Tích phân
Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm số f xác định trên [a;b], chia đoạn [a;b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = x 0 < x 1 < < x n = b Đặt d = max{x i − x i−1 : i = 1, , n} Trên mỗi đoạn [x i−1 ;x i ] lấy điểm ξ i (i = 1, , n) tùy ý Lập tổng
Tổng tích phân của hàm số f trên đoạn [a;b] được định nghĩa là X i=1 f(ξ i )(x i −x i−1 ) Nếu S n có giới hạn hữu hạn I khi n → +∞, trong đó d → 0, và I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a;b] cũng như cách lấy điểm ξ i, thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a;b] và được ký hiệu là.
Khi đó ta nói f khả tích trên đoạn [a;b]. h
Tính chất của tích phân xác định
Giả sử f, g là các hàm số khả tích trên đoạn [a;b] Khi đó ta có:
Nếu f(x) ≥g(x) với mọi x ∈ [ab] thì
Z b a g(x)dx. Định lý 1 (Công thức Newton-Leibniz) Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số f trên đoạn [a;b].
= F(b)−F(a). Định lý 2 (Tính khả vi của hàm cận trên) Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì hàm số F xác định bởi
Z a f(t)dt khả vi tại mọi x ∈ [a;b] và F 0 (x) =f(x). h
Một số phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến số
Cho f là hàm số liên tục và u có đạo hàm liên tục trong khoảng (c;d) sao cho hàm số hợp f ◦u xác định trên (c;d) Khi đó
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì
Bất đẳng thức AM - GM
Với mọi số thực không âm a 1 , a 2 , , a n (n≥ 2) ta có a 1 +a 2 + +a n n ≥ √ n a1.a2 an (1.1)
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n
Chứng minh. Đặt α = a 1 +a 2 + +a n n Khi đó bất đẳng thức (1.1) tương đương với α n ≥ a1.a2 an (1.2)
Ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh (1.2)
- Với n= 1, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. h
- Giải sử bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1) tức với mọi a 1 , a 2 , , a n ≥ 0 thì α n a1 + a2 + +an n n
- Xét n+ 1 số thực không âm a 1 , a 2 , , a n , a n+1 , ta có
Nếu tất cả các số đều bằng α thì ta có đẳng thức và từ đó suy ra ngày điều phải chứng minh.
Trong các trường hợp còn lại, có thể nhận thấy ít nhất tồn tại một số nhỏ hơn α và một số lớn hơn α Không làm mất tính tổng quát, giả sử a n > α và a n+1 < α.
(an−α)(α−an+1) > 0 (1.3) Xét n số a 1 , a 2 , , a n−1 , a n trong đó a 0 n = an+an+1 −α ≥ an−α > 0
Do α là trung bình cộng của a 1 , a 2 , , a n−1 , a 0 n nên theo giả thiết quy nạp, ta có α n+1 = α n α ≥(a1.a2 a n−1 a 0 n ).α
= (a 1 a 2 a n−1 )(a 0 n α) (1.4) Mặt khác từ (1.3) ta lại có
Rõ ràng, với α > 0, nếu ít nhất một trong các số a1, a2, , an−1 bằng 0, thì bất đẳng thức cần chứng minh sẽ đúng và trường hợp bằng sẽ xảy ra.
Xét các trường hợp còn lại kết hợp với (1.4) và (1.5) thu được α n+1 > (a 1 a 2 a n−1 )(a n a n+1 ) =a 1 a 2 a n a n+1
Từ đó (1.2) được giải quyết hoàn toàn.
Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Cho các số thực a1, a2, , an và b1, b2, , bn (n≥ 2) khi đó
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n Chứng minh.
Nếu a 2 1 +a 2 2 + +a 2 n = 0 tức a 1 = a 2 = = a n = 0 thì (1.6) đúng. Nếu a 2 1 +a 2 2 + +a 2 n > 0, xét f(x) n
Cho nên (1.6) đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz được chứng minh.
Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân
Định lý 3 Cho f, g : [a;b] → R là các hàm khả tích trên đoạn [a;b]. Khi đó ta luôn có
2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f = kg với số thực k 6= 0.
Chứng minh Với t ∈ R xét bình phương ta luôn có
(tf(x) +g(x)) 2 dx ≥ 0. Điều này tương đương với h(t) Z b a f 2 (x)dx t 2 +2
Z b a f 2 (x)dx = 0 ⇔ f(x) = 0, bất đẳng thức đã cho là đẳng thức.
Z b a f 2 (x)dx > 0, đây là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luôn không âm, tức biệt thức Delta luôn không dương Điều này tương đương với
2 Định lý được chứng minh hoàn toàn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f = kg, trong đó k là hằng số. h
Chương 2 Ứng dụng của bất đẳng thức
Cauchy - Schwarz trong giải toán về tích phân và bất đẳng thức tích phân
Ứng dụng giải toán tích phân
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong việc giải quyết các bài toán tích phân thường gặp trong kỳ thi tuyển sinh đại học.
Bài toán 1 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thoả mãn f(1) = 0,
Sử dụng tích phân từng phần ta có
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Dấu “=” xảy ra khi ⇔f 0 (x) = kx 3 ⇒
Bài toán 2 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên đoạn [0,1] thoả mãn
Tích phân từng phần ta có
4 Kết hợp với giả thiết ta có
Do đó dấu “=” phải xảy ra, tức là f 0 (x) = kxe x Thay ngược ta có
Bài toán 3 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên đoạn [0,1] và thoả mãn f(1) = 1,
5. Lời giải. Đặt t = √ x ⇒ x = t 2 ⇒dx = 2tdt và 2
Sử dụng tích phân từng phần
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Vì vậy dấu “=” trong bất đẳng thức phải xảy ra, tức f 0 (t) = kt 2 thay ngược lại
Bài toán 4 ([3]) Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, π] thoả mãn
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
4 π. Lời giải Với mọi số thực a, b ∈ R;a 2 +b 2 > 0 ta có a+b Z π 0
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
0 f (x)dx > π Dấu “=” đạt tại a 2b, f(x) =b(2 cosx+ 1) Thay ngược lại điều kiện ta có
Z π 0 b(2 cosx+ 1)dx = 1 ⇔b = 1 π. Suy ra f(x) = 2 cosx+ 1 π
Bài toán 5 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên đoạn [0,1] và thỏa mãn f(0) +f(1) = 0,
Sử dụng tích phân từng phần ta có
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
2 2 Vậy dấu “=” trong bất đẳng thức phải xảy ra, tức f(x) =ksin(πx). Thay ngược lại ta có
Bài toán 6 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên đoạn [0,1] Biết
Sử dụng tích phân từng phần ta có
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân có
Do đó dấu “=” trong bất đẳng thức phải xảy ra, tức f(x) = kcosπx. Thay ngược lại ta có
3π 2 dx = −6 π. Chọn đáp án C. h thoả mãn f(0) = 0 Biết
Tích phân từng phần có
2. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Do đó dấu “=” phải xảy ra, tức làf(x) = ksinπx
2 , thay ngược lại giả thiết
Bài toán 8 ([3]) Cho hàm số f nhận giá trị dương trên [0; 1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0; 1], thoả mãn
Z 1 0 s xf 0 (x) f(x) dx > 1 và f(0) = 1, f(1) = e 2 Tính giá trị của f
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Do đó đẳng thức phải xảy ra nên ta có f 0 (x) f(x) = kx.
0 s xf 0 (x) f(x) dx = 1 ta được k = 4 Khi đó f 0 (x) f(x) = 4x →
Bài toán 9 ([3]) Cho hàm sốf có đạo hàm và liên tục trên[1,2] thoả mãn điều kiện
1 x 3 f(x)dx = 31 Giá trị nhỏ nhất của tích phân
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân 2 lần liên tiếp ta được
Bài toán 10 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên [0; 2], thoả mãn f(2) = 1,
5 Giá trị của tích phân
Sử dụng tích phân từng phần ta có
5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân 2 lần ta được
Do đó dấu “=” phải xảy ra, suy ra xf 0 (x) = kx 2 ⇒ f 0 (x) =kx.
Mặt khác f(2) = 1 nên C = −1 suy ra f(x) = x 2
Bài toán 11 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên [0; 1] đồng thời thoả mãn điều kiện
Sử dụng tích phân từng phần ta có
3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
3. Kết hợp với trên suy ra dấu “=” ở bất đẳng thức này phải xảy ra
Ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân
Trong phần này, bài luận trình bày việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân nhằm giải quyết một số bài toán trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi Olympic toán sinh viên cả trong nước và quốc tế.
Qua đó chúng ta thấy được ứng dụng hay, tinh tế của việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong giải toán bất đẳng thức tích phân.
Bài toán 1 (RMC 1997) Chứng minh rằng với mọi hàm số liên tục f : [−1,1] → R ta có bất đẳng thức
Khi nào dấu “=” xảy ra?
Bất đẳng thức (2.1) tương đương
Mặt khác xg(x), h(x), g(x)h(x), x 2 g(x)h(x) là những hàm lẻ nên ta có
Nên khai triển thì bất đẳng thức trên tương đương với
2 (2.2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Cộng các bất đẳng thức (2.3) và (2.4) ta được bất đẳng thức (2.2) Dấu
“=” xảy ra khi dấu “=” ở các bất đẳng thức (2.3) và (2.4) xảy ra, điều này có nghĩa là g(x) = b và h(x) = ax, a, b là các hằng số, nghĩa là f là hàm tuyến tính.
Bài toán 2 (Bài toán tổng quát)
Cho b > 0;m 6= 0;n ∈ R Chứng minh rằng với mọi hàm số liên tục f : [−b, b] → R ta có bất đẳng thức
2;m = 1 ta được bất đẳng thức (2.1).
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
2 và kết hợp các bất đẳng thức trên ta thu được
Chia hai vế bất đẳng thức trên cho 2b 3 m 2
2b 3 U 2 6 V + 2n(m+nb) m 2 W. Đây cũng chính là bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 3 ([6]) Cho f : [0; 1] →R là hàm số liên tục Chứng minh rằng
Với a, b ∈ R áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
3 ta có yêu cầu bài toán. h
Cho f : [0,1] → R là một hàm số khả tích sao cho
Z 1 0 xf(x)dx = 0. Chứng minh rằng
Lấy a ∈ R, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
Z 1 0 f 2 (x)dx > 4α 2 Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 5 ([5]) Cho f : [0,1] →R là hàm số khả tích sao cho
Lấy b ∈ R, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Z 1 0 f 2 (x)dx ≥ 12 Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 6 ([5]) Cho f : [0,1] →R là hàm số khả vi liên tục hai lần sao cho f(0) = f(1) = 0, f 0 (0) = a Chứng minh rằng
Khi nào dấu “=” xảy ra?
Lời giải. Áp dụng đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Hơn nữa sử dụng tích phân từng phần
Bất đẳng thức (2.5) xảy ra khi f 00 (x) = λ.(1 − x) với λ ∈ R Do đó f(x) = λ
6x 3 + bx + c từ f(0) = 0 suy ra c = 0, f(0) = a suy ra b = a và f(1) = 0 suy ra λ = −3a.
Do vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(x) = a
2(x 3 −3x 2 + 2x). h liên tục trên [0,1] Chứng minh rằng nếu f(1) = f(0) = 0 thì
Khi nào thì dấu “=” xảy ra?
Cho a ∈ R áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Dấu “=” trong (2.6) xảy ra khi f 0 (x) = λ x− 1 2 với λ nào đó trong
2 + c, c là hằng số, từ f(0) = 0 ⇒ c = 0 và f(1) = 0,∀λ ∈ R.
Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(x) = λx 2
2 với mọi λ ∈ R. Bài toán 8 (RMC 2008)
Cho f : [0,1] → R là hàm số khả vi liên tục Chứng minh rằng nếu f
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Tương tự ta lại có
Cộng các bất đẳng thức (2.7) và (2.8) ta được
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 9 ([6]) Chof : [0,1] → Rlà hàm số liên tục sao cho
2 Đây cũng là bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 10 (Amer Math Monthly, Problem 11417)
Cho f : [0,1] → R là hàm số khả vi liên tục sao cho
(2.14) Mặt khác ta lại có
Cộng các bất đẳng thức (2.15), (2.16) và (2.17) ta được
Mặt khác ta lại có
Từ các bất đẳng thức (2.18) và (2.19) ta được
Bài toán 11 ([2]) Cho f : [a, b] → R là hàm số khả vi liên tục sao cho f(a) = 0 Chứng minh rằng
Ta có f(x) Z x a f 0 (t)dt,∀x ∈ [a, b]. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có f 2 (x) Z x a f 0 (t)dt
Bài toán 12 ([2]) Tìm tất cả các hàm số f là hàm số khả vi hai lần liên tục trên [0,1], thoả mãn f(0)−f(1) = f 0 (1) = 0, f 0 (0) = 1 và
Cho a ∈ R áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
(f 00 (x)) 2 dx ≥ 4 (2.21) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” tại (2.20) và (2.21) đồng thời xảy ra, khi f 00 (x) = α x− 2 3 với số thực α nào đó Từ f(0) = f(1) f 0 (1) = 0 và f 0 (0) = 1, ta tìm được f(x) =x 3 −2x 3 +x.
Cho A := {f : [0,1] → R| sao cho f khả vi liên tục và f(0) = 0, f(1) 1} Tìm minf∈A
(1 +x 2 ) 1 2 (f 0 (x)) 2 dx và tìm tất cả các hàm trong A để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có 1 = f(1)−f(0) Z 1 0 f 0 (x)dx. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
1 + x 2 ) +c, c hằng số Mặt khác f(0) = 0 và f(1) = 1 nên f(x) = 1 ln(1 +√
Bài toán 14 (Bất đẳng thức Opial)
Cho hàm số x(t) ∈ C 1 [0, h] sao cho x(0) = x(h) = 0 Chứng minh rằng
(x 0 (t)) 2 dt (2.22) và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x(t)
|x 0 (s)|ds Khi đó ta có y 0 (t) = |x 0 (s)| = −z 0 (t) (2.23) và
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có y 2 h 2
Từ các bất đẳng thức (2.27), (2.28) và (2.29) ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 15 ([5]) Cho x(t) ∈ C 1 [0, a]sao cho x(0) = 0 Khi đó bất đẳng thức sau đây đúng
Hơn nữa dấu “=” xảy ra nếu và chỉ nếu x(t) =c.t.
|x 0 (s)|ds, t ∈ [0, a], khi đó |x(t)| ≤ y(t) Điều này suy ra rằng
Và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có y 2 (a) Z a 0
Kết hợp bất đẳng thức (2.31) và (2.32), ta có được bất đẳng thức cần chứng minh Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi dấu "=" trong bất đẳng thức (2.32) được thỏa mãn, tức là |x 0 (t)| = c, ∀t ∈ [0, a] với c là số thực dương Khi đó, ta có x(t) = ct, ∀t ∈ [0, a].
Lời giải 2 (Levison) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
Z t 0 x 0 (s)ds t 1 2 x 0 (t) dt≤ (AB) 1 2 (2.33) trong đó
Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
|x 0 (s)| 2 ds. Điều này suy ra
2 và các bất đẳng thức (2.34), (2.35) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Lời giải 3 (Hua và Pederson)
|s 0 (s)|ds điều này suy ra
Vậy ta có đánh giá
Vì hàm trong dấu tích phân là hàm chẵn nên ta có
Bài toán 16 ([2]) Cho hàm số f khả vi, liên tục đến cấp 2 trên [−1; 1] thoả mãn f(0) = 0 Chứng minh rằng
Trước tiên ta chứng tỏ
−1 f(x)dx. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
5 ta có bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 17 ([2]) Cho f là hàm số khả vi liên tục đến cấp hai trên đoạn
[0,2] thoả mãn f(0)−2f(1) +f(2) = 1 Chứng minh rằng
2. Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Sử dụng tích phân từng phần ta có
(f 00 (x)) 2 dx> (f 0 (1)−f(1) +f(0)) 2 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Lại sử dụng tích phân từng phần ta có
Do đó cộng 2 bất đẳng thức trên ta được
2. Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 18 ([2]) Cho hàm số f liên tục trên [0; +∞) Giả sử rằng
Viết lại giả thiết thành
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
Sử dụng tích phân từng phân ta có
Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 19 ([2]) Cho f ∈ C[0; 1] thỏa mãn
2π. Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có
2π Ta có điều phải chứng minh. h
Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:
1 Luận văn đã nêu ra và chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân.
2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân để giải một số bài toán tích phân.
3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân để giải một số bài toán bất đẳng thức tích phân.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân giúp giải quyết nhiều bài toán khó trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và Olympic Toán sinh viên cả trong nước lẫn quốc tế.
5 Kết hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân và một số kiến thức liên quan chứng minh được bất đẳng thức Opial. h