Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 đề tài số 6 mặt bậc 2 và ứng dụng của tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI SỐ “Mặt bậc ứng dụng tích phân” GVHD: Nguyễn Thị Xuân Anh LỚP L18 - NHÓM 12 – HK222 STT HỌ TÊN MSSV Nguyễn Quang Anh 2210097 Phạm Bảo Duy 2210530 Lê Đình Nghĩa 2212220 Phạm Minh Phúc 2212645 Tô Nguyễn Hoàng Phúc 2212650 Nguyễn Thị Thanh Tuyền 2115207 Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5/2023 DANH SÁCH THÀNH VIÊN VÀ BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ Mức độ STT MSSV Họ tên Nhiệm vụ 2210097 Nguyễn Quang Anh Bài toán 100% 2210530 Phạm Bảo Duy Bài tốn 100% 2212220 Lê Đình Nghĩa Bài tốn 100% 2212645 Phạm Minh Phúc Bài toán 100% 2212650 Tơ Nguyễn Hồng Phúc Bài tốn 100% 2115207 Nguyễn Thị Thanh Tuyền Lý thuyết, tổng hợp word 100% hồn thành MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU I CỞ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tích phân kép .2 1.2 Tích phân bội ba 1.3 Tích phân đường 1.3.1 Tham số hóa đường cong 1.3.2 Tích phân đường loại .4 1.3.3 Tích phân đường loại .5 1.4 Tích phân mặt loại 1.5 Tích phân tọa độ cực .7 II BÀI TẬP 1.1 Bài toán 1.2 Bài toán 14 1.3 Bài toán 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 LỜI NÓI ĐẦU Chào cô bạn sinh viên thân mến, báo cáo tập lớn môn học Giải tích nhóm 12 lớp L18 thực Ở tập lớn này, nhóm tìm hiểu nội dung “Ứng dụng tích phân” Trong lĩnh vực giải tích, tích phân nội dung khó, có tính trừu tượng cao Tuy nhiên, sống thấy phép tính tích phân ứng dụng nhiều phổ biến, tích phân có ứng dụng cụ thể hiệu đo chiều dài đường cong, tính diện tích hình phẳng, tính diện tích bề mặt thể tích vật thể Thơng qua tập lớn, nhóm ứng dụng tích phân để tính tốn chiều dài, diện tích, thể tích vật thể cho Để hoàn thành tập lớn này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn cô Nguyễn Thị Xuân Anh Trong q trình làm báo cáo khó tránh khỏi sai sót mong bỏ qua chúng em mong chờ nhận xét từ cô để chúng em rút kinh nghiệm cho báo cáo tới PHẦN NỘI DUNG I CỞ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tích phân kép * Định nghĩa tích phân kép Tích phân kép hàm f(x,y) miền D là: m n ∬ f(x, y)dxdy = lim ∑ ∑ f(xij∗ , yij∗ )∆x∆y m,n⟶∞ D i=1 j=1 * Định lý Fubini Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} hàm liên tục miền D Khi đó: b d d b ∬ f(x, y)dxdy = ∫ [∫ f(x, y)dy] dx = ∫ [∫ f(x, y)dx] dy D a c c a Cho hàm số f(x,y) liên tục miền D Nếu D: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2 (𝑥) liên tục [a,b] thì: b y2 (𝑥) ∬ f(x, y)dxdy = ∫ [ ∫ f(x, y)dy] dx D a y1 (𝑥) * Tính chất S(D) = ∬D dxdy (S(D) diện tích miền D) ∬D[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = ∬D f(x, y)dxdy + ∬D g(x, y)dxdy ∬D Cf(x, y)dxdy = C ∬D f(x, y)dxdy (C số) Chia miền D thành miền khơng dẫm lên D1 , D2 thì: ∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy D D1 D2 Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) D thì: ∬D f(x, y)dxdy ≤ ∬D g(x, y)dxdy Trên D, hàm f(x,y) đạt GTLN fmax =M, GTNN fmin =m m S(D) ≤ ∬ f(x, y)dxdy ≤ M S(D) D 1.2 Tích phân bội ba * Định nghĩa tích phân bội ba Tích phân bội ba hàm f(x,y,z) miền V là: l m n ∭ f(x, y, z)dV = lim ∑ ∑ ∑(xij∗ , yij∗ , zij∗ )∆V l,m,n→∞ V i=1 j=1 k=1 Nếu giới hạn tồn tại, f(x,y,z) gọi hàm khả tích V * Định lý Fubini Cho f(x,y,z) hàm liên tục miền V = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s} b d r b d r ∭ f(x, y, z)dV = ∫ ∫ ∫ f(x, y, z)dxdydz = ∫ [∫ (∫ f(x, y, z)dz) dy] dx V a c s a c s Cho miền V = {(x, y, z): (x, y) ∈ D, z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)}, D hình chiếu miền V xuống mặt phẳng Oxy Khi đó: z2 (x,y) ∭ f(x, y, z)dV = ∬ dxdy V D ∫ f(x, y, z)dz z1 (x,y) * Tính chất: Các hàm f, g khả tích V: ∭V dxdydz = V ∭V C f(x, y, z)dxdydz = C ∭V f(x, y, z)dxdydz ∭V[f(x, y, z) + g(x, y, z)]dxdydz = ∭V f(x, y, z)dxdydz + ∭V g(x, y, z)dxdydz Nếu V chia thành miền không dẫm lên V1 , V2 thì: ∭ f(x, y, z)dxdydz = ∭ f(x, y, z)dxdydz + ∭ f(x, y, z)dzdydz V V1 V2 Nếu f ≤ g V thì: ∭V f(x, y, z)dxdydz ≤ ∭V g(x, y, z)dxdydz 1.3 Tích phân đường 1.3.1 Tham số hóa đường cong Có dạng tham số hóa đường cong thường gặp đường cong phẳng: - Theo tọa độ Descartes: tham số x y - Theo tham số dạng tổng quát t - Theo tọa độ cực: tham số r φ * Tham số hóa đường cong khơng gian Ngun tắc: Tham số hóa cho biến mặt phẳng để suy tham số cho biến thứ Bước 1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp Bước 2: Tham số hóa đường cong hình chiếu (trong mặt phẳng) Bước 3: Tham số hóa biến cịn lại * Tham số hóa đường cong phẳng dạng tổng quát Đường cong (C) có dạng: x= x(t), y= y(t); t1 ≤ t ≤ t Trường hợp 1: Đoạn thẳng nối điểm A(a1 ; a2 ) B(b1 ; b2 ): X = A + t(B − A); ≤ t ≤ ⟺ { x = a1 − t(b1 − a1 ) ;0 ≤ t ≤ y = a2 − t(b2 − a2 ) Trường hợp 2: Đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 { x = a + Rcost ; ≤ t < 2π(hoặc − π ≤ t ≤ π) y = b + Rsint Trường hợp 3: Ellipse x2 y2 a b2 + =1 x = acost {y = bsint ; ≤ t ≤ 2π * Tham số hóa đường cong phẳng dạng tọa độ cực 𝑟 = 𝑟(𝜑) x = r(φ)cosφ Chúng ta tham số hóa sau: { y = r(φ)sinφ α≤φ≤β 1.3.2 Tích phân đường loại * Định nghĩa tích phân đường loại Cho hàm f(x,y) xác định phần đường cong C từ điểm A đến điểm B: n ∫ f(x, y)dl = lim ∑ f(xk , yk )∆l n→∞ AB k=1 * Tính chất Tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào đường đi: ⏜ ∫AB 1dl = L = Độ dài cung AB ∫AB C f(x, y)dl = C ∫AB f(x, y)dl ∫AB[f(x, y) + g(x, y)]dl = ∫AB f(x, y)dl + ∫AB g(x, y)dl Nếu C = C1 ∪ C2 ∫C f(x, y)dl = ∫C f(x, y)dl + ∫C f(x, y)dl 1.3.3 Tích phân đường loại * Định nghĩa tích phân đường loại ⏜ ⃗ = (P(x, y), Q(x, y)) xác định cung BC Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector F Phân hoạch cung BC thành n cung nhỏ không trùng lên B0 , B1 … Bn Lấy điểm M(xk , yk ) cung ⏜ Bk Bk+1 lập thành tổng tích phân: n Sn = ∑[P(xk , yk )∆xk + Q(xk , yk )∆yk ] k=1 Nếu lim Sn tồn hữu hạn giới hạn tích phân đường loại hàm P(x,y) n→∞ ⏜: Q(x,y) dọc theo cung BC ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy BC * Tính chất Tích phân đường loại phụ thuộc vào chiều đường đi: đổi chiều đường tích phân đổi dấu: ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy AB BA Nếu C = C1 ∪ C2 thì: ∫C P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy C1 C2 1.4 Tích phân mặt loại * Định nghĩa tích phân mặt loại Cho hàm f(x,y,z) mặt S Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên Gọi tên diện tích mặt ∆Sk , k=1, 2,…, n Trên mảnh ta lấy điểm Mk tùy ý lập tổng: n Sn = ∑ f(Mk )∆Sk k=1 Cho max{d(∆Sk } → (d(∆Sk ) đường kính mảnh Sk ), tổng dần giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S cách lấy điểm Mk ta gọi tích phân mặt loại hàm f(x,y,z) mặt S: n ∬ f(x, y, z)ds = S lim max(d∆Sk )→0 ∑ f(Mk )∆Sk k=1 * Tính chất Diện tích mặt S tính ∬S ds ∬S(γf + μg)ds = γ ∬S fds + μ ∬S gds Nếu mặt S chia thành mặt không dẫm lên S1 , S2 ∬ fds = ∬ fds + ∬ fds S S1 S2 Khối lượng mặt cong: Nếu mặt cong S có mật độ điểm (x,y,z) thuộc mặt cong 𝜌(x,y,z) khối lượng mặt là: m(S) = ∬ ρ(x, y, z)ds S 1.5 Tích phân tọa độ cực * Nhắc lại tọa độ cực Trong hình học phẳng, hệ tọa độ cực sử dụng để mô tả thuận tiện số đường miền định Với điểm M, tọa độ Descartes (x,y) từ hình vẽ: ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ φ = g(Ox OM) Đặt { r = |OM| Ta gọi (r,φ) tọa độ cực điểm M Mối liên hệ tọa độ cực tọa độ Descartes là: y x = rcosφ { y = rsinφ ⟺ r = x + y ; φ = arctan x * Tọa độ cực tích phân kép Nếu miền lấy tích phân kép hình trịn có phương trình (x − a)2 + (y − b)2 = r , ta đổi tích phân kép sang tọa độ cực cách đặt: x = rcosφ { y = rsinφ J=r Với D = {(r, φ): α ≤ φ ≤ β, r1 (φ) ≤ r ≤ r2 (φ)} β r2 (φ) ⟹ ∬ f(x, y)dxdy = ∫ [ ∫ f(rcosφ, rsinφ) rdr] dφ D α r1 (φ) Khi tâm hệ tọa độ cực khơng trùng với tâm hình trịn lúc r hàm phụ thuộc góc φ * Diện tích mặt cong S Mặt cong S cho phương trình z = z(x,y), Dxy hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Khi đó: dS = √1 + z′2x + z′2y dxdy ∬ f(x, y, z)dS = ∬ f(x, y, z(x, y)) √1 + z′2x + z′2y dxdy S Dxy II BÀI TẬP 1.1 Bài tốn Với khối mơ tả hình bên trái đây, thực yêu cầu sau: a Dùng phần mềm tùy ý vẽ khối b Sau tính diện tích mặt phía trên, mặt xung quanh thể tích khối biết đơn vị tính trục mét c Người ta dự tính làm mặt phía khối vật liệu có hàm mật độ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 𝑥 + 𝑧, tính khối lượng mặt (bỏ qua đơn vị tính) GIẢI: a Dùng phần mềm tùy ý vẽ khối b Tính diện tích mặt phía trên, mặt xung quanh thể tích khối biết đơn vị tính trục mét  Diện tích S mặt phía khối: Diện tích mặt S tính S = ∬S 1ds với ds = √1 + z ′ 2x + z ′ 2y dxdy Ta có: z = √x2 +y2 ⟹ z′x = ⟹ ∬ ds = ∬ √1 + S D −x √(x2 +y2 )3 , zy′ = −y √(x2 +y2 )3 x2 y2 + dxdy = ∬ √1 + dxdy 2 2 (x + y ) (x + y ) (𝑥 + 𝑦 )2 D 10 Chiếu Oxy: x = rcosφ 1≤r≤3 Đặt: { y = rsinφ → { ≤ φ ≤ 2π Vậy diện tích mặt phía khối là: 2π 1 √ ∬ √1 + ∫ ∫ dxdy = dφ + r dr ≈ 26.426(m2 ) 2 (x + y ) r D  Diện tích mặt xung quanh I khối: Diện tích mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, biên đường C nằm mặt phẳng Oxy, biên nằm mặt z = f(x, y) tính bởi: Strụ = ∫ f(x, y)dl C Ta có: z = √x2 +y2 ⟹ S = ∫C √x2 +y2 Với (C1 ) x + y = ⟹ Đặt: { 2π Sxq1 = ∫ x = 3cost , ≤ t ≤ 2π y = 3sint 2π √r dl √(xt′ )2 + (yt′ )2 dt = ∫ o √9 √(−3sint)2 + (3cost)2 dt = 2π ≈ 6,283 (m2 ) x = cost Với (C2 ): x + y = ⟹ Đặt { y = sint , ≤ t ≤ 2π 2π Sxq2 = ∫ √r 2π √(xt′ )2 + (yt′ )2 dt = ∫ √(sint)2 + (cost)2 dt = 2π ≈ 6,283(m2 ) o Vậy diện tích mặt xung quanh khối là: S = Sxq1 + Sxq2 = 4π ≈ 12,566(m2 ) 11  Thể tích V khối: Thể tích vật thể V = ∭V 1dxdydz z1 = 2 (nằm trên) √x +y Chọn: { z2 = ⇒0≤z≤ √x + y √x2 +y2 V = ∭ 1dxdydz = ∬ ∫ D 1dz dxdy = ∬ D [ √x + y dxdy ] Chiếu Oxy: x = rcosφ 1≤r≤3 Đặt: { y = rsinφ → { ≤ φ ≤ 2π Vậy thể tích khối là: V=∬ D 2π √x + y2 dxdy = ∫ dφ ∫ 1 √r r dr = 4π ≈ 12,566 (m3 ) 12 c Dự tính làm mặt phía khối vật liệu có hàm mật độ 𝝆(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝟗 − 𝐱 𝟐 + 𝐳, tính khối lượng mặt Nếu mặt cong S có mật độ điểm (x,y,z) thuộc mặt cong 𝜌(x,y,z) khối lượng mặt là: m(S) = ∬S ρ(x, y, z)ds Ta có: m(S) = ∬ ρ(x, y, z)ds = ∬(9 − x + z)√1 + S D = ∬ (9 − x + D √x + y ) √1 + x2 y2 + 3 dxdy 2 2 (x + y ) (x + y ) (𝑥2 + 𝑦2 ) dxdy Chiếu Oxy: x = rcosφ 1≤r≤3 Đặt: { y = rsinφ → { ≤ φ ≤ 2π Vậy khối lượng mặt cong phía là: m(S) = ∬ (9 − x + D 2π √x + y ) √1 + dxdy (x + y )2 1 = ∫ dφ ∫ (9r − r cos φ + ) √1 + r dr r 𝑟 2π = ∫ dr ∫ (9r + − r cos φ) √1 + 1 dφ ≈ 186,843 r4 13 1.2 Bài tốn Dọc theo dãy nhà hình chữ L, người ta tính làm mái che có hình dạng phần mặt trụ ellipse hình vẽ Yêu cầu: nơi mái cao (vị trí điểm A) 2.5 mét, nơi mái thấp (vị trí điểm B) 1.7 mét, chiều rộng lối (độ dài đoạn CD) mét Thực yêu cầu sau: a Tìm phương trình mặt trụ theo kích thước yêu cầu b Dùng phần mềm tùy ý vẽ mái che c Sau tính diện tích mái che biết chiều dài mái che 50, 75 mét 14 GIẢI: a Tìm phương trình mặt trụ theo kích thước yêu cầu (z − 1,7)2 y + 2=1 0,82 (z − 1,7)2 x + 2=1 0,82 b Dùng phần mềm tùy ý vẽ mái che c Tính diện tích mái che biết chiều dài mái che 50, 75 mét Gọi S1 diện tích mặt cong (z−1,7)2 0,82 + y2 22 x = 50, y = x = bị giới hạn D1 = { y = 0, z = 1,7 (z − 1,7)2 y S1 = + 2=1 0,82 ⇔ (z − 1,7)2 = 0,82 (1 − ⇔ 𝑧 = 1,7 + √0,82 (1 − y2 ) 22 𝑦2 ) 22 (𝑧 > 0) ⇔ z = 1,7 + 0,4√4 − y Diện tích mặt S tính S = ∬S 1ds với ds = √1 + z ′ 2x + z ′ 2y dxdy Ta có: z = 1,7 + 0,4√4 − y ⟹ zx′ = 0, z ′ y = ⟹ ds = √1 + −0,4y √4−y2 0,16y dxdy − y2 15 S1 = ∬ 1ds = ∬ √1 + S D1 0,16y dxdy − y2 Chiếu Oxy: ⟹ D1 : { 0≤y≤2 y ≤ x ≤ 50 Vậy diện tích mặt cong S1 = (z−1,7)2 0,82 + y2 22 = là: 50 0,16y 0,16y √ ∫ ∫ S1 = ∬ √1 + dxdy = dy + dx − y2 − y2 D1 = ∫(50 − y) √1 + Gọi S2 diện tích mặt cong (x−1,7)2 0,82 + y 0,16y dy ≈ 112,519 (m2 ) − y2 x2 22 = bị giới hạn D2 = { y = 75, y = x x = 0, z = 1,7 (z − 1,7)2 x S2 = + 2=1 0,82 ⇔ (z − 1,7)2 = 0,82 (1 − ⇔ 𝑧 = 1,7 + √0,82 (1 − x2 ) 22 𝑥2 ) 22 (𝑧 > 0) ⇔ z = 1,7 + 0,4√4 − x Diện tích mặt S tính S = ∬S 1ds với ds = √1 + z ′ 2x + z ′ 2y dxdy Ta có: z = 1,7 + 0,4√4 − x ⟹ zx′ = −0,4x √4−x2 , z′y = 16 ⟹ ds = √1 + 0,16x dxdy − x2 S2 = ∬ 1ds = ∬ √1 + S D2 0,16x dxdy − x2 Chiếu Oxy: 0≤x≤2 ⇒ D2 : { x ≤ y ≤ 75 Vậy diện tích mặt cong S2 = (z−1,7)2 0,82 + x2 22 = là: 75 0,16x 0,16x √ √ S2 = ∬ + dxdy = ∫ dx ∫ + dy − x2 − x2 D2 = ∫(75 − x) √1 + 0 x 0,16x dx ≈ 170,051 (m2 ) − x2 Vậy diện tích mái che là: S = S1 + S2 = 112,52 + 170,05 = 282,570 (m2 ) 17 1.3 Bài tốn Tìm ví dụ thực tế để áp dụng lúc ứng dụng hình học + ứng dụng học + giá trị trung bình tích phân: a ứng dụng hình học: Diện tích miền mặt phẳng Oxy (tích phân kép tích phân đường loại 2); diện tích mặt trụ song song với trục Oz độ dài đường cong (tích phân đường loại 1); diện tích mặt cong khơng gian Oxyz (tích phân mặt loại 1); thể tích khối giá trị trung bình hàm f(x,y,z) khối khơng gian Oxyz (tích phân bội ba) b ứng dụng học: khối lượng mảnh phẳng, khối lượng khối, khối lượng dây, khối lượng mặt cong c loại giá trị trung bình: giá trị trung bình hàm f(x,y) miền phẳng Oxy, giá trị trung bình hàm f(x,y,z) mặt cong S khối Ω không gian Oxyz 18 GIẢI: Trong trình sản xuất nước uống đóng chai, áp dụng ứng dụng hình học, học giá trị trung bình để thực tính tốn cần thiết Dưới ví dụ: Ứng dụng hình học: Diện tích mặt phẳng Oxy: Để tính tốn diện tích đáy chai nước, sử dụng tích phân kép tích phân đường để tính diện tích mặt phẳng Oxy đáy chai Điều giúp xác định diện tích để tính tốn lượng nước đảm bảo dung tích đóng chai xác Diện tích mặt cong khơng gian Oxyz: Trong trường hợp chai nước có hình dạng cong vịi đường cong khác, sử dụng tích phân mặt loại để tính diện tích mặt cong chai Điều giúp xác định diện tích mặt cong để tính tốn vật liệu bao bì định vị thành phần khác bề mặt chai Ứng dụng học: Khối lượng mảnh phẳng: Để tính tốn khối lượng thành phần bao bì nắp chai nhãn, sử dụng ứng dụng khối lượng mảnh phẳng Điều giúp đánh giá lượng ngun liệu cần thiết tính tốn tải trọng phân bố trọng lượng q trình đóng chai vận chuyển Giá trị trung bình: Giá trị trung bình hàm f(x, y) miền phẳng Oxy: Khi muốn tính tốn giá trị trung bình thuộc tính q trình sản xuất nước uống đóng chai, áp dụng tích phân bội ba để tính giá trị trung bình hàm f(x, y) miền phẳng Oxy Ví dụ, tính tốn giá trị trung bình nồng độ chất lọc pH nước uống 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO STEWART-Calculus-Early-transcendentals-Sixth_Edition.pdf GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH – TS BÙI XN DIỆU WIKIPEDIA 20