năm đầu các giảng viên Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM đã giúp cho các sinh viên ngành kỹ thuật làm quen với các ứng dụng lập trình ví dụ như Matlab. MATLAB là một môi trường tính toán số và lập trình cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác. Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều mô hình trong thực tế và kỹ thuật. Với hơn 40 năm hình thành và phát triển, ngày nay với thiết kế sử dụng tương đối đơn giản và phổ thông, MATLAB là công cụ tính toán hữu hiệu để giải quyết các bài toán kỹ thuật. Vì vậynăm đầu các giảng viên Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM đã giúp cho các sinh viên ngành kỹ thuật làm quen với các ứng dụng lập trình ví dụ như Matlab. MATLAB là một môi trường tính toán số và lập trình cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác. Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều mô hình trong thực tế và kỹ thuật. Với hơn 40 năm hình thành và phát triển, ngày nay với thiết kế sử dụng tương đối đơn giản và phổ thông, MATLAB là công cụ tính toán hữu hiệu để giải quyết các bài toán kỹ thuật. Vì vậy
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: Lê Thị Yến Nhi Nhóm STT Họ tên MSSV Nguyễn Tiến Đạt 1510703 Nguyễn Đức Hùng 1511349 Đinh Nguyễn Ngọc Hân 1610964 Võ Thị Tú Như 1512369 Lê Văn Sinl 1512822 Phạm Thị Phương Thảo 1613224 Phạm Nguyễn Xuân Nhi 1512322 Hứa Xương Khang G1201576 Nguyễn Minh Tuệ 1513890 Năm học: 2017 - 2018 I LỜI MỞ ĐẦU: Ngày khoa học ngày phát triển, với đà phát triển việc ứng dụng khoa học sáng chế khoa học trường học thiết thực quan trọng Chính vậy, từ năm đầu giảng viên Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM giúp cho sinh viên ngành kỹ thuật làm quen với ứng dụng lập trình ví dụ Matlab MATLAB mơi trường tính tốn số lập trình cho phép tính tốn số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực thuật toán, tạo giao diện người dùng liên kết với chương trình máy tính viết nhiều ngơn ngữ lập trình khác Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mơ tính tốn, thực nghiệm nhiều mơ hình thực tế kỹ thuật Với 40 năm hình thành phát triển, ngày với thiết kế sử dụng tương đối đơn giản phổ thông, MATLAB cơng cụ tính tốn hữu hiệu để giải tốn kỹ thuật Vì vậy, tốn mơn Đại số, đặc biệt toán Ma trận, ta có thể sử dụng ứng dụng tính tốn của MATLAB để giải theo cách đơn giản dễ hiểu nhất, giúp làm quen bổ sung thêm kỹ sử dụng chương trình, ứng dụng cho sinh viên I Cơ sở lý thuyết Vẽ vật thể giới hạn Khơng gian ba chiều mơ hình hình học có ba thơng số (khơng tính đến thoời gian), đó bao gồm tất vật chất biết đến Ba chiều nhắc đến thường chiều dài, chiều rộng chiều cao (hoặc chiều sâu) Ba hướng có thể chọn, miễn chúng không nằm mặt phẳng Trong vật lý toán học, chuỗi số n có thể hiểu vị trí khơng gian n chiều Khi n = 3, tập hợp tất vị trí đó gọi không gian Euclide chiều, thường ký hiệu Khơng gian ví dụ loạt không gian ba chiều thường gọi đa tạp ba chiều * Ví dụ: Vẽ vật thể giới hạn bởi: z=1–x2, z=0, y=0, y=3 Tính đạo hàm 2.1 Định nghĩa: Giả sử phương trình lập x y: (1) xác định với u, v hàm số của biến độc (2) đó z gọi hàm số hợp của biến số x y thông qua biến trung gian u v Như z có thể biểu diễn hàm biến x, y: Ví dụ: Cho Khi đó: (3) Tình huống: Nếu ta cần khảo sát đạo hàm hàm số hợp viết hàm số dạng tường minh theo biến x, y Tuy nhiên, với hàm việc lấy đạo hàm riêng khó khăn Hoặc hàm số chưa xác định cơng thức, ví dụ: tính đạo hàm riêng 2.2 Định lý: (Tính từ (1), (2) mà khơng dùng (3)) Cho z = f(u,v) u, v hàm hai biến u = u(x,y) v = v(x,y) Cho hàm z, u, v khả vi điểm tương ứng Khi đó, z = f(u,v) có đạo hàm riêng xác định công thức: 2.3 Quy tắc Xích để xác định cơng thức tính đạo hàm cho hàm hợp: – Dịng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z – Dòng 2: Xác định biến trung gian có hàm z Ví dụ: (u,v) – Dịng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm Ví dụ x – Nối z với biến trung gian u, v đoạn kẻ Mỗi đoạn kẻ tương ứng với phép lấy đạo hàm – Nếu u, v biến phụ thuộc x nối u với x đường kẻ; nối v với x đường kẻ Các đường kẻ phép tốn lấy đạo hàm riêng – Tởng hợp tất cách nối từ z đến x ta có cơng thức tính đạo hàm của z theo x 2.4 Một số trường hợp tổng quát: Với z = f(u,v, w) , đó u = u(t), v = v(t), w = w(t) Khi đó: z hàm số hợp của biến số t thông qua biến trug gian u, v, w Bấy giờ, đạo hàm của z theo t xác định (do z, u, v, w hàm theo biến t nên đạo hàm đạo hàm thường) Áp dụng: tính , , với Tương tự quy tắc trên, ta có: Nghĩa là: Hay: Ví dụ 1: Tính với y = f(x) Trong ví dụ này, ta cần ý phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu Đầu tiên, ký hiệu của z là: z hàm theo biến x, đó, biểu thức xác định nên với ký hiệu ta hiểu z hàm số hợp của biến x thơng qua biến trung gian y Cịn ký hiệu, đạo hàm riêng của z theo biến x, điều hiểu z hàm hai theo biến độc lập x, y Như vậy: Cịn: Ví dụ 2: Tìm biết Bạn có thể lập sơ đồ xích cho biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm sau: Dựa vào sơ đồ trên, ta có: , Việc lại bạn làm tiếp tục Ví dụ 3: Tìm Ta đặt: f hàm số hợp của biến x, y thông qua biến trung gian u, v Khi đó: 2.4 Đạo hàm cấp của hàm số hợp biến: Giả sử z hàm số hợp theo biến x, y thông qua biến trung gian u, v Khi đó ta có cơng thức tính đạo hàm riêng cấp của z biến x, y Vấn đề đặt là: cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp của hàm số hợp ta phải làm nào? Ta ý, công thức: Các đại lượng lại biểu thức theo u, v nên nó lại hàm số hợp của hai biến x, y thông qua biến trung gian u, v Do đó: (*) Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho hàm Ta có: , (**) Từ (*), (**) ta có: Hồn tồn tương tự, ta tìm cơng thức xác định (bạn thử tìm xem nhé) Ví dụ áp dụng: Tìm Đáp số: *Ví dụ: Cho hàm f(x, y)=e3x+2y ,trong x=sint, y=t2 Tính t=0 Câu 1: syms x y z; f=80/(1+x^2+2*y^2+3*z^2); M=[1 -2]; gradf=[diff(f,x) diff(f,y) diff(f,z)]; subs( gradf,[x y z], M) ans = [ -5/8, -5/4, 15/4] Câu 2: syms x y z F=x+y-z-exp(z-x-y); Zx=-diff(F,x)/diff(F,y) Zx = -1 Câu 3: >> syms x y k >> f=(y^2-x^2)*exp(1-x^2-y^2), g=x^2+y^2-4; f = -(x^2 - y^2)/exp(x^2 + y^2 - 1) >> [X Y]=solve(diff(f,x),diff(f,y)) X = -1 Y = 0 -1 >> % điểm (0;0) (1;0) (0;1) (-1;0) (0;-1) thuộc D >> L=f+k*g L = k*(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 - y^2)/exp(x^2 + y^2 - 1) >> [K X Y]=solve(diff(L,x),diff(L,y),g) K = 3/exp(3) 3/exp(3) -3/exp(3) -3/exp(3) X = 0 -2 Y = -2 0 >> %tại k=3/exp(3) ta có điểm (0;2) (0;-2) thuộc miền D >> %tại k=-3/exp(3) ta có điểm (2;0) (-2;0) thuộc miền D >> F1=subs(f,[x,y],[0 0]), F2=subs(f,[x,y],[1 0]), F3=subs(f,[x,y], [0 1]), F4=subs(f,[x,y],[-1 0]), F5=subs(f,[x,y],[0 -1]), F6=subs(f, [x,y],[0 2]), F7=subs(f,[x,y],[0 -2]), F8=subs(f,[x,y],[2 0]), F9=subs(f,[x,y],[-2 0]) F1 = F2 = -1 F3 = F4 = -1 F5 = F6 = 0.1991 F7 = 0.1991 F8 = -0.1991 F9 = -0.1991 >> %Vậy fmax=1=f(0;1)=f(0;-1) fmin=-1=f(1;0)=f(-1;0) Câu 4: syms x y z P=y+z; Q=x-z; R=z+1; L=diff(P,x)+diff(Q,y)+diff(R,z) L = syms phi beta p I=+1/2*int(int(int(p^2*sin(beta),p,0,2),beta,0,pi),phi,0,2*pi) I = (16*pi)/3 %ve mat S syms u v ezsurf(cos(u)*sin(v)*2,sin(u)*sin(v)*2,2*cos(v),[0 2*pi pi/2]) Câu 5: syms n; symsum((2^n-5)/factorial(n),0,inf) ans = exp(2) - 5*exp(1) Câu 1: syms x y F=x^2+sin(x*y); A=subs(diff(F,x),{x,y},[1 0]); B=subs(diff(F,y),{x,y},[1 0]); syms a b %goi u(a,b) la huong vecto ta giai he tim a b [Sa,Sb]=solve(a*A+b*B==1,a^2+b^2==1) Sa = 4/5 Sb = -3/5 % vay u=[0 1],[4/5 -3/5] Cau 2: syms x y taylor(1/(2*x+3*y),[x y],[1 2],'order',3) ans = (3*(x - 1)*(y - 2))/128 - (3*y)/64 - x/32 + (x -1)^2/128 + (9*(y - 2)^2)/512 + ¼ Câu 3: >> syms x y real >> f=x^4+y^4-x^2-2*x*y-y^2; >> fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); >> [A B]=solve( fx , fy ) A = -1 B = -1 >> %M(0,0) N(1,1) L(-1,-1) >> A=diff(fx,x); B=diff(fx,y); C=diff(fy,y); >> delta=A*C-B*B; >> subs(delta,[x y],[0 0]) ans = >>%(0,0) điểm yên ngựa >> subs(delta,[x y],[1 1]) ans = 96 >> %delta>0 => N cực tiểu >> subs(delta,[x y],[-1 -1]) ans = 96 >> %delta>0 => L cực tiểu >> ezsurf(x,y,f,[-3 -5 -3 -5]) >> hold on >> plot3(1,1,subs(f,[x y],[1 1]),'r*');plot3(-1,-1,subs(f,[x y],[-1 -1]),'r*') Câu 4: >> syms x y >> z=sqrt(2-x^2-y^2); >> A=diff(z,x); B=diff(z,y); C=sqrt(1+A^2+B^2); >> %dS=Cdxdy >> %hình chiếu giao tuyến lên 0xy:{x,y thuoc R^2:x^2+y^2=1} >> g=(x+sqrt(x^2+y^2))*sqrt(x^2+y^2)*C; >> syms r phi real >> x=r*cos(phi); y=r*sin(phi); >> g=eval(g); >> S=int(int(g*r,r,0,1),phi,0,2*pi) S = -(2*pi*(5*2^(1/2) - 8))/3 %ve mat S; syms u v ezsurf(cos(u)*v,sin(u)*v,v,[0 2*pi 1]) hold on phi=linspace(0,2*pi,30); theta=linspace(0,pi,30); [p t]=meshgrid(phi,theta); x1=sqrt(2)*cos(t).*sin(p); y1=sqrt(2)*sin(t).*sin(p); z1=sqrt(2)*cos(p); mesh(x1,y1,z1,'FaceColor','w','FaceAlpha',0.5,'EdgeColo r','non'); t=linspace(0,2*pi,50); x=cos(t)+1; y=sin(t); z=1+0*x; plot3(x,y,z,'color','r') Câu 5: syms n; symsum(1/(3^n*factorial(n)),1,inf) ans = exp(1/3) – Câu 1: syms u v ezsurf(u,u^2,v,[-4 -4 4]) rotate3d on Câu 2: syms x y u v F=exp(u*v); U=x^2+y^2; V=x*y; Fx=diff(F,u)*diff(U,x)+diff(F,v)*diff(V,x) Fx = u*y*exp(u*v) + 2*v*x*exp(u*v) FY=diff(F,u)*diff(U,y)+diff(F,v)*diff(V,y) FY = u*x*exp(u*v) + 2*v*y*exp(u*v) Câu 3: syms x y >> f=(x+y^2)*exp(x/2); >> fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); >> [a b]=solve(fx, fy) a = -2 b = >> A=diff(fx,x); B=diff(fx,y); C=diff(fy,y); >> delta=A*C-B*B; >> subs(delta,[x y],[-2 0]) , subs(A,[x y],[-2,0]) ans = 0.1353 ans = 0.1839 >> %A>0, delta>0 nên(-2,0) điểm cực tiểu %ve va danh dau diem cuc tieu y=linspace(-15,10,15); x=linspace(-15,10,15); [x,y]=meshgrid(x,y); z1=(x+y^2)*exp(x) set(surf(x,y,z1),'facecolor','r','edgecolor','non', 'facealpha',.3) hold on plot3(-1,0,-exp(-1),'rp') Câu 4: >> syms x y z >> R=x+y; Q=2*-z; R=y; >> f=z-y^2; >> n=[diff(f,x) diff(f,y) diff(f,z)]; >> n=n/sqrt(diff(f,x)^2 + diff(f,y)^2 + diff(f,z)^2); >> p=(diff(R,y)-diff(Q,z))*n(1,1); >> q=(diff(P,z)-diff(R,x))*n(1,2); >> r=(diff(Q,x)-diff(P,y))*n(1,3); >> z=y^2; >> f=(eval(p)+eval(q)+eval(r))*sqrt(1+diff(z,x)^2+diff(z,y)^2); >> syms r phi real >> x=r*cos(phi); y=r*sin(phi); >> f=eval(f); >> S=int(int(f*r,'r',0,1),'phi',0,2*pi) S = -pi %ve duong cong C t=linspace(0,2*pi,50); x=cos(t); y=sin(t); z=y.^2; plot3(x,y,z,'color','r') Câu 5: syms n; symsum(n/3^n,1,inf) ans = 3/4 ... 1610964 Võ Thị Tú Như 15 123 69 Lê Văn Sinl 15 128 22 Phạm Thị Phương Thảo 161 322 4 Phạm Nguyễn Xuân Nhi 15 123 22 Hứa Xương Khang G 120 1576 Nguyễn Minh Tuệ 1513890 Năm học: 20 17 - 20 18 I LỜI MỞ ĐẦU: Ngày... ') f=x ^2/ a ^2+ y ^2/ b ^2; f=eval(f); ezsurf(f) Câu 2: syms x y f=log (2* x+3*y); C1: d10f=diff(diff(f,y,3),x,7) d10f = - 125 411 328 0/ (2* x + 3*y)^10 >> subs(d10f,{x,y},[-1 1]) ans = - 125 411 328 0 C2: subs(diff(diff(f,y,3),x,7),{x... [Sa,Sb]=solve(a*A+b*B==1,a ^2+ b ^2= =1) Sa = 4/5 Sb = -3/5 % vay u=[0 1],[4/5 -3/5] Cau 2: syms x y taylor(1/ (2* x+3*y),[x y],[1 2] ,'order',3) ans = (3*(x - 1)*(y - 2) )/ 128 - (3*y)/64 - x/ 32 + (x -1) ^2/ 128 + (9*(y - 2) ^2) /512