Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 chủ đề 16

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA šžžžRžžž› BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH Chủ đề 16: LỚP L41 NHĨM 16 Giảng viên hướng dẫn: STT HỌ VÀ TÊN Phùng Khải Minh Trần Xuân Sang MSSV 2212078 2014353 Thành phố Hồ Chí Minh – 05/2023 Ghi BẢNG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN CƠNG VIỆC NHĨM STT Họ tên Phùng Khải Minh Trần Xuân Sang Cá nhân tự đánh Nhóm đánh giá kết giá kết Hoàn thành tốt, hạn Hoàn thành tốt, hạn 50% 50% GV đánh giá MỤC LỤC NỘI DUNG PHẦN I Câu 1: Câu 7: Câu 13: Câu 17: Câu 19: Câu 21: NỘI DUNG PHẦN II .9 Bài toán 76: Bài toán 77: 10 Bài toán 78: 11 Bài toán 79: 12 Bài toán 80: 13 NỘI DUNG PHẦN I Câu 1: Tìm vectơ vận tốc gia tốc x=2 +t, y =4+t, z= 1-t Giải Vectơ vận tốc v đạo hàm vectơ vị trí r theo thời gian 𝑉 = 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =' , , , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Lấy đạo hàm phương trình vị trí cho theo thời gian, ta được: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 3, = 1, = −1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Do đó, vectơ vận tốc là: 𝑉 = (3, 1, −1) Để tìm vectơ gia tốc a, cần lấy đạo hàm cấp hai vectơ vị trí r theo thời gian: 𝑑!𝑟 𝑑!𝑥 𝑑!𝑦 𝑑!𝑧 => 𝑎 = ! = ! , ! , ! 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Lấy đạo hàm phương trình vận tốc theo thời gian, ta được: 𝑑!𝑥 𝑑!𝑦 𝑑!𝑧 = 0, ! = 0, ! = 𝑑𝑡 ! 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Do đó, vectơ gia tốc là: a = (0, 0, 0) Trong trường hợp này, vectơ gia tốc 0, cho biết vận tốc khơng đổi khơng có thay đổi tốc độ hướng dọc theo đường cong Câu 7: Tìm vector vận tốc gia tốc tính tốc độ Tìm thời gian mà dừng lại 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡 ! , 𝑧 = 𝑡 " Giải Vectơ vận tốc v đạo hàm vectơ vị trí r theo thời gian 𝑉 = 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =' , , , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Lấy đạo hàm phương trình vị trí cho theo thời gian, ta được: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 1, = 2𝑡, = 3𝑡 ! 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Do đó, vectơ vận tốc là: 𝑉 = (1, 2𝑡, 3𝑡 ! ) Tốc độ độ lớn vectơ vận tốc: 𝑠𝑝𝑒𝑒𝑑 = |𝑣| = =1 + (2𝑡)! + (3𝑡 ! )! = =1 + 4𝑡 ! + 9𝑡 # Vì √1 + 4𝑡 ! + 9𝑡 # ≥ với 𝑡 ≥ vectơ vận tốc |𝑣| nên ta tìm thời gian để hạt dừng lại Câu 13: 𝑥 = + 5𝑡, 𝑦 = + 4𝑡, 𝑧 = − 𝑡, ≤ 𝑡 ≤ Tính chiều dài phương pháp khác Giải Lấy đạo hàm, ta được: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 5, = 4, = −1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Sử dụng công thức khoảng cách: 𝑑𝑥 ! 𝑑𝑦 ! 𝑑𝑧 ! E 1F' , + ' , + ' , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 $ ! ! = E =5! + 4! + (−1)! 𝑑𝑡 $ ! = E √42 = √42 $ Để kiểm tra phương pháp khác, sử dụng định lý Pitago để tìm độ dài vectơ công thức [(∆𝑥 )! + (∆𝑦)! + (∆𝑧)! ]%,' Ta chia đường cong thành đoạn thẳng AB BC với điểm ban đầu A = (8, 5, 2) điểm B = (10.5, 7, 1.5) điểm cuối C = (13, 9, 1) Ta có: ΔxAB = 10.5 – = 2.5 , ΔyAB = 7-5=2 , ΔzAB = 1.5 – = -0.5 ΔxBC = 13 – 10.5 = 2.5, ΔyBC = 9-7 = 2, ΔzBC = 1-1.5 = -0.5 Chiều dài AB là: 𝑙() = [(∆𝑥() )! + (∆𝑦() )! + (∆𝑧() )! ]%,' = [(2.5)! + (2)! + (−0.5)! ]%,' = √42 Chiều dài BC là: 𝑙)* = [(∆𝑥)* )! + (∆𝑦)* )! + (∆𝑧)* )! ]%,' = [(2.5)! + (2)! + (−0.5)! ]%,' = √42 Suy chiều dài đường cong là: 𝑙 = 𝑙() + 𝑙)* = √42 Điều giống phương pháp sử dụng tích phân Câu 17: Tìm vectơ vận tốc gia tốc chuyển động tròn kiểm tra xem chúng có phải đơn chất người khơng Kiểm tra xem tốc độ độ lớn gia tốc không đổi Giải Ta đạo hàm để có vận tốc gia tốc: - Vectơ vận tốc: 𝑣’𝑥 = −6𝜋𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑡), 𝑣’𝑦 = 6𝜋𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡), 𝑣’𝑧 = + Vectơ vận tốc v là: 𝑣 = −6𝜋𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑡)𝑖 + 6𝜋𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡)𝑗 + 0𝑘 - Vectơ gia tốc: 𝑎+ 𝑥 = −12(𝜋 ! ) cos(2𝜋𝑡) , 𝑎+ 𝑦 = −12(𝜋 ! ) sin(2𝜋𝑡) , 𝑎+ 𝑧 = + Vectơ gia tốc là: 𝑎 = −12(𝜋 ! ) cos(2𝜋𝑡) 𝑖 − 12(𝜋 ! ) sin(2𝜋𝑡) 𝑗 + 0𝑘 Vectơ vận tốc gia tốc có vng góc với t hay khơng, lấy tích vơ hướng: 𝑣 𝑎 = (−6𝜋 sin(2𝜋𝑡))(−12𝜋 ! cos(2𝜋𝑡)) + (6𝜋 cos(2𝜋𝑡))(−12𝜋 ! sin(2𝜋𝑡)) + (0)(0) = => vectơ vận tốc gia tốc vng góc với t Độ lớn vectoc vận tốc |𝑉| = =(−6π sin(2πt))! + (6πcos (2πt))! + 0! = 6π Độ lớn vectoc gia tốc |𝑎| = =(−12π! cos(2πt))! + (−12π! sin (2πt))! + 0! = 12π! Vì tốc độ độ lớn gia tốc không đổi nên chuyển động ví dụ chuyển động trịn Câu 19: Tìm vectơ vận tốc gia tốc chuyển động thẳng Kiểm tra xem vectơ gia tốc hướng với vectơ vận tốc tốc độ tăng ngược hướng tốc độ giảm Giải Ta đạo hàm: - Vectơ vận tốc 𝑉’𝑥 = 2𝑡, 𝑣’𝑦 = −2𝑡, 𝑣’𝑧 = −2𝑡 Do đó, vectơ vận tốc v là: 𝑣 = 2𝑡𝑖 − 2𝑡𝑗 − 2𝑡𝑘 - Vectơ gia tốc: 𝑎’𝑥 = 2, 𝑎’𝑦 = −2, 𝑎’𝑧 = −2 Do đó, vectơ gia tốc a là: 𝑎 = 2𝑖 − 2𝑗 − 2𝑘 Để kiểm tra xem vectơ gia tốc có hướng với vectơ vận tốc tốc độ tăng ngược hướng tốc độ giảm hay khơng, sử dụng tích vơ hướng tích vơ hướng Tốc độ chuyển động cho độ lớn vectơ vận tốc |v|, là: Đạo hàm theo thời gian vận tốc là: ,|.| Do đó, tốc độ tăng ( ,/ > 0), vectơ gia tốc vectơ vận tốc hướng, có nghĩa tích vơ hướng (a · v) ,|.| dương Ngược lại, tốc độ giảm ( ,/ < 0), vectơ gia tốc vectơ vận tốc ngược hướng, có nghĩa tích vơ hướng (a · v) âm Câu 21: Tìm phương trình tham số tiếp tuyến t=2 cho tập 10 Giải 𝑥 = (𝑡 − 1)! , 𝑦 = 2, 𝑧 = 2𝑡 ! − 3𝑡 ! Ta đạo hàm: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 2(𝑡 − 1) = 2, = 0, = 4𝑡 − 6𝑡 = −4 𝑣ớ𝑖 𝑡 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Thế t=2 vào ta điểm (x, y, z)= (1, 2, -4) Phương trình tham số tiếp tuyến: y=y0 + bt z= z0 + ct x=x0+at y= 2+0t => z=-4-4t x=1+2t NỘI DUNG PHẦN II Bài toán 76: Trong tọa độ cầu, khối Ω xác định 𝜌 ≤ Vẽ khối Ω tính thể tích "0 # ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, ≤ 𝜑 ≤ Giải Ta có: 𝜌! = 𝑅 ! => 𝑥 ! + 𝑦 ! + 𝑧 ! = 𝑀à 𝑡𝑎𝑛𝜃 = Thay 𝜃 = "0 ,𝜃 # 𝑟 = 𝜋 ta có phương trình sau: 𝑧 = −=𝑥 ! + 𝑦 ! , 𝑧 = 0, vẽ thêm đường 𝑦 = 𝑥 Tính thể tích khối # Hình ảnh minh họa 1.1 khối Ω Bài tốn 77: Cho S phần mặt cong = Tính diện tích S +4 = 12 giới hạn z = + cos 5x z Hình ảnh minh họa 1.2 Giải Đổi biến theo tọa độ cực: , Tính diện tích S !0 𝑆 = E (1 + cos(10 cos(𝑡)))=(2 sin(𝑡 ))! + 3(cos(𝑡))! 𝑑𝑡 ≈ 9.07 % Bài toán 78: Trong tọa độ cực (x = r cos φ, y = r sin φ), miền phẳng D xác định r ≤cos2φ, ≤φ≤ Cho C biên định hướng âm D Tính Giải Vì miền (C) kín (C) biên định hướng âm suy ra: g 𝑥 ! 𝑑𝑦 = − h 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 * 20 # Thay 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑), ≤ 𝑟 ≤ cos(2𝜑) , # 345(!7) − E 𝑑𝜑 E 20 # % i2𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑)j 𝑟𝑑𝑟 ≤𝜑≤ # ta được: # 345(!7) 2𝑟 " cos(𝜑) = −E 20 % 𝑑𝜑 # # cos(2𝜑)" cos(𝜑) 𝑑𝜑 20 = −E # ≈ −0.43099 Bài toán 79: Mặt cong S mặt phía mặt trịn xoay quay đường cong z = 2y, ≤ y ≤1, quanh trục Oz Tính ∬9 𝑦 ! 𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝑆): 𝑧 = 2𝑦 => 𝑧 +𝑥 = 0, 𝑧 + 𝑦 Giải =2 𝐷:; = {𝑥 ! + 𝑦 ! ≤ 1} => Đặ𝑡 r 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑) 0≤𝑟≤1 =>r ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑) 𝐷;< = {𝑧 = 2𝑦} => (𝑂𝑧, tttt⃗ 𝑛= ) > 90 => ∬9 𝑦 ! 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∬1 (0,0, 𝑦 ! )(0, −2,1)𝑑𝑥𝑑𝑦 !" !0 = −E $ 𝑑𝜑 E 𝑦 ! 𝑟𝑑𝑟 % !0 = −E % !0 = −E % % $ 𝑑𝜑 E (𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑))! 𝑟𝑑𝑟 % $ ! 𝑠𝑖𝑛(𝜑 ) 𝑑𝜑 E 𝑟 " 𝑑𝑟 % = −𝜋 Bài toán 80: Viết phương trình mặt cong S tính diện tích mặt S Bài tốn 79 Giải Để tính diện tích mặt cong S, ta sử dụng cơng thức sau cho diện tích mặt cong mặt phẳng: 𝑆 = h 1𝑑𝑠 𝑧 +𝑥 = Ta có: 𝑧 = 2𝑦 => r + => 𝑑𝑠 = √1 + + 2! 𝑑𝑥𝑑𝑦 = √5𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧𝑦=2 𝐷:; = {𝑥 ! + 𝑦 ! ≤ 1} => Đặ𝑡 r 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑) 0≤𝑟≤1 =>r ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑) Suy ra: !0 𝑆 = h 1𝑑𝑠 = h 1:; √5𝑑𝑥𝑑𝑦 = E % $ 𝑑𝜑 E √5𝑟𝑑𝑟 = 𝜋√5 %