Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐÀO VĂN ĐỘ KIỀU MỸ HẠNH BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG Sơn La, năm 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐÀO VĂN ĐỘ KIỀU MỸ HẠNH BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI Chuyên ngành: Giải Tích ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG Người hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG Sơn La, năm 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp đỡ chúng em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên chúng em có nghị lực hoàn thành đề tài này. Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các t hầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K49 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng em hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên. Sơn La, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện Sinh viên: Đào Văn Độ Kiều Mỹ Hạnh 3 LỜI CẢM ƠN Đề tài này được hoàn thành chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy VŨ VIỆT HÙNG - GV Khoa Toán- Lí- Tin Trường Đại học Tây Bắc người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em hoàn thành đề tài này. Đồng thời nhân dịp này chúng em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích Khoa Toán- Lí- Tin Trường Đại học Tây Bắc cùng các bạn sinh viên lớp K49 ĐHSP Toán đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ động viên chúng em trong quá trình hoàn thành đề tài này. Với đề tài này chúng em mong nhận được các ý kiến đóng góp, phê bình của thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn Sơn La, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện Sinh viên: Đào Văn Độ Kiều Mỹ Hạnh 1 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Kiến thức hàm biến phức trong C . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Kiến thức hàm biến phức trong C n . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Không gian C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Hàm chỉnh hình trong C n và một số tính chất đơn giản của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Dạng vi phân phức và dòng . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Độ đo và phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Các kí hiệu vi phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Dạng vi phân phức và dạng dương . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Các phép toán trên các dòng . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.6 Dòng, dòng dương và dòng dương đóng . . . . . . . . 22 1.3.7 Một số kêt quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Hàm điều hòa và đa điều hòa dưới 26 2.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Một số ứng dụng 47 3.1 Toán tử Monge-Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của toán tử Monge- Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 PHẦN MỞ ĐẦU 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của Toán học bắt nguồn từ khoảng thế kỉ XIX và thậm chí có thể là trước đó. Một số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở thế kỉ XX. Giải tích phức đặc biệt là lý thuyết về ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng trong cơ khí. Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết số giải tích. Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu nhiều với những ứng dụng trong động lực phức và Fractal. Ứng dụng quan trọng khác của giải tích phức là trong lý thuyết đa thế vị. Lý thuyết đa thế vị là một nhánh trong giải tích phức nhiều biến được phát triển mạnh mẽtrong vòng 30 năm trở lại đây. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như định lý Josefson về sự tương đương giữa tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong C n . Trong những năm sau đó, một số tác giả tiếp tục trình bày các hướng nghiên cứu khác của lý thuyết này như giải bài toán Dirichlet, thiết lập sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge – Ampere tương ứng với sự hội tụ theo dung lượng, nghiên cứu bài toán xấp xỉ đối với các hàm đa điều hoà dưới. . . Hàm điều hoà và đa điều hoà dưới là đối tượng chủ yếu được nghiên cứu nhiều trong lý thuyết đa thế vị. Vì vậy nghiên cứu hàm đa điều hoà và đa điều hoà dưới cho ta nhiều bổ ích trong việc tìm hiểu bộ môn Hàm Biến Phức. Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức của Hàm Biến Phức. Do vậy, chúng em đã chọn đề tài: “ Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà và đa điều hoà dưới ” thuộc bộ môn Hàm Biến Phức để làm đề tài nghiên cứu cho mình nhằm góp phần vào việc nâng cao hiệu quả học tập môn học Hàm Biến Phức nói chung và môn toán nói riêng. 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà đa điều hoà dưới. - Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đa điều hoà dưới. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu trên lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả . . . nhằm giúp sinh viên nắm được những nội dung cơ bản. Đồng thời nghiên cứu những 3 ứng dụng ban đầu của lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới. 4. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI - Tìm hiểu và nghiên cứu về hàm điều hòa và đa điều hòa dưới cùng một số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới trên C, đa điều hoà dưới trên C n . - Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới trong lý thuyết hàm biến phức như: Xây dựng toán tử Monge – Ampere trên lớp hàm đa điều hòa dưới,. . . 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức. - Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, seminar với giáo viên hướng dẫn và nhóm làm đề tài. 6. TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 6.1. Tính mới mẻ của đề tài Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong hàm biến phức và chưa được nhiều bạn sinh viên nghiên cứu. 6.2. Hướng phát triển của đề tài - Xây dựng toán tử Monge – Ampère trên lớp hàm đa điều hoà dưới rộng hơn. - Nghiên cứu sâu các tính chất của toán tử Monge – Ampère. 7. Những đóng góp của đề tài Đề tài đã nêu được cơ bản về tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới cùng với việc xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. 8. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Với mục đích như vậy đề tài này dược chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1: Trình bày một số kiến thức hàm biến phức trong C, C n , một số kiến thức về độ đo phân bố, dạng vi phân và dòng để phục vụ cho việc xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương cùng với các kết quả liên quan được sử dụng cho chứng minh trong chương 2, chương 3. Chương 2: Trình bày nội dung chính của đề tài. Trong chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa cùng với một số kết quả và các tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới trên C và C n . 4 Chương 3: Trình bày ứng dụng của hàm đa điều hòa và đa diều hòa dưới về xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức hàm biến phức trong C, C n . Đây là những kiến thức về hàm điều hòa, hàm chỉnh hình, tích phân Cauchy, phép toán trong C n . Ở đây, chúng tôi trình bày một cách tổng quát nhất về độ đo phân bố, dạng vi phân và dòng phục vụ trong chương 3. Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số kết quả liên quan để sử dụng cho chứng minh chương 2 và chương 3. 1.1 Kiến thức hàm biến phức trong C Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C. Xét giới hạn lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z , z, z + ∆z ∈ Ω Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, kí hiệu là f (z) hay df dz (z). Như vậy f ’(z) = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả vi tại z. Định lý 1.1.2. Nếu f(z) và g(z) khả vi phức tại z 0 thì αf(z) + βf(z), f(z)g(z) và f(z)/g(z) (g(z 0 ) = 0) cũng khả vi phức tại z 0 với mọi α, β ∈ C và (i) (αf + βg) (z 0 ) = αf (z 0 ) + βg (z 0 ) (ii) (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) (iii) (f/g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) − f(z 0 )g (z 0 ) g 2 (z 0 ) (iv) Nếu ω = f(z) khả vi phức tại z 0 , còn g(ω) khả vi phức tại 6 ω 0 = f(z 0 ) thì hàm hợp g ◦ f khả vi phức tại z 0 và (gf) (z 0 ) = g (f(z 0 ))f (z 0 ). Chứng minh. Vì f(z) và g(z) khả vi phức tại z 0 nên hiển nhiên ta có αf(z)+ βf(z), f(z)g(z) và f(z)/g(z)(g(z 0 ) = 0) cũng khả vi phức tại z 0 với mọi α, β ∈ C. i)αf (z 0 ) + βg (z 0 ) = α lim ∆→0 f((z 0 ) + ∆z) − f(z 0 ) ∆z + β lim ∆z→0 g((z 0 ) + ∆z) − g(z 0 ) ∆z = lim ∆→0 α f((z 0 ) + ∆z) − f(z 0 ) ∆z + lim ∆z→0 β g((z 0 ) + ∆z) − g(z 0 ) ∆z = lim ∆z→0 α[f(z 0 ) + ∆z − f(z 0 )] + β[g(z 0 ) + ∆z − g(z 0 )] ∆z = (αf + βg) (z 0 ) Tương tự ta được ii), iii), iv). Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Γ là đường cong Jordan trơn từng khúc f(η) là hàm liên tục trên Γ. Với mọi z ∈ C\Γ, hàm ϕ(η) = f(η) η − z liên tục trên Γ. Do đó nếu đặt F (z) = 1 2πi Γ f(η) η − z dη ta nhận được hàm F xác định trên C\Γ. Hàm F (z) được gọi là tích phân loại Cauchy. Định lý 1.1.4. Giả sử f(η) là hàm liên tục trên đường cong Jordan trơn từng khúc Γ. Khi đó tích phân (5) là một hàm chỉnh hình trên C\Γ. Hơn nữa trên C\Γ hàm F(z) có đạo hàm mọi cấp, chúng được cho bởi công thức F (n) (z) = n! 2πi Γ f(η) (η − z) n+1 dη, n = 0, 1 (6) Ở đây định nghĩa bằng quy nạp F (n) (z) = (F (n−1) ) (z) 7 [...]... )dθ, 0 r < ρ 0 tập tất cả các hàm điều hòa dưới trên Ω được kí hiệu là SH(Ω) Dưới đây là những kết quả và tính chất quan trọng hay dùng của lớp hàm điều hòa dưới trong tập mở Ω ⊂ C Định lý 2.2.5 Giả sử u, v là hai hàm đa điều hòa dưới trên Ω.Khi đó (i)h(z) = max(u(z), v(z)) là hàm điều hòa dưới trên Ω (ii) với mọi số thực α, β > 0 ta có : h(z) = αu(z) + βv(z)là hàm điều hòa dưới trên Ω Chứng minh (i)... v thì v fµ 25 Chương 2 Hàm điều hòa và đa điều hòa dưới 2.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 2.1.1 Hàm hai biến thực u(x, y) trên miền Ω ⊃ R2 gọi là điều hòa nếu nó có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa mãn điều kiện: ∆u = ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y 2 ∆u được gọi là toán tử Laplace Từ định nghĩa của ∂ ∂ và dễ dàng ∂z ∂z ¯ nhận được đẳng thức ∂ 2u ∆u = 4 ∂z∂ z ¯ Thật vậy: Nếu u là hàm biến phức thì ∂u 1 ∂u... )ds ∂ν ∂ν Định lý 2.1.2 Giả sử f (z) = u(x, y)+iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên miền Ω ∈ C Khi đó u(x, y) và v(x, y) là hàm điều hòa trong Ω Hàm v sau này được gọi là hàm liên hợp điều hòa của hàm u Chứng minh Vì f chỉnh hình trên Ω các hàm u và v khả vi vô hạn trên Ω Theo điều kiện Cauchy- Riemann ta có ∂u ∂v ∂u ∂v = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x Lấy đạo hàm đẳng thức thứ nhất theo x, đẳng thức thứ 2 theo y rồi... u : X → [−∞; +∞) là hàm bị chặn địa phương trên X,khi đó chính quy hóa nửa liên tục trên của u là u∗ : X → [−∞; +∞] là hàm cho bởi ∀x ∈ X, u∗ (x) = lim sup u(y) y→x Có thể thấy u∗ là nửa liên tục trên trên X; u∗ tính chất này u và là hàm nhỏ nhất có Định nghĩa 2.2.4 Cho Ω là tập mở trong C Một hàm u : Ω → [−∞; +∞) được gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau : i) u... cận của z 11 b) f : Ω → C m với Ω là mở trong C n gọi là chỉnh hình tại z nếu fj chỉnh hình tại z với mọi j = 1, m, ở đây f = (f1 , , fm ) Như trường hợp hàm một biến phức nếu f chỉnh hình tại z thì ∂f chính ∂zj là đạo hàm riêng của z theo biến zj Một số tính chất đơn giản của hàm chỉnh hình ¯ Giả sử P = P (a, r) = {z ∈ C n : |zj − aj | < rj ∀j = 1, n} là đa đĩa tâm a đa bán kính r = (r1 , , rn ) và. .. Ơclit Biên ∂B của hình cầu là mặt cầu (2n − 1) chiều n S 2n−1 n |zv − av |2 = r2 } = {z ∈ C : v=1 trong không gian R2n 1.2.2 Hàm chỉnh hình trong Cn và một số tính chất đơn giản của nó Định nghĩa 1.2.1 Hàm l : Cn → C gọi là R− tuyến tính (tương ứng C− tuyến tính) nếu a) l(z + z ) = l(z ) + l(z )∀z , z ∈ Cn b) l(λz) = λl(z)∀λ ∈ R, z ∈ Cn (tương ứng ∀λ ∈ C) Hiển nhiên hàm l : Cn → C, R− tuyến tính là C−... cho hàm điều hòa u − M trong hình cấu B = BR (z) ⊂⊂ Ω, ta có kết quả: 1 0 = u(z) − M (u − M )dx 0, wn R n B 31 tức là u = M trong BR (z) Do đó ΩM cũng là tập mở trong Ω Như vậy ΩM = Ω Điều khẳng định của định lý đối với trường hợp ∆u 0 nhận được từ điều khẳng định đã được chứng minh khi thay u bằng −u Định lý được chứng minh 2.2 Hàm điều hòa dưới Định nghĩa 2.2.1 Cho X là một không gian mêtric Hàm. .. Ω Hơn nữa một độ đo Radon là phiếm hàm dương (tức là µ(ϕ) 0 với mọi hàm không âm ϕ ∈ C◦ (Ω; C)) nếu và chỉ nếu độ đo Borel tương ứng là dương Một phiếm hàm tuyến tính dương trên C◦ (Ω; C) rõ ràng là liên tục, tức là nó là một độ đo Radon Về sau độ đo Radon được đồng nhất với các độ đo Borel tương ứng qua (1) và ta gọi chúng là độ đo Nhận thấy độ đo này có các tính chất: • Nếu V là tập mở của Ω thì:... ∈ C 2 (Ω), ∆u ≥ 0( 0) trong Ω và tồn tại điểm y ∈ ∂Ω sao cho u(y) = supΩ u(infΩ u) Khi đó hàm u là hằng số Đặc biệt một hàm điều hòa khác hằng số không thể đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại các điểm trong của miền Ω Chứng minh Giả sử ∆u ≥ 0 trong Ω, M = supΩ u Ký hiệu ΩM = {x ∈ Ω : u(x) = M } Từ giả thiết của định lý rút ra ΩM là một tập đóng trong Ω Giả sử z là một điểm tùy ý trong ΩM Áp dụng... tuyến tính Định nghĩa 1.2.2 Hàm f : Ω → C, Ω là mở rộng trong Cn , gọi là R− khả vi (t.ứ C− khả vi) tại z ∈ Ω nếu f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h) ở đây l là R− tuyến tính (t.ứ C− tuyến tính) và 0(h) → 0 khi h → 0 h Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R− đạo hàm (t.ứ C− đạo hàm của f tại z) ký hiệu f (z) hay df (z) Định nghĩa 1.2.3 a) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ C n nếu nó C− khả vi trong một lân . Đồng thời nghiên cứu những 3 ứng dụng ban đầu của lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới. 4. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI - Tìm hiểu và nghiên cứu về hàm điều hòa và đa điều hòa dưới cùng một số tính chất cơ. NGHIÊN CỨU - Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà đa điều hoà dưới. - Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đa điều hoà dưới. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu trên lý thuyết các định. với các hàm đa điều hoà dưới. . . Hàm điều hoà và đa điều hoà dưới là đối tượng chủ yếu được nghiên cứu nhiều trong lý thuyết đa thế vị. Vì vậy nghiên cứu hàm đa điều hoà và đa điều hoà dưới cho