(Luận văn) tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG lu TÍNH GIẢI ĐƯỢC an va n CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP tn to p ie gh TÍCH PHÂN FOURIER d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC lu an CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP va n TÍCH PHÂN FOURIER p ie gh tn to d oa nl w Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGÂN z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si Lời cam đoan lu Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc an va n Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn p ie gh tn to d oa nl w Lê Thị Tuyết Nhung nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Ngân Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo xin gửi lời tri ân điều cô giáo dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạmĐại học Thái Nguyên Phòng- Ban chức Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn ! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn z Lê Thị Tuyết Nhung m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii lu an n va Mục lục iii Mở đầu tn to p ie gh Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại 1.3 Các đa thức Chebyushev 1.3.1 Đa thức Chebyushev loại 1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai 1.4 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 1.5 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.5.1 Không gian S hàm giảm nhanh 1.5.2 Biến đổi Fourier hàm 1.5.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S 1.6 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.6.1 Không gian S hàm suy rộng tăng chậm 1.6.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.6.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S 1.6.4 Biến đổi Fourier tích chập d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul 3 5 11 11 11 z m co l gm @ 11 12 12 13 an Lu 13 14 n va ac th iii si 1.7 Các không gian 1.7.1 Không gian H s (R) s (Ω), H s (Ω) 1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o 1.7.3 Định lý nhúng 1.8 Các không gian Sobolev vectơ 1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 1.10 Toán tử giả vi phân vectơ lu an n va 22 22 22 24 27 p ie gh tn to Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.1 Phát biểu toán 2.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 14 14 15 16 16 18 19 33 w 40 oa nl Kết luận 42 d Tài liệu tham khảo nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th iv si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Phương trình cặp hệ phương trình cặp xuất giải toán hỗn hợp vật lý toán Nhiều toán tiếp xúc lý thuyết đàn hồi, toán vết nứt, dị tật mơi trường, đưa đến việc giải phương trình cặp khác Trong tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp cho sau: Trên cạnh y = điều kiện biên Dirichlet cho khoảng hữu hạn (a, b), cịn ngồi khoảng cho điều kiện Neumann Trên cạnh y = h điều kiện biên Neumann cho khoảng hữu hạn (a, b), cịn ngồi khoảng cho điều kiện biên Dirichlet Bài tốn giải cách đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier mà phần tử đường chéo ma trận biểu trưng cấp hai, tăngmột giảm cấp Với mong muốn tìm hiểu tính giải hệ phương trình cặp tích phân xuất giải tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa miền hình dải, tơi chọn đề tài “Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier” Luận văn phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, khơng gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vectơ Chương trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất giải tốn biên hỗn hợp phương trình d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to điều hịa Các Định lí 2.1, Định lí 2.2 chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier khơng gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy, đưa tiếp hệ phương trình tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Đánh giá hệ số hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính chứng minh hệ phương trình có nghiệm thuộc không gian `2 , hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính hệ tựa hồn tồn quy Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa học d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân lu an Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm dấu tích phân n va tn to Ví dụ 1.1 Với a ≤ s, t ≤ b ta có phương trình tích phân: ie gh Zb p f (t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.1) K(t, s)g(s)ds, (1.2) (K(t, s))2 ds, (1.3) a w nl Zb d oa g(t) = λ lu a an Zb nf va g(t) = λ lm ul a Zb K(t, s)g(s)ds (1.4) z at nh oi g(t) = f (t) + λ a z Thấy rằng: + Hàm ẩn g(t) phải tìm nằm dấu tích phân nằm ngồi dấu tích phân +Một phương trình tích phân gọi tuyến tính hàm phải tìm bậc (ví dụ phương trình (1.1) (1.2) tuyến tính cịn (1.3) khơng phải) +Bằng biến đổi thích hợp, phương trình tích phân đưa m co l gm @ an Lu n va ac th si dạng (A − λI)g = f , A tốn tử tích phân, A tốn tử tuyến tính phương trình tích phân tuyến tính Định nghĩa 1.2 Phương trình có dạng: Zb g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds, a gọi phương trình Fredhom loại 2, g(t) hàm chưa biết, f (t) K(t, s) hàm cho trước, λ hàm số Phương trình có dạng: Zb lu f (t) = λ K(t, s)g(t)ds, an a n va gh tn to gọi phương trình Fredhom loại 1, g(t) hàm chưa biết, f (t) K(t, s) hàm cho trước, λ hàm số Phương trình tích phân kỳ dị loại p ie 1.2 d oa nl w Xét phương trình tích phân kỳ dị sau Zb an lu π ϕ(τ ) dτ = f (ξ), a < ξ < b τ −ξ (1.5) a nf va z at nh oi lm ul Phương trình (1.5) trường hợp riêng quan trọng phương trình tích phân kỳ dị thường gặp nhiều toán học Vật lý tốn Trong phương trình ta giả thiết hàm f (ξ) thỏa mãn điều kiện Holder Tùy thuộc vào dáng điệu ẩn hàm đầu mút đoạn [a, b], ta có cơng thức nghiệm sau phương trình: z ac th n va a0 số tùy ý (1.6) an Lu a < ξ < b, m a co l gm @ a Nghiệm không bị chặn hai đầu mút:   Zb p (τ − a)(b − τ )f (τ ) 1 ϕ(ξ) = − p dτ + a0  , π τ − ξ (ξ − a)(b − ξ) si 2.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) Hệ phương trình cặp tích phân (2.10) viết lại dạng sau đây: ( b (ξ)] (x) = f (x), x ∈ (a, b), pF −1 [A(ξ)u (2.11) b (ξ)] (x) = 0, p0 F −1 [u x ∈ R\(a, b), lu b (ξ) = F [u](ξ) = (u b1 (ξ), u b2 (ξ))T , ma f (x) = (f1 (x), f2 (x))T , u trận   tanh(|ξ|h) −  |ξ| cosh(|ξ|h)   , A(ξ) =   |ξ| tanh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) với p p0 toán tử hạn chế tương ứng (a, b) R\(a, b) Đặt α ~ = (−1, 1)T Ta có kết sau: an va → − n p ie gh tn to Định lý 2.1 (Sự nghiệm) [10], [11] Giả sử f ∈ H− α /2 (a, b) → − α /2 Khi nghiệm u ∈ H0 (a, b)của hệ phương trình (2.11) tồn tại, Chứng minh Để chứng minh định lý, ta chứng minh hệ phương trình hệ phương trình (2.11) có nghiệm tầm thường ( b (ξ)] (x) = 0, x ∈ (a, b), pF −1 [A(ξ)u b (ξ)] (x) = 0, p0 F −1 [u x ∈ R\(a, b) d oa nl w an lu → − α /2 (a, b), hệ viết lại (2.12) (2.13) lm ul (Au)(x) = x ∈ (a, b), z at nh oi nf va Từ u(x) ∈ H0 b (ξ)] (x), x ∈ (a, b) (Au)(x) = pF −1 [A(ξ)u → − → − α /2 z Vì Au ∈ H− α /2 (a, b) ' (H0 (a, b))1/2 , từ (2.13) ta có Z+∞  b ] (ξ)dξ bT (ξ)F `pF −1 [Au u [Au, u] = l gm @ −∞ co m b ], ta Vì tích phân khơng phụ thuộc vào cách chọn `pF −1 [Au viết thác triển dạng sau n va ac th 24 an Lu b ] = F −1 [Au b] `pF −1 [Au si Từ ta có Z+∞ b T (ξ)A(ξ)u b (ξ)dξ [Au, u] = u (2.14) −∞ Khi từ (2.12) (2.14) ta có Z+∞ b T (ξ)A(ξ)u b (ξ)dξ = [Au, u] = u −∞ Vì o n T b (ξ)A(ξ)u b (ξ) ≥ 0, Re u lu suy an n va b (ξ) = 0, u(x) = u gh tn to Do hệ phương trình có nghiệm tầm thường Vậy hệ phương trình cặp (2.11) có nghiệm Định lý chứng minh p ie Bổ đề 2.1 [10], [11] Hệ phương trình cặp (2.11) tương đương với hệ phương trình cặp sau h i −1 −1 c b (ξ)] (x) = f (x) − pF pF [A(ξ)v A(ξ)` g(ξ) (x), x ∈ (a, b), (2.15) oa nl w d → − → − v + `0 g = u ∈ H α /2 (R), nf va an lu α /2 b = F −1 [v] ∈ H0 (a, b) thỏa mãn v lm ul với `0 g thác triển tùy ý g từ R\(a, b) → R z at nh oi Kí hiệu h i c h(x) = f(x) − pF A(ξ)` g(ξ) (x) z (2.16) @ l gm Sử dụng (2.13) (2.16) ta viết lại cơng thức (2.15) (2.17) m co (Av)(x) = h(x), x ∈ (a, b) an Lu Ta thiết lập tồn nghiệm hệ phương trình cặp (2.11) → − α /2 H0 (a, b) Ta đặt n va ac th 25 si  tanh(|ξ|h) , A+ (ξ) =  |ξ| |ξ| coth(|ξ|h)   −   cosh(|ξ|h)  B(ξ) =    |ξ| − − cosh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)  Khi ta biểu diễn ma trận A(ξ) dạng A(ξ) = A+ (ξ) + B(ξ) Rõ − → − P→ P−→ α β − ràng A+ (ξ) ∈ , B(ξ) ∈ , β = (β1 , β2 ), βj  Tích vơ + → − hướng chuẩn H α /2 (R) xác định công thức lu an − (v, w)A+ ,→ α /2 Z+∞ F [wT ]A+ (t)F [v] (t)dt, = n va to gh tn − kvkA+ ,→ α /2 =  −∞ Z+∞ F [vT (t)]A 1/2 + (t)F [v] (t)dt −∞ p ie Ta viết A+ v thay cho Av → − d oa nl w Định lý 2.2 (Sự tồn nghiệm).[10], [11] Nếu f ∈ H− α /2 (a, b) hệ → − α /2 phương trình (2.11) có nghiệm u ∈ H0 (a, b) Chứng minh Ta biểu diễn toán tử A xác định phương trình (2.17) dạng nf va an lu b ] , Bu = pF −1 [Bu] , u b = F [u] A+ u = pF −1 [A+ u lm ul (2.18) z at nh oi Chú ý rằng, hệ phương trình − −→ α /2 (A+ u)(x) = k(x), u(x) ∈ H0 (a, b), z m co l gm @ phân rã thành hai phương trình cặp phân biệt → − − α /2 −→ α /2 Vì A−1 bị chặn từ H (a, b) → H (a, b) theo bổ đề (2.1) + → − α /2 ta có Bu xác định (2.18) hoàn toàn bị chặn H0 (a, b) → → − H− α /2 (a, b) Trong trường hợp ta biểu diễn hệ phương trình cặp (2.17) dạng n va ac th 26 an Lu A+ u + Bu = f si Hơn ta có kết sau: −1 u + A−1 + Bu = A+ f (2.19) Vì tốn tử A−1 + B hồn tồn bị chặn nên hệ phương trình (2.19) hệ phương trình Fredhom từ tính nghiệm hệ phương trình Fredhom ta suy hệ phương trình cặp có nghiệm Do → − (2.11) có nghiệm u ∈ H α /2 (a, b) Định lý chứng minh 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy lu p Định nghĩa 2.1 Giả sử ρ(x) = (x − a)(b − x), (a < x < b) Ta gọi L2ρ±1 (a, b) khơng gian Hilbert hàm tích vơ hướng chuẩn xác định công thức an n va to gh tn Zb p ie (u, v)L2ρ±1 = qa = (u, u)L2ρ±1 < +∞ nl w kukL2ρ±1 ρ±1 (x)u(x)v(x)dx, d oa Bổ đề 2.2 [9] Giả sử ϕ ∈ L2ρ (a, b) Kí hiệu ϕ0 thác triển - khơng ϕ R Khi −1 ϕ0 ∈ H0 (a, b) nf va an lu lm ul Trong không gian L2ρ±1 (a, b) ta xét tốn tử tích phân kỳ dị Zb ϕ(t) dt, x ∈ Ω = (a, b), x−t z at nh oi S(a,b) [ϕ](x) = πi a z với tích phân hiểu theo nghĩa giá trị Cauchy @ co l gm Định lý 2.3 [3] Toán tử tích phân S(a,b) [ϕ] bị chặn khơng gian L2ρ±1 (a, b) : S(a,b) [ϕ] (a, b) ≤ C kϕk (a, b) Lρ±1 L m ρ±1 an Lu ac th 27 n va Định lý 2.4 [10], [11] Hệ phương trình cặp tích phân (2.10) b1 (ξ), u b2 (ξ)) tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (u si sau (a, b):  Zb Zb Zb   v (t)    dt + v1 (t)k11 (x − t)dt + v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x),   πi x − t    a a a b b Z Z Zb v (t)   dt + v1 (t)k21 (x − t)dt + v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x),   πi x − t    a a a   v (x) ∈ L2 (a, b) ∩ H 1/2 (a, b), v (x) ∈ L2 (a, b) ⊂ H −1/2 (a, b), a < x < b, o o ρ ρ−1 (2.20) với điều kiện v2 ∈ O1 (a, b), nghĩa Zb lu v2 (x)dx = 0, (2.21) an a va n ie gh tn to dv1 (x) u1 (x) = , u2 (x) = dx Zb v2 (t)sign(x − t)dt, x ∈ R, (2.22) p a Z∞ d oa nl w 2i k11 (x) = k22 (x) = π e−2ξh sin ξxdξ, + e−2ξh an lu −i π nf va k12 (x) = Z∞ lm ul i π ξ sin(ξx) dξ cosh(ξh) z at nh oi k21 (x) = ∞ Z sin(ξx) dξ, ξ cosh(ξh) z b1 ] (x) u2 (x) = F −1 [u b2 ] (x) Chứng minh Nghiệm u1 (x) = F −1 [u hệ phương trình cặp tích phân (2.10) biểu diễn dạng (2.22), hàm v2 thỏa mãn điều kiện (2.21) v1 ∈ L2ρ−1 (a, b) ∩ 1/2 −1/2 Ho (a, b), v2 (x) ∈ L2ρ (a, b) ⊂ Ho (a, b) Tác động biến đổi Fourier theo biến x vào hai vế (2.22), ta có m co l gm @ vb2 (ξ) (−iξ) an Lu b1 (ξ) = (−iξ)vb1 (ξ), u b2 (ξ) = u (2.23) n va ac th 28 si Thế (2.23) vào (2.10) ta thu hệ phương trình    b v (ξ)   (x) = if1 (x), x ∈ (a, b), F −1 sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb1 (ξ) + ξ cosh(|ξ| h)   b ξ v (ξ)  −1  − sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb2 (ξ) (x) = if2 (x), x ∈ (a, b) F cosh(|ξ| h) (2.24) Sử dụng công thức [2]: F −1 [sign(ξ)F [v]] (x) = πi Zb v(t)dt , v ∈ L2ρ±1 (a, b), x−t a lu sinh(|ξ|h) 2e−2|ξ|h tanh(|ξ|h) = =1− cosh(|ξ|h) + e−2|ξ|h an n va p ie gh tn to Ta biến đổi vế trái phương trình thứ hệ phương trình (2.24):   vb2 (ξ) −1 F sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb1 (ξ) + (x) ξ cosh(|ξ| h) " # −2|ξ|h 2e vb2 (ξ) b = F −1 sign(ξ)vb1 (ξ) − sign(ξ) (x), v (ξ) + ξ cosh(|ξ|h) + e−2|ξ|h ta có Zb v1 (t)dt F −1 [sign(ξ)vb1 (ξ)] (x) = , πi x−t a " # Z+∞ −2|ξ|h 2e 2e−2|ξ|h −1 F sign(ξ) vb1 (ξ) (x) = vb1 (ξ)e−iξx sign(ξ)dξ −2|ξ|h −2|ξ|h 2π 1+e 1+e d oa nl w nf va an lu v1 (t)dt a −∞ e−2ξh sin ξ(x − t)dξ + e−2ξh Đặt e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh gm @ Z∞ z 2i k11 (x − t) = π z at nh oi −2i π lm ul = Z∞ Zb l co suy a an Lu F −1 # Zb 2e−2|ξ|h sign(ξ) vb1 (ξ) (x) = − v1 (t)k11 (x − t)dt + e−2|ξ|h m " n va ac th 29 si Tương tự ta có F −1   Zb Z+∞ iξt −iξx e e vb2 (ξ) (x) = v2 (t)dt dξ ξ cosh(|ξ|h) 2π ξ cosh(|ξ|h) −∞ Z+∞ a = 2π Zb v2 (t)dt e−iξ(x−t) dξ ξ cosh(|ξ|h) −∞ Z+∞ a Zb cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t) dξ ξ cosh(|ξ|h) a −∞   b Z Z∞ −i sin ξ(x − t)  = v2 (t)  dξ dt π ξ cosh(|ξ|h) = 2π v2 (t)dt lu an va a n Đặt to gh tn −i k12 (x − t) = π Z∞ sin ξ(x − t) dξ, ξ cosh(ξh) ie p suy oa nl w  b Z −1  F v2 (t)  iξt−1 e dt = ξ cosh(|ξ|h) a Zb v2 (t)k12 (x − t)dt a d Zb Zb a v1 (t)k11 (x − t)dt + lm ul a v1 (t)dt + x−t nf va πi an lu Khi phương trình thứ hệ (2.24) trở thành Zb v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x) a z at nh oi Biến đổi tương tự vế trái phương trình thứ hai hệ phương trình (2.24), ta có:  z  b ξ v (ξ) F −1 − sign(ξ) tanh(|ξ| h)vb2 (ξ) (x) cosh(|ξ| h) " # −2|ξ|h ξ vb1 (ξ) 2e = F −1 − sign(ξ)vb2 (ξ) + sign(ξ) vb2 (ξ) (x), cosh(|ξ| h) + e−2|ξ|h ta có Zb v2 (t)dt F −1 [sign(ξ)vb2 (ξ)] (x) = , πi x−t m co l gm @ an Lu ac th 30 n va a si F −1   Z∞ ξ ξ vb1 (ξ) (x) = vb1 (ξ)e−iξx dξ cosh(|ξ| h) 2π cosh(|ξ| h) −∞ = Zb 2π v1 (t)eiξt dt Zb 2π ξ e−iξx dξ cosh(|ξ|h) −∞ a = Z+∞ Z+∞ v1 (t)dt ξ e−iξ(x−t) dξ cosh(|ξ|h) −∞ Z+∞ a Zb ξ(cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t)) dξ cosh(|ξ|h) a  −∞  b Z∞ Zb Z −i ξ sin ξ(x − t) dξ  dt = − v1 (t)k21 (x − t)dt, = v1 (t)  π cosh(|ξ|h) a a " # +∞ Z 2e−2|ξ|h 2e−2|ξ|h −1 F sign(ξ) v2 (ξ)e−iξx sign(ξ)dξ vb2 (ξ) (x) = −2|ξ|h −2|ξ|h 2π 1+e 1+e = 2π v1 (t)dt lu an n va tn to gh −∞ 2π p ie = Z+∞ oa v2 (t)dt Z∞ Zb a e−2ξh sin ξ(x − t)dξ = − + e−2ξh z at nh oi v2 (t)dt lm ul −2i = π sign(ξ) −∞ a e−2|ξ|h (cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t))dξ + e−2|ξ|h nf va v2 (t)dt an Zb lu π e−2|ξ|h −iξ(x−t) sign(ξ) e dξ + e−2|ξ|h d −∞ Z∞ a = v2 (ξ)sign(ξ)eiξt dt a Z∞ nl Zb w −∞ = π 2e−2|ξ|h −iξx e dξ + e−2|ξ|h Zb với an Lu m ξ sin ξ(x − t) dξ cosh(ξh) co i π l k21 (x − t) = e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh gm Z∞ a @ Z∞ v2 (t)k22 (x − t)dt, z 2i k22 (x − t) = k11 (x) = π Zb n va ac th 31 si Khi phương trình thứ hai hệ (2.24) trở thành πi Zb v2 (t) dt + x−t a Zb v1 (t)k21 (x − t)dt + a Zb v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x) a lu Như vậy, ta biến đổi phương trình (2.24) hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (a, b):  Zb Zb Zb   v (t)    dt + v1 (t)k11 (x − t)dt + v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x),   πi x − t    a a a b b Z Z Zb v (t)   dt + v1 (t)k21 (x − t)dt + v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x),   πi x − t    a a a   v (x) ∈ L2 (a, b) ∩ H 1/2 (a, b), v (x) ∈ L2 (a, b) ⊂ H −1/2 (a, b), a < x < b, o o ρ ρ−1 an n va tn to ie gh 2i k11 (x) = k22 (x) = π Z∞ e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh p oa nl w k12 (x) = −i π Z∞ sin ξ(x − t) dξ, ξ cosh(ξh) d lu i π ξ sin ξ(x − t) dξ cosh(ξh) nf va an k21 (x) = Z∞ z at nh oi lm ul Ngược lại, giả sử v2 nghiệm phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (2.20) với điều kiện (2.21) Thực phép biến đổi ngược lại ta dễ dàng đưa hệ phương trình (2.20) hệ phương trình (2.24) Thay b1 (ξ), vb2 (ξ) = (−iξ)u b2 (ξ), vào hệ phương trình (2.24) ta thu vb1 (ξ) = u −iξ hai phương trình đầu hệ phương trình (2.10) Sử dụng điều kiện (2.21),(2.22) Định lý tích chập biến đổi Fourier ta nhận hệ phương trình cặp tích phân (2.10) Định lý chứng minh z m co l gm @ an Lu n va ac th 32 si 2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Giả sử Tk (x) Uk (x) tương ứng đa thức Chebyushev loại loại hai Ta có số cơng thức sau đây: Tn (cos θ) = cos nθ, Un (cos θ) = Zb sin(n + 1)θ , sin θ (2.25) Tk [η(x)] Tj [η(x)] dx = αk δkj , ρ(x) (2.26) Uk [η(x)] Uj [η(x)] ρ(x)dx = βδkj , (2.27) Tk [η(y)] dy −2π = Um−1 [η(x)] , k = 0, 1, , (x − y)ρ(y) b − a (2.28) ρ(y)Uk−1 [η(y)] dy π(b − a) = Tk [η(x)] , k = 1, 2, , x−y (2.29) a lu Zb an va a n Zb Zb p ie gh tn to a oa nl w a d δkj ký hiệu Kronecker  π, k = 0, α= π ,  , k = 1, 2, nf va an lu lm ul π(b − a)2 , z at nh oi β= η(x) = z 2x − (a + b) b−a @ m co l gm Trong hệ phương trình tích phân (2.20) thay hàm v1 (t) = ρ(t)χ1 (t) χ2 (t) v2 (t) = , χ1 ∈ L2ρ (a, b), χ2 ∈ L2ρ−1 (a, b), ta thu hệ ρ(t) phương trình sau an Lu n va ac th 33 si  Zb Zb Zb   ρ(t)χ (t) χ2 (t)    dt + ρ(t)χ1 (t)k11 (x − t)dt + k12 (x − t)dt   πi x − t ρ(t)   a a a     = if1 (x), a < x < b,   Zb Zb Zb χ (t) χ2 (t)   dt + ρ(t)χ (t)k (x − t)dt + k22 (x − t)dt  21  πi ρ(t)(x − t) ρ(t)    a a a     = −if2 (x), a < x < b     (2.30) lu Biểu diễn hàm χ1 (t) hàm χ2 (t) dạng chuỗi sau đây: ∞ X χ1 (t) = Aj Uj [η(t)] , (2.31) an n va to tn χ2 (t) = j=0 ∞ X Bj Tj [η(t)] , (2.32) gh j=1 p ie Aj Bj số chưa biết, ta cịn có {Aj }∞ j=1 ∈ `2 ∞ {Bj }j=1 ∈ `2 Thế (2.31) (2.32) vào (2.30), thay đổi thứ tự lấy tích phân tổng ta thu d oa nl w an lu nf va  Zb Zb ∞ ∞  X X  ρ(t)U [η(t)]dt  j  Aj + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt    πi j=0 x−t  j=0  a a   b  Z  ∞  X Tj [η(t)]    + Bj k12 (x − t)dt = if1 (x),   ρ(t)   j=1  a b Z Zb ∞ ∞ X X T j [η(t)]dt   Bj + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt   πi ρ(t)(x − t)   j=1 j=0  a a   b  Z ∞  X  Tj [η(t)]    + Bj k22 (x − t)dt = −if2 (x)   ρ(t)  j=1  a    z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu (2.33) n va ac th 34 si lu Sử dụng (2.28) (2.29), từ (2.33) ta có  Zb ∞ ∞  X X  b − a   Aj Tj+1 [η(x)] + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt    2π j=0  j=0  a    Zb  ∞  X Tj [η(t)]    + Bj k12 (x − t)dt = if1 (x),   ρ(t)   j=1  a Zb ∞ ∞ X X −2   Bj Uj−1 [η(x)] + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt   i(b − a) j=0   j=0  a   b  Z ∞  X  Tj [η(t)]    + B k22 (x − t)dt = −if2 (x) j   ρ(t)  j=1  a    an n va (2.34) tn to p ie gh Do có cơng thức (2.26) (2.27), từ (2.34) ta có kết sau  Zb Zb   ∞   X  b − a   An−1 αn + ρ(x)Tn [η(x)] ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt dx Aj   2i   j=0  a a   b b  Z Z ∞    X  Tj [η(t)]   + Bj ρ(x)Tn [η(x)] k12 (x − t)dt dx    ρ(t)  j=1  a a   b  Z      = i ρ(x)Tn [η(x)] f1 (x)dx,      a b Zb Z ∞   X −2   Bn+1 βn + Aj ρ(x)Un [η(x)] ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt dx   i(b − a)   j=0  a a   b b  Z Z ∞    X  Tj [η(t)]    + Bj ρ(x)Un [η(x)] k22 (x − t)dt dx   ρ(t)  j=1  a a    b Z      = −i ρ(x)Un [η(x)] f2 (x)dx      a    d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu (2.35) n va ac th 35 si Ký hiệu Zb  2i = (b − a)αn Pnj Qnj Rnj 2i = (b − a)αn i(b − a) = −2βn i(b − a) = −2βn Snj lu va n gh tn to a Zb  Zb ρ(x)Tn [η(x)] a a Zb   ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt dx, (2.36) a Zb ρ(x)Un [η(x)] a Zb ρ(x)Un [η(x)]  Tj [η(t)] k12 (x − t)dt dx, ρ(t)  ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt dx,  Tj [η(t)] k22 (x − t)dt dx, ρ(t) a Zb ρ(x)Tn [η(x)] f1 (x)dx, (2.37) a Zb ρ(x)Un [η(x)] f2 (x)dx p ie F2n a Zb  −2 = (b − a)αn b−a = −2βn ρ(x)Tn [η(x)] a an F1n Zb (2.38) w a d oa nl Khi hệ phương trình (2.35) biểu diễn dạng  ∞ ∞ X X    A + Aj Pnj + Bj Qnj = F1n (n = 1, 2, ),   n−1 Aj Rnj + (2.39) Bj Snj = F2n (n = 0, 1, 2, ) lm ul j=0 j=1 ∞ X nf va     Bn+1 + an lu j=0 ∞ X j=1 z at nh oi Định lý 2.5 [5] Hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) hệ vô hạn ∞ X phương trình đại số tuyến tính (2.39) tương đương Nếu ρ(t) Aj Uj [η(t)] ∈ j=0 z Ho1/2 (a, b) m co l gm @ hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39) tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.20) Chứng minh Giả sử v1 (t) ∈ L2ρ (a, b), v2 (t) ∈ L2ρ−1 (a, b) nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) an Lu n va ac th 36 si Ta có v1 (t) = ρ(t)χ1 (t) = ρ(t) v2 (t) = χ2 (t) = ρ(t) ρ(t) ∞ X Aj Uj [η(t)] , j=0 ∞ X Bj Tj [η(t)] j=1 lu an n va p ie gh tn to Sử dụng biến đổi ta đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) v1 (t), v2 (t) hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39) ∞ {Aj }∞ j=1 {Bj }j=1 Ngược lại, ta chứng minh từ hệ phương trình (2.39) suy hệ phương trình (2.30) ∞ Giả sử {Aj }∞ j=1 ∈ `2 {Bj }j=1 ∈ `2 nghiệm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39), ta biến đổi hệ phương trình (2.39) hệ phương trình (2.34) Sử dụng biểu thức phổ (2.28) vào hệ phương trình (2.34) ta thu hệ phương trình (2.33) Tiếp theo ta hốn vị thức tự lấy tổng tích phân, với kí hiệu (2.31), (2.32) ta thu hệ phương trình (2.30) v1 (t) Ta thay χ1 (t) = , χ2 (t) = v2 (t)ρ(t) ta thu hệ phương trình kỳ ρ(t) dị (2.20) v1 (t), v2 (t) Định lý chứng minh d oa nl w nf va an lu Ta kí hiệu lm ul Y2j+1 = Aj (j = 0, 1, 2, ), Y2j = Bj (j = 1, 2, 3, ), z at nh oi (2.40) D2n−1,2j+1 = Pnj , D2n−1,2j = Qnj , (n = 1, 2, ; j = 0, 1, ), (2.41) D2n+2,2j+1 = Rnj , D2n+2,2j = Snj , (n = 0, 1, ; j = 0, 1, ) (2.42) z G2n−1 = F1n (n = 1, 2, ), G2n+2 = F2n , (n = 0, 1, 2, ), @ co l gm Khi hệ phương trình (2.39) viết dạng  ∞ X   Yn + Dn,j Yj = Gn , (2.43) m an Lu j=1   n = 1, 2, 3, n va ac th 37 si Bổ đề 2.3 [10], [11] Bất đẳng thức sau bất đẳng thức |Dn,j | ≤ L , (n ≥ 2, j ≥ 2), n2 j (2.44) (k) L số dương Nếu đạo hàm fm (x), m = 1, hàm liên tục [a, b] bất đẳng thức sau |Gn | ≤ L (n = 1, 2, ; k = 0, 1, ) nk (2.45) Chứng minh Trong biểu thức (2.36) ta sử dụng phép biến đổi biến số 1 [(b − a) cos θ + a + b] , t = [(b − a) cos ϕ + a + b] 2 x= lu an sử dụng công thức (2.25), ta có va  n Pnj = to b−a 2 Zπ Zπ sin θ sin(n + 1)θdθ tn cos jϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ, ie gh (2.46) p b−a Kí hiệu tích phân công thức (2.46) K11 (cos θ) sử dụng phương pháp tích phân phần hai lần ta oa nl w σ = d σ2 K11 (cos θ) = j(j − 1) Zπ 00 an lu sin(j − 1)ϕ sin ϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ nf va Zπ 00 sin(j + 1)ϕ sin ϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ (2.47) z at nh oi lm ul σ2 − j(j + 1) Vì k11 (x) hàm khả vi vô hạn bị chặn [a, b], từ (2.47) ta có kết sau L , (j ≥ 2) j2 z (2.48) gm @ |K11 (cos θ)| ≤ Zπ m sin θ sin(n + 1)θK11 (cos θ)dθ an Lu := co (11) Hnj l Xét tích phân n va ac th 38 si