(Luận văn thạc sĩ) bất đẳng thức cauchy schwarz cho tích phân và ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NGỌC TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NGỌC TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN h Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS DƯƠNG VIỆT THƠNG LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy TS Dương Việt Thơng Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn h Trần Ngọc Tuấn LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Dương Việt Thông, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo trường đại học Quy Nhơn tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi khố Cao học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Phạm Kỳ Anh đọc luận văn cho ý nhận xét sâu sắc để luận văn hồn thiện Tơi chân thành cảm ơn đến bạn bè gia đình, người luôn bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian làm luận văn h Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân cịn hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến thầy cơ, bạn bè để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn Trần Ngọc Tuấn Mục lục Mở đầu 1 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.1 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 1.1.2 Tính chất tích phân xác định Một số phương pháp tính tích phân 1.2.1 Phương pháp đổi biến số 1.2.2 Phương pháp tích phân phần 1.3 Bất đẳng thức AM - GM 1.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.2 h Tích phân Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giải toán tích phân bất đẳng thức tích phân 2.1 Ứng dụng giải tốn tích phân 2.2 Ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân 19 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng Toán học Bất đẳng thức lĩnh vực khó chương trình tốn học phổ thơng Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng môn khoa học khác thực tế Dạng tốn bất đẳng h thức nói chung bất đẳng thức tích phân thường có mặt kì thi tuyển sinh đại học, kỳ thi Olympic tốn Quốc tế, kì thi Olympic Tốn Sinh viên nước giới Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, phương pháp lại có vẻ đẹp độc đáo riêng Ngay áp dụng phương pháp hay toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoạt người sử dụng Do vậy, khó nói phương pháp chứng minh bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Giải tích tốn học Một bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ đời đến nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu phát triển Chúng ta gặp nhiều kết hợp bất đẳng thức CauchySchwarz với bất đẳng thức khác hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày hướng tiếp cận bất đẳng thức CauchySchwarz: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ứng dụng giải tốn Bất đẳng thức tích phân Luận văn gồm chương: Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân Trong chương luận văn trình bày nội dung tích phân, tính chất tích phân; Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức AM-GM; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giải toán tích phân bất đẳng thức tích phân Trong chương chúng tơi trình bày ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz việc giải số toán tích phân thường dùng h chương trình thi đại học giải tốn bất đẳng thức tích phân thường xuất kỳ thi Olympic Toán Sinh viên ngồi nước Trong khn khổ luận văn này, tơi trình bày số vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân, đưa số ứng dụng, cách chứng minh thông qua tập cụ thể Chương Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.1 1.1.1 Tích phân Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số f xác định [a; b], chia đoạn [a; b] cách tùy ý thành n đoạn nhỏ điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Đặt h d = max{xi − xi−1 : i = 1, , n} Trên đoạn [xi−1 ; xi ] lấy điểm ξi (i = 1, , n) tùy ý Lập tổng Sn = n X f (ξi )(xi − xi−1 ) i=1 gọi tổng tích phân hàm số f đoạn [a; b] Nếu Sn có giới hạn hữu hạn I n → +∞ cho d → I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] cách lấy điểm ξi I gọi tích phân xác định hàm số f đoạn [a; b] ký hiệu Z b f (x)dx a Vậy Z b f (x)dx = lim a n→+∞ n X f (ξi )(xi − xi−1 ) i=1 Khi ta nói f khả tích đoạn [a; b] 1.1.2 Tính chất tích phân xác định Giả sử f, g hàm số khả tích đoạn [a; b] Khi ta có: Z a f (x)dx = a Z b Z a f (x)dx = − f (x)dx a b Z b Z b kf (x)dx = k f (x)dx (k số) a a Z b Z b f (x)dx = f (t)dt a a Z b Z c Z c f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx, ∀b ∈ [a, c] b Za b Z b a Z b [f (x) ± g(x)] dx = f (x)dx ± g(x)dx a a Nếu f (x) > với x ∈ [a; b] a Z b f (x)dx > aZ b h Nếu f (x) ≥ g(x) với x ∈ [ab] f (x)dx ≥ a Z b g(x)dx a Định lý (Công thức Newton-Leibniz) Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm hàm số f đoạn [a; b] Khi ta có Z a b b − xe f (x)dx = 0 0 Z =− (x + 1)ex f (x)dx =− Kết hợp với giả thiết ta có Z e −1 e2 − xe f (x)dx = − x 11 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có Z 2 Z 2  Z e −1 x 2x xe f (x)dx ≤ x e dx [f (x)] dx = 0 Do dấu “=” phải xảy ra, tức f (x) = kxex Thay ngược ta có Z e2 − 2x kx e dx = − ⇔ k = −1 ⇒ f (x) = −xex Suy Z f (x) = −xex dx = −(x − 1)ex + C Mặt khác f (1) = ⇒ C = ⇒ f (x) = (1 − x)ex Vậy Z Z f (x)dx = (1 − x)ex dx = e − 0 Chọn đáp án C Bài toán ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục đoạn [0, 1] h thoả mãn Z f (1) = 1, Z [f (x)] dx = , Z f √
x dx = f (x)dx Tích phân 1 3 A B C D 5 Lời giải Z Z √ 2 f (t)(2tdt) = 2tf (t)dt Đặt t = x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt = 0 Sử dụng tích phân phần Z Z Z
t2 f (t)dt = t2 d(f (t)) = t2 f (t) − f (t)d(t2 ) 0 Z =1− 2tf (t)dt = 12 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có Z 2 Z  2 Z 2 t f (t)dt ≤ t dt [f (t)] dt = = 5 0 Vì dấu “=” bất đẳng thức phải xảy ra, tức f (t) = kt2 thay Z Z 3 ngược lại t f (t)dt = có kt4 dt = ⇔ k = Khi 5 0 f (x) = 3x2 ⇒ f (x) = x3 + C, f (1) = ⇒ C = ⇒ f (x) = x3 Vậy Z Z f (x)dx = 0 1 x3 dx = Chọn đáp án A Bài toán ([3]) Cho hàm số f liên tục đoạn [0, π] thoả mãn Z π Z π cos xf (x)dx = f (x)dx = 0 π h Z Giá trị nhỏ tích phân f (x)dx 3 B C 2π π π 2 Lời giải Với số thực a, b ∈ R; a + b > ta có Z π a+b= (a cos x + b)f (x)dx A D π Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có Z π 2 Z π Z (a + b)2 = (a cos x + b)f (x)dx ≤ (a cos x + b)2 dx 0 Mặt khác Z π (a cos x + b)2 dx = π(a2 + 2b2 ) Do Z π 2(a + b)2 f (x)dx ≥ , ∀a, b ∈ R, a2 + b2 > 2 π(a + 2b ) π f (x)dx 13 π Dấu “=” đạt a = π 2b, f (x) = b(2 cos x + 1) Thay ngược lại điều kiện ta có Z π b(2 cos x + 1)dx = ⇔ b = π Z Cho a = 2, b = ta f (x)dx > Suy f (x) = cos x + π Chọn đáp án C Bài toán ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục đoạn [0, 1] thỏa mãn Z f (0) + f (1) = 0, Z f (x) cos(πx)dx = π 2 B π C π h 3π Lời giải Z f (x)dx Tích phân A f (x)dx = , 2 D π Sử dụng tích phân phần ta có Z Z 1 f (x) sin(πx)dx = − f (x)d(cos(πx) π 0 ! Z 1 =− (f (x) cos(πx)) − cos(πx)d(f (x)) π 0   Z 1 −(f (1) + f (0)) − f (x) cos(πx)dx = =− π Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có  2 Z 2 Z Z 1 = f (x) sin(πx)dx ≤ f (x)dx sin2 (πx)dx = 2 0 Vậy dấu “=” bất đẳng thức phải xảy ra, tức f (x) = k sin(πx) Thay ngược lại ta có Z k sin(πx)2 dx = ⇔ k = 14 Do f (x) = sin πx ⇒ Z Z f (x)dx = sin(πx)dx = 0 π Chọn đáp án B Bài tốn ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục đoạn [0, 1] Biết Z Z f (x)dx = 3, f (x) sin(πx)dx = π Z f Tích phân 3π Lời giải 0 x dx B π A C − π D π h Sử dụng tích phân phần ta có Z Z 1 f (x)d(sin(πx)) f (x) cos(πx)dx = π 0 ! Z 1 = (f (x) sin(πx))