(Tiểu luận) báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 đề tài số 6 mặt bậc 2 và ứng dụng của tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI SỐ “Mặt bậc ứng dụng tích phân” GVHD: Nguyễn Thị Xuân Anh LỚP L18 - NHÓM 12 – HK222 STT HỌ TÊN MSSV Nguyễn Quang Anh 2210097 Phạm Bảo Duy 2210530 Lê Đình Nghĩa 2212220 Phạm Minh Phúc 2212645 Tô Nguyễn Hoàng Phúc 2212650 Nguyễn Thị Thanh Tuyền 2115207 Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5/2023 DANH SÁCH THÀNH VIÊN VÀ BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ Mức độ STT MSSV Họ tên Nhiệm vụ 2210097 Nguyễn Quang Anh Bài toán 100% 2210530 Phạm Bảo Duy Bài tốn 100% 2212220 Lê Đình Nghĩa Bài tốn 100% 2212645 Phạm Minh Phúc Bài toán 100% 2212650 Tơ Nguyễn Hồng Phúc Bài tốn 100% 2115207 Nguyễn Thị Thanh Tuyền Lý thuyết, tổng hợp word 100% hồn thành MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU I CỞ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tích phân kép 1.2 Tích phân bội ba 1.3 Tích phân đường 1.3.1 Tham số hóa đường cong 1.3.2 Tích phân đường loại 1.3.3 Tích phân đường loại 1.4 Tích phân mặt loại 1.5 Tích phân tọa độ cực II BÀI TẬP 1.1 Bài toán 1.2 Bài toán 14 1.3 Bài toán 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 LỜI NÓI ĐẦU Chào cô bạn sinh viên thân mến, báo cáo tập lớn môn học Giải tích nhóm 12 lớp L18 thực Ở tập lớn này, nhóm tìm hiểu nội dung “Ứng dụng tích phân” Trong lĩnh vực giải tích, tích phân nội dung khó, có tính trừu tượng cao Tuy nhiên, sống thấy phép tính tích phân ứng dụng nhiều phổ biến, tích phân có ứng dụng cụ thể hiệu đo chiều dài đường cong, tính diện tích hình phẳng, tính diện tích bề mặt thể tích vật thể Thơng qua tập lớn, nhóm ứng dụng tích phân để tính tốn chiều dài, diện tích, thể tích vật thể cho Để hoàn thành tập lớn này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn cô Nguyễn Thị Xuân Anh Trong q trình làm báo cáo khó tránh khỏi sai sót mong bỏ qua chúng em mong chờ nhận xét từ cô để chúng em rút kinh nghiệm cho báo cáo tới PHẦN NỘI DUNG I CỞ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tích phân kép * Định nghĩa tích phân kép Tích phân kép hàm f(x,y) miền D là: m n ∬ f(x, y)dxdy = lim ∑ ∑ f(x ∗ ∗ , y )∆x∆y ij ij m,n⟶∞ D * i=1 j=1 Định lý Fubini Cho ( , ) ≥ 0, ∀( , ) ∈ = {( , ) ∈ : ≤ ≤ , ≤ ≤ } hàm liên tục miền D Khi đó: b d d ∬ f(x, y)dxdy = ∫ [∫ f(x, y)dy] dx = ∫ [∫ f(x, y)dx] dy D a c c b a Cho hàm số f(x,y) liên tục miền D Nếu D: ≤ ≤ , 1( ) ≤ ≤ 2( ) liên tục [a,b] thì: b ∬ f(x, y)dxdy = ∫ [ ∫ * y2( ) f(x, y)dy] dx D a y1( ) Tính chất S(D) = ∬D dxdy (S(D) diện tích miền D) ∬D[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = ∬D f(x, y)dxdy + ∬D g(x, y)dxdy ∬D Cf(x, y)dxdy = C ∬D f(x, y)dxdy (C số) Chia miền D thành miền khơng dẫm lên D1, D2 thì: ∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy D D D Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) D thì: ∬D f(x, y)dxdy ≤ ∬D g(x, y)dxdy Trên D, hàm f(x,y) đạt GTLN fmax=M, GTNN fmin=m m S(D) ≤ ∬ f(x, y)dxdy ≤ M S(D) D 2 1.2 Tích phân bội ba * Định nghĩa tích phân bội ba Tích phân bội ba hàm f(x,y,z) miền V là: l m n ∭ f(x, y, z)dV = lim ∑ ∑ ∑(x ∗ ∗ ∗ ,y ij , z )∆V ij ij l,m,n→∞ i=1 j=1 k=1 V Nếu giới hạn tồn tại, f(x,y,z) gọi hàm khả tích V * Định lý Fubini Cho f(x,y,z) hàm liên tục miền V = {(x, y, z) ∈ R3: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s} b d r b ∭ f(x, y, z)dV = ∫ ∫ ∫ f(x, y, z)dxdydz = ∫ [∫ (∫ f(x, y, z)dz) dy] dx V a c s a d c r s Cho miền V = {(x, y, z): (x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}, D hình chiếu miền V xuống mặt phẳng Oxy Khi đó: z2(x,y) ∭ f(x, y, z)dV = ∬ dxdy V ∫ D f(x, y, z)dz z1(x,y) * Tính chất: Các hàm f, g khả tích V: ∭V dxdydz = V ∭V C f(x, y, z)dxdydz = C ∭V f(x, y, z)dxdydz ∭V[f(x, y, z) + g(x, y, z)]dxdydz = ∭V f(x, y, z)dxdydz + ∭V g(x, y, z)dxdydz Nếu V chia thành miền không dẫm lên V1, V2 thì: ∭ f(x, y, z)dxdydz = ∭ f(x, y, z)dxdydz + ∭ f(x, y, z)dzdydz V V1 V2 Nếu f ≤ g V thì: ∭V f(x, y, z)dxdydz ≤ ∭V g(x, y, z)dxdydz 1.3 Tích phân đường 1.3.1 Tham số hóa đường cong Có dạng tham số hóa đường cong thường gặp đường cong phẳng: - Theo tọa độ Descartes: tham số x y - Theo tham số dạng tổng quát t - * Theo tọa độ cực: tham số r φ Tham số hóa đường cong khơng gian Ngun tắc: Tham số hóa cho biến mặt phẳng để suy tham số cho biến thứ Bước 1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp Bước 2: Tham số hóa đường cong hình chiếu (trong mặt phẳng) Bước 3: Tham số hóa biến cịn lại * Tham số hóa đường cong phẳng dạng tổng quát Đường cong (C) có dạng: x= x(t), y= y(t); t1 ≤ t ≤ t2 Trường hợp 1: Đoạn thẳng nối điểm A(a1; a2) B(b1; b2): X = A + t(B − A); ≤ t ≤ ⟺ {x = a1 − t(b1 − a1) Trường hợp 2: Đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 ; ≤ t ≤ y = a2 − t(b2 − a2) x = a + Rcost Trường hợp 3: Ellipse x2 + y2 {y = b + Rsint ; ≤ t < 2π(hoặc − π ≤ t ≤ π) =1 a2 b2 x = acost {y = bsint ; ≤ t ≤ 2π x * Tham số hóa đường cong phẳng dạng tọa độ cực = r(φ)cosφ = ( ) Chúng ta tham số hóa sau: {y = r(φ)sinφ α ≤φ≤β 1.3.2 Tích phân đường loại * Định nghĩa tích phân đường loại Cho hàm f(x,y) xác định phần đường cong C từ điểm A đến điểm B: n ∫ f(x, y)dl = lim ∑ f(xk, yk)∆l n→∞ AB k=1 * Tính chất Tích phân đường loại không phụ thuộc vào đường đi: = L = Độ dài cung ⏜ ∫AB 1dlAB ∫AB C f(x, y)dl = C ∫AB f(x, y)dl ∫AB[f(x, y) + g(x, y)]dl = ∫AB f(x, y)dl + ∫AB g(x, y)dl Nếu C = C1 ∪ C2 ∫C f(x, y)dl = ∫C1 f(x, y)dl + ∫C2 f(x, y)dl 1.3.3 Tích phân đường loại * Định nghĩa tích phân đường loại ⃗ Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector F = (P(x, y), Q(x, y)) xác định cung BC Phân hoạch cung BC thành n cung nhỏ không trùng lên B0, B1 … Bn Lấy điểm cung M(xk, yk) BkBk+1 n Sn = ∑[P(xk, yk)∆xk + Q(xk, yk)∆yk] k=1 Nếu Q(x,y) dọc theo cung ⏜ : n→∞lim ⏜ lập thành tổng tích phân: ⏜ Sn tồn hữu hạn giới hạn tích phân đường loại hàm P(x,y) BC ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy BC * Tính chất Tích phân đường loại phụ thuộc vào chiều đường đi: đổi chiều đường tích phân đổi dấu: ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy AB BA Nếu C = C1 ∪ C2 thì: ∫C P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy C1 C2 1.4 Tích phân mặt loại * Định nghĩa tích phân mặt loại Cho hàm f(x,y,z) mặt S Chia S thành n phần tùy ý khơng dẫm diện tích mặt ∆Sk, lên Gọi tên ta lấy điểm Mk k=1, 2,…, n Trên mảnh tùy ý lập tổng: n Sn = ∑ f(Mk)∆Sk k=1 Cho max{d(∆Sk} → (d(∆Sk) đường kính mảnh Sk), tổng dần giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S cách lấy điểm Mk ta gọi tích phân mặt loại hàm f(x,y,z) mặt S: n ∬ f(x, y, z)ds = lim ∑ f(Mk)∆Sk max(d∆Sk)→0 S * k=1 Tính chất Diện tích mặt S tính ∬S ds ∬S(γf + μg)ds = γ ∬f + μg)ds = γ ∬g)ds = γf + μg)ds = γ ∬ ∬S fds + μg)ds = γ ∬ ∬S gds Nếu mặt S chia thành mặt khơng dẫm lên S1, S2 ∬ fds = ∬ fds + ∬ fds S S1 S2 Khối lượng mặt cong: Nếu mặt cong S có mật độ điểm (x,y,z) thuộc mặt cong (x,y,z) khối lượng mặt là: m(S) = ∬ ρ(x, y, z)ds S 1.5 Tích phân tọa độ cực * Nhắc lại tọa độ cực Trong hình học phẳng, hệ tọa độ cực sử dụng để mô tả thuận tiện số đường miền định Với điểm M, tọa độ Descartes (x,y) từ hình vẽ: φ = g(Ox⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM) Đặt { r = |OM| Ta gọi (r,φ) tọa độ cực điểm M Mối liên hệ tọa độ cực tọa độ Descartes là: { ⟺ r2 x = rcosφ = x2 + y2; φ = arctan y = rsinφ * Tọa độ cực tích phân kép 2 Nếu miền lấy tích phân kép hình trịn có phương trình (x − a) + (y − b) = r , ta đổi tích phân kép sang tọa độ cực cách đặt: x = rcosφ Với D = {(r, φ): α ≤ φ ≤ β, r1(φ) ≤ r ≤ r2(φ)} β {y = rsinφ J = r r2(φ) ⟹ ∬ f(x, y)dxdy = ∫ [ ∫ D f(rcosφ, rsinφ) rdr] dφ α r1(φ) Khi tâm hệ tọa độ cực khơng trùng với tâm hình trịn lúc r hàm phụ thuộc góc φ * Diện tích mặt cong S Mặt cong S cho phương trình z = z(x,y), Dxy hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Khi đó: dS = √1 + z′ ∬ f(x, y, z)dS = ∬ f(x, y, z(x, y)) √1 + z′ S x x + z′ ydxdy + z′ ydxdy D xy II BÀI TẬP 1.1 Bài tốn Với khối mơ tả hình bên trái đây, thực yêu cầu sau: a Dùng phần mềm tùy ý vẽ khối b Sau tính diện tích mặt phía trên, mặt xung quanh thể tích khối biết đơn vị tính trục mét c Người ta dự tính làm mặt phía khối vật liệu có hàm mật độ ( , ,)=9− + , tính khối lượng mặt (bỏ qua đơn vị tính) GIẢI: a Dùng phần mềm tùy ý vẽ khối b Tính diện tích mặt phía trên, mặt xung quanh thể tích khối biết đơn vị tính trục mét Diện tích S mặt phía khối:  Diện tích mặt S tính S = ∬S 1ds với ds = √1 + z ′2 x ′2 +z y dxdy −x −y ′ ⟹ zx = Ta có: z = , zy 2 √x +y = √(x2+y2)3 √(x +y ) x2 y2 ⟹ ∬ ds = ∬ √1 + + (x S ′ D dxdy = ∬ √1 + 23 +y) (x dxdy 23 ( +y) 22 + ) D 10 Chiếu Oxy: x = rcosφ 1≤r≤3 Đặt: { →{ y = rsinφ 0≤φ≤2π Vậy diện tích mặt phía khối là: 2π ∬√1+ r dr ≈ 26.426(m2) dxdy = ∫ dφ ∫ √1 + (x 22 +y) r D Diện tích mặt xung quanh I khối:  Diện tích mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, biên đường C nằm mặt phẳng Oxy, biên nằm mặt z = f(x, y) tính bởi: Strụ = ∫ f(x, y)dl C Ta có: z = ⟹S= √x2+y2 Với (C ) x2 + y2 x = 3cost = ⟹ Đặt: { dl √x2+y2 , ≤ t ≤ 2π ∫C y = 3sint 2π 2π dt = ∫ S ′ ′2 √(x ) + (y ) =∫ xq1 t √r 2 √(−3sint) + (3cost) dt = 2π ≈ 6,283 (m ) t √9 2 Với (C2): x + y = ⟹ Đặt { o x = cost , ≤ t ≤ 2π y = sint 2π 2π S √(x′)2 =∫ xq2 + (y′)2 t √r √(sint)2 + (cost)2dt = 2π ≈ 6,283(m2) dt = ∫ t o Vậy diện tích mặt xung quanh khối là: S = Sxq1 + Sxq2 = 4π ≈ 12,566(m2) 11  Thể tích V khối: Thể tích vật thể V = ∭V 1dxdydz (nằm trên) Chọn: { z1 = 2 √x +y z2 = ⇒0≤z≤ √x2 + y2 2 √x +y V = ∭ 1dxdydz = ∬ ∫ D 1dz dxdy = ∬ √x D [ ] Chiếu Oxy: x = rcosφ 1≤r≤3 Đặt: { →{ 0≤φ≤2π y = rsinφ Vậy thể tích khối là: 2π 1 V=∬ dxdy = ∫ dφ ∫ √x D +y r dr = 4π ≈ 12,566 (m ) √r dxdy 2 +y 12 c Dự tính làm mặt phía khối vật liệu có hàm mật độ ( , , ) = − + , tính khối lượng mặt Nếu mặt cong S có mật độ điểm (x,y,z) thuộc mặt cong (x,y,z) khối lượng mặt là: m(S) = ∬S ρ(x, y, z)ds Ta có: x2 y2 m(S) = ∬ ρ(x, y, z)ds = ∬(9 − x + z)√1 + + (x + y2) S dxdy (x + y2) D 1 = ∬ (9 − x2 + )√1+ √x 2 dxdy 2 +y ( + ) D Chiếu Oxy: x = rcosφ 1≤r≤3 Đặt: { →{ 0≤φ≤2π y = rsinφ Vậy khối lượng mặt cong phía là: )√1+ m(S) = ∬ (9 − x + √x +y dxdy (x2 + y2)2 D 2π = ∫ dφ ∫ (9r − r2cos2φ + ).√1+ r dr r 2π = ∫ dr ∫ (9r + − r cos φ) √1 + r4 dφ ≈ 186,843 13 1.2 Bài toán Dọc theo dãy nhà hình chữ L, người ta tính làm mái che có hình dạng phần mặt trụ ellipse hình vẽ Yêu cầu: nơi mái cao (vị trí điểm A) 2.5 mét, nơi mái thấp (vị trí điểm B) 1.7 mét, chiều rộng lối (độ dài đoạn CD) mét Thực yêu cầu sau: a Tìm phương trình mặt trụ theo kích thước u cầu b Dùng phần mềm tùy ý vẽ mái che c Sau tính diện tích mái che biết chiều dài mái che 50, 75 mét 14 GIẢI: a Tìm phương trình mặt trụ theo kích thước u cầu (z − 1,7)2 y2 +2 0,82 (z − 1,7) x2 +2 0,82 b Dùng phần mềm tùy ý vẽ mái che c Tính diện tích mái che biết chiều dài mái che 50, 75 mét (z−1,7)2 x = 50, y = x y2 Gọi S diện tích mặt cong = bị giới hạn D = { + 1 0,82 22 y = 0, z = 1,7 (z − 1,7) y + S1 = 0,82 =1 22 y ⇔ (z − 1,7) = 0,8 2 (1 − ) 22 2 ⇔ = 1,7 + √0,8 (1 − 22 ) (>0) ⇔ z = 1,7 + 0,4√4 − y2 Diện tích mặt S tính S = ∬ 1ds với ds = √1 + z′x2 + z′y2 dxdy S −0,4y Ta có: z = 1,7 + 0,4√4 −y ⟹z = 0, z′ ′ y = x √4−y2 0,16y2 ⟹ ds = √1 + − y2 dxdy 15 2