(Luận văn) giải gần đúng hệ phương trình tích phân kì dị của một hệ phương trình cặp tích phân fourier

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  NGỈ THÀ THANH lu an n va p ie gh tn to GIƒI G†N ĨNG H› PH×ÌNG TRœNH TCH PH…N Kœ DÀ CÕA MËT H› PH×ÌNG TRœNH CP TCH PH…N FOURIER d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z m co l gm @ an Lu ThĂi Nguyản - Nôm 2015 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  NGỈ THÀ THANH lu an n va p ie gh tn to GIƒI G†N ĨNG H› PH×ÌNG TRœNH TCH PH…N Kœ DÀ CÕA MËT H› PH×ÌNG TRœNH CP TCH PH…N FOURIER d oa nl w Chuy¶n ng nh: TON GIƒI TCH M¢ sè: 60.46.01.02 nf va an lu LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC lm ul z at nh oi Hữợng dăn khoa hồc TS NGUYN TH NGN z m co l gm @ an Lu n va ThĂi Nguyản - Nôm 2015 ac th si i Lới cam oan Tổi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trịng l°p vỵi c¡c · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát luên vôn lu an va n Ngổ Th Thanh p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Líi c£m ìn lu an n va p ie gh tn to º ho n th nh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa TS Nguyạn Th NgƠn Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cổ giĂo v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu cổ giĂo  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản cĂc Phỏng- Ban chực nông cừa trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, khoa ToĂn - trữớng Ôi hồc Sữ phÔm, cĂc Quỵ ThƯy Cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K21 (2013- 2015) trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon th nh khâa håc Tỉi xin gûi líi c£m ìn tỵi trữớng Trung hồc phờ thổng PĂc Khuổng tnh LÔng Sỡn, nỡi tổi cổng tĂc  tÔo iÃu kiằn cho tổi ho n th nh khâa håc Tỉi xin c£m ìn gia ¼nh, bÔn b, nhỳng ngữới thƠn  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin tr¥n trång c£m ìn! oa nl w d Th¡i Nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát luên vôn nf va an lu lm ul z at nh oi Ngæ Thà Thanh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Möc löc an n va Líi c£m ìn ii Mưc lưc iii Mð ¦u tn to i gh lu Líi cam oan p ie Kián thực chuân b d oa nl w 1.1 Lỵp h m Holder 1.2 Gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà 1.2.1 Gi¡ trà ch½nh Cauchy 1.2.2 Gi¡ trà ch½nh cõa tẵch phƠn ký d 1.3 ToĂn tỷ tẵch phƠn ký d khổng gian L2 1.3.1 Khổng gian L2ρ 1.3.2 ToĂn tỷ tẵch phƠn ký dà 1.4 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d loÔi mởt 1.5 C¡c a thùc Chebyushev 1.5.1 a thực Chebyushev loÔi mởt 1.5.2 a thực Chebyushev loÔi hai 1.6 Hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu 10 12 n va ac th si iv lu an n va p ie gh tn to 1.7 Bi¸n êi Fourier cõa h m cì b£n gi£m nhanh 1.7.1 Khỉng gian S cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh 1.7.2 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n 1.8 Bi¸n êi Fourier cừa hm suy rởng tông chêm 1.8.1 Khæng gian S cõa c¡c h m suy rởng tông chêm 1.8.2 Bián ời Fourier cừa hm suy rởng tông chêm 1.8.3 Bián ời Fourier cừa tẵch chªp 1.9 C¡c khæng gian Sobolev 1.9.1 Khæng gian H s(R) 1.9.2 C¡c khæng gian Hos(Ω), Ho,os (Ω), H s(Ω) 1.9.3 ành lỵ nhúng 1.10 C¡c khỉng gian Sobolev vectì 1.10.1 Kh¡i ni»m 1.11 Phiám hm tuyán tẵnh liản töc 1.12 To¡n tû gi£ vi ph¥n vectì 14 14 14 15 15 16 17 17 17 18 19 19 19 21 22 oa nl w d Gi£i gƯn úng hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d cừa mởt hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 24 an lu nf va 2.1 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 2.1.1 PhĂt biu bi toĂn 2.1.2 ÷a và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 2.1.3 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn (2.10) 2.1.4 ÷a phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier hằ phữỡng trẳnh tẵch ph¥n ký dà nh¥n Cauchy 2.1.5 ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh z at nh oi lm ul 24 24 25 z m co l gm @ 26 29 an Lu 33 n va ac th si v 2.2 Gi£i g¦n óng h» phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d cừa mởt hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 38 2.2.1 ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và dÔng khỉng thù nguy¶n 38 2.2.2 Tẵnh gƯn úng nghiằm cừa mởt hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d 40 T i li»u tham kh£o 60 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si M Ưu Lỵ thuyát cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy  ữủc hon thiằn nỷa Ưu thá k 20 Trong ba thêp niản gƯn Ơy, nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm án vĐn à giÊi gƯn úng cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn dÔng b lu Z an a (t) dt + x−t Z b (1) ϕ(t)K(x, t)dt = f (x), a n va gh tn to â f (x) v  K(x, t) l nhỳng hm  biát, (t) l hm cƯn tẳm Hm (nhƠn hay hÔch) K(x, t) thữớng l hm liản tửc trản hẳnh chỳ nhêt S = {(x, t) : (x, t) ∈ [a, b] × [a, b]} ie p Phữỡng trẳnh tẵch phƠn dÔng (1) gp hƯu hát cĂc bi toĂn biản hộn hủp cừa Vêt lẵ toĂn ối vợi miÃn khổng trỡn nhữ cĂc bi toĂn và khe h, vát nựt, vát rÔn, cĂc bi toĂn và tiáp xúc cừa lẵ thuyát n hỗi d oa nl w lu nf va an C¡c ph÷ìng phĂp giÊi gƯn úng phữỡng trẳnh tẵch phƠn dÔng (1) bao gỗm cĂc phữỡng phĂp cƯu phữỡng trỹc tiáp, phữỡng phĂp nởi suy bơng phữỡng phĂp Lagrange, phữỡng phĂp sưp xáp thự tỹ, phữỡng phĂp a thực trỹc giao Viằc giÊi mởt số hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d ữủc thỹc hiằn tữỡng tỹ giÊi phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d, hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d ữủc bián ời tứ hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn GƯn Ơy, Nguyạn Vôn Ngồc v Nguyạn Th NgƠn  quan tƠm nghiản cựu và tẵnh giÊi ữủc cừa mởt số hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp cừa phữỡng trẳnh iÃu hỏa v phữỡng trẳnh song iÃu hỏa Vợi mong muốn ữủc tẳm hiu hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d v giÊi gƯn úng hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ dà, chóng tỉi chån · t i "Gi£i g¦n óng h» phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d cừa mởt hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn tẵch phƠn Fourier" Luên vôn ngoi phƯn M Ưu, Kát z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si luªn, T i li»u tham kh£o gỗm hai chữỡng nởi dung Chữỡng mởt trẳnh by tờng quan mởt số kián thực cỡ bÊn và lợp hm Holder, tẵch phƠn kẳ d, giĂ tr chẵnh cừa tẵch phƠn kẳ d, toĂn tỷ tẵch phƠn kẳ d khổng gian L2, phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d, hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh, cĂc a thùc Chebyushev, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m suy rởng tông chêm, cĂc khổng gian Sobolev, cĂc khổng gian Sobolev vectỡ, phiám hm tuyán tẵnh liản tửc, toĂn tỷ gi£ vi ph¥n vectì lu an n va p ie gh tn to Chữỡng hai trẳnh by cĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn Mửc 2.1 trẳnh by và tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp cừa phữỡng trẳnh iÃu hỏa, cĂc nh lẵ 2.1.1, nh lẵ 2.1.3 trẳnh by và tẵnh tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier, ữa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy, sau õ ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh Mửc 2.2 chúng tổi thỹc hiằn giÊi gƯn úng hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn kẳ d cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier vợi cĂc bữợc: ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d và dÔng khổng thự nguyản; tẵnh gƯn úng ma hÔch cừa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d; thỹc hiằn giÊi gƯn úng hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh  ữủc "cht cửt" án N=6 , sau õ tẳm nghiằm gƯn úng cừa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa TS Nguyạn Th NgƠn TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt tợi cổ giĂo hữợng dăn, trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi  tĂc giÊ hon thnh ữủc khoĂ hồc cừa mẳnh m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Kián thực chuân b lu 1.1 Lợp h m Holder an n va ành ngh¾a 1.1.1 [3] Gi£ sû L l  ÷íng cong trìn v  ϕ(ξ) l  h m c¡c p ie gh tn to iºm phùc ξ ∈ L Nõi rơng hm () thọa mÂn iÃu kiằn Holder (iÃu kiằn H) trản ữớng cong L náu vợi hai iºm b§t ký ξ1, ξ2 ∈ L ta câ b§t ¯ng thùc λ |ϕ(ξ2 ) − ϕ(ξ1 )| < A |ξ2 − ξ1 | , (1.1) â A, λ l cĂc hơng số dữỡng Náu > thẳ tø i·u ki»n (1.1) suy ϕ0(ξ) ≡ tr¶n L v  â ϕ(ξ) ≡ const, ξ ∈ L Vẳ vêy ta luổn luổn cho rơng < Náu = thẳ iÃu kiằn Holder trð th nh i·u ki»n Lipschitz Rã r¬ng λ c ng nhä thẳ lợp hm H cng rởng Lợp hm Holder hàp nhĐt l lợp hm Lipschitz Dạ thĐy rơng, náu cĂc hm 1(), 2() thọa mÂn iÃu kiằn Holder tữỡng ựng vợi cĂc ch số 1, 2, thẳ tờng, tẵch v cÊ thữỡng (vợi iÃu kiằn mău thực khĂc khổng) cụng thọa mÂn iÃu kiằn Holder vợi ch số = min(1 , ) Náu hm () cõ Ôo hm hỳu hÔn trản L thẳ nõ thọa mÂn iÃu kiằn Lipschitz iÃu ny ữủc suy tứ nh lỵ và số gia hỳu hÔn Ngữủc lÔi nõi chung khổng úng Th½ dư, h m d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu ϕ(ξ) = |ξ|, R, n va thuởc lợp hm Holder trản R, khổng cõ Ôo hm tÔi = ac th si 31 Th¸ (2.23) v o (2.10) ta thu ữủc hằ phữỡng trẳnh   b2 () i sign (ξ) v  −1  F i.sign(ξ) coth(|ξ|h).vb1 (ξ) −    sinh(|ξ|h)    (x) = f1 (x), i.sign(ξ)vb1 (ξ)  −1   + i.sign(ξ) coth(|ξ|h).vb2 (ξ) (x) F −   sinh(|ξ|h)    x ∈ (a, b),   = f2 (x) x ∈ (a, b) (2.24) Sû dưng cỉng thùc [2] F −1 [sign(ξ).F [v]] (x) = πi Zb v(t)dt , v ∈ L2ρ±1 (a, b), x−t lu a an v  n va e−|ξ|h cosh(|ξ|h) e|ξ|h + e−|ξ|h = |ξ|h =1+ , coth(|ξ|h) = sinh(|ξ|h) e − e−|ξ|h sinh(|ξ|h) p ie gh tn to ta bi¸n êi v· tr¡i cõa phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ phữỡng trẳnh (2.24)   b i sign (ξ) v (ξ) F −1 isign(ξ) coth(|ξ|h)vb1 (ξ) − (x) sinh(|ξ|h) " oa nl d = −iF −1 [sign(ξ)vb1 (ξ)] (x) − iF −1 an lu b b a # eiξt − v2 (t) dt (x) sinh(|ξ|h) " # e−|ξ|h sign(ξ) sinh(|ξ|h) vb1(ξ) (x) # eiξt − v2 (t) dt (x) sinh(|ξ|h) lm ul sign(ξ) Z nf va " + iF −1 Z w = F −1 e(−|ξ|h) isign(ξ)(1 + )vb1 (ξ) − isign(ξ) sinh(|ξ|h) a z at nh oi Ta câ F −1 [sign(ξ)vb1 (ξ)] (x) = πi Zb v1 (t)dt , x−t z a  Z∞ e sin ξ(x − t)dξ  dt sinh(ξh) an Lu a  m v1 (t) −ξh co −i π Zb (x), l = e sign(ξ) sinh(|ξ|h) vb1 (ξ) gm F −1 # −|ξ|h @ " n va ac th si 32 °t −i l11 (x − t) = π Z∞ suy e−ξh sin ξ(x − t)dξ, sinh(ξh) " F −1 # e−|ξ|h sign(ξ) sinh(|ξ|h) vb1(ξ) (x) = Zb v1 (t)l11 (x − t)dt a T÷ìng tü, ta câ  F sign(ξ) −1 Zb  iξt e −1 v2 (t) dt (x) = sinh(|ξ|h) v2 (t)l11 (x − t)dt, a a lu vỵi Zb an Z∞ n va −i l12 (x − t) = π sin ξ(x − t) dξ sinh(h) Thỹc hiằn php bián ời nhữ trản ối vợi vá trĂi cừa phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ phữỡng trẳnh (2.24) Nhữ vêy, ta bián ời phữỡng trẳnh (2.24) và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d nhƠn Cauchy tr¶n (a, b): p ie gh tn to v1 (t)dt + x−t Zb d oa nl v1 (t)l11 (x − t)dt + a an a v1 (t)l21 (x − t)dt + nf va v2 (t)dt + x−t Zb Zb v2 (t)l12 (x − t)dt = −if1 (x), a lu vm (t) ∈ Zb v2 (t)l22 (x − t)dt = −if2 (x), a L2ρ (a, b), m = 1, 2; a < x < b, z at nh oi lm ul â w  Zb        πi    a Zb      πi   a    Z∞ co sin(ξx) dξ sinh(ξh) l i π gm l12 (x) = l21 (x) = @ Z∞ e−ξh sin(ξx)dξ, sinh(ξh) z −i l11 (x) = l22 (x) = m Ngữủc lÔi, giÊ sû vm, m = 1, l  nghi»m cõa ph÷ìng trẳnh tẵch phƠn ký d nhƠn Cauchy (2.20) vợi cĂc iÃu kiằn (2.21) Thỹc hiằn php bián ời ngữủc lÔi ta dng ữa hằ phữỡng trẳnh (2.20) và hằ phữỡng trẳnh (2.24) an Lu n va ac th si 33 Thay vbm(ξ) = (−iξ)ubm(ξ)(m = 1, 2), v o h» phữỡng trẳnh (2.24) ta thu ữủc hai phữỡng trẳnh Ưu cừa hằ phữỡng trẳnh (2.10) Sỷ dửng iÃu kiằn (2.21), (2.22) v nh lẵ và tẵch chêp ối vợi bián ời Fourier ta nhên ữủc hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn (2.10) nh lỵ ữủc chựng minh 2.1.5 ữa hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d nhƠn Cauchy và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh m (t) Trong hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d (2.20) thay vm(t) = φρ(t) â φm ∈ L2ρ (a, b), m = 1, ta ữủc hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn kẳ d sau: lu Zb    an va πi a n     X φm (t)dt + ρ(t)(x − t) k=1 Zb φk ((t)) lmk (x − t)dt = −ifm (x), ρ(t) (2.25) a Ta khai triºn c¡c h m φm(t) th nh chuéi ie gh tn to φm (t) ∈ L2ρ−1 (a, b), m = 1, 2; a < x < b p φm (t) = ∞ X (2.26) (m) Aj Tj [η(t)] , (m = 1, 2), j=1 w nl õ l cĂc hơng số chữa biát, hìn núa, ∈ l2 (m = 1, 2) j=1 Ta rng ch rơng hm vm(t) = 1(t)(t), m = 1, thäa m¢n c¡c i·u ki»n (2.21) °t n (m) Aj o∞ d oa (m) Aj nf va an lu m,N (t) = ∞ X (m) Aj Tj [η(t)] , j=1 z at nh oi lm ul φm,N (t) = N X (m) Aj Tj [η(t)] , (m = 1, 2) j=N +1 z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Ta câ φm(t) = φm,N (t) + m,N (t), â ||m,N (t)||2L Theo ành l½ 2.1.6 ta câ → 0, (N → ∞) ρ−1 Zb Zb φ (t) φ m m,N dt − dt πi ρ(t)(x − t) πi ρ(t)(x − t) a a Lρ b Z φ (t) − φ (t) m m,N dt = πi ρ(t)(x − t) a Lρ m,N (t) φm (t) − φm,N (t) =C ≤C ρ(t) ρ(t) Lρ Lρ Suy lu an Z Z b b φ (t) φ m m,N limN →∞ dt − dt πi a ρ(t)(x − t) πi a ρ(t)(x − t) va (2.27) = L2ρ n p ie gh tn to Th¸ (2.26) v o vá trĂi cừa hằ phữỡng trẳnh (2.25), sỷ dửng kát quÊ (2.27), hoĂn v thự tỹ lĐy tẵch phƠn v têng ta thu ÷đc ∞ Zb a ∞ Tj [η(t)] dt X X (k) + A ρ(t)(x − t) j=1 k=1 j Zb Tj [η(t)] lmk (x − t)dt ρ(t) a (2.28) = −ifm (x), d oa nl w X (m) A πi j=1 j ∞ nf va an lu Sû dưng cỉng thùc (1.16), tø (2.28) ta câ ∞ b Z lm ul X X (k) −2 X (m) Aj Uj−1 [η(x)] + Aj i(b − a) j=1 j=1 k=1 a Tj [η(t)] lmk (x − t)dt ρ(t) hay ∞ z at nh oi = −ifm (x), ∞ z X X (k) −2 X (m) Aj+1 Uj [η(x)] + Aj i(b − a) j=1 j=1 k=1 Z Tj [η(t)] lmk (x − t)dt ρ(t) gm @ a b m co l (2.29) Nh¥n hai vá cừa (2.29) vợi (x)Un[(x)], sau õ lĐy tẵch phƠn trản [a, b], hoĂn v thự tỹ lĐy tẵch phƠn v tờng, sỷ dửng tẵnh chĐt trỹc giao cừa a thùc Chebyushev Uj cæng thùc (1.15), tø h» phữỡng trẳnh (2.29), ta = ifm (x) an Lu n va ac th si 35 thu ữủc hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh (b − a)π (m) X X (k) (mk) Aj Cnj = Fn(m) , (m = 1, 2), (n = 0, 1, ) An+1 + 4i j=1 k=1 (2.30) â (mk) Cnj Zb  Zb ρ(x)Un [η(x)] dx = (2.31) Tj [η(t)] lmk (x − t)dt dx, ρ(t) a a Fn(m) = −i  Zb (2.32) ρ(x)Un [η(x)] fm (x)dx, (m = 1, 2), (n = 0, 1, ) lu a an n va Viằc hoĂn v lĐy tẵch phƠn v tờng thỹc hiằn ữủc vẳ: t to tn S(x) = ∞ X (m) Aj+1 Uj [η(x)] , j=1 ie gh p SN (x) = N X (m) Aj+1 Uj [η(x)] , j=1 σN (x) = d oa nl w ∞ X (m) Aj+1 Uj [η(x)] , m = 1, j=N +1 nf va an lu ∞ Do {A(m) j }j=1 ∈ l2 (m = 1, 2), n¶n σN (x) → 0, N → ∞ Lρ Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta câ kS(x) − SN (x)kL2ρ  ρ(x) |Um [η(x)]σN (x)| dx z ≤ Zb z at nh oi lm ul b Z = ρ(x)Um [η(x)]σN (x)dx