Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU HIỀN TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA TRÊN MIỀN HÌNH DẢI Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ NGÂN THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan, cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Nội dung luận văn trung thực, không chép Tôi cam đoan nguồn tài liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ, giúp đỡ để thực luận văn cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả ĐẶNG THỊ THU HIỀN i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp kết thúc khóa học, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Thái Nguyên tạo cho chúng tơi có mơi trường học tập, nghiên cứu tuyệt vời Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Ngân, trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kinh nghiệm quý báu cho suốt trình thực luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến tập thể giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học tận tình giảng dạy tạo điều kiện cho chúng tơi q trình học thực luận văn tốt nghiệp Do thời gian kiến thức chuyên môn thân hạn chế nên luận văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả ĐẶNG THỊ THU HIỀN ii Mục lục Lời nói đầu Chương 1 Kiến thức sở 1.1 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 1.2 Biến đổi Fourier 1.3 Không gian hàm 1.3.1 Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω) 1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ 1.4 Toán tử giả vi phân Chương Tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải 2.1 Đặt tốn 11 11 2.2 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân 16 2.3 Biến đổi hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 23 2.3.1 Biến đổi hệ phương trình tích phân với hạch logarit 24 2.3.2 Biến đổi hệ phương trình vơ hạn đại số tuyến tính 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 iii Lời nói đầu Bài tốn biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải nhiều tác giả giới nghiên cứu đến V B Zelentsov trình bày vấn đề đĩa Kirchhoff - Love chưa thực miền hình dải, dấu hiệu bao hàm cứng nối với biên đĩa biên khác đĩa cố định Bài tốn đưa tốn tìm nghiệm tích - chập phương trình tích phân loại khoảng hữu hạn với hạch Từ tính chất hạch phương trình tích phân ta suy nghiệm phương trình khơng kì dị khả tích A I Fridman S D Eidelman xét số tốn biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải Gần đây, định lý tính cho nghiệm khơng âm tốn chứng minh Mục đích đề tài nghiên cứu tốn biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải Bài tốn biên miền hình dải với giả thiết giới hạn y = 0, y = h với điều kiện ngàm cho khoảng |x| a điều kiện gối tựa |x| > a Sử dụng phép biến đổi Fourier đưa tốn biên phương trình song điều hòa miền hình dải hệ phương trình cặp tích phân Nghiên cứu tính tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân thiết lập khơng gian Sobolev Ngồi luận văn đưa phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức sở khơng gian hàm tốn tử giả vi phân, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Chương 2: Tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải Đưa phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả ĐẶNG THỊ THU HIỀN Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier, khơng gian hàm tốn tử giả vi phân 1.1 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Định nghĩa 1.1 [6] Hệ phương trình có dạng ∞ xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ), (1.1) k=1 số xi xác định trước, gọi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Khi ta thay xi , i = 1, vào vế phải (1.1) chuỗi hội tụ đồng thời thỏa mãn đẳng thức xi , i = 1, gọi nghiệm hệ (1.1) Định nghĩa 1.2 [3] Hệ vô hạn (1.1) gọi quy ∞ |ci,k | < (i = 1, 2, ), (1.2) k=1 gọi hồn tồn quy ∞ |ci,k | − θ < 1, < θ < 1, (i = 1, 2, ) (1.3) k=1 Nếu bất đẳng thức (1.2) (hoặc (1.3)) với i = N + 1, N + 2, , hệ (1.1) gọi tựa tựa quy (hoặc tựa hồn tồn quy) 1.2 Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.3 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) không gian hàm bản, F phép biến đổi Fourier xác định ∞ g(x)eixζ dx, g(ζ) = F [g](ζ) = −∞ Định nghĩa 1.4 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) khơng gian hàm suy rộng, F −1 phép biến đổi Fourier ngược xác định ∞ g˘(ζ) = F −1 [g](ζ) = 2π g(x)e−ixζ dx −∞ Ký hiệu < g, ψ > giá trị hàm suy rộng g ∈ S hàm ψ ∈ S, (g, ψ) :=< g, ψ > 1.3 1.3.1 Không gian hàm Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω) Định nghĩa 1.5 [5] Cho H s := H s (R)(s ∈ R) khơng gian Sobolev Slobodeskii định nghĩa bao đóng tập hợp Co∞ (R) hàm vi phân vô hạn với chuẩn xác định ∞ (1 + ζ )s |v(ζ)|2 dζ ||v||s := 1/2 < ∞, v = F [v] (1.4) −∞ Không gian H s khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sau ∞ (1 + ζ )s u(ζ)v(ζ)dζ (u, v)s := (1.5) −∞ Định nghĩa 1.6 [5] Giả sử Ω khoảng hệ khoảng không giao R Không gian H s (R) bao gồm hàm v(x) với giá Ω kí hiệu Hos (Ω) định nghĩa chuẩn C0∞ (Ω) Định nghĩa 1.7 [5] Giả sử h ∈ H s (R) Hạn chế h Ω kí hiệu hΩ , ta có hΩ , λ = h, λ với λ ∈ C0∞ (Ω) Tập hợp hạn chế hàm thuộc H s (R) Ω kí hiệu H s (Ω) Chuẩn H s (Ω) xác định công thức ||h||Hs (Ω) = inf ||lh||s , l cận lấy theo thác triển lh ∈ H s (R), h ∈ H s (Ω) 1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ Giả sử X không gian tơpơ tuyến tính Ta kí hiệu X X tích trực tiếp hai khơng gian Tơpơ X xác định tơpơ thường tích trực tiếp Ta dùng chữ in đậm để biểu thị hàm véc tơ ma trận Kí hiệu véc tơ v = (v1 , v2 ), S2 = S × S, (S )2 = S × S Với v ∈ (S )2 , ψ ∈ S , ta đặt < v,ψ >= < vi , ψi > i=1 Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược véc tơ v ∈ (S )2 véc tơ v = F ±1 [v] = (F ±1 [v1 ], F ±1 [v2 ])T , xác định đẳng thức < F [v], ψ >=< v, F [ψ] >, < F −1 [v], ψ >= < v, F [ψ](−x) >, ψ ∈ S 2π (1.6) Giả sử H si , Hosi (Ω), H si (Ω) khơng gian Sobolev, i = 1, 2, Ω khoảng hệ khoảng không giao R Ta đặt s = (s1 , s2 )T , Hs = H s1 × H s2 , Hos (Ω) = Hos1 (Ω) × Hos2 (Ω), Hs (Ω) = H s1 (Ω) × H s2 (Ω) Tích vơ hướng chuẩn H s Hos (Ω) xác định công thức 2 ||vi ||2si (ui , vi )si , ||v||s = (u,v)s = i=1 1/2 , i=1 ||vi ||si (ui , vi )si xác định công thức (1.4) (1.5) Chuẩn Hs (Ω) định nghĩa công thức inf ||li vi ||2si ||v||Hs (Ω) := i=1 li 1/2 , li toán tử suy rộng vi ∈ H si (Ω) từ Ω vào R Định lý 1.1 [1] Giả sử Ω ⊂ R, v = (v1 , v2 )T ∈ Hs (Ω), g ∈ H−s (Ω) lg = (l1 g1 , l2 g2 )T thác triển g từ Ω đến R thuộc vào H−s (R) Khi tích phân ∞ li gi (ζ)vi (ζ)dζ, [g, v] := (lg, v)o := (1.7) i=1 −∞ không phụ thuộc vào việc chọn thác triển lg Do đó, cơng thức xác định hàm tuyến tính Hos (Ω) Ngược lại, với hàm tuyến tính Ψ(v) liên tục Hos (Ω) tồn g ∈ H−s (Ω) cho Ψ(v) = [v, g] ||Ψ|| = ||g||H−s (Ω) Chứng minh Lấy l’g thác triển khác hàm g Khi ta có lg - lg’ = Ω, tức ∀z ∈ (Co∞ (Ω))2 (lg − l’g,z)o = 0, (1.8) Do (Co∞ (Ω))2 tập trù mật Hso (Ω), nên từ (1.8) ta có (lg - l’g,v)o = 0, ∀u ∈ Hos (Ω), Tức (l’g,v)o = (lg,v)o Do đó, tích phân (1.7) khơng phụ thuộc vào cách chọn mở rộng lg Từ đó, |(lg,v)o | ||v||s ||lg||−s ta viết lại (2.31) thành x ∈ (−a, a) (Av)(x) = g(x), (2.39) Bây giờ, xác định tồn nghiệm hệ (2.39) không −α/2 (−a, a), α = (1, 1)T Ta có ma trận   tanh(|ζ|h)   2|ζ|  A+ (ζ) =   tanh(|ζ|h)  , 2|ζ| B(ζ) = A(ζ) − A+ (ζ) gian Ho −α + ,α Bổ đề 2.3 [3] Chúng ta có A+ (ζ) ∈ (2.40) (2.41) = (1, 1)T Chứng minh Giả sử v1 = a1 + jb1 , v2 = a2 + jb2 , a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R Chúng ta có |v1 |2 = a21 + b21 , Ta có T v A+ v = |v2 |2 = a22 + b22 tanh(|ζ|h) [2(a21 + b21 + a22 + b22 )] 2|ζ| Do T v A+ v = Sử dụng Bổ đề 1.1, ta có tanh(|ζ|h) (|v1 |2 + |v2 |2 ) |ζ| (2.42) tanh(|ζ|h) −1 ∈ σ+ (R), nghĩa tồn |ζ| số dương D, cho tanh(|ζ|h) |ζ| Từ (2.42), (2.43) suy A+ (ζ) ∈ D , (1 + |ζ|) −α + , Bổ đề chứng minh 18 ∀ζ ∈ R α = (1, 1)T (2.43) Ta suy −β , β = (β, β)T , ∀β > B(ζ) ∈ −α/2 Bổ đề 2.4 [6]Tích vơ hướng chuẩn Ho (R)(α = (1, 1)T ) xác định sau ∞ T (u,v)A+,−α/2 = v(ζ) A+ (ζ)v(ζ)dζ, (2.44) −∞ ∞ 1/2 T ||v||A+,α/2 = v(ζ) A+ (ζ)v(ζ)dζ , (2.45) −∞ ma trận A+ (ζ) xác định công thức (2.40) Định lý 2.3 [3](Sự tồn tại) Giả sử biểu thức (2.36) (2.37) đúng, hệ phương trình cặp tích phân (2.31) có nghiệm v = F −1 [v] ∈ −α/2 Ho (−a, a) Chứng minh Từ giả thiết (2.36) (2.37) đúng, (2.28) (2.29) Định lý 2.1, ta có g(x) ∈ Hα/2 (−a.a), α = (1, 1)T Chúng ta biểu diễn tốn tử A cơng thức (2.39) theo dạng A = A+ + B, A+ v = rF −1 [A+ v], B v = rF −1 [Bv], v = F [v] (2.46) Trước hết, ta xét hệ phương trình A+ v(x) = f(x), v(x) ∈ H−α/2 (−a, a), o (2.47) đó, g(x) ∈ Hα/2 (−a, a) hàm véc tơ biết Từ (1.7), (1.10), (2.44) có ∞ F [uT ](ζ)A+ (ζ)F [v](ζ)dζ = (u,v)A+,−α/2 , [A+ u,v] = −∞ 19 −α/2 (−a, a) thỏa mãn (2.47), ta có với hàm véc tơ tùy ý u v thuộc Ho Do đó, v ∈ α/2 Ho (−a.a) ∀u ∈ H−α/2 (−a, a) o (u,v)A+,−α/2 = [f,u], (2.48) −α/2 Với [f, v] hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert Ho từ định lý Riesz, tồn vo ∈ [f, v] = (vo , u)A+,−α/2 , −α/2 Ho (−a, a) (−a, a), cho v ∈ H−α/2 (−a, a) o (2.49) Từ (2.48) (2.49) v = vo Hơn nữa, ta lại có ||vo ||A+,α/2 = ||A−1 f||A+,α/2 D||f||Hα/2 (−a,a) , (2.50) đúng, D số dương Sau đó, ta biến đổi hệ (2.31) thành A+ v + B v = g Từ ta có −1 v + A−1 + B v = A+ g (2.51) Theo tính chất Định lý 1.3, tốn tử B v xác định (2.46) đầy −α/2 −1 (−a, a) vào Hα/2 (−a, a), (2.50) toán tử A+ bị chặn Do tốn tử A−1 + B hồn tồn bị chặn Nên hệ phương trình (2.51) Fredholm Vì tính nghiệm, ( Định lý 2.2) nên hệ có −α/2 nghiệm v ∈ Ho (−a, a) đủ liên tục từ Ho Định lý 2.4 Giả sử (2.36) (2.37) Khi đó, có nghiệm Φ Bài tốn (2.1) - (2.5) thuộc vào khơng gian Sobolev H (Π), H n (Π )(∀n 2, ∀ > 0), Π := {(x, y) : −∞ < x < ∞, < y < h − } Chứng minh Biểu diễn Φ(x, y) := F −1 [Φ(ζ, y)](x) Φ(x, y) xác định (2.17) Đầu tiên, ta chứng minh hàm Φ(x, y) thỏa mãn phương 20 trình (2.1) miền hình dải Π Thật vậy, (2.17) hàm v1 (ζ), v2 (ζ), p1 (ζ), p2 (ζ) hàm xác định, (2.18) (2.7) với điều kiện |x| < ∞, < y < h ∆2 Φ(x, y) = F −1 d4 Φ(ζ, y) d Φ(ζ, y) − 2ζ + ζ Φ(ζ, y) (x) = dy dy Dễ kiểm tra điều kiện biên (2.2) (2.3) thỏa mãn, M [Φ](x, 0) = v1 (x), M [Φ](x, h) = v2 (x), x ∈ R, M [Φ] xác định (2.6) Các hàm v1 (x), v2 (x) xác định điều kiện biên (2.4) (2.5) tương đương với hệ phương trình cặp tích phân (2.25) Theo Định lý 2.3, điều kiện (2.36) (2.37) thỏa mãn −1/2 hệ phương trình (2.25) có nghiệm v = (v1 , v2 ) ∈ Ho (−a, a) × Từ đó, điều kiện (2.36) (2.37) thỏa mãn, nghiệm Φ(x, y) = F −1 [Φ(ζ, y)](x) tốn (2.1) - (2.5), Φ(x, y) tính (2.17) Bây giờ, ta chứng minh Φ ∈ H (Π) Trước hết, ta chứng minh ∂Φ Φx = ∈ L2 (Π) Sử dụng đẳng thức Parseval ta có ∂x −1/2 Ho (−a, a) ∞ ∞ |Φx (x, y)|2 dx = 2π −∞ ζ |Φ(x, y)|2 dζ, < y < h (2.52) −∞ Thay Φ(ξ, y) từ (2.17) vào vế phải (2.52) áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta ∞ |Φx (x, y)|2 dx −∞ ∞ π h sinh(|ζ|y) − y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y)) ζ |v1 (ζ)| dζ 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) −∞ ∞ + π y cosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − h sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h) ζ |v2 (ζ)| dζ 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) −∞ 2 21 ∞ + π ζ |p1 (ζ)|2 −∞ sinh(|ζ|h) sinh(|ζ|(h − y)) sinh2 (|ζ|h) (1 − θ)|ζ|[y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y)) − h sinh(|ζ|y)] + dζ sinh2 (|ζ|h) ∞ + π ζ |p2 (ζ)|2 −∞ (1 − θ)|ζ|(h − y) sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h) sinh2 (|ζ|h) 2 sinh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − (1 − θ)y|ζ| sinh(|ζ|(h − y)) + dζ sinh2 (|ζ|h) (2.53) Từ (2.53), để chứng minh ||Φx ||L2 (Π) < +∞, ta có h dζ |v1 (ζ)|2 sinh2 (|ζ|h) I1 := cosh2 (|ζ|(h − y))dy < +∞, |ζ|>1 h dζ |v2 (ζ)|2 sinh2 (|ζ|h) I2 := cosh2 (|ζ|y)dy < +∞, |ζ|>1 h ζ dζ |p1 (ζ)|2 sinh2 (|ζ|h) I3 := cosh2 (|ζ|(h − y))dy < +∞, |ζ|>1 h ζ dζ |p2 (ζ)|2 sinh2 (|ζ|h) I4 := cosh2 (|ζ|y)dy < +∞ |ζ|>1 Dùng đồng thức h cosh2 (|ζ|(h − y))dy = sinh(2|ζ|h) + 2|ζ|h , 4|ζ| có |v1 (ζ)|2 dζ (1 + |ζ|)[sinh(2|ζ|h) + 2|ζ|h] + |ζ| 4|ζ| sin2 (|ζ|h) I1 = |ζ|>1 D |v1 (ζ)|2 dζ , + |ζ| |ζ|>1 (2.54) −1/2 (−a, a) ⊂ H −1/2 (R), tích phân vế phải (2.54) hữu hạn Nó bao hàm I1 < +∞ Lập luận đó, D số dương Với v1 (x) ∈ Ho 22 tương tự, ta có I2 < +∞ Tiếp theo, ta có (1 + |ζ|)3 |p1 (ζ)|2 dζ I3 = ζ [sinh(2|ζ|h) + 2|ζ|h] (1 + |ζ|)3 4|ζ| sin2 (|ζ|h) |ζ|>1 (1 + |ζ|)3 |p1 (ζ)|2 dζ < +∞, D |ζ|>1 p1 (x) ∈ H 3/2 (R) Lập luận tương tự, ta có I4 < +∞ Từ điều kiện ta Φx ∈ L2 (Π) Tương tự, ta có Φ Φy ∈ L2 (Π) Do đó, ta có Φ ∈ H n (Π )(∀n 2, ∀ > 0), Π := {(x, y) : −∞ < x < ∞, < y < h − } Định lý chứng minh 2.3 Biến đổi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính √ a2 − x2 (−a < x < a) Ta gọi L2ρ± (−a, a) không gian Hilbert hàm tích vơ hướng chuẩn sau Định nghĩa 2.1 [2] Giả sử ρ(x) = a ρ±1 (x)v(x)u(x)dx, (u, v)L2±1 = ρ −a ||v||L2±1 = ρ (v, v)L2±1 < +∞ ρ Bổ đề 2.5 [2] Giả sử ϕ ∈ L2ρ (−a, a) Ta đặt ϕo thác triển - khơng −1/2 hàm ϕ R Khi ϕo ∈ Ho (−a, a) Giả sử Tk (x) Uk (x) cho đa thức Chebyshev loại loại hai Chúng ta có số biểu thức liên hệ cho đa thức Chebyshev sau [6] Tn (cosθ) = cos nθ, (2.55) a Tj [η(x)]Ti [η(x)] dx = αk δji , ρ(x) −a 23 (2.56) a ln Tj (η(y)) = βj Tj [η(x)], x−y ρ(y) (j = 0, 1, ), (2.57) −a δji kí hiệu Kronecker  π, j = αj = π  , j = 1, 2, , 2 π(ln2 − lnα), j = 0, βj = π  , j = 1, 2, , k x η(x) = a 2.3.1 (2.58) Biến đổi hệ phương trình tích phân với hạch logarit Bây giờ, ta biến đổi hệ (2.25) viết lại dạng  ∗   −1 anm (ζ)  F vm (x) = gn (x), x ∈ (−a, a), |ζ| m=1   v (x) = F −1 [v ](x) = 0, x ∈ R (−a, a), n = 1, n n (2.59) sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) − |ζ|h , sinh2 (|ζ|h) |ζ|h cosh(|ζ|h) − sinh(|ζ|h) a∗21 (ζ) = a∗12 (ζ) = sinh2 (|ζ|h) a∗11 (ζ) = a∗22 (ζ) = Định lý 2.5 [3] Hệ phương trình cặp tích phân (2.59) v1 (ζ), v2 (ζ) tương đương với hệ phương trình tích phân (−a, a) : 24  a a a   1   ln v1 (s)ds + v1 (s)k11 (x − s)ds + v2 (t)k12 (x − s)ds   2π x − s    −a −a −a   = g (x), a a a   1   ln v2 (s)ds + v1 (s)k21 (x − s)ds + v2 (t)k22 (x − s)dt   2π x−s    −a −a −a   = g (x), (2.60) a eisζ (t)dt, (ζ) = F [vn ](ζ) = suppum ⊂ [−a, a], n = 1, 2, (2.61) −a ∞ πx ln x coth + k11 (x) = k22 (x) = 2π 4h 2π 2a∗11 (ζ) − tanh(ζh) cos ζxdζ, ζ (2.62) ∞ k12 (x) = k21 (x) = π a∗12 (ζ) cos(ζx)dζ ζ (2.63) Chứng minh Từ phương trình thứ hai (2.59) ta (2.61) Thay (2.59) vào phương trình thứ (2.59), dùng định lý phép nhân chập cho biến đổi Fourier ta a vm (s)Knm (x − s)ds = gn (x), x ∈ (−a, a), (2.64) m=1−a Knm (x) = F −1 a∗nm (ζ) (x) = |ζ| π ∞ a∗nm (ζ) cos(ζx) = knm (x)(n = m) ζ (2.65) Từ a∗nn (x) = O tanh(|ζ|h) 25 (ζ → 0, ζ → +∞) Ta biến đổi Knn (x) trở thành ∞ Knn (x) = 2π ∞ tanh(ζh) cos(ζx)dζ+ ζ 2π 2a∗nn (ζ) − tanh(ζh) cos(ζx)dζ ζ Dùng công thức 4.116(2), p.530[1] ∞ tanh(βζ) απ cos(αζ) = ln coth( ) , ζ 4β ta ∞ πx ln coth( ) + Knn (x) = 2π 4h 2π 2a∗nn (ζ) − tanh(ζh) cos(ζx)dζ ζ = 1 πx ln ln x coth( ) + 2π 2π 2π 4h ∞ + 2π 2a∗nn (ζ) − tanh(ζh) cos(ζx)dζ ζ (2.66) Thay (2.65), (2.66) vào (2.64) ta (2.60) Ta có, ζ → +∞ 2a∗nn (ζ) − tanh(ζh) = O(ζe−2ζh ), a∗nm (ζ) = O(ζeζh )(n = m), Do đó, từ (2.62), (2.63) quan hệ ta có knn (x) knm (x) ∈ C ∞ [−a, a], 2.3.2 (n, m = 1, 2; n = m) Biến đổi hệ phương trình vơ hạn đại số tuyến tính Chúng ta tìm nghiệm hệ (2.60) lớp L2ρ (−a, a), biểu diễn dạng (x) = un (x) , ρ(x) n = 1, 2, (2.67) un (x) ∈ L2ρ−1 (−a, a) Do Bổ đề 2.5 hàm (x) thuộc vào không −1/2 gian Ho (−a, a) ta giả sử gn (x) ∈ H 1/2 (−a, a) ∩ L2ρ−1 (−a, a), 26 n = 1, (2.68) Thế (2.67) vào (2.60), ta hệ phương trình tích phân sau  a   1   ln   2π x−s    −a   = g (x), a   1   ln   2π x−s    −a   = g (x) a a u1 (s) k11 (x − s)ds + ρ(s) u1 (s) ds + ρ(s) −a u2 (s) k12 (x − s)ds ρ(s) −a a a u1 (s) k21 (x − s)ds + ρ(s) u2 (s) ds + ρ(s) −a u2 (s) k22 (x − s)ds ρ(s) −a (2.69) Ngoài ra, mở rộng hàm u1 (t) u2 (t) vào chuỗi ∞ (n) un (t) = Ai Ti [η(s)], (n = 1, 2), (2.70) i=0 (n) Ai (n) số chưa biết xác định với {Ai }∞ i=0 ∈ l2 (n = 1, 2) Thế (2.70) vào (2.69) , thay đổi thứ tự phép lấy tích phân phép lấy tổng, dùng cơng thức (2.57), có hệ sau  ∞  (1) (11) (2) (12) (1)   αm σm Am + (Ai Cmi + Ai Cmi ) = Fm(1) ,     2π i=0 ∞ (1) (21) (2) (22) (2) αn σ m A m + (Ai Cmi + Ai Cmi ) = Fm(2)    2π  i=0    m = 0, 1, 2, , a a (11) Cmi = (22) Cmi Tm [η(x)] dx ρ(x) = −a a −a a (12) Tm [η(x)] dx ρ(x) (21) Cmi = Cmi = Ti [η(s)] k11 (x − s)ds, ρ(s) −a Ti [η(s)] k12 (x − s)ds, ρ(s) −a a a Tm [η(x)] g1 (x)dx, Fm(2) = ρ(x) Fm(1) = −a Tm [η(x)] g2 (x)dx ρ(x) −a 27 (2.71) Định lý 2.6 [3]Hệ phương trình tích phân (2.69) với u1 (t), u2 (t) ∈ L2ρ−1 (−a, a) (n) tương đương với hệ phương trình đại số tuyến tính (2.71) với {Ai }∞ i=0 ∈ l2 , (n = 1, 2) Chúng ta có Y2m+1 = A(1) Y2m+2 = A(2) (m = 0, 1, 2, ), (2.72) m , m , 2π 2π K2m+1 = Fm(1) , K2m+2 = Fm(2) , (m = 0, 1, 2, ), (2.73) αm σ m αm σ m 2π 2π (11) (12) Cmi , C2m+1,2m+2 = Cmi , (m, i = 0, 1, ), C2m+1,2i+1 = αm σm αm σ m (2.74) 2π 2π (21) (22) C2m+2,2i+1 = Cmi , C2m+2,2i+2 = Cmi , (m, i = 0, 1, ) αm σm αm σm (2.75) Từ biểu thức (2.71) ta viết lại ∞ Yn + Cn,l Yl = Mn (= 1, 2, ) (2.76) l=1 Bổ đề 2.6 [3]Biểu thức sau K mi2 |Cm,i | (m 2, i 2), (2.77) K số cho trước Chứng minh Đổi biến số ta đặt x = a cos ν, t = a cos ω, (2.74) (2.75), ta có π Cm,i 2π = αm σ m π cos(iω)lnk [a(cos ν − cos ω)]dω cos (mν)dν (2.78) Có nghĩa tích phân đầy đủ (2.78) Kml,i (cos ν) lấy tích phân hai lần ta π a2 Lnl,i (cos ν) = i(i − 1) sin i − 1)ω sin ωknl [a(cos ν − cos ω)] 28 π a2 − i(i + 1) sin(i + 1)ω sin ωknl [a(cos ν − cos ω)]dω (2.79) Vì knl (x) hàm khả vi vơ hạn, bị chặn [−a, a], từ (2.79) ta K i2 |Lnl,i (cos ν)| (i 2) Bây giờ, ta xét tích phân sau π Kmi,nl := cos(nν)Lnl,i (cos ν)dν Tương tự trên, ta K (m 2) m2 Từ (2.78) - (2.80), (2.58), ta (2.77) |Kni,ml | (2.80) (k) Bổ đề 2.7 [3] Nếu đạo hàm gn (x), n = 1, hàm liên tục [−a, a], bất đẳng thức sau đúng: K |Mm | (m = 1, 2, ; l = 1, 2, ) (2.81) ml−1 Định lý 2.7 [3] Cho g1 (x) g2 (x) thỏa mãn điều kiện (2.68) cho tập hợp {Mm }∞ m=1 định nghĩa (2.73) thuộc l2 Khi đó, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.76) có nghiệm {Ym }∞ m=1 ∈ l2 Hệ vô hạn gọi hệ tựa hồn tồn quy Chứng minh Gọi M ma trận hệ số vô hạn vế trái biểu thức (2.76) Theo (2.77) ,hệ cặp chuỗi thành phần M hội tụ,do M tốn tử hồn tồn liên tục khơng gian Hilbert l2 Từ đó, hệ vơ hạn (2.76) Fredholm l2 Tính hệ phương trình cặp tích phân (2.23) suy nghiệm hệ Vì vậy, hệ vơ hạn (2.76) có nghiệm l2 Với m = N đủ lớn, ta có ∞ |Cmi | i=1 K m ∞ i=1 i2 − ν < (m = N + 1, N + 2, ) Do đó, hệ vơ hạn (2.76) tựa hồn tồn quy [4] 29 Kết luận Trong luận văn trình bày kết sau: Hệ thống khái niệm hệ phương trình cặp tích phân, khái niệm khơng gian hàm,hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, tốn tử giả vi phân Trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải Trình bày phương pháp đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyen Van Ngoc, On the solvability of dual integral equations involving Fourier Transforms, Acta Math Vietnam 13(2) (1988), 21-30 [2] Nguyen Van Ngoc, Dual integral equations involving Fourier transforms with increasing symbols, Acta Math Vietnam 34 (3) (2009), 305-318 [3] Nguyen Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan, Solvability of a system of dual intergal equations of a mixed boundary value problem for the biharmonic equation in a strip, Acta Mathematica Vietnamica 36 (2) (2011), 375396 [4] V S Vladimirov, Generalized Functions in Mathematical Physics, Moscow, Mir, 1979 (in Russian) [5] L R Volevich and B P Panekh,Some spaces of generalized functions and imbedding theorems, Uspekhii Math Nauk 20 (1) (1965), 3-74(in Russian) [6] L V Kantorovich, Yu.A Krylov, Approximate Methods in Higher Analysis, Fizmatgiz, Moscow, 1962 (in Russian) 31 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân 32 ... Chương Tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải Trong chương này, chúng tơi trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân phương pháp đưa hệ. .. lý tính cho nghiệm khơng âm tốn chứng minh Mục đích đề tài nghiên cứu toán biên cho phương trình song điều hòa miền hình dải Bài tốn biên miền hình dải với giả thiết giới hạn y = 0, y = h với điều. .. 1: Trình bày số kiến thức sở khơng gian hàm tốn tử giả vi phân, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Chương 2: Tính giải hệ phương trình cặp tích phân tốn biên cho phương trình song điều hòa