Tính giải được của một số lớp hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THỦY TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THỦY TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Ngành đào tạo: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - 2021 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2021 Lê Thị Thủy Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Nhân dịp xin cảm ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn, Bộ mơn Giải tích Tốn Ứng dụng thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2021 Lê Thị Thủy ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.1.1 Không gian S hàm giảm nhanh 1.1.2 Biến đổi Fourier hàm 1.1.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.2.1 Không gian S ′ hàm suy rộng tăng chậm 1.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.2.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S ′ Biến đổi Fourier tích chập Các không gian Sobolev 1.2.4 1.3 iii 1.4 1.5 1.3.1 Không gian H s (R) 1.3.2 s Các không gian Hos Ω, Ho,o (Ω), H s (Ω) 1.3.3 Định lý nhúng 10 Các không gian Sobolev vectơ 10 1.4.1 Khái niệm 10 1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 13 Toán tử giả vi phân vectơ 16 1.5.1 Khái niệm 16 1.5.2 Chuẩn tích vơ hướng tương đương 18 1.5.3 Nhúng compact 21 Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.1 2.2 22 Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22 2.1.1 Tính nghiệm 23 2.1.2 Sự tồn nghiệm 24 Một số áp dụng 29 2.2.1 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng- giảm 2.2.2 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng 2.2.3 29 31 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng giảm iv 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 v Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình cặp tích phân hệ phương trình cặp tích phân thường xuất tốn biên phương trình vật lý tốn, tốn dị tật mơi trường, toán vết nứt, toán dải đàn hồi Trong năm qua xuất nhiều nghiên cứu phương pháp hình thức giải phương trình cặp tích phân, phương pháp chưa xét đến tính giải phương trình cặp Tính giải phương trình cặp tích phân khơng có nhiều nghiên cứu nghiên cứu phương pháp tìm lời giải hình thức phương trình cặp số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Walton J R., Manam S.R., Popov G Ya., Nguyễn Văn Ngọc Gần kết nghiên cứu hệ phương trình cặp tích phân, tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Nguyễn Văn Ngọc, Hà Tiến Ngoạn Nguyễn Thị Ngân Đề tài nghiên cứu tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier với tiêu đề “Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier” Mục đích luận văn Nghiên cứu tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier với dạng biểu trưng khác A(ξ) ∈ A(ξ) ∈ α ⃗ + (R), α ⃗ o (R) Đưa số ứng dụng vào giải tốn biên phương trình điều hịa phương trình song điều hịa Nội dung luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn có chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức biến đổi Fourier, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, khơng gian Sobolev vectơ, tốn tử giả vi phân vectơ Chương trình bày tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier số ứng dụng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, khơng gian Sobolev vectơ, tốn tử giả vi phân vectơ Các kết tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [6] 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh Không gian S hàm giảm nhanh Định nghĩa 1.1.1 Gọi S = S(R) tập hàm khả vi vô hạn φ ∈ C ∞ (R), thỏa mãn điều kiện p ∥φ∥p = sup(1 + |x|)p x∈R |Dk φ| < ∞, p = 0, 1, 2, , m, k=0 d Dãy {∥φ∥p }k họ nửa chuẩn Dãy dx {φk } S gọi hội tụ đến hàm φ S, ∥φk − φ∥p → 0, kí hiệu D = k → ∞; p = 0, 1, 2, , m Tập hợp S với chuẩn hội tụ gọi khơng gian hàm giảm nhanh Ví dụ, hàm φ(x) = e−x ∈ C ∞ (R) hàm giảm nhanh Định lí 1.1.1 Tập hợp Co∞ (R) hàm khả vi vơ hạn có giá compact R trù mật S theo tôpô S ∞ ∥v∥A+,α/2 = F [v]T (ξ)A+ (ξ)F (v)(ξ)dξ −∞ Ta viết A+ v thay cho Av Định lí 2.1.2 (Sự tồn nghiệm) Nếu h ∈ H−⃗α/2 (Ω), A(ξ) = A+ (ξ) ∈ α ⃗ + (R) α ⃗ /2 hệ (2.10) có nghiệm v ∈ Ho (Ω) Chứng minh Ta có ∞ [A+ v, w] = −∞ F [w]T (ξ)A+ (ξ)F (v)(ξ)dξ = (v, w)A+,α/2 α ⃗ /2 với hàm vectơ v tùy ý w ∈ Ho (Ω), [A+ v, w] xác định α ⃗ /2 cơng thức (1.20) Vì thế, v ∈ Ho (Ω) thỏa mãn (2.10) (v, w)A+,α/2 = [h, w] ∀w ∈ Hαo⃗ /2 (Ω) (2.11) Ta chứng minh (2.11) với w ∈ Hαo⃗ (Ω) hàm vectơ v thỏa mãn (2.10) theo nghĩa hàm suy rộng Ω Chú ý (2.11) với w = φ ∈ (Co∞ (Ω))n áp dụng công thức (2.10) ∞ f (ξ)φ(ξ)dξ = 2π ⟨f, φ⟩ = 2π(f, φ), −∞ ta có ∞ φ(ξ)dξ = 2π ⟨lh, φ ⟩ = 2π (lh, φ ) , lh(ξ)φ [h, φ ] = ∞ ∞ (v, φ )A+,α/2 = φT ](ξ)A+ (ξ)F (v)(ξ)dξ F [φ −∞ ∞ φT ](ξ)F F −1 [A+ v] (ξ)dξ = 2π F −1 [A+ v] , φ F [φ = −∞ Do đó, từ (2.11) suy F −1 [A+ v] , φ = (lh, φ ) 26 φ ∈ (Co∞ (Ω))n , ∀φ nghĩa pF −1 [A+ v] (x) = plh(x) = h(x), x ∈ Ω Xét (2.11) Vì [h, w] hàm tuyến tính liên tục khơng gian α ⃗ /2 Hilbert Ho (Ω), theo định lí Riesz có phần tử vo ∈ α ⃗ /2 Ho (Ω) cho [h, w] = (vo , w)A+,α/2 , w ∈ Hαo⃗ /2 (Ω), mặt khác, ta có ước lượng ∥vo ∥A+ ,α/2 ≤ C∥h∥H−⃗α/2 (Ω) , (2.12) C số dương Vì (2.11) tương đương với (2.10) nên hệ (2.10) có nghiệm α ⃗ /2 v = vo ∈ Ho (Ω) Định lý chứng minh −⃗ α Nhận xét 2.1.1 Dễ dàng nhận thấy toán tử nghịch đảo A−1 + từ H (Ω) vào Hαo⃗ (Ω) bị chặn Điều suy từ Định lí 2.1.2 Bất đẳng thức (2.12) Nhận xét 2.1.2 Nghiệm u (2.1) biểu diễn theo nghiệm v hệ (2.10) với điều kiện (2.8) không phụ thuộc vào cách chọn thác triển lg Điều suy từ tính nghiệm hệ phương trình cặp (2.1) Ta chọn thác triển lg cho ∥lg∥α/2 ≤ 2∥g∥Hα⃗ /2 (Ω′ ) Trong trường hợp này, từ (2.8),(2.9) (2.12), dễ dàng có ước lượng sau ∥u∥α/2 ≤ C ∥f ∥H−⃗α/2 (Ω) + ∥g∥Hα⃗ /2 (Ω′ ) , 27 (2.13) C số dương Do đó, nghiệm (2.1) phụ thuộc tính liên tục hàm vectơ đưa vế phải hệ Do ta chứng minh định lý sau Định lí 2.1.3 (Sự tồn nghiệm) Giả sử A(ξ) ∈ α ⃗ /2 + (R), f ∈ H−⃗α/2 (Ω), g ∈ H−⃗α/2 (Ω′ ) Khi hệ phương trình cặp tích phân (2.1) có nghiệm u = F −1 [u] ∈ Hα⃗ /2 (R) thỏa mãn ước lượng (2.13) Trường hợp A(ξ) ∈ 2.1.2.2 α ⃗ o (R) Giả sử tập Ω tập bị chặn tồn ma trận vuông A+ (ξ) ∈ cho α ⃗ + (R) α ⃗ −β⃗ B(ξ) := A(ξ) − A+ (ξ) ∈ (R), (2.14) + β⃗ = (β1 , β2 , , βn ) ∈ Rn , βj > (j = 1, 2, , n) Bây giờ, ta biểu diễn toán tử A xác định (2.4) công thức A = A+ + B, A+ v = pF −1 [A+ v] , Bv = pF −1 [Bv] , v = F [v] (2.15) Định lí 2.1.4 (Sự tồn nghiệm) Giả sử tập Ω bị chặn Nếu giả thiết (2.2) (2.14) thoả mãn, với f ∈ H−⃗α/2 (Ω), g ∈ Hα⃗ /2 (Ω′ ) hệ phương trình cặp tích phân (2.1) có nghiệm u = F −1 [u] ∈ Hα⃗ /2 (R) Chứng minh Theo Mệnh đề 1.5.3, ta có (2.1) tương đương với (2.10) −⃗ α/2 Theo Nhận xét (2.4), toán tử A−1 (Ω) tới Hα⃗ /2 (Ω) bị chặn Theo + từ H α ⃗ /2 Mệnh đề 1.5.5, toán tử Bv từ Ho (Ω) tới H−⃗α/2 (Ω), xác định (2.15) hoàn toàn liên tục Trong trường hợp này, ta biểu diễn (2.10) công 28 thức A+ v + Bv = h Do đó, ta có −1 v + A−1 + Bv = A+ h (2.16) −1 Vì tốn tử A+ B tốn tử hồn tồn liên tục nên hệ (2.16) hệ phương trình Fredholm từ tính nghiệm hệ phương trình Fredholm ta suy hệ phương trình cặp có nghiệm Do đó, trường hợp này, hệ phương trình cặp tích phân (2.1) có nghiệm u ∈ Hα⃗ /2 (R) Định lí chứng minh 2.2 Một số áp dụng Trong mục này, trình bày số áp dụng tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier trình bày Mục 2.1 Ở đây, trình bày lời giải ngắn gọn tốn biên cho phương trình điều hịa song điều hịa miền hình dải cách biến đổi hệ phương trình cặp tích phân Fourier áp dụng kết chứng minh Mục 2.1 để tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.2.1 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng- giảm Xét toán sau : Tìm nghiệm phương trình điều hịa ∂ 2Φ ∂x2 ∂ 2Φ + ∂y = 0, (−∞ < x < ∞, < y < h) 29 (2.17) với điều kiện biên     −Φ(x, 0) = f1 (x), ∂Φ     (x, 0) = g1 (x), ∂y      ∂ϕ(x, h) = f (x), ∂y    Φ(x, h) = g2 (x), x ∈ (a, b), (2.18) x ∈ R \ (a, b), x ∈ (a; b), (2.19) x ∈ R \ (a, b), f1 , f2 , f1 , g2 hàm cho trước Bài tốn (2.17)-(2.19) biến đổi thành hệ phương trình cặp tích phân Fourier sau:   pF −1 [A(ξ)u(ξ)] (x) = f (x), x ∈ Ω := (a; b),  p′ F −1 [u(ξ)] (x) = g(x), (2.20) ′ x ∈ Ω := R \ (a, b), toán tử p p′ tương ứng toán tử hạn chế Ω Ω′ f (x) = (f1 (x), f2 (x))T , g(x) = (g1 (x), g2 (x))T ,  T  ∂Φ  u = (u1 , u2 )T =  (x, 0), Φ(x, h) , u(ξ) = F [u] = (u1 (ξ), u2 (ξ))T , ∂y    tanh(ξh)  −     ξ cosh(ξh) A(ξ) =  ,     ξ tanh(ξh) cosh(ξh) p p′ tương ứng toán tử hạn chế Ω Ω′ Kí hiệu α ⃗ = (α1 , α2 )T = (−1; 1)T 30 ma trận   ξh  A+ (ξ) =   ξ    ξ coth ξh   −1    B(ξ) = A(ξ) − A+ (ξ) =       cosh(ξh)   −ξ  cosh(ξh) sinh(ξh) cosh(ξh) Theo Mệnh đề (1.5.1), ta có tanh(ξh) ξ Dễ thấy −1 ∈ σ+ (R), ξ coth(ξh) ∈ σ+ (R), A+ (ξ) ∈ α ⃗ o (R), A(ξ) ∈ B(ξ) ∈ ⃗ −β α ⃗ ⃗ +, α = (−1; 1)T β⃗ = (β1 , β2 )T , βj >> (j = 1, 2) , Từ Định lí 2.1.4, ta có kết sau Định lí 2.2.1 Giả sử f (x) ∈ H−⃗α/2 (Ω), g(x) ∈ Hα⃗ /2 (Ω′ ) Khi hệ phương trình cặp (2.20) có nghiệm u = F −1 [u] ∈ Hα⃗ /2 (R), nghĩa ∂Φ (x, 0) ∈ H −1/2 (R), ∂y 2.2.2 Φ(x, h) ∈ H 1/2 (R) Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng Xét tốn biên hỗn hợp dải đàn hồi: Tìm hai hàm điều hịa thỏa mãn phương trình điều hịa ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂x2 + ∂y ∂ 2Ψ = 0, ∂x2 ∂ 2Ψ + ∂y (−∞ < x < ∞, < y < h) (2.21) = 0, 31 với điều kiện biên τxy (x, h) = τo (x), σy (x, h) = σo (x), −∞ < x < ∞,   τxy (x, 0) = σy (x, 0) = 0, x ∈ (a, b),  u(x, 0) = v(x, 0) = 0, (2.22) (2.23) x ∈ R \ (a, b) Ở đây, u(x, y) v(x, y) hàm chuyển vị ngang dọc tương ứng, τxy (x, y) σy (x, y) ứng suất thông thường tiếp tuyến tương ứng, chúng hệ số hàm Φ(x, y) Ψ(x, y) 2µu = −Φx − yΨx , 2µv = (3 − 4ν)Ψ − Φy − yΨy , σy = 2(1 − ν)Ψy − Φyy − yΨyy = 2(1 − ν)Ψy + Φxx + yΨxx , τxy = (1 − 2ν)Ψx − Φxy − yΨxy , µ ν (µ > 0, < ν < 1/2) tương ứng số Lame hệ số Poisson Bài toán (2.21)-(2.23) biến đổi hệ phương trình cặp tích phân Fourier   pF −1 [|ξ|Ao (ξ)u(ξ)] (x) = f (x), x ∈ Ω := (a, b),  p′ F −1 [u(ξ)] (x) = 0, (2.24) ′ x ∈ Ω = R \ Ω, u1 (x) = 2µu(x, 0), u(ξ) = F [u(x)](ξ), u2 (x) = 2µv(x, 0), (2.25) u(x) = (u1 (x, u2 (x)))T , (2.26) f (x) = (f1 (x), f2 (x))T , 32 (2.27)  f1 (x) = F −1  − τo (ξ)2(1 − ν) {−2(1 − ν) cosh(|ξ|h) + |ξ|h sinh(|ξ|h)} |ξ|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h)  σo (ξ)2(1 − ν)iξ {|ξ|h cosh(|ξ|h) − (1 − 2ν) sinh(|ξ|h)} −  (x), |ξ| |ξ|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) (2.28)   τo (ξ)2(1 − ν)|ξ| {(1 − 2ν) sinh(|ξ|h) + |ξ|h cosh(|ξ|h)} f2 (x) = F −1  iξ |ξ|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h)  σo (ξ)2(1 − ν) {|ξ|h sinh(|ξ|h) + 2(1 − ν) cosh(|ξ|h)} +  (x), |ξ|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) (2.29) σo (ξ) = F [σo ](ξ), τo (ξ) = F [τo ](ξ),   a11 (ξ) i sign ξ.a12 (ξ) , Ao (ξ) =  −i sign ξ.a12 (ξ) a22 (ξ) 2(1 − ν) [cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) + |ξ|h] a11 (ξ) = , |ξ|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) (1 − 2ν) sinh2 (|ξ|h) + |ξ|2 h2 a12 (ξ) =a21 (ξ) = , |ξ|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) 2(1 − ν) [sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h] a22 (ξ) = |ξ|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|ξ|h) Chứng tỏ |ξ|Ao (ξ) ∈ α ⃗ ,α ⃗ = (1, 1)T 33 Ngoài ra, lim|ξ|→∞ aij (ξ) = γij , γ11 = γ22 2(1 − ν) = , − 4ν − 2ν γ12 = γ21 = − 4ν Có thể nhận thấy aij (ξ) − γij = O(|ξ|−∞ ), |ξ| → ∞ Mệnh đề 2.2.1 Ma trận Ao (ξ) ma trận xác định dương với tất ξ ̸= Chứng minh Theo Mệnh đề (2.2.1), |ξ|Ao (ξ) ∈ α ⃗ o, α ⃗ = (1, 1)T Vì thế, hệ phương trình cặp (2.24) có nghiệm không gian α ⃗ /2 Ho (Ω) Tiếp theo, ta xét ma trận   α iβ sign ξ , A+ (ξ) = |ξ| coth(|ξ|h)  −iβ sign ξ α B(ξ) =A(ξ) − A+ (ξ)   a11 (ξ) − α coth(|ξ|h) i sign ξa12 (ξ) − β coth(|ξ|h)  =|ξ|  −i sign ξa12 (ξ) − β coth(|ξ|h) a22 (ξ) − α coth(|ξ|h) 2(1 − ν) − 2ν α= , β= , α−β = − 4ν − 4ν − 4ν Mệnh đề 2.2.2 Ma trận A+ (ξ) ma trận thuộc vào lớp (1, 1)T 34 α ⃗ +, α ⃗ = Ta có −β⃗ B(ξ) ∈ , β⃗ = (β1 , β2 )T , βj >> (j = 1, 2) Từ Định lí 2.1.4, ta có Định lí 2.2.2 Giả sử τo (x) σo (x) hai hàm cho hàm f (x) xác định (2.27)-(2.29) thuộc vào H−⃗α/2 (Ω), α ⃗ = (1, 1)T Khi hệ phương trình cặp tích phân (2.24) có nghiệm u = F −1 [u] ∈ Hα⃗ /2 (a, b), nghĩa u(x, 0) ∈ Ho1/2 (a, b), v(x, 0) ∈ Ho1/2 (a, b), u(x, 0) v(x, 0) dịch chuyển ngang dọc trục y = tương ứng 2.2.3 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng giảm Ta tìm nghiệm Φ(x, y) tốn biên cho phương trình song điều hịa ∂ 4Φ ∂ 4Φ ∆ Φ(x, y) = ∂x4 +2 ∂x2 ∂y ∂ 4Φ + ∂y =0 (2.30) dải Π = {(x, y) : −∞ < x < ∞, < y < h} Kí hiệu R trục thực, Ω = (−a, a) khoảng bị chặn R Ω′ = R \ Ω Xét tốn biên hỗn hợp sau: Tìm nghiệm Φ(x, y) phương trình (2.30) dải Π thỏa mãn điều kiện biên Φ|y=0 = r1 (x), x ∈ R, (2.31) Φ|y=h = r2 (x), x ∈ R, (2.32) 35    ∂Φ    = f1 (x), ∂y y=0     M [Φ]|y=0 = 0,    ∂Φ    = f2 (x), ∂y y=h     M [Φ]|y=h = 0, x ∈ Ω, (2.33) x ∈ Ω′ , x ∈ Ω, (2.34) x ∈ Ω′ , ∂ 2Φ ∂ 2Φ M [Φ] = M [Φ](x, y) = + ν 2, ∂y ∂x < ν < (2.35) Bài toán hiểu uốn bề mặt hình dải với cạnh y = 0, y = h có điều kiện ngàm khoảng |x| < a điều kiện gối tựa cho |x| ≥ a Trong vật lí, M [Φ] momen lực uốn dọc theo trục Oy Bài toán biến đổi đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier với ẩn hàm u1 (ξ), u2 (ξ):   pF −1 [A(ξ)u(ξ)] (x) = f (x), x ∈ Ω,  p′ F −1 [u(ξ)] (x) = 0, (2.36) ′ x∈Ω, u1 (x) = M [Φ](x, 0), u2 (x) = M [Φ](x, h), u(x) = (u1 (x), u2 (x))T , (2.37) u(ξ) = F [u(x)](ξ), f (x) = (f1 (x), f2 (x))T , (2.38) f1 (x) = −f1 (x) − F −1 [a1 (ξ)r1 (ξ)] (x) + F −1 [a2 (ξ)r2 (ξ)] (x), (2.39) f2 (x) = f2 (x) + F −1 [a2 (ξ)r1 (ξ)] (x) − F −1 [a1 (ξ)r2 (ξ)] (x), (2.40) 36   a11 (ξ) a12 (ξ)  A(ξ) =  a21 (ξ) a22 (ξ) (2.41) |ξ| [(1 + ν) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) + (1 − ν)|ξ|h] a1 (ξ) = , sinh2 (|ξ|h) a2 (ξ) = |ξ| [(1 + ν) sinh(|ξ|h) + (1 − ν)|ξ|h cosh(|ξ|h)] , sinh2 (|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h a11 (ξ) = a22 (ξ) = 2|ξ| sinh2 (|ξ|h) |ξ|h cosh(|ξ|h) − sinh(|ξ|h) a21 (ξ) = a12 (ξ) = 2|ξ| sinh2 (|ξ|h) Ta xét ma trận   2|ξ| coth(|ξ|h) , A+ (ξ) =  2|ξ| cosh(|ξ|h) B(ξ) = A(ξ) − A+ (ξ) Mệnh đề 2.2.3 Ma trận A+ (ξ) ma trận thuộc vào lớp α ⃗ +, α ⃗ = (1, 1) Chứng minh Ta có ma trận B(ξ) ∈ suy ma trận A+ (ξ) ∈ α ⃗ +, −β⃗ , β⃗ = (β, β), β >> Từ α ⃗ = (1, 1) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.2.4 Ma trận A(ξ) cho công thức (2.41) ma trận xác định dương với tất ξ ̸= Theo Mệnh đề 2.2.4, A(ξ) ∈ α ⃗ o, α ⃗ = (−1, −1) Ta có −1 a11 (ξ) = a22 (ξ) ∈ σ+ ∩ C(R), a1 (ξ) ∈ σ+ ∩ C(R), 37 a12 (ξ) = a21 (ξ) a2 (ξ) ∈ σ −β ∩ C(R) (β >> 1) Ta có kết sau Φ(x, y) cạnh y = y = h dải Π: r1 (x) := Φ(x, 0) r2 (x) := Φ(x, h) ∈ H (R), u1 (x) := M [Φ](x, 0) u2 (x) := M [Φ](x, h) ∈ H − (R) Chứng tỏ r1 (x) r2 (x) thuộc H (R), f1 (x) f2 (x) thuộc H (Ω) Khi f (x) ∈ Hα⃗ /2 (Ω), α ⃗ = (1, 1)T Theo Định lí 2.1.4, ta có Định lí 2.2.3 (Sự tồn nghiệm) Giả sử r1 (x), r2 (x), f1 (x), f2 (x) thỏa mãn hàm vectơ f (x) xác định (2.37) (2.38) thuộc Hα⃗ /2 (Ω), α ⃗ = (1, 1)T Khi đó, hệ phương trình cặp tích phân (2.36) có nghiệm −⃗ α/2 u = F −1 [u] ∈ Ho (Ω) 38 Kết luận Luận văn trình bày số kết sau đây: Trình bày tổng quan số kiến thức biến đổi Fourier, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev vectơ, tốn tử giả vi phân vectơ Trình bày tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier với dạng biểu trưng A(ξ) ∈ α ⃗ + (R), A(ξ) ∈ α ⃗ o (R), (Định lý 2.1.1 - 2.1.4) đưa số áp dụng nó, xét tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăngmột giảm, hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng, hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng giảm 39 Tài liệu tham khảo [1] Mandal, B.N (1999), "Advances in dual integral equations" Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton (1999) 226 p [2] Ngok, N.V., Popov, G.Y.a (1986), "Dual integral equations associated with fourier transforms" Ukrainskii Matematicheskii Zhurnal 38(2), 188–195 [3] Nguyen Van Ngoc (2009), "Dual integral equations involving Fourier transforms with increasing symbols" Acta Math Vietnam 34(3), 305–318 [4] Nguyen Van Ngoc, Nguyen Thi Ngan (2010), "Solvability of a system of dual integral equations of a mixed boundary value problem for the biharmonic equation in a strip" Acta Math Vietnam 36(2), 375–396 [5] Nguyen Van Ngọc, Ha Tien Ngoan, Nguyen Thi Ngan (2015), "Solvability of some classes of systems of dual integral equations involving Fourier transforms" Acta Math Vietnam, Volum 40, 653–669 [6] Ufljand, Ja.S (1977), "The Method of Dual Equations in Problems of Mathematical Physics" Izdat “Nauka” Leningrad Otdel., Leningrad (in Russian) 40 ... cứu tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier với tiêu đề ? ?Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier? ?? Mục đích luận văn Nghiên cứu tính giải số lớp hệ. .. đưa số áp dụng nó, xét tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăngmột giảm, hệ phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng tăng, hệ phương trình cặp tích phân Fourier. .. (Ω) Mệnh đề chứng minh 21 Chương Tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier Trong chương trình bày tính giải số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier với dạng biểu trưng khác