lòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốtlòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốtlòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốtlòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốt
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 03 ĐẠO HÀM CẤP CAO, PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Cơ Bùi Thị Khun Cơ Nguyễn Ngọc Quỳnh Như Lớp: L33 Nhóm thực hiện: Nhóm Họ tên Nguyễn Hồng Thái Duy Đinh Nhật Duy Nguyễn Thị Quỳnh Giang Lê Phúc Hậu Lê Trung Hiếu MSSV 2113018 2112996 2113257 2113324 2111185 Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2022 LỜI MỞ ĐẦU Trước tiên với tình cảm sâu sắc chân thành nhất, cho phép chúng em bày tỏ lòng biết ơn đến tất cá nhân tổ chức tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ suốt trình học tập làm tập lớn Trong suốt thời gian từ bắt đầu học tập trường đến nay, chúng em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ quý Thầy Cô, bạn bè anh chị Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy tận tình truyền đạt kiến thức suốt trình học tập Đặc biệt cô Bùi Thị Khuyên cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như trực tiếp giúp đỡ, quan tâm, hướng dẫn chúng em hoàn thành tốt tập lớn Nhờ có lời hướng dẫn, dạy bảo Cơ nên đề tài nhóm em hoàn thiện tốt đẹp Với vốn kiến thức tiếp thu q trình học khơng tảng cho chúng em làm tập lớn mà hành trang quý báu để chúng em bước vào đời vững tự tin Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài hạn chế kiến thức, chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía để tập lớn nhóm em hồn thiện Cuối xin kính chúc thầy sức khỏe dồi dào, gia đình hạnh phúc, gặp nhiều may mắn nghiệp nở hoa đường nhà giáo cao quý Chúng em xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Đạo hàm cao cấp 1.1 Định Nghĩa 1.2Cơng thức 1.3Ví dụ 1.4Ứng dụng học đạo hàm cấp hai 2.Phương Trình Laplace 2.1 Định nghĩa 2.2 Các dạng khác phương trình Laplace 2.3Ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 Đạo hàm cấp cao 1.1 Định nghĩa ' - Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑓 (𝑥) - Đạo hàm hàm số 𝑓 (𝑥), có, gọi đạo hàm cấp hai hàm số ' '' '' 𝑓(𝑥), kí hiệu 𝑦 hay 𝑓 (𝑥) - '' Đạo hàm hàm số 𝑓 (𝑥), có, gọi đạo hàm cấp ba hàm số ''' ''' 𝑓(𝑥), kí hiệu 𝑦 hay 𝑓 (𝑥) - Tương tự, đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) gọi đạo hàm cấp n hàm (𝑛) (𝑛) số 𝑦 = 𝑓(𝑥), kí hiệu 𝑦 hay 𝑓 (𝑥) (𝑛) [ (𝑛−1) 𝑓 (𝑥) = 𝑓 ' ] (𝑥) , 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑍 𝑣à 𝑛 ≥2 1.2 Công thức * Các công thức đạo hàm thường gặp ' - 𝑐 =0 - ( ) = 𝑛 𝑥𝑛−1 - (𝑢1 ± 𝑢2± … ±𝑢𝑛)' = 𝑢'1 ± 𝑢'2± … ±𝑢'𝑛 𝑛 ' 𝑥 ' ' ' - (𝑢𝑣) = 𝑢 𝑣 + 𝑢𝑣 - (𝑐𝑢) = 𝑐𝑢 - (𝑢𝑣𝑤) = 𝑢 𝑣𝑤 + 𝑢𝑣 𝑤 + 𝑢𝑣𝑤 - ( )' = ' ' ' ' 𝑢 𝑣 ' ' 𝑢'𝑣−𝑢𝑣' 𝑣 ▪ Đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố ℎợ𝑝: - 𝐶ℎ𝑜 𝑦 = 𝑓(𝑢), 𝑢 = 𝑔(𝑥)𝑡ℎì 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔ọ𝑖 𝑙à ℎà𝑚 𝑠ố ℎợ𝑝 𝑦'𝑥 = 𝑦'𝑢 𝑢'𝑥 * Các công thức đạo hàm cấp cao - 𝑚 (𝑛) = 𝑚(𝑚 − 1) (𝑚 − 𝑛 + 1) 𝑥 (𝑛) - (𝑙𝑛𝑥) - (𝑎 ) - (𝑠𝑖𝑛𝑥) - (𝑐𝑜𝑠𝑥) - (𝑒 ) - 𝑚−𝑛 (𝑥 ) 𝑥 (𝑛) 𝑛−1 = ( ) 𝑥 𝑥 (𝑛) (𝑛) 𝑥 (𝑛−1)! 𝑛 𝑛 = 𝑎 𝑙𝑛 𝑎, 𝑣ớ𝑖 𝑎 > (𝑛) 𝑥 (𝑛) (−1) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑛 π ) ( = cos 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑛 π ) 𝑥 =𝑒 𝑛 −𝑛−1 = (− 1) 𝑛! 𝑥 * Công thức Lepnit - (𝑛) 𝑁ế𝑢 𝑢 𝑣à 𝑣 𝑙à 𝑐á𝑐 ℎà𝑚 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑛 𝑙ầ𝑛 𝑡ℎì (𝑢𝑣) 𝑛 𝑘 (𝑘) (𝑛−𝑘) = ∑ 𝐶𝑛𝑢 𝑣 𝑘=0 𝑘 𝑣ớ𝑖 𝐶𝑛 𝑘í ℎ𝑖ệ𝑢 𝑡ổ ℎợ𝑝 𝑐ℎậ𝑝 𝑘 𝑐ủ𝑎 𝑛 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ử: 𝑘 𝐶𝑛 = 𝑛(𝑛−1) (𝑛−𝑘+1) 𝑘! 1.3 Ví dụ đạo hàm cấp cao: 𝑥+1 Bài 1: tính đạo hàm cấp n hàm số 𝑦 = Lời giải: '' ' Ta có: 𝑦 = (𝑥+1) −2 = − (𝑥 + 1) −3 𝑦 = 2(𝑥 + 1) ''' −4 𝑦 =− 3(𝑥 + 1) …… (𝑛) 𝑛 −(𝑛+1) - Dự đốn: 𝑦 - Chứng minh cơng thức quy nạp: = (− 1) 𝑛! (𝑥 + 1) 𝑛 = (−1) 𝑛! 𝑛+1 (𝑥+1) −2 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1: 𝑦 =− (𝑥 + 1) ⟹ công thức với 𝑛 = - Giả sử công thức với (𝑘) 𝑛 = 𝑘: 𝑦 - 𝑘 −(𝑘+1) = (− 1) 𝑘! (𝑘 + 1) 𝑘 = (−1) 𝑘! Ta chứng minh công thức với 𝑛 = 𝑘 + 𝑘+1 (𝑥+1) , 𝑣ớ𝑖 𝑛∈𝑁 (𝑘+1) 𝑘+1 −(𝑘+2) 𝑘+1 - Nghĩa là: 𝑦 - Thật vậy, áp dụng cơng thức tính đạo hàm cấp n ta được: (𝑘+1) 𝑦 [ (𝑘) = (− 1) ' (𝑘 + 1)! (𝑥 + 1) 𝑘 ] [ - Vậy 𝑦 - Do đó: 𝑦 (𝑛) 𝑘+1 = (− 1) 𝑘+2 (𝑥+1) ] = − (− 1)𝑘 𝑘! (𝑘 + 1)(𝑥 + 1)−(𝑘+1)− −(𝑘+2) (𝑘 + 1)! (𝑥 + 1) 𝑛 (𝑘+1)! −(𝑘+1) (𝑥) = 𝑦 (𝑥) = (− 1) 𝑘! (𝑥 + 1) (𝑘+1) = (−1) −(𝑛+1) = (− 1) (𝑛)! (𝑥 + 1) 𝑘+1 = (−1) 𝑛 = (−1) (𝑛)! 𝑛+1 (𝑥+1) (𝑘+1)! 𝑘+2 (𝑥+1) với n ∈ N 1.4 Ứng dụng học đạo hàm cấp hai - Xét chuyển động xác định phương trình 𝑠 = 𝑓(𝑥), Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động 𝑣(𝑡) = 𝑓'(𝑡) - Lấy số gia ∆𝑡 t 𝑣(𝑡) có số gia tương ứng ∆𝑣 - Khi 𝑣 (𝑡) = - Kí hiệu 𝑎(𝑡) - Hệ 𝑎(𝑡) = 𝑣 (𝑡) = 𝑠''(𝑡) ' ∆𝑣 ∆𝑡 gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t ' Ví dụ: Một vật chuyển động với phương trình 𝑠(𝑡) = 5𝑡 –3𝑡 + 4𝑡 –9 (m) Tìm gia tốc vật thời điểm t = Lời giải: - Vận tốc v(t) vật đạo hàm cấp quãng đường s(t) ' 𝑣(𝑡) = 𝑠 (𝑡) = 𝑡 − 6𝑡 + 4(𝑚/𝑠) - Gia tốc a(t) đạo hàm cấp vận tốc v(t) hay đạo hàm cấp quãng đường s(t) ' '' 𝑎(𝑡) = 𝑣 (𝑡) = 𝑠 (𝑡) = 30𝑡 − ⟹𝑎(2) = 54 (𝑚/𝑠 ) Phương trình Laplace 2.1 Định nghĩa - Trong tốn học, phương trình Laplace phương trình đaọ hàm riêng đặt theo tên người khám phá, Pierre-Simon Laplace Nghiệm phương trình Laplace quan trọng nhiều ngành khoa học, đáng ý ngành điện từ trường , thiên văn học , chất lỏng, chúng mơ tả hành vi điện, trọng lực, chất lỏng Lý thuyết tổng quát nghiệm phương trình Laplace gọi chung lý thuyết (potential theory) - Trong không gian n chiều , cho u hàm thực khả vi lần , phương trình Lapace phương trình: 2 ∂𝑢 + ∂𝑥 ∂𝑥 + …+ ∂𝑥 ∂𝑢 ∂𝑥 =0 𝑛 Khi vế phải không ∂𝑢 ∂𝑢 + ∂𝑢 ∂𝑥 ( ∂𝑢 + … + ∂𝑥 𝑛 ) = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 𝑓∈𝑅 phương trình phương 𝑛 trình Poisson 2.2 Các dạng khác phương trình Laplace khơng gian chiều: +Trong hệ tọa độ Descartes: ∂𝑓 ∂𝑥 + ∂𝑓 ∂𝑓 + ∂𝑦 =0 ∂𝑧 +Trong hệ tọa độ trụ: ∂ 𝑟 ∂𝑟 ∆𝑓 = ( ) ∂𝑓 ∂𝑟 + ρ sin𝑠𝑖𝑛 θ ∂ ∂θ 𝑟 𝑟 ∂𝑓 ∂ϕ + ∂𝑓 =0 ∂𝑧 +Trong hệ tọa độ cầu: ∆𝑓 = ρ ∂ ∂ρ ( ∂𝑓 ∂ρ ρ ) + ( sin 𝑠𝑖𝑛 θ ∂𝑓 ∂θ ) + 2 ∂𝑓 2 ρ 𝑠𝑖𝑛 θ ∂φ =0 - Nó viết tổng quát lại 2 ∇ 𝑓 = ℎ𝑎𝑦 ∆𝑓 = 0, 𝑣ớ𝑖 ∆ = ∇ toán tử Laplace hay Laplacian ∆𝑓 = ∇ 𝑓 = ∇ ∇𝑓 = 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 Trong : ∇ 𝑎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑎 divergence vectơ a ∇𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 gradient f - Nghiệm phương trình Laplace gọi hàm điều hòa (harmonic function) - Nếu vế phải hàm biết trước, chẳng hạn ∆𝑓 = ℎ phương trình gọi phương trình Poisson Phương trình Laplace hay phương trình Poisson dạng đơn giản phương trình đaọ hàm riêng ellip Toán tử vi phân, ∇ ℎ𝑎𝑦 ∆ (mà định nghĩa khơng gian n-chiều) gọi toán tử Laplace hay Laplacian - Phương trình Laplace trường hợp đặc biệt phương trình Helmholtz 10 Bảng biến đổi laplace: 11 2.3 Ứng dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, tích phân - 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑥) - 𝐿 𝑓 (𝑡) = 𝑆 𝐹(𝑠) − 𝑓(0) - 𝐿 𝑓 (𝑡) = 𝑆 𝐹(𝑠) − 𝑆 𝑓(0) − 𝑓 (0) - 𝐿 𝑓 (𝑡) = 𝑆 𝐹(𝑠) − 𝑆 [ ' ] [ '' ] [ (𝑛) ' 𝑛 ] 𝑛−1 +∞ - 𝑛−2 𝑓(0) − 𝑆 𝑛−1 𝑓(0) − … − 𝑆 𝑓 𝑛 (0) − 𝑓 (0) −𝑠𝑡 𝐹(𝑠) = 𝐿[𝑓(𝑥)] = ∫ 𝑒 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ' - 𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] =− 𝐹 (𝑠) - 𝐿[𝑓(𝑡)] = sin𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝑡) −𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) 2 2𝑘 (𝑆 +𝑘 ) 1) Giải phương trình vi phân sau phương pháp Laplace với điều kiện ban (4) '' đầu: {𝑥 - ' '' ''' + 8𝑥 + 16𝑥 = 𝑥(0) = 𝑥 (0) = 𝑥 (0) = ; 𝑥 (0) = Lấy 𝐿 vế phương trình : [ (4) '' [ (4)] + 8𝐿[𝑥''] + 16𝐿[𝑥] = ] 𝐿 𝑥 + 8𝑥 + 16𝑥 = 0⟺𝐿 𝑥 - Đặt 𝐿[𝑥(𝑡)] = 𝑋(𝑠) [ ' ] [ '' ] ' [ ⟹{𝐿 𝑥 (𝑡) = 𝑆 𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝑆 𝑋(𝑠) 𝐿 𝑥 (𝑡) = 𝑆 𝑋(𝑠) − 𝑆 𝑥(0) − 𝑥 (0) = 𝑆 𝑋(𝑠) 𝐿 𝑥 (4) '' [ ] + 8𝐿[𝑥 ] + 16𝐿[𝑥] = 𝑆 𝑋(𝑠) − + 8(𝑆 𝑋(𝑠)) + 16(𝑆 𝑋(𝑠)) = ⟹𝐿 𝑥 ( ) ⟺𝑋(𝑠) 𝑆 + 𝑆 + 16𝑆 = 𝑋(𝑠) = −1 −1 ⎤ 1 ⎤ = 𝐿−1⎡ 𝑥(𝑡) = 𝐿 [𝑥(𝑠)] = 𝐿 ⎡⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥= 2 ⎣ 𝑆 +8.𝑆 +16𝑆 ⎦ ⎣ (𝑆 +2 ) ⎦ 12 𝑆 +8.𝑆 +16𝑆 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)−2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡) 16 - 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)−2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡) 16 Vậy 𝑥(𝑡) = nghiệm phương trình vi phân ' 2) Giải phương trình vi phân 𝑦 + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3𝑡 , 𝑦(0) = - Lấy 𝐿 vế phương trình: [ '] 𝐿 𝑦 + 𝐿[𝑦] = 𝐿[𝑠𝑖𝑛3𝑡]⟺𝑝𝑌 + 𝑌 = ⟹𝑌(1 + 𝑝) = 𝐵 𝐴 10 𝐵 10 + 𝑌= 10 𝐶 + - 𝑝 +9 𝑝 +9 𝑌 = 𝐴𝑝+𝐵 = (𝑝 +9).(1+𝑝) 𝑝 +9 + 𝐶 𝑝+1 Thay 𝑝 = ; 𝑝 = ; 𝑝 = vào ta có hệ phương trình: {9 + 𝐶 = ⟹𝑦 =− 2 − 10 𝑝+ 10 + 𝑝 +9 𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 10 20 10 𝑝+1 𝑠𝑖𝑛3𝑡 + 10 Vậy 𝑦 =− = 2𝐴 13 =− 10 10 −𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 𝐵 13 + 𝐶 + 𝑝 𝑝 +9 = 10 + 13 ⟹ {𝐴 =− + 𝑝 +9 10 10 𝐵= 10 𝐶= 10 𝑝+1 𝑒 10 𝑠𝑖𝑛3𝑡 + 10 −𝑡 𝑒 nghiệm phương trình vi phân +∞ −3𝑡 3) Dùng biến đổi laplace để tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑒 𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 - 𝑎 𝐿[𝑠𝑖𝑛𝑎𝑡] = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4𝑡 {𝐹(𝑠) = 2 𝑠 +𝑎 𝑠 +16 +∞ −𝑠𝑡 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒 +∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 +∞ −3𝑡 𝑠 = => ∫ 𝑒 13 −𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 25 +∞ −𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 ⟹ ∫ 𝑒 𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 = +∞ - −3𝑡 Vậy tích phân 𝐼 = ∫ 𝑒 𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 25 +∞ −2𝑡 4) Dùng phép biến đổi laplace tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡 ' 𝑎 - 𝐿[𝑠𝑖𝑛𝑎𝑡] = - 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛6𝑡 => 𝐹(𝑠) = ; 𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] =− 𝐹 (𝑠) 𝑠 +𝑎 ' {𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] = 𝐿[𝑡𝑠𝑖𝑛6𝑡] =− 𝐹 (𝑠) = +∞ - 𝑠 +36 2 (𝑠 +36) −2𝑡 𝑠 = 2⟹ ∫ 𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡 = +∞ - +∞ 12𝑠 𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] = ∫ 𝑒 200 −2𝑡 Vậy tích phân 𝐼 = ∫ 𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡 = 14 −𝑠𝑡 200 +∞ −2𝑡 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡 ⟹ TÀI LIỆU THAM KHẢO [2] Link tham khảo 15