ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI S1 HÀM NHIỀU BIẾN THỰC (NGHIÊN CỨU NÂNG CAO) GVHD HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Lớp L21 Nhóm 17 Danh sá[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI S1 HÀM NHIỀU BIẾN THỰC (NGHIÊN CỨU NÂNG CAO) GVHD: HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Lớp: L21 Nhóm: 17 Danh sách thành viên: MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Lời chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa-ĐHQG TP.HCM đưa mơn Giải Tích vào chương trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên môn cô Huỳnh Thị Hồng Diễm giảng dạy, truyền đạt cho chúng em kiến thức quý báu ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học cô chúng em tự thấy thân tư hơn, học tập thêm nghiêm túc, hiệu Đây chắn tri thức quý báu, hành trang cần thiết cho chúng em sau Được phân công giảng viên môn, với kiến thức tích lũy q trình học tập chúng em xin trình bày báo cáo Qua việc thực báo cáo này, nhóm chúng em biết thêm nhiều kiến thức lạ bổ ích Do vốn kiến thức chúng em hạn chế nên cố gắng nên chắn khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong xem xét, góp ý để báo cáo hồn thiện Chúng em xin chân thành cảm ơn! NỘI DUNG BÁO CÁO Chương 1: ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1.1 Định nghĩa: Định nghĩa 1: Cho U phận mở E, f : U → F, a ∈ U, v ∈E – { } Ta có: f 'a(v) ánh xạ φ v: t → f (a+tv), xác định lân cận r, khả vi Điều kiện thoả mãn, gọi phần tử φ 'v (0) F tức là: lim t →0 (f ( a+ tv ) −f ( a )) t Là đạo hàm cấp f a theo v kí hiệu: Dv f (a) Như vậy, với điều kiện tồn thì: D v f ( a )=lim t→0 (f ( a+tv ) − f ( a )) t Trường hợp thường xảy nhất: E = R p v vecto sở tắc R p Định nghĩa 2: Cho U phận mở R ρ,f:U→ R n,a ϵ U,j ϵ (1,…,p) Ta nói f có đạo hàm riêng a vị trí thứ j (hoặc f khả vi a vị trí thứ j) f có đạo hàm cấp a theo ej, ẹ vecto thứ j sở tắc R ρ: ej = (0,…,0 0,…0) (1 đứng vị trí thứ j) Nếu điều kiện thỏa mãn, ta gọi đạo hàm riêng cấp f a vị trí thứ j, kí hiệu Df(a) Với điều kiện tồn tại: D j f ( a )=lim t →0 ' f ( a+t e j ) − f ( a ) ) =( f ( a1 , … a j− , … , a j+1 , … , a p ) ) ( a j ) , ( t với (a , … , a p ¿=a f ( a1 , … ,a j −1 , … , a j+1 ,… , a p )là ánh xạ riêng thứ j f a , xác đjnh f ¿ Ký hiệu: Thường ánh xạ f cho ảnh phần tử đặc trưng U, chẳng hạn f : U → F ( x , … , x p ¿ → f ( x1 , … , x p ) Nếu f a có đạo hàm riêng cấp vị trí thứ j ta có ký hiệu dạng sau: D j f ( a) , ∂f ( a ) , f 'x ( a) ∂ xj j Mệnh đề: Cho U phận mở E, f : E → R p, a ∈ U Ký hiệu: f , … , f n ánh xạ thành phần f xác định bởi: ∀ x ∈ E , f ( x ) =( f ( x ) , … , f n ( x ) ) Cho j ∈ {1 , … , p } Để f có đạo hàm riêng cấp a vị trí thứ j, điều kiện cần đủ f , … , f n có đạo hàm riêng cấp vị trí thứ j Trong trường hợp này: D j f ( a ) =( D j f ( a ) , … , D j f n ( a ) ) Nhận xét: Mệnh đề cho phép đưa việc nghiên cứu hàm có giá trị R Định nghĩa 3: Cho U phận mở R ρ , f :U → F Ta gọi p hàm D j f : a→ D j f (a),1 ≤ j ≤ p ∂f ' đạo hàm riêng cấp Ta kí hiệu ∂ x ℎay f x thay cho D j f j j Nhận xét: Mỗi D j f (1 ≤ j≤ p) xác định phận U Nếu f : R2 → R2 D1 f xác định R∗x R : ( x , y ) → ( y ,|x|) { D f : ( x , y ) → ( 0,1 ) x >0 ( , −1 ) x nên f ( y ) hàm tăng, f(0)=0, f ( √ x )= √ x nên f nhận tất giá trị khoảng [0; √ x ) Vậy f(U) = V với V = {(x,z)|0