Minh họa một số thuật toán giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm maple

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MINH HỌA MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHẦN MỀM MAPLE HUỲNH THỊ BẢO NGUYÊN AN GIANG, 05 - 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MINH HỌA MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHẦN MỀM MAPLE HUỲNH THỊ BẢO NGUYÊN DTO170714 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: PHẠM MỸ HẠNH AN GIANG, 05 - 2021 Khóa luận "Minh họa số thuật tốn giải gần hệ phương trình tuyến tính phần mềm Maple" sinh viên Huỳnh Thị Bảo Nguyên thực hướng dẫn ThS Phạm Mỹ Hạnh Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng Khoa học Đào tạo thông qua ngày / / Cán chấm Cán chấm THS TRẦN THỊ NGỌC GIÀU THS PHẠM VĂN BẢN GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN THS PHẠM MỸ HẠNH LỜI CẢM TẠ Lời em xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu nhà trường tồn thể q thầy mơn Tốn trường Đại học An Giang tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến Phạm Mỹ Hạnh, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em kiến thức, tài liệu, phương pháp giải đáp thắc mắc em suốt thời gian qua để em hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu Do lần em thực nghiên cứu khoa học nên cịn nhiều bỡ ngỡ Ngồi ra, lực có hạn thân nên khóa luận khó tránh khỏi hạn chế định Em mong nhận ý kiến đóng góp dẫn quý thầy cô Em xin chân thành cảm ơn kính chúc q thầy có thật nhiều sức khỏe, đạt nhiều thành công công tác giáo dục lẫn sống! Long Xuyên, ngày 17 tháng 05 năm 2021 Người thực Huỳnh Thị Bảo Nguyên LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu cơng trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa công bố công trình khác Long Xuyên, ngày 17 tháng 05 năm 2021 Người thực Huỳnh Thị Bảo Nguyên MỤC LỤC 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục tiêu đề tài 0.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0.4 Phương pháp nghiên cứu 0.5 Đóng góp khóa luận 0.6 Cấu trúc khóa luận Chương Tổng quan hệ phương trình tuyến tính số ứng dụng 1.1 Tổng quan hệ phương trình tuyến tính 1.2 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính số lĩnh vực 1.2.1 Ứng dụng điều khiển lưu lượng hệ thống 1.2.2 Ứng dụng vào mạng lưới điện 1.2.3 Ứng dụng cân phản ứng hóa học 10 1.2.4 Mơ hình cân thị trường 11 Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 14 2.1 Nhóm phương pháp giải trực tiếp 14 2.1.1 Phương pháp Cramer 14 2.1.2 Phương pháp khử Gauss 15 2.1.3 Phương pháp khử Gauss-Jordan 17 2.2 Nhóm phương pháp giải gián tiếp 18 2.2.1 Kiến thức chuẩn bị 18 2.2.2 Phương pháp lặp đơn 20 2.2.3 Phương pháp Jacobi 22 2.2.4 Phương pháp Gauss-Seidel 23 i Chương Ứng dụng Maple giải hệ phương trình tuyến tính qua số toán thực tế 27 3.1 Giới thiệu phần mềm Maple 27 3.2 Ví dụ 27 3.2.1 Ví dụ 27 3.2.2 Ví dụ 34 Chương Kết luận kiến nghị 43 4.1 Kết luận 43 4.2 Kiến nghị 43 4.3 Hướng nghiên cứu 44 Tài liệu tham khảo 45 ii DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Hệ thống đường chiều 1.2 Mạch điện iii DANH MỤC KÝ HIỆU ∀: Mọi ∈: Thuộc R: Tập số thực Ω: Đơn vị điện trở QSi : Lượng cung sản phẩm QDi : Lượng cầu sản phẩm pi : Giá bán sản phẩm ∈: Thuộc P : Tổng  a11 a12   a21 a22   :  : an1 an2 h A= A ··· ···  a1n  a2n  : Ma trận  :  ann ··· i b : Ma trận bổ sung kBk: Chuẩn ma trận rank(A): Hạng ma trận A ∞: Vô v MỞ ĐẦU 0.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hiện việc ứng dụng công nghệ thông tin vào q trình dạy học mơn Tốn vô cần thiết trường Cao đẳng, Đại học trường phổ thông Ứng dụng công nghệ thông tin hợp lý giúp nâng cao chất lượng hoạt động dạy học, đồng thời góp phần tăng hứng thú trong hoạt động học tập, nâng cao khả tự học tự nghiên cứu sinh viên Có nhiều phần mềm phục vụ tốt cho việc giảng dạy Tốn học, số phải nhắc đến phần mềm Maple với nhiều ưu điểm vượt trội như: • Tính tốn với khối lượng lớn, với thời gian nhanh độ xác cao • Có thể thực hầu hết phép tốn chương trình tốn đại học tốn phổ thơng • Một ngơn ngữ lập trình đơn giản mạnh mẽ có khả tương tác với ngơn ngữ lập trình khác • Cho phép trích xuất định dạng khác LaTex, Word, HTML, • Một cơng cụ hữu ích cho học sinh sinh viên việc tự học Khi tìm hiểu hệ phương trình tuyến tính, tơi nhận thấy ứng dụng vào nhiều lĩnh vực sống Nhưng khơng phải lúc hệ phương trình có nghiệm với tốn có liệu lớn việc tính tốn khó khăn khối lượng tính tốn lớn Đối với tốn thế, tính tốn theo cách thủ cơng nhiều thời gian, người ta nghiên cứu đến việc sử dụng số phần mềm toán học để phục vụ cho việc tìm nghiệm nghiệm gần hệ phương trình cách dễ dàng, nhanh chóng xác Từ đó, tơi định lựa chọn phần mềm tính tốn ưu việt Maple để minh họa thuật tốn tìm nghiệm gần hệ phương trình tuyến tính toán ứng dụng thực tiễn 0.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Hệ thống kiến thức hệ phương trình tuyến tính phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Sử dụng phần mềm Maple để minh họa thuật tốn tính gần nghiệm hệ phương trình tuyến tính thơng qua số toán ứng dụng thực tiễn     19p1 − 2p2 − p3 = 210 Qs − Qd = ⇔ −p1 + 22p2 − p3 = 90    −p1 − 2p2 + 17p3 = 114 ⇔     p1 = 12 p2 =    p = Vậy thị trường cân giá trị ba loại sản phẩm theo thứ tự 12, (Đơn vị tiền tệ) Tóm lại, phương diện lý thuyết, hệ (1.1) giải trọn vẹn nhờ lý thuyết ma trận định thức Tuy nhiên, với trường hợp ma trận không suy biến, giải phương pháp Cramer số phép tính lớn, cỡ n!n2 phép tính nhân chia Nhằm khắc phục hạn chế đó, chương xét số phương pháp giải thực tế hệ phương trình (1.1) với đặc điểm chung khối lượng tính tốn giảm nhẹ Trong số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, chia làm hai nhóm phương pháp lớn nhóm phương pháp trực tiếp nhóm phương pháp gián tiếp Đặc điểm chung nhóm phương pháp trực tiếp sau số hữu hạn phép tính có kết quả, nhóm phương pháp thường áp dụng với số tốn có kích thước nhỏ, số liệu ban đầu Tuy nhiên phải thực số phép tính tương đối lớn nên có nguy tích lũy sai số, trường hợp số liệu ban đầu khơng thật xác Cịn với nhóm phương pháp gián tiếp (phương pháp lặp), người ta thường áp dụng cho tốn cần khối lượng tính tốn lớn liệu ban đầu thường có sai số 13 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 2.1.1 NHĨM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRỰC TIẾP Phương pháp Cramer Đối với hệ Cramer phương pháp giải dựa công thức Cramer xác định định lý 2.1 Định lý 2.1 Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số có nghiệm cho công thức Dj , j = 1, n xj = D D định thức ma trận hệ số hệ, Dj định thức nhận từ D cách thay cột thứ j cột hệ số tự với j = 1, n Nhận xét: Cơng thức tìm nghiệm phương pháp Cramer thu gọn, dễ nhớ, đẹp Tuy nhiên n lớn, ta phải thực số lượng lớn phép tính Việc tính định thức gặp nhiều khó khăn Nếu gọi Nc (n) số lượng phép tính cần thực hệ có n phương trình Nc (n) = (n + 1)!n Với n = 15 ta có Nc (15) = 3.1014 Vì phương pháp Cramer dùng ma trận hệ số khơng suy biến số lượng phương trình hệ nhỏ Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình    2x1 + x1 −   3x1 − sau phương pháp Cramer: x − x3 = x2 + 2x3 = 2x2 + x3 = −1 Giải Ta có −1 −1