BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG của PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG mô tả QUÁ TRÌNH hấp THỤ, tỏa NHIỆT và CHUYỂN ĐỘNG của một CHẤT điểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MƠ TẢ Q TRÌNH HẤP THỤ, TỎA NHIỆT VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM Giảng viên hướng dẫn: Huỳnh Thái Duy Phương Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 14 STT Họ tên sinh viên MSSV Nhóm /Tổ Đặng Thanh 211474 14 Nguyễn Trương Thu Thảo 14 Nguyễn Minh Thiện 211480 Nguyễn Thế Hoàng Thơng Phó Vạn Thơng 211487 211238 211492 14 14 14 TP.HCM, 12/2021 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích mơn khoa học quan trọng sinh viên nghành khoa học tự nhiên kỹ thuật Là mơn học có ứng dụng rộng rãi thực tiễn, giải tích giới thiệu kiến thức tảng quan trọng ứng dụng chúng sử dụng nhiều việc học tập môn khoa học Một ứng dụng phổ biến giải tích phải nói đến ứng dụng phương trình vi phân Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng việc ứng dụng toán học vào lĩnh vực khoa học khác có nhiều q trình thực tế mơ tả phương trình vi phân cách dễ dàng đầy đủ Tuy nhiên, để hiểu ứng dụng phương trình vi phân, cần phải nắm vững kiến thức khoa học tự nhiên ( vật lí, hóa học, sinh học, ) kỹ thuật Và báo cáo trình bày sau tìm hiểu thực hành ứng dụng phương trình vi phân khía cạnh vật lý mà cụ thể mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt chuyển động chất diểm cách viết phương trình vi phân MỤC LỤC Lời nói đầu i Mục lục ii Phần I Mô tả trình hấp thụ, tỏa nhiệt phương trình vi phân 1.1.Sơ lược trình thu nhiệt tỏa nhiệt 1.2 Một số tốn ví dụ Phần II Mơ tả chuyển động chất điểm phương trình vi phân 2.1 Cơ sở lý thuyết .4 2.2 Một số tốn ví dụ .6 Tài liệu tham khảo Phần 1: Mô tả trình hấp thụ, tỏa nhiệt phương trình vi phân 1.1 Sơ lược trình thu nhiệt tỏa nhiệt: - Trong nhiệt động lực học, thuật ngữ trình tỏa nhiệt mơ tả q trình phản ứng giải phóng lượng từ hệ thống mơi trường xung quanh, thường dạng nhiệt, dạng ánh sáng (ví dụ tia lửa, lửa đèn flash), điện (ví dụ pin), âm (ví dụ tiếng nổ đốt hydro) - Đối lập với trình tỏa nhiệt trình thu nhiệt, trình hấp thụ lượng dạng nhiệt - Từ phát biểu Rudolf Clausius nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học: “Nhiệt tự động truyền từ vật lạnh sang vật nóng hơn”, ta rút kết luận nhiệt truyền từ nơi nóng đến nơi lạnh - Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỷ lệ với hiệu số nhiệt độ vật thể T nhiệt độ môi trường xung quanh To (1) - Tốc độ làm lạnh vật thể giảm nhiệt độ T đơn vị thời gian t biểu dT diễn công thức đạo hàm d ' (2) - Từ (1) (2) ta có phương trình vi phân q trình làm lạnh (làm nóng) vật thể sau: dT (3) d- = k(T-To), k hệ số tỉ lệ - Giải phương trình vi phân (3): dT T—T => ln|T-To|-kt+lnC => |T-T0|-Cekt ( đó, số C hệ số tỉ lệ k tìm dựa vào điều kiện đầu toán ) 1.2 Một số tốn ví dụ mơ tả trình hấp thụ tỏa nhiệt phương trình vi phân: Ví dụ 1: Vận tốc nguội lạnh vật khơng khí tỉ lệ với hiệu số nhiệt độ vật nhiệt độ không khí Đặt vật mơi trường khơng khí có nhiệt độ ổn định 20oC, biết sau 20 phút nhiệt độ vật giảm từ 100oC xuống 60oC Hỏi sau kể từ thời điểm nhiệt độ vật 60oC, nhiệt độ vật giảm 30oC Giải Ta có nhiệt độ mơi trường 20oC => T0 = 20, vào cơng thức tính tốc độ nguội lạnh vật ta phương trình thể nhiệt độ vật sau t phút: T=20 + C ekt (*) - Tại t = 0, nhiệt độ vật 100oC => T = 100, vào (*) ta được: 100= 20+Ce0 k => C = 80 - Tại t = 20, nhiệt độ vật 60oC => T = 60, vào (*) ta có: —ln 60 = 20 + 80e20k => k = -20- (**) -Vậy quy luật nguội lạnh vật T=20+80 e — - Khi nhiệt độ vật giảm 30on‘ C => T = 30, thay vào (**) ta t = 60 phút - Vậy sau 60 -ó 20 = 40 phút kể từ thời điểm nhiệt độ vật đạt 60oC, nhiệt độ vật 30oC Ví dụ 2: Một lon soda vừa đưa từ tủ đơng có nhiệt độ 32oF, biết nhiệt độ môi trường 68oF nhiệt độ lon soda tăng từ thêm 18oF vòng 10 phút Hỏi sau 30 phút nhiệt độ lon soda Giải Ta có nhiệt độ mơi trường 68oF => T0 = 68, vào cơng thức tính tốc độ nguội lạnh vật ta phương trình thể nhiệt độ vật sau t phút: \T - 68| = Ce kt - Khai triển trị tuyệt đối kết hợp với điều kiện đề ta được: T=68-Cekt (i) - Tại t = 0, nhiệt độ vật 32oF => T = 32, vào (i) ta C = 36 - Tại t = 10, nhiệt độ vật 32 + 18 = 50oF => T = 50, vào (i) ta có: 50=68-36 e10 k => k = -102 - Từ ta có phương trình thể nhiệt độ vật sau thời gian t phút là: T = 68-36e '0!2 1’ • /V 4-/V -''■1' —ln 30 - Khi t = 30, nhiệt độ vật T=68-36e 10 = 63 50F■ Ví dụ 3: Một ứng dụng khác dạng phương trình vi phân sống, cụ thể nghiệp vụ điều tra phá án, xác định thời gian tử vong xác chết Đặt vấn đề: Tại thị trấn A, người đàn ông tên X bị sát hại hộ Thi thể nạn nhân phát vào lúc 22h tối, thân nhiệt lúc đo 27oC Vào 23h tối ngày, thân nhiệt đo thi thể 24oC Biết nhiệt độ phịng ln trì mức 21oC, xác định thời gian ông X bị sát hại Giải Chọn mốc thời gian t = lúc phát thi thể nạn nhân, nhiệt độ đo thi thể ông X T = 27oC nhiệt độ phòng T0 = 21oC, ta có: 27 = 21+Ce0 k => C = - Sau 60 phút => t = 60, nhiệt độ đo thi thể ông X 24oC, ta có: 24 = 21 +6 e60 k => k = -ị^2 60 - Từ ta có phương trình thể nhiệt độ thể ơng X sau t phút kể từ lúc 22h —In - Nhiệt độ thê ơng X cịn sơng 37oC => 37 = 21+6 e 60 => t « -85 - Vậy thời điêm tử vong ông X khoảng 85 phút trước phát hiện, tức vào khoảng 20h35 ngày Phần II: Mô tả chuyển động chất điểm 1.1 Cơ sở lý thuyết: a) Chất điểm: Một vật chuyên động coi chất điêm kích thước nhỏ so với độ dài đường Chất điêm có khơi lượng khơi lượng vật b) Chuyển động cơ: Chuyên động vật (gọi tắt chuyên động) thay đổi vị trí vật so với vật khác theo thời gian c) Quỹ đạo: Quỹ đạo chuyên động tập hợp tất vị trí chất điêm chuyên động tạo đường định d) Cách xác định thời gian chuyển động: - MƠc thời gian (hoặc gơc thời gian) thời điêm mà ta bắt đầu đo thời gian - Nếu lấy môc thời gian thời điêm vật bắt đầu chuyên động (thời điêm 0) sơ thời điêm trùng với sô đo khoảng thời gian trôi qua kê từ môc thời gian + Thời điêm giá trị mà đồng hồ đến theo môc cho trước mà ta xét + Thời gian khoảng thời gian trôi thực tế hai thời điêm mà ta xét - Đê đo thời gian người ta dùng đồng hồ * Yêu cầu đặt : Xét vật chuyên động thẳng, khảo sát q trình chun động phương trình vi phân e) Vector vị trí ( vector bán kính ): r = xỉ + yj +jk (x,y,z tọa độ chất điêm hệ tọa độ Descartes) f) Vector vận tốc: -Vector vận tốc trung bình: _► Ạr tb = Ạt V Trong đó: Ạr = r*, - fb với ?2, fi vector vị trí chất điểm thời điểm t2 ti Ạt = t2 - ti - Vector vận tốc tức thời: Ạr v = lim — = Ạt -30 dr dt Ạt Trong hệ tọa độ Descartes: _ d r dx Ị , dy * dz ĩ : =d = dt + dtj+dk=vJ + yJ+vk v v Độ lớn vector vận tốc: r, — 2 ,2,, ,2 ,, ,2 _ í dx \ , idy í dz \ |v| = Vv + Vv +v = Ạ (-;-) +(-7-) +(nr) z 11 x y z \ 7, Ị \ 7, Ị \ 7, Ị dt dt dt g) Vector gia tốc: - Vector gia tốc trung bình: -ữ, tb h Ạt Ạ = v -T~ Trong đó: Ạ v = - , với , vector vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t2 ti Ạt = t2 - ti - Vector gia tốc tức thời: V V V V Ạv dv a = lim —ý = dt Ạt ^0 Ạt Trong hệ tọa độ Descartes: dV _ d2r _ d2x Ị d2y d2z _ a = 7^ = = ,2 i +—J2 +—r~rk =2 a i dt dt dt dt dt x r + ayj + a k z y Độ lớn vector gia tốc: , Ị ,2 ,2 , ,2 2 , _2 _ / d X\ /dy\ /dz\ II_ |a| = V ax+ay +a2 = 1(44) + (44) +(44) xyz V dt dt dt h) Chuyển động thẳng đều: Quỹ đạo đường thẳng v = const Gọi s quãng đường dst Ị ds =dtỊ => vdt ds =>=s vdt = s0 + vt s0 s i) Chuyển động thẳng thay đổi đều: Quỹ đạo đường thẳng a = const dv a =d => v= t Ị adt hay v = at + v0 ( với v0 vận tốc đầu lúc t = ) r (*) ... Mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt phương trình vi phân 1. 1.Sơ lược trình thu nhiệt tỏa nhiệt 1. 2 Một số tốn ví dụ Phần II Mô tả chuyển động chất điểm phương trình vi phân. .. thuật Và báo cáo trình bày sau tìm hiểu thực hành ứng dụng phương trình vi phân khía cạnh vật lý mà cụ thể mơ tả q trình hấp thụ, tỏa nhiệt chuyển động chất diểm cách vi? ??t phương trình vi phân. .. trọng ứng dụng chúng sử dụng nhiều vi? ??c học tập môn khoa học Một ứng dụng phổ biến giải tích phải nói đến ứng dụng phương trình vi phân Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng vi? ??c ứng dụng tốn