ||x(t, t 0 , x 0 )|| < ε cho mọi t ≤ t 0 Định nghĩa 1.1.4: Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞.
(i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định.
Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu tồn tại ∆ = ∆(t 0 ) > 0 sao cho với mọi x 0 ∈ G và ||x 0 || < ∆, thì lim ||x(t, t 0 , x 0 )|| khi t tiến tới +∞ bằng 0.
(i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vàot 0 ) sao cho với mọi x 0 ∈G thỏa mãn
Khi ||x 0 | | < ∆, thì khi t tiến đến +∞, giới hạn ||x(t, t 0 , x 0 )| | sẽ bằng 0 Định nghĩa 1.1.6 cho biết rằng nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được xem là ổn định mũ khi t tiến đến +∞ nếu mọi nghiệm x(t) = x(t, t 0 , x 0 ) của phương trình (1.4) đều thỏa mãn bất đẳng thức này.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ M.e −λ(t−t 0 ) ||x 0 ||, với M và λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào lựa chọn của x 0, áp dụng cho mọi t ≥ t 0 Định nghĩa 1.1.7 chỉ ra rằng nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được coi là ổn định mũ đều khi t → +∞ nếu số M trong định nghĩa (1.1.6) không phụ thuộc vào t 0 Cuối cùng, chúng ta cũng đề cập đến khái niệm Phiếm hàm Lyapunov trong định nghĩa 1.1.8.
Phiếm hàm V: R + × B → R + được gọi là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và đáp ứng điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của phương trình (1.1), ký hiệu là V ˙ (t, x), được xác định bởi.
Ký hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương.
Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân
trình vi phân trong không gian Banach Định lý 1.2.1 (Định lý về sự ổn định)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R + × B → R + và hàm ặ) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định.
Chứng minh Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (1.1) là ổn định.
Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu
Từ (ii) ta suy ra
Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t 0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số δ(t 0 , ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t 0 , ε) thì V (t 0 , x) < a(ε).
Lấy x = x(t, t 0 , x 0 ) là nghiệm của (1.1) sao cho ||x 0 || < δ, ta sẽ chứng minh
Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t 1 > t 0 sao cho nghiệm x = x(t, t 0 , x 0 ) với
Từ điều kiện (iii) ta suy ra
V (t 1 , x(t 1 )) ≤ V (t 0 , x(t 0 )), từ đó ta suy ra a(ε) ≤ V (t 1 , x(t 1 )) ≤ V (t 0 , x(t 0 )) < a(ε).
Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai Như vậy nếu ||x 0 || < δ thì
||x(t, t 0 , x 0 )|| < ε, ∀t ≥ t 0 ,tức là nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định. Định lý 1.2.2 (Định lý về sự ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V :R + × B → R + và các hàm ặ), b(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
Khi đó nghiệm tầm thườngx(t) ≡ 0của (1.1) là ổn định đều theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞.
Chứng minh Xét mặt cầu
Từ điều kiện (i) ta có a(||x||) ≤ V (t, x) Đồng thời, do
V (t, x) ≤ b(||x||) và b(||x||) ∈ CIP nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(ε) thì b(||x||) < a(ε), do đó b(δ) < a(ε).
Lấy một nghiệm tùy ý x(t, t 0 , x 0 ) của (1.1) với ||x 0 || < δ(ε) thì với t 0 cố định bất kỳ từ giả thiết V (t, x) ≤ 0, ta có a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ V (t 0 , x 0 ) ≤ b(||x 0 (t)||) ≤ b(δ) < a(ε).
Do đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định đều. Định lý 1.2.3 (Định lý về sự ổn định tiệm cận đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V :R + × B → R + và các hàm ặ), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
(ii) V ˙ (t, x) ≤ −c(||x||). khi đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.1) là ổn định tiệm cận đều theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞.
Theo định lý đã nêu, nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình (1.1) được chứng minh là ổn định đều Chúng ta sẽ tiếp tục chứng minh rằng nghiệm tầm thường này cũng ổn định tiệm cận đều.
Do nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều nên tồn tại δ 0 > 0 sao cho với t 0 ∈ R + và
||x|| ≤ δ 0 , ta có: kx(t, t 0 , x 0 )k < M < +∞; ∀t ≥ t 0 Mặt khác ∀ε > 0, ∃δ ε > 0 sao cho t 0 ∈R + , ||x|| ≤ δ ε , ta có: x(t, t 0 , x 0 ) < ε, ∀t ≥ t 0
Giả sử tồn tại nghiệm x(t, t 0 , x 0 ) với t 0 ∈R + và ||x|| < δ 0, nhưng lim t→+∞ ||x(t, t 0 , x 0 )|| 6= 0 Khi đó, sẽ có một dãy t k với t k ≥ t 0 và lim k→+∞ t k = +∞, sao cho δ ε ≤ ||x t k || < M Kết hợp với điều kiện (ii), ta suy ra rằng tồn tại số γ > 0.
V (t, x) ≤ V (t 0 , x 0 ) − γ(t − t 0 ) → −∞ khi t → +∞ mâu thuẫn với giả thiết (i). Điều này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai Do đó lim k→+∞ t k = 0.
Như vậy nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều.
Ví dụ 1.2.1 Phương trình vi phân dx dt = −13x − 12x n sin [ln(1 + t)] + t t + 1 cos [ln(1 + t)] o là ổn định tiệm cận nhưng không ổn định đều.
*) Tính toán ta thu được công thức nghiệm tổng quát của phương trình: x(t) = exp {−13t − 12t sin [ln(t + 1)]} x(0)
*) Chứng minh x(t) = 0 là ổn định tiệm cận, tức lim t→+∞ ||U(t, t 0 )|| = 0.
Ta sẽ chỉ ra tồn tại dãy {t n } và t 0 n sao cho: t n → +∞, t 0 n → +∞ và U (t n , t 0 n ) → ∞(n → ∞) Chọn hai dãy t n = exp n (4n + 1) π
Vậy nghiệm x(t) = 0 không ổn định đều.
Phương pháp xấp xỉ thứ nhất
Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
Chúng ta có thể giả sử rằngt thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn I nào đó thuộc
Ta cũng có thể xét phương trình tích phân tương ứng: x(t) = x 0 +
Ta nói rằng x : I →B là nghiệm của phương trình (1.5) nếu x(t) khả vi và thỏa mãn (1.5) Khi đó, x(t) cũng là nghiệm của (1.6).
Xét phương trình tích phân dạng tổng quát x(t) = g (t) +
A(τ )x(τ)dτ (1.7) với g(t) là hàm vector liên tục trên I Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình có một nghiệm liên tục trên đoạn [a, b] ∈ I.
Ký hiệu C([a, b];B ) là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với giá trị trong
Trong không gian C([a, b],R n ) xét toán tử:
A(τ )x(τ )dτ đi từ C([a, b];B ) vào chính nó và (Sx)(t) là liên tục.
Bằng phương pháp quy nạp thực hiện liên tiếp ta được:
A(t n )A(t n−1 ) A(t 1 )x(t 1 )dt 1 dt n−1 dt n Khi đó với mỗi x 1 , x 2 ∈B ta có:
A(t n )A(t n−1 ) A(t 1 ) [x 2 (t 1 ) − x 1 (t 1 )] dt 1 dt n−1 dt n và có đánh giá
Do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số t 1 , t 2 , , t n nên ta có:
Ánh xạ S : ([a, b], B) −→ C([a, b], B) là một ánh xạ co, vì vậy phương trình (1.7) có nghiệm duy nhất Hơn nữa, tồn tại một hàm x(t) liên tục trên đoạn [a, b], và giới hạn khi n tiến tới vô cùng của (S n x 0 )(t) sẽ bằng x(t) với mọi x 0 (t) thuộc C([a, b];B).
Do đó, nghiệm x(t) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi như sau: x(t) = g(t) +
*) Trong trường hợp riêng chúng ta xét bài toán Cauchy
Cùng với phương trình (1.10) ta có phương trình tích phân tương ứng: x(t) = x 0 +
Khi đó, nghiệm của phương trình (1.10) thu được là x(t) = x 0 +
Chú ý: Nếu như A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm x(t) khả vi liên tục Ký hiệu
U (t) ∈ M n (R n ) là toán tử được xác định bởi
Khi đó nghiệm của (1.10) có thể viết dưới dạng: x(t) = U (t)x 0
Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm nghiệm của (1.5) như sau: Đặt x(t) = U (t)y(t) trong đó U(t) xác định như trong (1.12) Thay vào ta được:
Tích phân từ t 0 đến t hai vế ta được: y = x 0 +
U −1 (τ )f(τ )dτ Khi đó, nghiệm của phương trình (1.5) có thể viết dưới dạng: x(t) = U(t)x 0 +
U (t)U −1 (τ)f (τ )dτ (1.14) Đặt U (t, τ ) = U (t)U −1 (τ) Toán tử U (t, τ) được gọi là toán tử tiến hóa (hoặc là toán tử tự giải) của phương trình dx dt = A(t)x
Họ toán tử tiến hóa {U (t, τ )} , t ≥ τ ≥ t 0 có các tính chất sau:
Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu
Xét phương trình vi phân dx/dt = A(t)x + f(t, x), trong đó A(t) là toán tử tuyến tính liên tục theo t, và f(t, x) là hàm thỏa mãn điều kiện nhất định trong miền G.
Bổ đề 1.3.1 (Bổ đề Gronwal - Belman)
Giả sử u(t) ≥ 0, f(t) ≥ 0, ∀t ≥ t 0 và các hàm u(t), f (t) là các hàm liên tục trên [t 0 ; +∞) u(t), f(t) ∈ C [t 0 ;+∞) và thỏa mãn bất đẳng thức: u(t) ≤ c +
Z t t 0 f (τ )u(τ)dτ (1.17) ở đây, c là một hằng số dương Trong trường hợp với t ≥ t 0 ta có: u(t) ≤ c.e
Tiếp theo chúng ta xét phương trình dx dt = A(t)x + ϕ(t, x) + φ(t, x) (1.18)
Từ nay về sau ta luôn luôn giả thiết ϕ(t, 0) = φ(t, 0) = 0, ||ϕ(t, x)|| ≤ L||x|| (1.19) và
Z ∞ 0 γ(t)dt = α < +∞ (1.20) Định lý 1.3.1 Giả sử tồn tại các hằng số c > 0 và λ > 0 sao cho
||U (t, τ )|| ≤ ce −λ(t−τ ) , ∀t ≥ τ ≥ t 0 khi đó với cL − λ < 0 (L đủ nhỏ) thì nghiệm của phương trình (1.18) ổn định tiệm cận và ta có đánh giá
Chứng minh: Giả sử x(t) là nghiệm của phương trình (1.18), khi đó x(t) có thể viết dưới dạng x(t) = U(t, τ )x(τ) +
Z t τ c[L + γ(s)]||x(s)||e λ(t−τ ) ds Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman ta có:
Kết hợp với giả thiết ta có:
||x(t)|| ≤ c||x(τ)||e cα e −(λ−cL)(t−τ) do (λ − cL) > 0 nên nghiệm x(t) ≡ 0 của (1.18) ổn định tiệm cận.
Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong R n
Các hàm xác định dấu
Hàm vô hướng thực liên tục V(t, x) được xác định là không đổi dấu trong Z0 nếu nó luôn có dấu dương hoặc dấu âm.
V (t, x) ≥ 0 (hay V (t, x) ≤ 0) với (t, x) ∈ Z 0. Định nghĩa 1.4.2 Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z 0 nếu tồn tại hàm W (x) ∈ C(||x| | < h) sao cho
Tương tự hàm V = V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z 0 nếu tồn tại hàm
Hàm V = V(t, x) được định nghĩa là có giới hạn trên vô cùng bé khi x tiến đến 0 trong Z0, nếu với một t0 > 0 nào đó, V(t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên khoảng [t0, ∞) khi ||x|| tiến đến 0 Điều này có nghĩa là với bất kỳ ε > 0 nào, tồn tại một số δ = δ(ε) > 0 sao cho.
Nhờ bất đẳng thức (1.21) ta kết luận rằng: hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó t 0 ≤ t < ∞, ||x| | < h.
Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm của một hệ phương trình vi phân
của một hệ phương trình vi phân
Giả sử X(t, x) ∈ C tx (0,1) (Z ), Z = {a < t < ∞, ||x| | < H} và hệ vi phân dx dt = X(t, x) (1.22) là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) = 0 Rõ ràng hệ(1.22) có nghiệm tầm thường ξ = 0.
∂t + (gradV, X ) được gọi là đạo hàm toàn phần theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.22).
Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.22) thì V ˙ (t, x) là đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là
V ˙ (t, x) = d dt V (t, x(t)) Đúng hơn, giả sử (t, x) ∈ Z 0 và x(τ, t, x)là nghiệm của hệ(1.22) xác định bởi điều kiện ban đầu x(τ, t, x) = x Khi đó
Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định
Định lý 1.4.1 (Định lý thứ nhất của Lyapunov).
Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22) tồn tại phiếm hàm Lyapunov V (t, x) ∈
C tx (1,1) (Z 0 ) với Z 0 ⊂ Z thỏa mãn các điều kiện sau: i) V (t, x) là hàm xác định dương, tức là tồn tại hàm liên tục, xác định dương
* V (t, 0) = W (0) = 0. ii) Đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ (1.22) là V ˙ (t, x) có dấu không đổi âm, tức là
Khi đó nghiệm tầm thường ξ(t) = 0, 0 < t < +∞ của hệ (1.22) là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞.
Ví dụ 1.4.1 Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ
Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x 2 + 2y 2 Ta có V ˙ (t, x, y) = 2x x ˙ + 4y y ˙ Khi đó, đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ đã cho là
= −2(x 2 + 2y 2 )(1 − x 2 − 3y 2 ) ≤ 0 với x, y đủ nhỏVậy nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.
Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận
Định lý 1.4.2 Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại phiếm hàm Lyapunov
V (t, x) ∈ C tx (1,1) (Z 0 ) với Z 0 ⊂ Z thỏa mãn các điều kiện sau: i) V (t, x) là xác định dương, tức là tồn tại hàmW 1 (x) liên tục và xác định dương trên Z 0 sao cho
* V (t, 0) = W 1 (0) = 0. ii) V (t, x) có giới hạn trên vô cùng bé bậc cao khi x → 0, tức là V (t, x)⇒ t
0 khi x → 0. iii) Đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ (1.22) ˙ V (t, x) là xác định âm, tức là tồn tại hàm liên tục, xác định dương W 2 (x) sao cho
* V ˙ (t, 0) = W 2 (0) = 0. Khi đó nghiệm tầm thường ξ(t) = 0, a < t < +∞ của hệ (1.22) là ổn định tiện cận theo Lyapunov khi t → +∞.
Ví dụ 1.4.2 Nghiên cứu tính ổn định của hệ sau
Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x 2 + y 4 Ta có đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ đã cho là
= −2x 6 − (4y 6 − 4y 8 ) < 0, ∀(x, y) thuộc lân cận của (0, 0)Vậy nghiệm (0, 0) của hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định
Định lý 1.4.3 khẳng định rằng đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại một hàm V(t, x) liên tục trong không gian C tx (1,1) (Z 0) với giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x tiến tới 0 Hàm này cũng có đạo hàm V ˙ (t, x) theo t, và theo hệ phương trình, dấu của đạo hàm được xác định Đặc biệt, nếu t 0 > a trong lân cận ||x|| < ∆, điều này sẽ được đảm bảo.
∆ ≤ h < H tìm được điểm (t 0 , x 0 ) mà tại đó dấu của hàm V cùng dấu với đạo hàm V ˙ , tức là
V (t 0 , x 0 ) ˙ V (t 0 , x 0 ) > 0 (1.24) thì nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.22) không ổn định theo Lyapunov khi t → ∞.
Ví dụ 1.4.3 Xét tính ổn định của hệ sau
Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x 2 + y 2 Khi đó ta có đạo hàm của hàmV dọc theo nghiệm của hệ đã cho là
Vậy nghiệm (0, 0) của hệ đã cho không ổn định theo Lyapunov khi t → +∞.
Sự ổn định mũ
Nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.22) được xác định là ổn định mũ khi t → +∞ nếu với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t 0 , x 0 ) trong miền t 0 ≤ t < ∞, điều kiện ||x|| ≤ h < H được thỏa mãn theo bất đẳng thức.
||x(t)|| ≤ N ||x(t 0 )||e −α(t−t 0 ) (t ≥ t 0 ) (1.25) trong đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t).
Nếu nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính thuần nhất dx/dt = Ax với ma trận hằng số A ổn định tiệm cận khi t tiến tới vô cực, thì hệ thống đó sẽ ổn định mũ Điều này có nghĩa là mỗi nghiệm của hệ thống đều đạt được sự ổn định mũ khi t tiến tới vô cực.
Ta đã biết, nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.26) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng λ p (A) của ma trận A có phần thực âm
Reλ p (A) < 0 (p = 1, 2, , n) Đặt min p Reλ p (A) < −α < 0 Khi đó, với t ≥ 0, ta được
Theo phương trình (1.27), ta có ||e^tA|| ≤ N e^(-αt), với N là một hằng số dương Từ phương trình (1.26), cho bất kỳ nghiệm nào x(t), ta có x(t) = e^(t−t0)A x(t0), trong đó t là thời điểm ban đầu tùy ý Nhờ vào (1.27) với t ≥ t0, ta có thể áp dụng các kết quả này để phân tích hành vi của nghiệm theo thời gian.
||x(t) − ξ(t)|| ≤ N ||x(t 0 ) − ξ(t 0 )||e −α(t−t 0 ) , đó là điều phải chứng minh.
Chú ý Đối với hệ tuyến tính có hệ số biến thiên, từ tính ổn định tiệm cận của nó, nói chung không suy ra tính ổn định mũ.
Ví dụ 1.5.1 Xét phương trình vô hướng dx dt = − x t (1 ≤ t < ∞) nghiệm tổng quát của nó có dạng x(t) = x(1) t
Như vậy, nghiệmξ = 0 của phương trình trên ổn định tiệm cận khi t → ∞ nhưng không ổn định mũ. Định lý 1.5.1 Nếu tồn tại một hàm toàn phương xác định dương
V (x) = (Ax, x) (1.28) mà đạo hàm V ˙ (x) dọc theo nghiệm của hệ rút gọn: dx dt = X(t, x), X(t, 0) = 0 thỏa mãn bất đẳng thức
W (x) = −(Bx, x) (1.30) là dạng toàn phương xác định âm A và B là hai ma trận đối xứng, thì nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ ổn định mũ khi t → ∞.
Giả sử hàm V = V(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý, theo công thức (1.28) và (1.30) có thể chỉ ra rằng: a(x, x) ≤ V(x) ≤ a1(x, x) và b(x, x) ≤ -W(x) ≤ b1(x, x) Trong đó, a = min p λp(A), a1 = max p λp(A), b = min p λp(B), và b1 = max p λp(B).
Theo bất đẳng thức (1.29) ta có −W (x) ≥ b(x, x) nên W (x) ≤ −b(x, x).
V (x) ≥ −b(x, x) ≥ W (x) ≥ V ˙ (x) = dV dt hay dV dt ≤ −b(x, x) ≤ − b a 1 V (x).
Lấy tích phân bất đẳng thức này với t ≥ t 0 ta có: dV dt ≤ − b a 1 V (x) ⇒
N = ra 1 a , với ||x(t 0 )|| đủ bé.Vậy: nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định mũ.
Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng
trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng a) Xét hệ hai phương trình vi phân với hệ số hằng
V (x) = v 11 x 2 1 + 2v 12 x 1 x 2 + v 22 x 2 2 Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính, ta sẽ xác định hàm W (x) và V (x) sao cho dV dt = W (1.32)
Bằng cách đạo hàm hàm V dọc theo hệ (1.31) và đồng nhất các hệ số tương ứng trong đẳng thức (1.32), ta nhận được hệ ba phương trình sau:
Dùng phần mềm Maple giải hệ phương trình đại số tuyến tính này ta thu được nghiệm như sau: v 11 = −a 21 a 22 α + ma 2 21 + αa 2 21 − a 12 a 21 α + a 11 a 22 α + a 2 22 α
Để tìm hàm Lyapunov cần thiết, ta thay các giá trị v11, v12, v13 vào biểu thức V(x) Tiếp theo, để áp dụng vào các bài toán cụ thể, chúng ta sẽ xác định các tham số α và m phù hợp nhằm đi đến kết luận cuối cùng.
Ví dụ 1.6.1 Xét hệ phương trình vi phân
Ký hiệu W (x) = (Bx, x), trong đó
|B | = αm và với m > 0, α > 0 thì W (x) xác định dương.
Ta sẽ tiếp tục quá trình chọn W (x) và V (x) để chứng minh nghiệm của hệ trên là không ổn định.
Chúng ta cần xác định dạng toàn phương V(x) = v11x1^2 + 2v12x1x2 + v22x2^2 sao cho dV/dt = W Bằng cách đạo hàm hàm V dọc theo nghiệm của hệ phương trình vi phân đã cho và đồng nhất các hệ số, ta sẽ thu được một hệ phương trình tuyến tính.
−v 12 + 3v 22 = m + α Giải hệ phương trình tuyến tính này ta thu được nghiệm như sau v 11 = 9
V ˙ (x) = 2(2x 2 1 + 4x 1 x 2 + 6x 2 2 ) là hàm xác định dương.
Suy ra hệ đã cho là không ổn định.
Ví dụ 1.6.2 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
Ký hiệu W (x) = (Bx, x), trong đó
Ta sẽ tiếp tục quá trình chọn W (x) và V (x) để chứng minh nghiệm của hệ trên là ổn định tiệm cận.
Ta tìm dạng toàn phương V = v 11 x 2 1 + 2v 12 x 1 x 2 + v 22 x 2 2 sao cho dV dt = W Đạo hàm hàmV dọc theo hệ đã cho và đồng nhất hệ số ta được hệ phương trình tuyến tính
−2v 12 − 3v 22 = m + α Giải hệ phương trình tuyến tính này ta thu được nghiệm v 11 = − 1
7 α Chọn m = −6, α = −1 Khi đó ta có:
Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận. b) Xét hệ ba phương trình vi phân với hệ số hằng
Ta xét dạng toàn phương
X i,k=1 w ik x i x k ; w ik = w ki và tiến hành tìm một dạng toàn phương V như sau:
X i,k=1 v ik x i x k ; v ik = v ki ta sẽ tìm hàm Lyapunov v để đạo hàm theo hệ (1.33) thỏa mãn điều kiện
Bằng cách đạo hàm hàm V dọc theo hệ (1.33) và đồng nhất các hệ số tương ứng trong (1.34) ta nhận được hệ sau:
Sử dụng phần mềm Maple để giải hệ phương trình (1.35) giúp xác định các nghiệm v ik Sau đó, thay các giá trị v ik vào biểu thức của hàm V để tìm ra hàm Lyapunov V cần thiết Dựa vào các định lý của Lyapunov về tính ổn định nghiệm, chúng ta có thể rút ra tính chất nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 1.6.3 Xét hệ ba phương trình vi phân tuyến tính
Ta sẽ tiếp tục quá trình chọn W (x) và V (x) để chứng minh nghiệm của hệ trên là ổn định.
Ta tiến hành tìm dạng toàn phương v như sau:
V = v 11 x 2 1 + v 22 x 2 2 + v 33 x 2 3 + 2v 12 x 1 x 2 + 2v 13 x 1 x 3 + 2v 23 x 2 x 3 sao cho dV dt = W Đạo hàm hàm V theo hệ đã cho và đồng nhất hệ số ta được hệ phương trình tuyến tính sau:
−v 13 + 3v 22 − 5v 23 = 0 2v 13 + 3v 23 − 2v 33 = m + α Dùng phần mềm Maple giải hệ này ta thu được nghiệm như sau: v 11 = − 188
50 m Chọn α = −1, m = −17 Khi đó ta có
Vậy hệ đã cho là ổn định.
*) Minh họa câu lệnh trong Maple cho ví dụ (1.6.3):
2 ∗ w 13 ; pt4 := a 12 ∗ v 12 + a 22 ∗ v 22 + a 32 ∗ v 23 = w 22 ; pt5 := a 32 ∗ v 12 + a 12 ∗ v 13 + a 23 ∗ v 22 + (a 22 + a 33 ) ∗ v 23 + a 32 ∗ v 33 = 2 ∗ w 23 ; pt6 := a 13 ∗ v 13 + a 23 ∗ v 23 + a 33 ∗ v 33 = w 33 ; pt1 := 2v 22 + 5v 12 − v 13 = α pt2 := −v 11 − v 12 + 5v 22 − v 23 = 0 pt3 := 2v 11 + 3v 12 + 5v 23 − v 33 = 0 pt4 := −v 12 − 3v 22 = α pt5 := −v 13 + 3v 22 − 5v 23 = 0 pt6 := 2v 13 + 3v 23 − 2v 33 = m + α.
> solve ({pt1, pt2, pt3, pt4, pt5, pt6} , {v 11 , v 12 , v 13 , v 22 , v 23 , v 33 }) ;
Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm
Khái niệm về phương trình vi phân hàm
Định nghĩa và ký hiệu
• Cho R n là không gian Euclid, x ∈ R n , ||x|| = p x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n gọi là chuẩn của x.
• Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0],R n ) là không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0] và nhận giá trị trong R n Với ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ được định nghĩa là:
• Giả sử t 0 ∈R, A > 0 và x ∈ C ([t 0 − h, t 0 + A] ,R n ) ta xác định hàm: x t ∈ C, x t (θ) = x(t + θ), −h ≤ θ ≤ 0.
Giả sử Ω ⊂ R × C và f : Ω → R n là một hàm cho trước, phương trình vi phân dạng ˙ x(t) = f(t, x t ) được gọi là phương trình vi phân hàm trên Ω Hàm x t được xem là nghiệm của phương trình vi phân này trên khoảng [t 0 − h, t 0 + A] nếu x t thuộc C([−h, A], R n ), (t, x(t)) thuộc Ω và thỏa mãn phương trình với t trong khoảng [t 0 , t 0 + A] Đối với t 0 ∈ R và ϕ ∈ C, hàm x(t 0 , ϕ) được định nghĩa là nghiệm của phương trình vi phân với giá trị ban đầu ϕ tại t = t 0 nếu tồn tại số A > 0 sao cho x(t 0 , ϕ) là nghiệm trên [t 0 − h, t 0 + A] và x t 0 (t 0 , ϕ) = ϕ.
Phương trình (2.1) được xác định là phương trình tuyến tính khi f(t, ϕ) = L(t)ϕ + h(t), trong đó L(t, x t) là hàm tuyến tính Nếu h ≡ 0, phương trình này được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất; ngược lại, nếu h khác 0, nó là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Bổ đề 2.1.1 Giả sử f là hàm liên tục và nghiệm x(t) của phương trình (2.1) đi qua (t 0 , ϕ), ϕ ∈ C sẽ tương đương với phương trình tích phân
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho phương trình (2.1), định lý 2.1.1 chỉ ra rằng nếu Ω là tập mở trong R × C và f là hàm liên tục trên Ω, thì với mọi điểm (t 0 , ϕ) thuộc Ω, sẽ có nghiệm của phương trình (2.1) đi qua điểm đó.
Chúng ta gọi f(t, φ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R × C nếu tồn tại số dương k > 0 sao cho, với mỗi (t, φ i ) ∈ K, i = 1, 2
Định lý 2.1.2 khẳng định rằng nếu Ω là một tập mở trong R × C và hàm f : Ω → R n liên tục, đồng thời f(t, φ) là Lipschitz đối với φ trên mỗi tập compact trong Ω, thì với bất kỳ điểm (t₀, ϕ) ∈ Ω, phương trình (2.1) sẽ có duy nhất một nghiệm đi qua điểm đó.
Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm
Phương pháp từng bước
Trong phương pháp này, công thức nghiệm được xác định dựa vào bổ đề (2.1.1) bằng cách thực hiện tích phân trên từng đoạn có độ dài thích hợp, bắt đầu từ t = 0 Tuy nhiên, không thể đưa ra một công thức giải tích chung cho toàn bộ bán trục R+.
Ví dụ 2.2.1 Xét phương trình vi phân có chậm sau:
Ta sẽ tìm nghiệm x(t 0 , ϕ), (t 0 = 1) của phương trình vi phân trên [0, 3].
Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng
Vậy nghiệm của phương trình trên [0, 3] là
Cứ như vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tùy ý.
Phương pháp toán tử Laplace
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp toán tử Laplace để giải phương trình vi phân có chậm Phương pháp này yêu cầu xem ẩn hàm x(t) và vế phải f(t) như những hàm gốc trong không gian gốc, đồng thời tìm phương trình trong không gian ảnh, gọi là phương trình ảnh Phương trình ảnh sẽ là một phương trình đại số liên quan đến ảnh X(p) của x(t) Bằng cách giải phương trình đại số, chúng ta sẽ tìm được X(p) và sau đó sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để xác định x(t).
Xét phương trình vi phân có chậm x (n) (t) + n−1
X k=0 a k x (k) (t − τ k ) = f(t); 0 < t < ∞ (2.2) trong đó a k , τ k ≥ 0 là các hằng số; Các biến chậm τ k thỏa mãn
Chúng ta xét bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x 0 (0) = ã ã ã = x (n−1) (0) = 0
0 x(t)e −pt dt Khi đó ta có x (k) (t) → p k X(p) f(t) → F (p) Theo định lý chậm và định lý về đạo hàm gốc ta có x (k) (t − τ k ) → p k e −pτ k X(p) Khi đó phương trình (2.2) trở thành p n + n−1
X(p) = F (p) p n +Pn−1 k=1 a k p k e −τ k p Nếu hàm X(p) có thể tìm được ảnh ngược x(t) thì đó là nghiệm của bài toán. Với x(t) = 1
Ví dụ 2.2.2 Giải phương trình vi phân có chậm sau: ¨ x(t) + 2 ˙ x(t − 2) + x(t − 4) = t x(0) = ˙ x(0) = 0.
Giả sử x(t) là nghiệm riêng của phương trình đã cho. Đặt x(t) → X(p) Khi đó ta có x(t − 4) → e −4p X(p) ˙ x(t − 2) → pe −2p X(p) ¨ x(t) → p 2 X(p)
Do đó phương trình toán tử có dạng: p 2 X(p) + 2pe −2p X(p) + e −4p X(p) = 1 p 2
So sánh với bảng đối chiếu gốc ảnh ta có x(t) =
(k + 3)! η(t − 2k). trong đó η(t − t 0 ) là hàm đơn vị tổng quát η(t − t 0 ) =
Lý thuyết ổn định theo Lyapunov
Các khái niệm về ổn định
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm, phương pháp hàm Lyapunov thường được áp dụng Bài viết này trình bày các khái niệm liên quan đến sự ổn định của nghiệm phương trình vi phân hàm Cụ thể, xét phương trình ˙x(t) = f(t, x_t) với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t ∈ [t₀ - h, t₀] Giả sử phương trình này thỏa mãn các điều kiện về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, đồng thời f(t, 0) = 0 cho mọi t ∈ R.
Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3) được định nghĩa là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞.
Đối với mọi ε > 0 và t0 ∈ R, tồn tại δ = δ(t0, ε) > 0 sao cho với mọi ϕ ∈ C, nếu ||ϕ|| < δ thì ||x_t(t0, ϕ)|| < ε cho mọi t ≥ t0 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu δ trong định nghĩa trên có thể chọn không phụ thuộc vào t0 Ngoài ra, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 được coi là ổn định tiệm cận khi t → ∞.
(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại 4 = 4(t 0 ) > 0 sao cho với mọi ϕ ∈ C và ||ϕ|| < 4 thì t→+∞ lim ||x(t 0 , ϕ)(t)|| = 0. Định nghĩa 2.3.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.3) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:
(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại 4 > 0 (không phụ thuộc vào t 0 ) sao cho với mọi ϕ ∈ C thỏa mãn
||ϕ|| < 4 thì t→+∞ lim ||x t (t 0 , ϕ)|| = 0. Định nghĩa 2.3.5 Một nghiệm x(t 0 , ϕ) của phương trình (2.3) gọi là bị chặn đều nếu với mọi α > 0,∃β(α) > 0 và t 0 ∈R, ϕ ∈ C :kϕk6 α ⇒ kx (t 0 , ϕ) (t)k ≤ β với t> t 0
Phương pháp hàm Lyapunov
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự ổn định của nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (2.3), đây là một kết quả mở rộng từ phương pháp Lyapunov thứ hai áp dụng cho phương trình vi phân thường Theo định nghĩa 2.3.6, phiếm hàm Lyapunov V : R + × C H → R được xác định là phiếm hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai Đạo hàm phải của V dọc theo quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.3) được ký hiệu là V (t, x).
V(t, ϕ) được định nghĩa bởi giới hạn V ˙ (t, ϕ) = lim h→0 + sup 1/h [V(t + h, x t+h(t, ϕ)) − V(t, ϕ)] Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng hàm Lyapunov V = V(t, ϕ) trên miền Ω = R+ × C để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phương trình vi phân hàm (2.3), với giả thiết rằng f(t, ϕ) là hàm liên tục trên Ω và f(t, 0) = 0.
Chúng ta có các định lý ổn định của nghiệm tầm thường như sau: Định lý 2.3.1 (Định lý ổn định)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R + × C H → R + và hàm ặ) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) là ổn định.
Chứng minh Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) là ổn định.
Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu
Từ (ii) ta suy ra
Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t 0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số δ(t 0 , ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t 0 , ε) thì V (t 0 , x) < a(ε).
Lấy x = x(t 0 , ϕ) là nghiệm của (2.3) sao cho ||ϕ|| < δ, ta sẽ chứng minh
Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tạit 1 > t 0 sao cho nghiệm x = x(t 0 , ϕ)với||ϕ|| < δ thỏa mãn
Từ điều kiện (iii) ta suy ra
V (t 1 , x t 1 (t 0 , ϕ)) ≤ V (t 0 , x(t 0 , ϕ)), từ đó ta suy ra a(ε) ≤ V (t 1 , x t 1 (t 0 , ϕ)) ≤ V (t 0 , x(t 0 , ϕ)) < a(ε).
Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai Như vậy nếu ||ϕ|| < δ thì
||x t (t 0 , ϕ)|| < ε, ∀t ≥ t 0 , tức là nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định. Định lý 2.3.2 (Định lý ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V :R + × C H →R + và các hàmặ), b(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) ổn định đều.
Chứng minh Xét mặt cầu
Từ điều kiện (i) ta có a(||ϕ||) ≤ V (t, ϕ) suy ra a(ε) ≤ V (t, ϕ), với mọi ϕ ∈ S ε Đồng thời, do
V (t, ϕ) ≤ b(||ϕ||) và b(||ϕ||) ∈ CIP nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu ||ϕ|| < δ(ε) thì b(||ϕ||) < a(ε), do đó b(δ) < a(ε).
Lấy một nghiệm tùy ý của (2.3) với ||ϕ|| < δ(ε) thì với t 0 cố định bất kỳ từ giả thiết V (t, ϕ) ≤ 0, ta có a(||x t (t 0 , ε)||) ≤ V (t, x t (t 0 , ε)) ≤ V (t 0 , ϕ) ≤ b(||ϕ||) ≤ b(δ) < a(ε).
Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều Theo Định lý 2.3.3 về ổn định tiệm cận đều, nếu tồn tại một phiếm hàm liên tục V : R + × C H → R + thỏa mãn các điều kiện nhất định, thì sẽ có những kết luận quan trọng về tính ổn định của hệ thống.
2 V ˙ (t, ϕ)6 −c(kϕk) , c(r) liên tục và c(r) > 0 khi r > 0. khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (2.3) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh rằng nghiệm x ≡ 0 của phương trình (2.3) là ổn định tiệm cận đều Do x ≡ 0 là ổn định đều, tồn tại δ₀(H) > 0 sao cho với t₀ ∈ R⁺ và kϕk ≤ δ₀, có kxₜ(t₀, ε)k < H cho mọi t > t₀ Hơn nữa, với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi t₀ ∈ I, nếu kεk < δ(ε) thì kxₜ(t₀, ϕ)k < ε cho mọi t > t₀.
Giả sử ngược lại tồn tại nghiệm x = x(t 0 , ϕ), (t 0 ∈ R + , kϕk < δ 0 ) nhưng không thực hiện đẳng thức t→+∞ lim kx t (t 0 , ϕ)k = 0 khi đó tồn tại dãy t k có tính chất: t k > t 0 , t k → 0(k → ∞) đồng thời δ(ε)6 kx(t 0 , ε)(t k )k < H
Từ điều kiện ta suy ra:
V ˙ (t, ϕ)6 −c(kϕk) do đó tồn tại γ > 0 sao cho:
Vì V (t 0 , ϕ)6 b(δ 0 ) nên với t > t 0 + T và kϕk < δ 0 thì ta có:
6 a(δ) Chứng tỏ: V (t, x t (t 0 , ϕ) < a(δ) Mâu thuẫn với
V (t k , x(t 0 , ϕ)(t k ) ≥ a(δ) điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai Do đó với mọi t > t 0 + T, (T = T (ε)) và kϕk < δ 0 ta có: kx(t 0 , ϕ)k < ϕ
Tức là nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân 2.3 là ổn định đều.
Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình vi phân
(x(t) = ˙ y(t) − x(t).y 2 (t − r 1 ) ˙ y(t) = −x(t) − y(t).x 2 (t − r 2 ) trong đó t ∈ R và r j > 0(j = 1, 2) Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ này chúng ta xét hàm : V (x, y) = x 2 + y 2 Khi đó ta có:V (x, y) = kϕk 2 đồng thời:
Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều.
Trong trường hợp hàm f: R × C → R n là hoàn toàn liên tục với f(t, 0) = 0, và hàm V: R × C → R là liên tục, thì V ˙(t, ϕ) được xác định theo công thức (2.4) Các định lý về ổn định đều và ổn định tiệm cận đều tổng quát được trình bày như sau: Định lý 2.3.4 nêu rõ rằng cho các hàm liên tục không giảm u, v, w: R + → R +, với điều kiện u(s) > 0.
0, v(s) > 0 với s > 0 và u(0) = v(0) = w(0) = 0 Khi đó ta có các khẳng định sau:
1) Nếu có một hàm V :R × C → R sao cho:
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.3) ổn định đều.
2) Nếu ở trong điều kiện 1) hàm u(s) thỏa mãn thêm điều kiện lim s→+∞ u(s) = +∞ thì nghiệm của hệ (2.3) là bị chặn đều.
3) Nếu ở trong điều kiện 1) hàm w(s) > 0 với s > 0 thì nghiệm x ≡ 0 là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh 1) (Ổn định đều) Với∀ε > 0,δ = δ(ε),0 < δ < εsao chov(δ) < u(ε). Nếu ||ϕ|| < δ và t 0 ∈R thì V ˙ (t, x t (t 0 , ϕ)) ≤ 0 với t ≥ t 0.
2) (Bị chặn đều) Từ giả thiết u(s) → ∞ khi s → ∞ ta có với mọi α > 0, tồn tại β = β(α) sao cho u(β) = v(α).
Nếu ||ϕ|| ≤ α thì theo 1) ta có u(|x(t 0 , ϕ)(t)|) ≤ u(β) với mọi t ≥ t 0
3) (Ổn định tiệm cận đều) Cho ε = 1, δ 0 = δ(1), với 0 < ε < 1.Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại t ¯ 0 = ¯ t 0 (δ 0 , ε) > 0 sao cho với ||ϕ|| < δ 0 thì ||x t (t 0 , ϕ)|| < ε với t ≥ t 0 + ¯ t 0
Giả sử rằng tồn tại nghiệm x = x(t 0 , ϕ), ||ϕ|| < δ 0 sao cho
Với mỗi khoảng hcủa hàm số và một số s sao cho |x(s)| ≥ δ, tồn tại {t k } sao cho
Từ giả thiết f là hàm hoàn toàn liên tục, tồn tại một hằng số dương L sao cho
Lưu ý rằngt k+1 − t k ≥ h, do vậy giả sử L > δ h Điều này đảm bảo I k không trùng nhau Từ đó
= 0. Điều đó chứng tỏ rằng nếu t 0 = 2r
||x t (t 0 , ϕ)|| < ε, t ≥ t 0 + ¯ t 0 điều đó chứng tỏ sự ổn định tiệm cận đều của nghiệm tầm thường.
Ví dụ 2.3.2 (Sử dụng phương pháp phiếm hàm Lyapunov) Xét phương trình ˙ x(t) = −a(t)x(t) − b(t)x(t − r(t)) (2.5) ở đó a(t), b(t) và r(t) là các hàm liên tục bị chặn, a(t) > 0, r(t) > 0, r(t) ˙ < 1.
Nếu b(t) = 0 thì (2.5) trở thành phương trình vi phân thường.
Nếu b(t) 6= 0, ta xét hàm Lyapunov
−r(t) x 2 (t + θ)dθ với α > 0, α là hằng số Tương ứng ta có
Ta có các tính chất
Do r(t) là hàm liên tục bị chặn nên r > 0: r(t) ≤ r với r là hằng số dương. Đặt u(s) = s 2
2 + αr)s 2 thì u(ϕ(0)) ≤ V (t, ϕ) ≤ v(||ϕ||). Với α > 0 thỏa mãn điều kiện (2.6) thì có ε > 0 sao cho
Chúng ta xác định w(s) = εs^2, và theo định lý, x = 0 ổn định tiệm cận đều Khi a, b, r là các hằng số, điều kiện (2.6) b^2 < 4(a - α)α ≤ a^2 chỉ ra rằng nếu |b| < a, thì x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục.
Định lý Razumikhin
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện cần thiết để đảm bảo sự ổn định của nghiệm tầm thường cho phương trình vi phân có chậm theo phương pháp Razumikhin Cụ thể, chúng tôi xem xét phương trình vi phân ˙ x(t) = f(t, x_t) với điều kiện ban đầu x_t0 = ϕ(t), trong khoảng thời gian t ∈ [t0 - h, t0].
Giả sử phương trình (2.7) đáp ứng đầy đủ các điều kiện để đảm bảo sự tồn tại duy nhất của nghiệm, và f : R × C → R n là một ánh xạ từ tập R × (tập bị chặn của C) vào tập bị chặn của R n.
Xét V :R × C → R là một hàm liên tục thì V ˙ (t, x(t)) là đạo hàm của V theo quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.7) được định nghĩa:
1 h [V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t))]. Định lý 2.4.1 (Định lý ổn định đều)
Xét các hàm số u, v, w :R + → R + là các hàm liên tục không giảm thỏa mãn u(0) = v(0) = w(0) = 0 và u(s), v(s) xác định dương với s > 0 Giả sử rằng có một hàm liên tục V :
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.7) ổn định đều.
Chứng minh Với ∀ε > 0 ta chọn δ > 0 sao cho v(δ) < u(ε) Giả sử |ϕ| < δ, ϕ ∈ B(0, δ) ⊂ C và x t (t 0 , ϕ) là một nghiệm của phương trình (2.7) qua (t 0 , ϕ). Nếu tồn tại t ∗ > t 0 , |x(t ∗ )| > ε thì
Từ đó phải có một ¯ t ∈ (t 0 , t ∗ ] sao cho:
V ˙ (¯ t, x(¯ t)) > 0 với V (¯ t, x(¯ t)) ≥ V (¯ t + θ, x(¯ t + θ)), θ ∈ [−h, 0]. Điều này mâu thuẫn với điều kiện (ii) Vậy chúng ta phải có |x(t)| ≤ ε với t ≥ t 0 Định lý 2.4.2 (Định lý ổn định tiệm cận đều)
Xét các hàm số u, v, w :R + → R + là các hàm liên tục không giảm thỏa mãn u(0) = v(0) = w(0) = 0 và u(s), v(s) xác định dương với s > 0, w(s) > 0 với s > 0 Giả sử rằng có một hàm liên tục V :R × C → R sao cho:
(ii) Tồn tại một hàm liên tục không giảm p(s) > s với s > 0 sao cho:
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.7) ổn định tiệm cận đều.
Nếu u(s) → ∞ khi s → ∞ thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.7) ổn định tiệm cận toàn cục.
Chứng minh Cho δ > 0, ρ > 0 thỏa mãn điều kiện v(δ) = u(ρ) Từ định lý 2.4.1 ta có
Giả sử 0 ≤ η ≤ ρ Chúng ta cần chứng minh rằng có một ¯ t = ¯ t(η, δ) sao cho với t 0 ∈R, ||φ|| ≤ δ thì x(t 0 , ϕ)(t) ≤ η. Để chứng minh điều này chúng ta cần chứng minh rằng:
Từ giả thiết có một số a > 0 sao cho p(s) − s > a với u(η) ≤ s ≤ v(δ) Cho N là số nguyên không âm (đầu tiên) sao cho u(η) + N a ≥ v(δ).
Trước tiên chúng ta chứng minh rằng:
Mâu thuẫn với u(s) > 0 với s > 0 Do vậy tồn tại t ∗ ∈ [t 0 , t 0 + v (δ) γ ] sao cho
Tuy nhiên từ điều kiện (ii) kéo theo:
Kí hiệu t i = t 0 + i v(δ) γ chúng ta có thể chứng minh được rằng:
V (t, x(t)) ≤ u(η), t ≥ t N = t 0 + N v(δ) γ chọn ¯ t = N v (δ) γ Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.4.1 (VD của Định lý Razuminkhin) Xét phương trình vi phân ˙ x(t) = −a(t)x(t) − b(t)x(t − r(t)) (2.8) ở đó a(t), b(t) và r(t) là các hàm liên tục bị chặn, a(t) > 0, r(t) > 0, r(t) ˙ < 1.
Từ giả thiết r(t) là hàm bị chặn suy ra tồn tại r > 0 sao cho r(t) ≤ r Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường của (2.8) ta xét hàm
Từ đó nếu có V (x(t + θ)) ≤ V (x(t)), θ ∈ [−r, 0] thì |x(t + θ)| < |x(t)| và
Do vậy nếu a(t) ≥ |b(t)| thì V (x) là một hàm Lyapunov nên nghiệm x = 0 của (2.8) là ổn định đều.
Nếu a(t) ≥ δ > 0 và tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho |b(t)| ≥ kδ thì theo Định lý
Razuminkhin nghiệm x = 0 của (2.8) là ổn định tiệm cận đều.
Thật vậy chúng ta có thể chọn p(s) = q 2 s với q > 1 thỏa mãn qk < 1 thì
Theo Định lý Razuminkhin, có một kết quả quan trọng không phụ thuộc vào độ trễ, điều này không được làm rõ trong ví dụ (2.3.2) Trong khi đó, điều kiện để nghiệm tầm thường ổn định trong ví dụ đó lại yêu cầu b 2 < 4(a(t) − α)(1 − r(t))α.
Một số mô hình ứng dụng
Mô hình ứng dụng trong các quần thể sinh học
Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản
Khi nghiên cứu mô hình thú - mồi (1926) Volterra đã nghiên cứu hệ động lực:
dN dt = N (a − bP ), dP dt = P (cN − d).
Trong đó: N (t) là mật độ loài mồi tại thời điểm t; P (t) là mật độ loài thú tại thời điểm t và a, b, c, d là các hằng số dương với:
• a là tốc độ tăng trưởng thực của quần thể con mồi khi không có mặt loài thú.
• d là tỷ lệ chết thực của quần thể loài thú khi không có mặt của con mồi.
• b là tỷ lệ tấn công của loài thú (số lượng con mồi mà một con thú bắt được trong một đơn vị thời gian).
• c là tốc độ diệt vong của con mồi khi con thú xuất hiện.
Mô hình Lotka - Volterra, được phát hiện độc lập bởi hai nhà khoa học, nổi bật với các phương trình tương tự nhau, thể hiện sự tương tác giữa các loài trong sinh thái học.
Ta có thể dùng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ trên dN dt = 0 ⇔ N (a − bP ) = 0 ⇔
N = d c Các trạng thái cân bằng của mô hình là:
Xét tính ổn định tại điểm (N 2 , P 2 ) = d c , a b
. Đặt x = N − d c , y = P − a b Khi đó ta có hệ phương trình rút gọn:
Xét hệ phương trình động lực học với dx/dt = -bd/c * y - bxy và dy/dt = ac/b * x + cxy, chúng ta áp dụng phiếm hàm Lyapunov V(x, y) = cx + by - d ln(d + cx) - a ln(a + by) + d ln d + a ln a Để chứng minh tính ổn định, cần chỉ ra rằng hàm V(x, y) là liên tục và xác định dương.
∂y = 0 ta được điểm dừng của V (x, y) là (x, y) = (0, 0).
Mặt khác tại điểm (x, y) = (0, 0) lại có:
Vì A > 0, AC − B 2 > 0 nên hàm V (x, y) liên tục và đạt giá trị cực tiểu bằng 0 tại (x, y) = (0, 0) Do đó, hàm V (x, y) xác định dương.
Theo định lý Lyapunov về sự ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thì điểm (x, y) = (0, 0) ổn định hay điểm (N 2 , P 2 ) = d c , a b ổn định.
Nhận xét 1: Ta có thể phân tích mô hình như sau: Đặt u(τ) = cN(t) d , v(τ ) = bP (t) a , τ = at, α = d a
Trong mặt phẳng (u, v) ta có: dv du = α v (u − 1) u(1 − v)
Hệ có điểm kỳ dị là u = v = 0 và u = v = 1 Phương trình (3.2) tương đương:
(1 − v)dv v = α (u − 1)du u Tích phân hai vế ta được không gian quỹ đạo pha: αu + v − lnu α v = H (3.3)
Quỹ đạo trong mặt phẳng pha được mô tả như trong hình sau:
Hình 3.2: Quỹ đạo đóng (u, v) trên mặt phẳng pha theo công thức (3.3) với các giá trị
H khác nhau như: H 1 = 2, 1; H 2 = 2.4; H 3 = 3.0; H 4 = 4 Các mũi tên biểu thị hướng thay đổi khi thời gian τ tăng.
Trạng thái cân bằng bên trong là một điểm tâm, với tất cả các đường cong nghiệm tạo thành các quỹ đạo đóng xung quanh điểm này Chu kỳ dao động thực tế phụ thuộc vào khoảng cách của quỹ đạo đến trạng thái cân bằng Tuy nhiên, nhược điểm chính của mô hình Lotka - Volterra là các nghiệm không có cấu trúc ổn định.
Hình 3.3: Nghiệm tuần hoàn cho con mồi u(τ ) và con thú v (τ ) của hệ Lotka - Volterra với α = 1 và điều kiện ban đầu u(0) = 1, 25; v(0) = 0, 66.
Hình vẽ (3.3) minh họa mối quan hệ giữa con mồi và con thú, cho thấy rằng khi con mồi tăng, con thú cũng tăng theo Tuy nhiên, khi con mồi đạt giá trị cực đại, con thú tăng lên giá trị 1 rồi sau đó giảm, kéo theo sự giảm của con mồi Khi con mồi giảm đến mức thấp nhất, nó lại bắt đầu tăng trở lại trong khi con thú vẫn tiếp tục giảm Khi con mồi đạt giá trị 1, con thú giảm xuống mức thấp nhất và sau đó bắt đầu chu trình tăng Mối quan hệ này thể hiện rõ quy luật tuần hoàn giữa con mồi và con thú.
Trở lại phương trình (3.2) xét tính ổn định nghiệm của mô hình:
• Xét tính ổn định của trạng thái dừng (u, v) = (0, 0)
Ta đặt x = u, y = v, giả sử x và y nhiễu loạn nhỏ trong khoảng (0, 0) Nếu chúng ta chỉ giữ giới hạn tuyến tính, phương trình (3.2) trở thành:
Nghiệm của phương trình (3.4) có dạng: x(τ ) y(τ )
= Be λτ trong đó B là vector riêng ứng với giá trị riêng λ và λ là nghiệm của phương trình đặc trưng
Do λ 1 = 1 > 0 nên (u, v) = (0, 0) là trạng thái không ổn định tuyến tính Mà λ 1 > 0, λ 2 < 0 nên (u, v) = (0, 0) là điểm yên ngựa.
• Xét tính ổn định của trạng thái dừng (u, v) = (1, 1)
Ta đặt u = x + 1, v = y + 1 Nếu chúng ta chỉ xét giới hạn tuyến tính thì phương trình (3.2) có dạng
Phương trình đặc trưng tương ứng là:
Như vậy, điểm kỳ dị (u, v) = (1, 1) là điểm tâm ổn định do giá trị riêng là số thuần ảo Nghiệm của phương trình (3.5) có dạng: x(τ ) y(τ )
Các vector riêng C và D cho thấy rằng các nghiệm gần điểm kỳ dị (u, v) = (1, 1) có tính tuần hoàn theo τ với chu kỳ 2π/√α Hình vẽ (3.3) minh họa chu kỳ tuần hoàn T = 2π(a/d)^(1/2).
Nhận xét 2: Trong mô hình thú mồi Lotka - Volterra này, ta có thể đưa ra 2 dự đoán:
• Tại trạng thái cân bằng, mật độ con mồi hoàn toàn được điều khiển bởi các đặc trưng của loài thú;
Dao động giữa số lượng thú và mồi diễn ra theo các kiểu như thú tăng - mồi giảm, thú giảm - mồi tăng, thú tăng - mồi tăng, và thú giảm - mồi giảm Những dao động này là chu kỳ tuần hoàn, không phụ thuộc vào số lượng ban đầu của thú và mồi, với điều kiện N ≠ 0, P ≠ 0 và khác điểm cân bằng Quần thể N và P sẽ dao động quanh trạng thái cân bằng mà không có loài nào bị tiêu diệt hoàn toàn hoặc tăng vô hạn Tuy nhiên, trong tự nhiên, một loài có thể bị tiêu diệt hoàn toàn, cho thấy rằng phương trình Lotka - Volterra, mặc dù đơn giản, chưa phản ánh đầy đủ mối quan hệ giữa thú và mồi, nhưng vẫn là một mô hình có ý nghĩa quan trọng.
Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra
Mô hình thú - mồi được mô tả qua hệ phương trình x ˙ = f (x) − h(x, y) và ˙ y = g(y) + eh(x, y) Trong đó, dấu (+) hoặc (−) trước hàm h(x, y) thể hiện sự tương tác giữa hai loài, với dấu (+) áp dụng cho loài thú và dấu (−) cho loài mồi.
K. Trong mô hình trên f(x) biểu thị sự phát triển nội tại của loài mồi khi vắng mặt loài thú, ta có thể lấy theo quy luật tăng trưởng logisticf (x) = r ∗ 1 x(1 − x
K 1 ),còn g(y) là sự phát triển nội tại của loài thú theo quy luật tăng trưởng logistic g(y) = r 2 ∗ y(1 − y
Sử dụng phương pháp đổi biến một cách thích hợp ta thu được mô hình cạnh tranh hai loài Lotka - Volterra có dạng như sau:
• r 1 , r 2 , K 1 , K 2 , b 12 , b 21 là các hằng số dương;
• N 1 , N 2 lần lượt là mật độ của loài 1 và loài 2 K 1 , K 2 lần lượt là sức chứa của môi trường đối với loài 1 và loài 2;
• b 12 là sự giảm tốc độ tăng trưởng loài 1 gây ra bởi một cá thể loài 2;
• b 21 là sự giảm tốc độ tăng trưởng loài 2 gây ra bởi một cá thể loài 1. Để phân tích mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra rõ hơn ta đặt: u 1 = N 1
K 2 (3.7) Khi đó hệ (3.6) trở thành
Các trạng thái dừng hay các điểm kỳ dị trên mặt phẳng pha u ∗ 1 , u ∗ 2 là nghiệm của phương trình f 1 (u 1 , u 2 ) = f 2 (u 1 , u 2 ) = 0 Từ hệ (3.8) suy ra u ∗ 1 = 0, u ∗ 2 = 0; u ∗ 1 = 1, u ∗ 2 = 0; u ∗ 1 = 0, u ∗ 2 = 1; u ∗ 1 = 1 − a 12
Tại 3 trạng thái dừng đầu có ít nhất một trong hai loài bị tiêu diệt Trạng thái dừng cuối cùng nếu u ∗ 1 > 0, u ∗ 2 > 0 và a 12 a 21 6= 1, thì tại trạng thái cân bằng cả hai loài cùng tồn tại và được gọi là trạng thái cân bằng bên trong Tập hợp các điểm u 1 , u 2 làm cho f 1 = 0 và f 2 = 0 trên mặt phẳng pha được mô tả như trong hình vẽ (3.4).
Hình 3.4: Mô hình cạnh tranh giữa hai loài Điều quan trọng của tập hợp các điểm này là chúng nằm trên các đường thẳng
1 − u 1 − a 12 u 2 = 0, 1 − u 2 − a 21 u 1 = 0 Đường thẳng 1 − u 1 − a 12 u 2 = 0 đi qua điểm (1, 0) và giao với trục u 2 tại điểm
; Đường thẳng 1 − u 2 − a 21 u 1 = 0 đi qua điểm (0, 1) và giao với trục u 1 tại điểm 1 a 21 , 0
Sự ổn định của các trạng thái dừng được xác định bởi ma trận Jacobian sau:
*) Trạng thái dừng đầu tiên của (3.9) là(u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 0) Phương trình đặc trưng tương ứng là:
Vì các giá trị riêngλ 1 , λ 2đều dương nên trạng thái dừng(u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 0)là không ổn định.
*) Trạng thái dừng thứ hai của (3.9) là (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (1, 0) Phương trình đặc trưng tương ứng là:
= 0 ⇒ λ 1 = −1, λ 2 = ρ(1 − a 21 ) và do đó u ∗ 1 = 1, u ∗ 2 = 0 là ổn định nếu a 21 > 1 không ổn định nếu a 21 < 1 (3.11)
Trạng thái dừng thứ ba được xác định là (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 1), với giá trị riêng là λ 1 = −ρ và λ 2 = (1 − a 12 ) Trong đó, u ∗ 1 = 0 và u ∗ 2 = 1 sẽ ổn định khi a 12 > 1, nhưng sẽ không ổn định khi a 12 < 1.
*) Trạng thái dừng thứ tư của (3.9) là (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) =
Ma trận A trong (3.9) có thể viết lại dưới dạng
A = (1 − a 12 a 21 ) −1 a 12 − 1 a 12 (a 12 − 1) ρa 21 (a 21 − 1) ρ(a 21 − 1) và có giá trị riêng tương ứng là λ 1 , λ 2 = [2(1 − a 12 a 21 )] −1 [a 12 − 1 + ρ(a 21 − 1) ± [[a 12 − 1 − ρ(a 21 − 1)] 2 + 4ρa 12 a 21 (a 12 − 1)(a 21 − 1)] 1 2 ]
Tính ổn định của trạng thái dừng phụ thuộc vào giá trịρ, a 12 và a 21 Các trường hợp khác nhau là: a 12 < 1, a 21 < 1; a 12 > 1, a 21 > 1; a 12 < 1, a 21 > 1; a 12 > 1, a 21 < 1.
Các kết quả được mô tả trong hình (3.5).
Từ các lý luận (3.10), (3.11), (3.12) kết hợp với kết quả trong hình (3.5) ta có
4 trường hợp có thể xảy ra:
Biểu đồ quỹ đạo pha cho mô hình cạnh tranh cho thấy các trạng thái ổn định khác nhau: a) khi a12 < 1 và a21 < 1, trạng thái dừng S là ổn định và các quỹ đạo tiến gần tới nó; b) với a12 > 1 và a21 > 1, (1, 0) và (0, 1) là các trạng thái dừng ổn định, mỗi điểm có miền hút riêng biệt; c) khi a12 < 1 và a21 > 1, chỉ có một trạng thái ổn định duy nhất là u∗1 = 1, u∗2 = 0; d) trong trường hợp a12 > 1 và a21 < 1, trạng thái ổn định duy nhất là u∗1 = 0, u∗2 = 1.
• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.
• (1, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.
• (0, 1) là trạng thái cân bằng không ổn định.
Trạng thái cân bằng ổn định giữa hai loài 12 và 21 cho phép cả hai cùng tồn tại Trong trạng thái này, hiệu suất cạnh tranh giữa hai loài thấp hơn so với sự cạnh tranh trong nội bộ từng loài, dẫn đến số lượng của cả hai loài đều dưới mức giới hạn sinh thái của chúng.
• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.
• (1, 0) là trạng thái cân bằng ổn định.
• (0, 1) là trạng thái cân bằng ổn định.
1 − a 12 a 21 là trạng thái cân bằng không ổn định.
• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.
• (1, 0) là trạng thái cân bằng ổn định.
• (0, 1) là trạng thái cân bằng không ổn định.
Gần trạng thái cân bằng (1, 0), quỹ đạo có xu hướng tiến đến điểm này Loài 1 chiếm ưu thế và có khả năng đạt số lượng cực đại K1 khi u = 1.
• (0, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.
• (1, 0) là trạng thái cân bằng không ổn định.
• (0, 1) là trạng thái cân bằng ổn định.
Trong trường hợp này, loài 2 sẽ chiếm ưu thế trong cuộc cạnh tranh và đạt được số lượng K2, với u2 = 1, trong khi loài 1 sẽ dẫn đến diệt vong.
Mô hình cộng sinh Lotka-Volterra
Nhiều loài sinh vật không thể sống độc lập mà cần sự tương tác với nhau Sự tương tác này không chỉ thúc đẩy sự phát triển mà còn duy trì sự tồn tại của các loài, được gọi là quan hệ cộng sinh.
Mô hình cộng sinh đơn giản nhất dạng Lotka - Volterra thường có dạng:
dx dt = f (x) + α ∗ 1 xy dy dt = g(y) + α ∗ 2 xy trong đó α ∗ 1 , α ∗ 2 là các hằng số dương Khi một trong hai loài không xuất hiện thì loài còn lại tăng trưởng logistic: f (x) = r ∗ 1 x(1 − x
Sử dụng phương pháp đổi biến một cách thích hợp ta có mô hình cộng sinh của hai loài như sau:
• N 1 , N 2 lần lượt là mật độ của loài 1 và loài 2;
• K 1 , K 2 lần lượt là sức chứa của môi trường đối với loài 1 và loài 2;
• b 12 N 2 là ảnh hưởng của loài 2 lên loài 1 (dấu + biểu hiện loài 2 làm tăng số lượng của loài 1);
• b 21 N 1 là ảnh hưởng của loài 1 lên loài 2 (dấu + biểu hiện loài 1 làm tăng số lượng của loài 2);
• r 1 , r 2 , K 1 , K 2 , b 12 , b 21 đều là các hằng số dương. Đặt u 1 = N 1
Khi đó hệ (3.14) trở thành:
Các trạng thái dừng hay các điểm kỳ dị trên mặt phẳng pha u ∗ 1 , u ∗ 2 là nghiệm của phương trình f 1 (u 1 , u 2 ) = f 2 (u 1 , u 2 ) = 0 Từ hệ (3.16) ta suy ra: u ∗ 1 = 0, u ∗ 2 = 0; u ∗ 1 = 1, u ∗ 2 = 0; u ∗ 1 = 0, u ∗ 2 = 1; u ∗ 1 = 1 + a 12
Sự ổn định của các trạng thái dừng được xác định bởi ma trận Jacobian sau:
*) Trạng thái dừng đầu tiên (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 0) là điểm nút không ổn định.
*) Trạng thái dừng thứ hai (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (1, 0) là điểm yên ngựa không ổn định.
*) Trạng thái dừng thứ ba (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 1) là điểm yên ngựa không ổn định.
*) Trạng thái dừng thứ tư (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = 1 + a 12
Ma trận A trong (3.9) có thể viết lại đưới dạng
−1 − a 12 a 12 (1 + a 12 ) ρa 21 (1 + a 21 ) −ρ(1 + a 21 ) và có giá trị riêng tương ứng là λ 1 , λ 2 = [2(1 − a 12 a 21 )] −1 [−(1 + a 12 + ρ(a 21 + 1)) ± [[1 + a 12 − ρ(1 + a 21 )] 2 + 4ρa 12 a 21 (a 12 + 1)(a 21 + 1)] 1 2 ]
Nếu a 12 a 21 > 1 thì u ∗ 1 < 0, u ∗ 2 < 0 không thỏa mãn.
Nếu a 12 a 21 < 1 thì λ 1 < 0, λ 2 < 0 trạng thái dừng là điểm nút ổn định.
Các trường hợp có thể mô tả bằng hình (3.6)
Trong mô hình cộng sinh của hai loài, có hai trường hợp quỹ đạo pha được xác định Thứ nhất, khi a12 a21 > 1, mô hình cho thấy sự tăng trưởng không bị chặn, với u1 và u2 đều tiến tới vô cùng Thứ hai, khi a12 a21 < 1, tất cả quỹ đạo sẽ tiến tới trạng thái ổn định S, với u*1 và u*2 đều lớn hơn 1.
Nếu1−a 12 a 21 < 0thì có ba trạng thái dừng là ba điểm(u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 0), (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) =
Khi xét các điểm (1, 0) và (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 1), mật độ của quần thể trở nên không bị chặn Điều này có thể được minh họa bằng cách vẽ các điểm thỏa mãn điều kiện f 1 (u 1 , u 2 ) = f 2 (u 1 , u 2 ) = 0 trên mặt phẳng pha, cho thấy quỹ đạo di chuyển ra vô cùng trong một miền xác định, với u 1 → ∞ và u 2 → ∞, như được thể hiện trong hình (3.6a).
Nếu 1 − a 12 a 21 > 0 thì có bốn trạng thái dừng trong đó có 3 điểm (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) =
(0, 0), (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (1, 0), (u ∗ 1 , u ∗ 2 ) = (0, 1) không ổn định, và một điểm nút kỳ dị ổn định là giao điểm của đường thẳng1ưu 1 +a 12 u 2 = 0và đường thẳng1ưu 2 +a 21 u 1 =
0 Trường hợp này được mô tả trong hình (3.6b) Trên mặt phẳng pha ta có thể thấy trạng thái ổn định có u ∗ 1 > 1, u ∗ 2 > 1 tức nghĩa là N 1 > K 1 , N 2 > K 2 , mỗi loài đã tăng trưởng đến trạng thái dừng ổn định.
Mô hình Lotka-Volterra cho ba loài
Chúng ta sẽ phân tích mô hình Lotka-Volterra, trong đó có hơn hai loài tương tác với nhau Trường hợp đơn giản nhất bao gồm một loài mồi, một loài thú ăn mồi và một loài thú dữ (ăn thịt loài thú ăn mồi) Mô hình Lotka-Volterra sẽ được xem xét với các hàm tương ứng để hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các loài này.
Mô hình động lực học này mô tả sự tương tác giữa ba loài: loài mồi (x), loài thú (y) và loài thú dữ (z), với các phương trình x(t), y(t), z(t) phụ thuộc vào thời gian t Các hệ số r, a, m, b, c, s, K và d thể hiện các yếu tố ảnh hưởng đến mật độ quần thể của từng loài Mô hình này có thể trở về dạng đồng nhất với mô hình Lotka, cho thấy sự tương quan giữa sự phát triển của các loài trong hệ sinh thái.
Mô hình Volterra cổ điển mô tả sự tương tác giữa một loài mồi và một loài thú dữ, trong đó loài thú dữ được hợp nhất thành một chủng loại duy nhất Chỉ số m đại diện cho tỷ lệ chết của loài thú dữ, trong khi chỉ số s thể hiện tỷ lệ tăng trưởng của chúng Chúng ta giả định rằng loài thú dữ tuân theo quy luật tăng trưởng với khả năng giới hạn K Các tham số c và d là các hằng số dương, và ta đặt u = x, v = y, w = z.
K , và đưa ra một sự thay đổi tỉ lệ theo thời gian như sau: τ = st.
Từ đó ta đi đến mô hình mới dưới dạng:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích hệ phương trình động lực học với các biến số u, v, w theo thời gian τ, được mô tả bởi các phương trình: du/dτ = u(ρ − αv), dv/dτ = v(−à + βu − γw), và dw/dτ = w(1 − w) + δvw Các tham số trong hệ phương trình được liên hệ với nhau qua các công thức: ρ = r/s, α = a/s, à = m/s, β = b/s, γ = cK/s, và δ = d/s Mục tiêu của chúng ta là xác định các vị trí cân bằng của hệ phương trình này, đảm bảo rằng chúng thỏa mãn các điều kiện đã được đề ra.
Ngoài gốc tọa độ, còn có một vị trí cân bằng không tầm thường nằm trên góc phần tám dương của không gian, được biểu diễn bằng tọa độ (u ∗ , v ∗ , w ∗ ) Tại vị trí này, giá trị của u ∗ được tính theo công thức u ∗ = à β + γ β.
, v ∗ = ρ α , w ∗ = 1 + δρ α Để nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng này, chúng ta xác định ma trận Jacobi tại điểm cân bằng:
Ma trận Jacobi này ở dạng đơn giản hơn là:
Các giá trị riêng là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A ∗ − λI) = 0 sẽ thỏa mãn phương trình bậc ba (dạng đa thức): λ 3 + w ∗ λ 2 + (αβu ∗ v ∗ − αδv ∗ w ∗ )λ + αβu ∗ v ∗ w ∗ = 0.
Như vậy, các tham số của định thức Routh-Hurwitz là như sau: a 1 = w ∗ , a 2 = αβu ∗ v ∗ + αδv ∗ w ∗ , a 3 = αβu ∗ v ∗ w ∗ tất cả các tham số khác đều bằng không.
Trong không gian ba chiều, điều kiện Routh - Hurwitz sẽ như sau:
Do các tọa độ của vị trí cân bằng đều là dương nên H 1 , H 3 hiển nhiên là thỏa mãn.
Kiểm tra điều kiện thứ hai, ta có:
= αβu ∗ v ∗ w ∗ + αδv ∗ (w ∗ ) 2 − αβu ∗ v ∗ w ∗ = αδu ∗ (w ∗ ) 2 > 0. như vậy nó hoàn toàn thỏa mãn Điểm cân bằng không tầm thường (u ∗ , v ∗ , w ∗ ) là ổn định tiệm cận địa phương.
Một số nhận xét chung về các mô hình quần thể đa loài 71
Hiện tượng dao động chu kỳ giữa loài thú và loài mồi đã được ghi nhận trong hơn một thế kỷ Công ty Hudson Bay, chuyên buôn bán lông thú tại Canada, đã lưu trữ số liệu từ năm 1845 đến 1935, cho thấy rằng quần thể của các loài này có chu kỳ dao động khoảng 10 năm.
Mô hình thú mồi đơn giản với hai loài đặt ra câu hỏi về tính ổn định và sự phức tạp khi có nhiều loài Để khám phá vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét mô hình tổng quát Lotka-Volterra, trong đó có k loài mồi và k loài thú, với tốc độ tăng trưởng của con mồi phụ thuộc vào số lượng con thú ở các mức độ khác nhau.
Xét phương trình tổng quát:
dN 1 dt = N i h a i −Pk j=1 b ij P j i dN 2 dt = P i h
Hình 3.7: Quần thể linh miêu và thỏ rừng ở Canada trong đó a i , b ij , c ij , d j là các hằng số dương.
Trạng thái dừng N i = P i = 0 là trạng thái dừng tầm thường với mọi i = 1, , k và ma trận tổng quát là ma trận đường chéo
Do đó, có 2k giá trị riêng λ i = a i > 0, λ k+1 = −d i < 0, i = 1, , k
Vì thế trạng thái ổn định này là không ổn định với mọi λ i > 0, i = 1, , k.
Trạng thái dừng không tầm thường (N ∗ , P ∗ ) là nghiệm của hệ
∀i = 1, , k Đặt bP ∗ = a, cN ∗ = d (3.21) trong đó a, d, N ∗ , P ∗ là những vector cột.
Phương trình (3.20) được viết lại như sau: dN dt = N T [a − BP ]; dP dt = P T [CN − d] với N T , P T lần lượt là ma trận chuyển vị của N, P.
B và C là những ma trận vuông cấp k x k : B = (b ij ), C = (c ij ).
Với N ∗ , P ∗ từ (3.21) ta đặt: N = N ∗ + u, P = P ∗ + v trong đó |u|, |v| xấp xỉ với |N ∗ |, |P ∗ | Ta có du dt ≈ −N ∗T Bv, dv dt ≈ P ∗T Cu
A là ma trận tổng quát cấp 2k × 2k với các giá trị nằm trên đường chéo chính bằng 0 Khi đó, các giá trị riêng λ i , i = 1, 2, , 2k là nghiệm của |A − λ.E| = 0 sao cho
P i=1 λ i = T rA = 0 trong đó T rA là vết của ma trận A.
Nếu tất cả Reλ i = 0 thì trạng thái dừng (N ∗ , P ∗ ) là ổn định như trường hợp hai loài.
Nếu các giá trị Reλ i có λ i khác không, chúng sẽ có phức liên hợp, dẫn đến ít nhất một Reλ i dương và kết quả là (N ∗ , P ∗ ) không ổn định Mô hình này là tổng quát, áp dụng cho k loài thú và k loài mồi, được gọi là mô hình Kolmogorov Mặc dù không hoàn toàn thực tế, mô hình này cho thấy những kết quả quan trọng, nhấn mạnh rằng sự phức tạp thường dẫn đến sự không ổn định nhiều hơn so với sự ổn định.
Mô hình Lotka-Volterra có chậm
Tính ổn định tiệm cận địa phương
Ta thấy từ điều kiện(3.26), hệ(3.23) có điểm cân bằngZ ∗ = (x ∗ , y ∗ ), với x ∗ , y ∗ được xác định như trong (3.27). Đặt u(t) = x(t) − x ∗ , v(t) = y(t) − y ∗
Khi đó (u(t), v(t)) thỏa mãn hệ phương trình
Ta thấy (3.29) là biến thiên của (3.23) với điểm cân bằng Z ∗ = (x ∗ , y ∗ ) một hệ phương trình tuyến tính
∆ = a 11 a 22 − a 21 a 12 , r 1 = 2(x ∗ + y ∗ α)∆ x ∗ (a 11 x ∗ + a 22 y ∗ ) , r 2 = 2(y ∗ + x ∗ β)∆ y ∗ (a 11 x ∗ + a 22 y ∗ ) Định lý 3.2.1 Với giả thiết (3.26) Nếu các biến chậm τ ij thỏa mãn
(3.30) thì điểm cân bằng Z ∗ = (x ∗ , y ∗ ) của hệ (3.23) là ổn định tiệm cận địa phương.
Chứng minh Hệ phương trình (3.29) có thể viết dưới dạng sau
Z t t−τ 22 v(s)ds Chúng ta sẽ chứng minh định lý bằng việc sử dụng phiếm hàm Lyapunov:
W 3 (t) = W 31 (Z )(t) + W 32 (Z)(t) với các W ij (Z)(t) được xác định như trong phần dưới đây: Đầu tiên ta xét hàm vô hướng W 11 (Z )(t), trong đó Z(t) = (u(t), v(t)).
W 11 (Z)(t) = A 2 (t) (3.33) Đạo hàm dọc theo nghiệm của (3.31): dW 11 (Z)(t)/dt được cho bởi dW 11 (Z )(t) dt = −2(a 11 u + a 12 v)A(t) = − 2a 11 x ∗ u 2 − 2a 12 x ∗ uv + 2(a 11 u + a 12 v) × a 11
Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ 1 2 (a 2 + b 2 ), ta có
Làm tương tự như vậy, ta thu được dW 11 (Z )(t) dt ≤ − 2a 11 x ∗ u 2 − 2a 12 x ∗ uv + a 11 τ 11 (a 11 u 2 + a 12 v 2 ) + a 12 τ 12 (a 11 u 2 + a 12 v 2 ) +a 11 (a 11 + a 12 )
Z t t−τ 12 v 2 (s)ds (3.34) Tiếp theo ta đặt
Z t s v 2 (l)dlds khi đó dW 12 (Z)(t) dt = a 11 (a 11 + a 22 ) τ 11 u 2 (t) −
Như định nghĩa W 1 (t) = W 11 (Z )(t) + W 12 (Z )(t) Do đó, từ (3.34) và (3.35) ta có dW 1 (t) dt ≤ − 2a 11 x ∗ − p 11 u 2 − 2a 12 x ∗ uv + p 12 v 2 (3.36) Tiếp theo, đặt
Làm tương tự như trên ta có: dW 21 (Z)(t) dt ≤ − 2a 22 y ∗ v 2 − 2a 21 y ∗ uv + a 21 τ 21 (a 21 u 2 + a 22 v 2 ) + a 22 τ 22 (a 21 u 2 + a 22 v 2 ) +a 21 (a 21 + a 22 )
Và cuối cùng ta lấy
Khi đó dW 31 (Z)(t) dt = a 21 x ∗ u 2 + a 12 y ∗ v 2 + a 22 x ∗ + a 11 y ∗ uv
Từ W 3 (t) = W 31 (Z )(t) + W 32 (Z)(t), tương tự như phần trước ta suy ra dW 3 (t) dt ≤ a
Từ các biểu thức của W 1 (t), W 2 (t), W 3 (t) và W (t), ta có:
Từ (3.32), kết hợp với (3.36), (3.40) và (3.42) ta có: dW (t) dt ≤ −η 1 u 2 − η 2 v 2 , (3.44) trong đó η 1 = r 1 − αp 11 − βp 21 − γq 1 η 2 = r 2 − αp 12 − βp 22 − γq 2
Từ bất đẳng thức (3.30) ta thấy rằng η 1 > 0, η 2 > 0 Đặt η = min {η 1 , η 2 }, khi đó từ (3.30) ta suy ra
[u 2 (s) + v 2 (s)]ds ≤ W (T ) với t ≥ T (3.45) và u 2 (t) + v 2 (t) ∈ L 1 [T, ∞) Dễ thấy rằng từ (3.29) và tính bị chặn của Z(t), ta có thể suy ra t→∞ lim u 2 (t) + v 2 (t)
= 0 do đó nghiệm tầm thường của hệ (3.29) là ổn định tiệm cận địa phương.
Tính ổn định tiệm cận toàn cục
Để chứng minh sự ổn định toàn cục của hệ (3.23), chúng ta cần xây dựng một phiếm hàm Lyapunov phù hợp Trước tiên, hãy xem xét bổ đề liên quan.
Bổ đề 3.2.1 Gọi (x(t), y(t)) là nghiệm bất kỳ của (3.23) với điều kiện ban đầu (3.24) Khi đó (x(t), y(t)) thỏa mãn đánh giá sau
0 < x(t) ≤ M 1 , 0 < y(t) ≤ M 2 (3.46) với t đủ lớn, trong đó
Bổ đề 3.2.2 Với điều kiện (3.26) thì hệ (3.23) là ổn định đều.
Sau đây ta đưa ra điều kiện ổn định toàn cục tại Z ∗ của hệ (3.23): Định lý 3.2.2 Giả sử có (3.26) Nếu a ii τ ii M i < 1(i = 1, 2) và A 11 A 22 − A 12 A 21 > 0, (3.48) trong đó
A 21 = −a 21 (1 + a 22 τ 22 M 2 ), A 22 = a 22 (1 − a 22 τ 22 M 2 ) (3.49) trong đó M i được cho bởi (3.47) Khi đó điểm cân bằng (x ∗ , y ∗ ) của (3.23) là ổn định tiệm cận toàn cục.
Chứng minh Gọi Z(t) = (x(t), y(t)) là nghiệm bất kỳ của hệ (3.23) thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.24). Đặt u(t) = ln x(t) x ∗ , v(t) = ln y(t) y ∗ (3.50)
Khi đó từ (3.23) và (3.50) ta có u 0 (t) = −a 11 x ∗ h e u(t−τ 11 ) − 1 i
(3.52) Phương trình (3.51) và (3.52) có thể viết như sau: u 0 (t) = −a 11 x ∗ h e u(t) − 1 i
Bây giờ ta sẽ tìm hàm Lyapunov. Đặt
V 11 (t) = |u(t)| (3.55) Đạo hàm phải của V 11 theo nghiệm của (3.51) Từ (3.53) và (3.54), ta có
Từ bổ đề(3.2.1), ta thấy khi đó tồn tại một số T 0 ≥ 0sao cho x ∗ e u(t) = x(t) ≤ M 1 với t ≥ T 0 và do đó với t ≥ T = T 0 + τ ta có
Ta định nghĩa hàm Lyapunov như sau
Khi đó, từ (3.56) - (3.58) với t ≥ T ta có:
Theo giả thiết (3.48), ta biết A ∗ = (A ij ) 2×2 là một ma trận và do đó tồn tại số dương d 1 và d 2 sao cho
A 11 d 1 + A 21 d 2 = δ 1 > 0, A 12 d 1 + A 22 d 2 = δ 2 > 0 (3.64) Bây giờ ta định nghĩa hàm Lyapunov V (t) như sau
V (t) = d 1 V 1 (t) + d 2 V 2 (t), (3.65) Khi đó, với t ≥ T, từ (3.59), (3.63) và (3.65) ta có
Từ (3.23) ta có thể thấy, tồn tại số m 1 , m 2 mà x(t) = x ∗ e u(t) ≥ m 1,y(t) = y ∗ e v(t) ≥ m 2 suy ra x ∗ |e u(t) − 1| = x ∗ e θ 1 (t) |u(t)| ≥ m 1 |u(t)|, y ∗ |e v(t) − 1| = y ∗ e θ 2 (t) |v(t)| ≥ m 2 |u(t)| trong đó x ∗ e θ 1 (t) ở giữa x(t) và x ∗ , y ∗ e θ 2 (t) ở giữa y(t) và y ∗ Đặt δ = min {δ 1 m 1 , δ 2 m 2 }, khi đó từ (3.66) ta có
Điều kiện V(t) ≥ (|u(t)| + |v(t)|) kết hợp với (3.67) cho thấy rằng điểm cân bằng của hệ (3.51) và (3.52) là ổn định tiệm cận toàn cục Do đó, ta suy ra rằng điểm cân bằng của hệ (3.23) cũng đạt được tính ổn định tiệm cận toàn cục.
Ví dụ 3.2.1 Xét hệ phương trình vi phân có chậm sau
(x 0 (t) = x(t)(1 − x(t − τ 11 ) − 0, 5y(t − τ 12 )) y 0 (t) = y(t)(1 − 0, 5x(t − τ 21 ) − y(t − τ 22 )) (3.68) Theo định lý (3.2.1) thì điểm cân bằng 2 3 , 2 3 của hệ (3.68) là ổn định tiệm cận địa phương nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
Vậy điểm cân bằng 2 3 , 2 3 của hệ (3.68) là ổn định tiệm cận địa phương khi τ 11 < 1
2 , τ 12 = τ 21 = 0 Theo định lý (3.2.2) thì điểm cân bằng 2 3 , 2 3 của hệ (3.68) là ổn định tiệm cận toàn cục nếu
Từ điều kiện (3.69) ta thấy rằng cân bằng 2 3 , 2 3 của hệ (3.68) là ổn định tiệm cận toàn cục khi τ 11 = τ 22 = 1 5 , τ 21 và τ 12 là những hằng số dương bất kỳ.
Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn 83
Xét chuyển động của một vật thể trong một hệ tọa độ Oxyz nào đó với điểm bất động là gốc tọa độ O (không có ngoại lực tác động).
Ký hiệu A, B, C là các momen quán tính chính của vật thể đối với gốc tọa độ
Vector vận tốc góc O, w trong hệ tọa độ được xác định với các hình chiếu p, q, r lên các trục chính Phương trình chuyển động của vector w theo quy luật Ơle có thể được biểu diễn dựa trên các hình chiếu này.
Phương trình này xác định sự quay quanh trục thứ nhất tại điểm p = p0, q = 0, r = 0 Bằng cách áp dụng phép đổi biến x = p - p0, y = q, z = r, ta có điểm tới hạn là gốc tọa độ và từ đó thu được hệ phương trình rút gọn.
*) Nếu A < B ≤ C thì quá trình quay được thực hiện quanh trục lớn của elipxoit quán tính
Có thể chọn hàm Lyapunov: V :R 3 → R + xác định như sau:
Hàm Lyapunov được xác định là dương vì A < B ≤ C Qua tính toán, ta có V ˙ = 0, cho thấy hàm V thỏa mãn các điều kiện của định lý thứ nhất Lyapunov Do đó, nghiệm tầm thường của hệ thống đã cho được xác định là ổn định.
*) Nếu A > B ≥ C thì tương tự trên bằng cách chọn hàm Lyapunov
By 2 + Cz 2 + A x 2 + 2xp 0 2 ta cũng có nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.
Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động
Khi quan sát một phi cơ hoặc một con chim đang bay, ta có thể giả định rằng mặt đối xứng của nó luôn trùng với mặt phẳng thẳng đứng của hệ trục tọa độ tại mọi thời điểm trong quá trình di chuyển Tốc độ của trọng tâm vật thể được ký hiệu là v, trong khi θ là góc giữa vector chuyển động và trục hoành Đồng thời, trục chuyển động, tức là trục dài của phi cơ, luôn tạo một góc không đổi α với vector tốc độ v.
Ký hiệu C D (α) và C L (α) đại diện cho hệ số phản lực tùy ý và lực đẳng, từ đó ta có phương trình biến thiên của vận tốc v và góc nghiêng θ như sau: m v ˙ = −mg sin θ − C D (α)v 2 và mv θ ˙ = −mg cos θ + C L (α)v 2 Để đơn giản hóa, ta có thể đặt v 0 2 = mg.
C L ta đưa phương trình đang xét về dạng
( dy dτ = − sin θ − ay 2 dθ dτ = − cosθ+y y 2 Ở đây ta chỉ xét trường hợp đơn giản khi a = 0 Khi đó hệ trở thành:
Hệ phương trình này có các điểm suy biến tại 0 = 1 và θ 0 = 2kπ (k ∈ N), tương ứng với các trường hợp phi cơ bay theo chiều ngang với vận tốc hằng số.
Ta chỉ cần xét một trường hợp khi y 0 = 1, θ 0 = 0.
Dễ kiểm tra được rằng V (y, θ) = y 3 − y cos θ + 2 3 là tích phân đầu của hệ phương trình đang xét khi a = 0.
Ngoài ra ta nhận thấy trong một lân cận nào đó của điểm (1, 0) thì ta có:
Hơn nữa ta còn có thể chứng minhV ˙ (t, x) ≤ 0, do đó chuyển động của phi cơ tại thời điểm này là ổn định.
Luận văn trình bày các kết quả chính về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach và phương trình vi phân hàm Đặc biệt, trong trường hợp n = 2, 3, chúng tôi đã chỉ ra cách áp dụng phương pháp phiếm hàm Lyapunov dựa trên cấu trúc tôpô của không gian Euclide n chiều, đồng thời đề cập đến phương pháp xây dựng phiếm hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Cuối cùng, chúng tôi đã trình bày chi tiết một số ứng dụng của phương pháp phiếm hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các mô hình ứng dụng khác nhau.
