Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới

Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐÀO VĂN ĐỘ KIỀU MỸ HẠNH

BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

Sơn La, năm 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐÀO VĂN ĐỘ KIỀU MỸ HẠNH

BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

Chuyên ngành: Giải Tích

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

Người hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG

Sơn La, năm 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng,

người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp

đỡ chúng em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên chúng em cónghị lực hoàn thành đề tài này

Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡcủa các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy côtrong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đạihọc Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K49 ĐHSP Toán Những ý kiến đónggóp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuậnlợi để chúng em hoàn thành đề tài này Nhân dịp này chúng em xin đượcbày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên

Sơn La, tháng 5 năm 2011Người thực hiện

Sinh viên: Đào Văn Độ

Kiều Mỹ Hạnh

LỜI CẢM ƠN

Đề tài này được hoàn thành chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thànhtới thầy VŨ VIỆT HÙNG - GV Khoa Toán- Lí- Tin Trường Đại họcTây Bắc người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng emhoàn thành đề tài này

Đồng thời nhân dịp này chúng em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới các thầy cô giáo trong tổ giải tích Khoa Toán- Lí- Tin Trường Đại họcTây Bắc cùng các bạn sinh viên lớp K49 ĐHSP Toán đã đóng góp ý kiến,giúp đỡ động viên chúng em trong quá trình hoàn thành đề tài này

Với đề tài này chúng em mong nhận được các ý kiến đóng góp, phê bìnhcủa thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơnSơn La, tháng 5 năm 2011Người thực hiệnSinh viên: Đào Văn Độ

Kiều Mỹ Hạnh

Mục lục

1.1 Kiến thức hàm biến phức trong C 6

1.2 Kiến thức hàm biến phức trong Cn 10

1.2.1 Không gian Cn 10

1.2.2 Hàm chỉnh hình trong Cn và một số tính chất đơn giản của nó 11

1.3 Dạng vi phân phức và dòng 14

1.3.1 Dạng vi phân 14

1.3.2 Độ đo và phân bố 16

1.3.3 Các kí hiệu vi phân phức 18

1.3.4 Dạng vi phân phức và dạng dương 18

1.3.5 Các phép toán trên các dòng 21

1.3.6 Dòng, dòng dương và dòng dương đóng 22

1.3.7 Một số kêt quả liên quan 25

2 Hàm điều hòa và đa điều hòa dưới 26 2.1 Hàm điều hòa 26

2.2 Hàm điều hòa dưới 32

2.3 Hàm đa điều hòa dưới 43

3 Một số ứng dụng 47 3.1 Toán tử Monge-Ampère phức 47

3.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của toán tử Monge-Ampère phức 47

PHẦN MỞ ĐẦU1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của Toán học bắt nguồn

từ khoảng thế kỉ XIX và thậm chí có thể là trước đó Một số nhà toán họcnổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Weierstrass

và nhiều nhà toán học khác ở thế kỉ XX

Giải tích phức đặc biệt là lý thuyết về ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụngtrong cơ khí Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết số giải tích Ngày naygiải tích phức được nghiên cứu nhiều với những ứng dụng trong động lựcphức và Fractal Ứng dụng quan trọng khác của giải tích phức là trong lýthuyết đa thế vị

Lý thuyết đa thế vị là một nhánh trong giải tích phức nhiều biến đượcphát triển mạnh mẽtrong vòng 30 năm trở lại đây Nhiều kết quả quan trọngcủa lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80của thế kỉ trước, chẳng hạn như định lý Josefson về sự tương đương giữatính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong Cn Trongnhững năm sau đó, một số tác giả tiếp tục trình bày các hướng nghiên cứukhác của lý thuyết này như giải bài toán Dirichlet, thiết lập sự hội tụ yếucủa dãy độ đo Monge – Ampere tương ứng với sự hội tụ theo dung lượng,nghiên cứu bài toán xấp xỉ đối với các hàm đa điều hoà dưới

Hàm điều hoà và đa điều hoà dưới là đối tượng chủ yếu được nghiên cứunhiều trong lý thuyết đa thế vị Vì vậy nghiên cứu hàm đa điều hoà và đađiều hoà dưới cho ta nhiều bổ ích trong việc tìm hiểu bộ môn Hàm BiếnPhức Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức của Hàm Biến Phức

Do vậy, chúng em đã chọn đề tài: “ Bước đầu nghiên cứu một số tính chấtcủa hàm điều hoà và đa điều hoà dưới ” thuộc bộ môn Hàm Biến Phức đểlàm đề tài nghiên cứu cho mình nhằm góp phần vào việc nâng cao hiệu quảhọc tập môn học Hàm Biến Phức nói chung và môn toán nói riêng

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà đa điều hoàdưới

- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đa điều hoà dưới

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu trên lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả nhằm giúpsinh viên nắm được những nội dung cơ bản Đồng thời nghiên cứu những

ứng dụng ban đầu của lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới.

4 NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

- Tìm hiểu và nghiên cứu về hàm điều hòa và đa điều hòa dưới cùng một

số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới trên C, đa điều hoà dưới trên

Cn

- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm điều hòa và đa điều hòa dướitrong lý thuyết hàm biến phức như: Xây dựng toán tử Monge – Ampere trênlớp hàm đa điều hòa dưới, 5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn,seminar với giáo viên hướng dẫn và nhóm làm đề tài

6 TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI

6.1 Tính mới mẻ của đề tài

Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong hàm biến phức vàchưa được nhiều bạn sinh viên nghiên cứu

6.2 Hướng phát triển của đề tài

- Xây dựng toán tử Monge – Ampère trên lớp hàm đa điều hoà dưới rộnghơn

- Nghiên cứu sâu các tính chất của toán tử Monge – Ampère

7 Những đóng góp của đề tài

Đề tài đã nêu được cơ bản về tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòadưới cùng với việc xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điềuhòa dưới bị chặn địa phương

8 CẤU TRÚC ĐỀ TÀI

Với mục đích như vậy đề tài này dược chia thành 3 chương với những nộidung chính sau đây:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức hàm biến phức trong C, Cn, một

số kiến thức về độ đo phân bố, dạng vi phân và dòng để phục vụ cho việcxây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặnđịa phương cùng với các kết quả liên quan được sử dụng cho chứng minhtrong chương 2, chương 3

Chương 2: Trình bày nội dung chính của đề tài Trong chương này chúngtôi trình bày các định nghĩa cùng với một số kết quả và các tính chất củahàm điều hòa và đa điều hòa dưới trên C và Cn

Chương 3: Trình bày ứng dụng của hàm đa điều hòa và đa diều hòadưới về xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều hòa dưới

bị chặn địa phương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức hàm biến phứctrong C, Cn Đây là những kiến thức về hàm điều hòa, hàm chỉnh hình, tíchphân Cauchy, phép toán trong Cn Ở đây, chúng tôi trình bày một cách tổngquát nhất về độ đo phân bố, dạng vi phân và dòng phục vụ trong chương 3.Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số kết quả liên quan để sử dụng chochứng minh chương 2 và chương 3

1.1 Kiến thức hàm biến phức trong C

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C Xét giới hạnlim

∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

∆z , z, z + ∆z ∈ ΩNếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của

f tại z, kí hiệu là f0(z) hay df

ω0 = f (z0) thì hàm hợp g◦f khả vi phức tại z0 và

(gf )0(z0) = g0(f (z0))f0(z0)

Chứng minh Vì f (z) và g(z) khả vi phức tại z0 nên hiển nhiên ta có αf (z)+

βf (z), f (z)g(z) và f (z)/g(z)(g(z0) 6= 0) cũng khả vi phức tại z0 với mọi

Tương tự ta được ii), iii), iv)

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử Γ là đường cong Jordan trơn từng khúc f (η) làhàm liên tục trên Γ Với mọi z ∈ C\Γ, hàm

ϕ(η) = f (η)

η − zliên tục trên Γ Do đó nếu đặt

F (z) = 1

2πiZ

Γ

f (η)

η − zdη

ta nhận được hàm F xác định trên C\Γ

Hàm F (z) được gọi là tích phân loại Cauchy

Định lý 1.1.4 Giả sử f (η) là hàm liên tục trên đường cong Jordan trơntừng khúc Γ Khi đó tích phân (5) là một hàm chỉnh hình trên C\Γ Hơnnữa trên C\Γ hàm F(z) có đạo hàm mọi cấp, chúng được cho bởi công thức

F(n)(z) = n!

2πiZ

Γ

f (η)(η − z)n+1dη, n = 0, 1 (6)

Ở đây định nghĩa bằng quy nạp

F(n)(z) = (F(n−1))0(z)

F(0)(z) = F (z)Chứng minh Bằng cách đặt

Với η cố định (η ∈ Γ) hàm ϕn(η, z) theo biến mọi cấp trên C\Γ, do đónói riêng u và v là các hàm có các đạo hàm riêng liên tục Mặt khác hiểnnhiên u và v là các hàm liên tục theo tập các biến µ, ν, x, y Vì thế ta có thểlấy các đạo riêng các tích phân (9) dưới dáu tích phân.

γ

f (η)(η − z)n+1dη, n = 0, 1, 2, (10)Trong dó γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z sao cho Ωγ ⊂ Ω

Định lý 1.1.6 Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tíchphân của nó theo mọi chu tuyến trong Ω đều bằng 0 Khi dó f chỉnh hìnhtrên Ω

Chứng minh Theo định lý về sự tồn tại của nguyên hàm

Theo định lý 1.1.5 F0(z) và vậy thì f (z) là hàm chỉnh hình trên Ω

1.2 Kiến thức hàm biến phức trong Cn

1.2.1 Không gian Cn

Không gian Cn Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2n, các điểm của

nó là các bộ có thứ tự 2n số thực (x1, , x2n) Ta đưa vào trong đó cấutrúc phức, bằng cách đặt zv = xv + ixn+v(v = 1, , n) Thường ta kí hiệu

xn+v = yv nên zy = xv + iyv(v = 1, , n) Không gian mà điểm là những bộ

số phức (hữu hạn)

z = (z1, , zn) = {zv}

sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu qua Cn Đặc biệt khi n = 1, ta

có C1 = C là mặt phẳng số phức Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian

trong không gian R2n.

1.2.2 Hàm chỉnh hình trong Cn và một số tính chất đơn giản của

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f : Ω → C, Ω là mở rộng trong Cn, gọi là R− khả

vi (t.ứ C− khả vi) tại z ∈ Ω nếu

f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h)

ở đây l là R− tuyến tính (t.ứ C− tuyến tính) và

0(h)

h → 0 khi h → 0

Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R− đạo hàm (t.ứ C− đạo hàm của

f tại z) ký hiệu f0(z) hay df (z)

Định nghĩa 1.2.3 a) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ Cn nếu nó C− khả vitrong một lân cận của z

b) f : Ω → Cm với Ω là mở trong Cn gọi là chỉnh hình tại z nếu fj chỉnhhình tại z với mọi j = 1, m, ở đây

f = (f1, , fm)

Như trường hợp hàm một biến phức nếu f chỉnh hình tại z thì ∂f

∂zj chính

là đạo hàm riêng của z theo biến zj

Một số tính chất đơn giản của hàm chỉnh hình

Giả sử P = P (a, r) = {z ∈ Cn : |zj − aj| < rj∀j = ¯1, n} là đa đĩa tâm a

đa bán kính r = (r1, , rn) và

Γ = {z ∈ Cn : |zj − aj| = rj∀j = ¯1, nĐịnh lý 1.2.4 Nếu f là hàm liên tục trên ¯P và chỉnh hình trong P thì

Chứng minh Viết z = (0z, zn) ∈ Cn−1 × C đối với z ∈ Cn và 0P = {0z ∈

f (0z, ξn) = 1

2πiZ

γ n−1

f (z1, , zn−1, ξn−1, ξn)

ξn−1− zn−1 dSn−1Vậy do tính liên tục của f ta có

ξ1 − a1) (1 −

zn− an

ξn − an)

Chứng minh Đặt G = {z ∈ Ω : f = 0 trong một lân cận của z} Hiển nhiên

G mở và bởi vì f có khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của

a, từ (3) suy ra f = 0 trong một lân cận của a Vậy a ∈ G Còn chứng minh

G đóng trong Ω Giả zo ∈ ∂G Khai triển f thành chuỗi lũy thừa

∂αf (zo)

∂zα

= lim

z∈G z→z0

1α

∂αf (z)

∂zα = 0

zo ∈ G Do Ω liên thông G = Ω có nghĩa là f ≡ 0

Định lý 1.2.8 (Nguyên lý môđun cực đại)

Nếu f chỉnh hình trên miền Ω ⊂ Cn sao cho |f | đạt cực đại tại a ∈ Ω,thì f = const trên Ω

Chứng minh Chọn ρ > 0 đủ bé để B(a, ρ) ⊂ Ω.

Khi đó như hàm của một biến ξ ∈ C : |ξ| < ρ, f = const trên {a + ωξ :

|ξ| < ρ} với mọi ω ∈ Cn : ||ω|| = 1 Vậy f = const trên B(a, ρ).Từ 1.2.7 suy

Ck, k > 0, ta nói ω là p− dạng vi phân lớp Ck Kí hiệu Ω(k)p (U, F ) là khônggian véc tơ các p− dạng vi phân trên U với giá trị trong F Viết Ω(k)p (U )thay cho Ω(k)p (U, R)

Biểu diễn tọa độ của dạng vi phân trên Rn Giả sử {ei}n

i=1 là cơ sởchính tắc của Rn với các hàm tọa độ {ui}n

i=1 Cho ω là một p− dạng vi phânlớp Ck trên tập mở U ⊂ Rn với giá trị trong không gian Banach F Do tínhp− tuyến tính thay dấu của ω(x), x ∈ U , ta có:

ở đây U là tập mở trong không gian định chuẩn E.

Khi đó tích ngoài của các dạng vi phân α và β theo φ ký hiệu α ∧φβ chobởi

(ξ0, , ξi−1, ξi+1, ξp) được viết là (ξ0, ˆξi, , ξp)

Hiển nhiên (1) xác định (p + 1)− dạng vi phân lớp Ck−1dω trên U Thậtvậy chỉ cần kiểm tra lại tính thay dấu của dω Do ω0(x)(ξi) ∈ Ap(E, F ) với

i = 0, n còn chứng tỏ

dω(x)(ξ0, ξ1, , ξp) = −dω(x)(ξ0, ξ1, , ξp)

Đẳng thức này nhận được bằng cách áp dụng (1) tới

(η0, η1, , ηp) với η0 = ξ1; η1 = ξ0; ηi = ξi i = 2, p

1.3.2 Độ đo và phân bố

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử U ⊂ Rn là tập mở Một phân bố trên U là dạngtuyến tính liên tục trên D(U )

Ta kí hiệu tập các phân bố trên U là D0(U )

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử U ⊂ Rn là tập mở và u ∈ (D(U ))0 Với mỗi

n

P

i=1

αi là độ dài của đa chỉ số α

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử U ⊂ Rn là tập mở Dãy suy rộng {uα} ⊂ (D(U ))0nếu với mỗi ϕ ∈ D(U ) ta có:

lim

α uα(ϕ) = u(ϕ)Tôpô xác định như trên trên (D(U )0 gọi là tôpô yếu Nó có thể được cho bởi

hệ nửa chuẩn

PA(u) = sup{|u(ϕ)| : ϕ ∈ A}

ở đó A chạy qua các tập con hữu hạn của D(U )

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử u ⊂ Rn là tập mở và u ∈ (D(U ))0 Nếu V ⊂ U

là tập mở lớn nhất sao cho u = 0 trên V thì tập F = U \V gọi là giá của u

và kí hiệu F = suppu

Cho Ω là một tập mở trong Cn Ta đặt C0(Ω; C) là không gian véc tơ cáchàm giá trị phức liên tục có giá compact trên Ω Với mỗi tập con compactK⊂ Ω, theo định nghĩa:

C0(K; C = {ϕ ∈ C0(Ω; C) : suppϕ ⊂ K}

Ta cũng kí hiệu tương tự khi C◦(Ω; C) được thay bởi C◦∞(Ω; C), ở đó

C◦∞(Ω; C) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω Bâygiờ ta trang bị tôpô cho C◦(Ω; C) Cho {Ωj}j∈Nlà dãy các tập mở compacttương đối trong Ω thỏa mãn:

¯

Ωj ⊂ Ωj+1, và[

j∈N

Ωj = Ω

Trang bị cho mỗi không gian C◦( ¯Ωj; C) một tôpô hội tụ đều, khi đó nótrở thành không gian Banach Bây giờ ta đưa vào không gian C◦(Ωj; C) tôpôcủa giới hạn quy nạp chặt của các không gian C◦( ¯Ωj; C).

Chú ý rằng với tôpô này một dãy {ϕm}m∈N trong không gian C◦(Ω; C)hội tụ đến ϕ◦ ∈ C◦(Ω; C) nếu và chỉ nếu tồn tại tập Kb Ω sao cho:

Một phiếm hàm tuyến tính dương trên C◦(Ω; C) rõ ràng là liên tục, tức

là nó là một độ đo Radon Về sau độ đo Radon được đồng nhất với các độ

đo Borel tương ứng qua (1) và ta gọi chúng là độ đo

Nhận thấy độ đo này có các tính chất:

• Nếu V là tập mở của Ω thì:

µ(V ) = sup{µ(ϕ) : ϕ ∈ C◦(V ; [0; 1])}

•Nếu E là tập Borel bất kì của Ω thì:

µ(E) = inf {µ(V ) : V mở , E ⊂ V ⊂ Ω}

•Nếu K b Ωthì:

µ(K) = inf {µ(ϕ) : ϕ ∈ C◦(Ω; [0; 1]); K ⊂ ϕ−1(1)}

Từ đây ta cũng có:

µ(V ) = sup{µ(K); Kchạy qua mọi tập compact của V}

Chúng ta trang bị cho (C◦(Ω; C))0 tôpô yếu hay tôpô hội tụ điểm (nếukhông có gì nhầm lẫn về không gian đối ngẫu từ nay ta chỉ gọi là tôpô yếu).Trong tôpô này µj → µ khi j → ∞ nếu µj(ϕ) → µ(ϕ) với mỗi ϕ ∈ C◦(Ω; C).Tương tự ta cũng trang bị tôpô yếu cho không gian (C◦∞(Ω; C)0 và mỗi phần

tử của không gian này được gọi là một phân bố

1.3.4 Dạng vi phân phức và dạng dương

Để trình bày toán tử Monge-Ampère phức, chúng tôi sẽ trình bày dạng

vi phân phức song bậc (p, q) và đặc biệt là các vấn đề về dạng dươngMột dạng vi phân phức song bậc (p, q) là một biểu thức có dạng

Kí hiệu dạng thể tích trên Cn là dλ với:

dλ = i

2dz1 ∧ d¯z1 ∧ i

2dz2 ∧ dz2 ∧ ∧ i

2dzn ∧ dznNếu ω1, ω2, , ωn ∈ C(1,0) thì biểu thức:

⇔ ω = i

2ω1 ∧ ¯ω1 ∧ i

2ω2 ∧ ¯ω2 ∧ ∧ i

2ωp∧ ¯ωp ∈ C(p,p)

gọi là dạng dương sơ cấp

Giả sử ω ∈ C(p,p) Ta nói ω là dạng dương nếu với mọi dạng dương sơ cấp

β ∈ C(n−p,n−p) ta có ω ∧ β > 0 Điều đó có nghĩa là ω ∧ β = τ dλn; τ > 0.Dạng ω ∈ C(p,q) được gọi là thực nếu ω = ω nghĩa là αJ,K = αK,L đúngcho mọi |J| = |K| = p

Ta có một vài kết quả đáng chú ý sau đối với dạng dương:

Mệnh đề 1.3.6 Giả sử α ∈ C(p,p), β ∈ C(1,1) là các dạng dương, β là dạngthực Khi đó α ∧ β > 0

Chọn ma trận Unita P sao cho B = Po−1AoP là ma trận chéo Khi đó

Thay vào biểu thức của ω ta được điều cần chứng minh 

Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở Tập các dạng vi phân song bậc (p,q) có hệ

số thuộc Co(Ω, C) (tương ứng C0∞(Ω, C)) được kí hiệu D(p,q)o (Ω) (tương ứng

Như vậy lưới {ϕα = P

|J |=p,|K|=q

aαJ KdzI ∧ d¯zK}α∈I là hội tụ tới ϕ =

|J |=p,|K|=q

aJ KdzI ∧ d¯zK trong Do(p,q)(Ω) nếu có compact K b Ω sao cho:

suppaαJ K ⊂ K, ∀α ∈ I, ∀J, KsuppaJ K ⊂ K, ∀J, Ksao cho aαJ,K ⇒ aJ,K trên K

Tương tự ta đưa vào các không gian D(p,q)( ¯Ωj) tôpô hội tụ đều của các

hệ số và các đạo hàm của nó Khi đó với mọi j > 1, D(p,q)( ¯Ωj) là các khônggian Frechet Không gian D(p,q)(Ω) được đưa vào tôpô giới hạn quy nạp chặtcủa D(p,q)( ¯Ωj) Như vậy nếu {ϕα}α>1 ⊂ D(p,q)(Ω) với

(a) Tồn tại tập compact K⊂ Ω sao cho suppϕoI,J ⊂ K ∀I, J

(b) Dβ(ϕJIJ) → Dβ(ψIJ) đều khi α → ∞; ∀I, J và mọiβ ∈ (Z+)2n

1.3.5 Các phép toán trên các dòng

Giả sử T là (p, q) dòng trong Ω, ψ là (k, l)− dạng trong Ω với hệ số trong

C∞(Ω, C) và max{p + k, q + l} 6 n Khi đó T ∧ ψ là (p + k, q + l)− dòngđược xác định: nếu ϕ ∈ D(n−p−k,n−q−l)(Ω) thì:

h(T ∧ ψ), ϕi = hT, ψ ∧ ϕChúng ta nhắc lại hai toán tử vi phân

∂ : D(p,q)(Ω) → D(p+1,q)(Ω)cho bởi:

-Kết quả sau đây nói đến tính chất của dòng dương

Định lý 1.3.8 Mọi dòng dương có bậc 0, nghĩa là có hệ số là các độ đoBorel phức

Chứng minh Lấy một cơ sở {αj} trong C(n−p,n−p) gồm các dạng dương sơcấp Giả sử {βj} là cơ sở trong C(p,p) đối ngẫu với {αj} nghĩa là

Thay vào (2) và so sánh 2 vế ta được

Mệnh đề 1.3.9 Giả sử T = P

j,k=1

Tjk2idzj ∧ d¯zk ; là (1, 1)− dòng thì T là(1, 1)− dòng dương ⇔ma trận (Tjk) xác định dương ⇔ ∀ϕ ∈ D(Ω), ϕ >

Chứng minh Giả sử {αl} là cơ sở của C(n−p,n−p) gồm các dạng dương sơ cấp,

và {ωJ,K} ⊂ C(n−p,n−p) là cơ sở đối ngẩu với cơ sở {(i

2)

pdzj∧ d¯zk} tron C(p,p).Khi đó : ωJ K = P

||T ||(E) là:

||T ||(E) = X

J,K

|TJ,K|(E)

Ở đó|TJ,K|(E)là biến phân toàn phần của TJ,K trên E

Nếu T là một (p,p)-dòng dương trênΩ Đặt

Mệnh đề 1.3.13 Tồn tại hằng số c > 0 không phụ thuộc vào n và p saocho:

1.3.7 Một số kêt quả liên quan

Bổ đề 1.3.14 Giả sử {µj} là dãy độ đo Radon trên tập mở Ω ⊂ Rn và{µj} −yếu→ µ, µ là độ đo Radon trên Ω Khi đó ta có kết quả:

a.Nếu G ⊂ Ω là tập mở thì µ(G) 6 lim

j inf µj(G)b.Nếu K ⊂ Ω là tập mở thì µ(K) > lim

j inf µj(K)c.Nếu E là tập compact tương đối trong Ω, µ(∂E) = 0 thì µ(E) = lim

j (E)

Bổ đề 1.3.15 Nếu {fj} là dãy giảm các hàm nửa liên tục trên, hội tụ tới f

và {µj} là dãy độ đo Borel dương, hội tụ yếu tới µ Nếu fjµj hội tụ yếu tới

độ đo v thì v 6 fµ

∆u = 4 ∂

2u

∂z∂ ¯zThật vậy: Nếu u là hàm biến phức thì

Ví dụ Hàm hai biến thực u(x, y) = x2 − y2

là hàm điều hòa trên R2Phương trình ∆u = 0 được gọi là phương trình Laplace Dạng không thuầnnhất của phương trình Laplace được gọi là phương trình Poisson Nghiệmcủa phương trình Poisson trong miền Ω là hàm u(x) thuộc lớp C2(Ω) saocho

∆u = f (x)với bất kì x thuộc Ω Nghiệm như thế còn được gọi là nghiệm cổ điển củaphương trình Poisson trong miền Ω

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω thuộc lớp B1 và giả