Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TÒNG VĂN HẢI BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La - Năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TÒNG VĂN HẢI BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Giải Tích Giáo viên hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG Sơn La - Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành phần lớn là do sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy. Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin cảm ơn những ý kiến đóng góp, khích lệ, động viên của các thầy cô và bạn bè trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Sơn La, tháng 06 năm 2014 Người thực hiện Sinh viên: TÒNG VĂN HẢI KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Giả sử Ω là tập mở không rỗng của R n , x = (x 1 , , x n ) ∈ Ω với n là số nguyên cố định lớn hơn 1 và hàm u : Ω → C. Khi đó ta ký hiệu: 1. ∂u ∂x i (x) là đạo hàm riêng của u theo tọa độ thứ i tại điểm x. 2. Đạo hàm riêng cấp hai của u theo tọa độ thứ i, j tại điểm x là ∂ 2 u ∂x i ∂x j . 3. ∆u = ∂ 2 u ∂x 2 i là toán tử Laplace. 4. x = (x 2 1 +x 2 2 +···+x 2 n ) 1 2 là chuẩn Euclide của x, đôi khi để giản ta thường dùng ký hiệu là |x|. 5. Với k là số nguyên dương, C k (Ω) là ký hiệu của tập tất cả các hàm khả vi liên tục cấp k trên Ω, C ∞ (Ω) là tập tất cả các hàm thuộc lớp C k (Ω) với mọi k. Với E ⊂ R n , C(E) là ký hiệu của tập tất cả các hàm liên tục trên E. 6. Cho Ω là tập mở bị chặn của R n , ký hiệu ∂Ω là biên của Ω, Ω là bao đóng của Ω. Độ đo V = V n là độ đo thể tích Lesbegue trên R n và s là độ đo bề mặt của ∂Ω. 7. ∂u ∂ −→ l (x) = lim t→0 u(x + t −→ l ) −u(x) t , −→ l = −→ 0 , là đạo hàm theo hướng −→ l của u tại x. Nếu u khả vi tại x thì u có đạo hàm mọi hướng tại x và ∂u ∂ −→ l (x) = n  i=1 ∂u ∂x i (x)l i , −→ l = (l 1 , . . . , l n ). 8. Với u ∈ C(Ω) ta viết: D n u = ∂u ∂ν , với ν = (υ 1 , . . . , υ n ) là vector pháp tuyến đợn vị hướng ra ngoài của ∂Ω; u = (D 1 u, . . . , D n u) = Du là vector gradient của u. Do đó với ξ ∈ ∂Ω ta có (D n u)(ξ) = (u)(ξ) · η(ξ), với η = ν. 9. B(a, r) = {x ∈ R n : x − a < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r, bao đóng của nó là hình cầu đóng B(a, r); hình cầu đơn vị B(0, 1) được ký hiệu là B, còn bao đóng của nó là B. Khi số chiều là quan trọng ta viết B n thay cho B để chỉ hình cầu đơn vị trong không gian có số chiều là n. Biên của hình cầu đơn vị được ký hiệu bởi S = ∂B, bình thường độ đo bề mặt S được ký hiệu bởi σ (sao cho σ(S) = 1). Độ đo σ là độ đo xác suất duy nhất trên S đó là phép quay bất biến (giá trị T(E) = σ(E) với mọi tập Borel E ⊂ S và với mỗi phép biến đổi tuyến tính trực giao T). 10. Bộ chỉ số α là n số nguyên không âm (α 1 , . . . , α n ). Đạo hàm từng phần của toán tử D α được xác định bởi D α 1 1 . . . D α n n (D 0 j là toán tử đồng nhất). Với x ∈ R n và bộ chỉ số α = (α 1 , . . . , α n ) ta định nghĩa: x α = x α 1 . . . x α n , α! = α 1 ! . . . α n !, |α| = α 1 + ··· + α n . 11. D m u =  ∂ α u ∂x α 1 1 . . . ∂x α n n : |α| = α 1 + ··· + α n = m  là tập tất cả các đạo hàm riêng cấp m của u. Mục lục Mở đầu 3 1 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 5 1.1 Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính chất bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Nhân Poisson cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Bài toán Dirichlet cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Định lý đảo của Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . 22 1.8 Mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích . . . . . . . . . . 24 2 Hàm điều hòa bị chặn 28 2.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Ước lượng Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Họ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Giới hạn dọc tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 3 Hàm điều hòa dương 37 3.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnanck . . . . . . . . . . 39 3.3 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 47 2 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hàm điều hòa - nghiệm của phương trình Laplace đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của Toán học, Vật lý và Kỹ thuật. Lý thuyết hàm điều hòa, chính xác hơn là các tính chất của nó cho ta rất nhiều ứng dụng phải kể đến đó là tính chất bất biến qua hình cầu tâm và bán kính bất kỳ, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại (giá trị cực đại hoặc cực tiểu trên miền đạt được trên biên), Hiện nay tài liệu tiếng Việt viết và nghiên cứu về hàm điều hòa nói chung là rất ít. Đặc biệt hơn ở trường Đại học Tây Bắc đề tài nghiên cứu về hàm điều hòa vẫn còn hạn chế. Ta có thể tìm thấy trong thư viện trường Đại học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu chỉ được giới thiệu trong một mục nhỏ thông qua các cuốn Phương trình đạo hàm riêng [1], [3] và Hàm biến phức [2]. Để tìm hiểu về nó không phải lúc nào cũng dễ dàng và đôi khi gây rất nhiều chở ngại cho các bạn sinh viên, nhất là các bạn sinh viên học Toán và Lý. Xuất phát từ những lý do trên, em chọn hướng nghiên cứu của mình là: Bước đầu nghiên cứu một số lớp hàm điều hòa. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa trên R n . Tìm hiểu các tính chất đặc trưng cho các lớp hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương trên R n . 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa R n . Khai thác tính chất đặc trưng chỉ có trong hàm điều hòa, cụ thể có tính chất như: "Hàm điều hòa là hàm duy nhất có tính chất giá trị trung bình". Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. Xét xem đã có những kết của nào mà ta đã biết trong giải tích phức mà ta vẫn áp dụng được cho hàm điều hòa. Hơn nữa là nghiên cứu các tính chất đặc biệt có trong hai lớp hàm này. 5. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm và nghiên cứu các tài liệu trong nước cũng như tài liệu nước ngoài viết về những vấn đề có liên quan đến đề tài. Phân tích, tổng hợp các kiến thức sao cho có hệ thông, logic và mạch lạc. Qua đó hình thành ý tưởng và đề cương nghiên cứu đề tài. Trao đổi với giảng viên hướng dẫn, những người có kinh nghiệm và nhóm sinh viên có cùng ý tưởng nghiên cứu. Từ đó lập kế hoạch và hoàn thành đề tài. 6. Những đóng góp của đề tài Đề tài đã nêu bật được những tính chất cơ bản nhất của hàm điều hòa và bước đầu nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. 7. Cấu trúc đề tài Nội dung của đề tài gồm có phần Mở đầu, ba Chương nội dung, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo: Chương 1. Trình bày các tính chất cơ bản của hàm điều hòa, bao gồm: Tính chất bất biến, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại, nhân Poisson cho hình cầu, bài toán Dirichlet cho hình cầu, định lý đảo của tính chất giá trị trung bình và mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích. Chương 2. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn, trong đó trình bày một số tính chất tương tự của hàm chỉnh hình trong giải tích phức cho hàm điều hòa dương trên R n . Cụ thể là: Định lý Liouville, tính kỳ dị cô lập, ước lượng Cauchy, họ chuẩn tắc. Hơn nữa là hai tính chất nguyên lý cực đại và giới hạn dọc tia cho các hàm điều hòa bị chặn. Chương 3. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương thông qua các tính chất quan trọng đó là: Định lý Liouville, bất đẳng thức Harnack, nguyên lý Harnack và tính kỳ dị cô lập. 4 Chương 1 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa Hàm điều hòa tồn tại trên tập con mở của không gian Euclide thực. Trước khi đi vào các tính chất ta tìm hiểu định nghĩa về hàm điều hòa. 1.1 Định nghĩa và các ví dụ Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u : Ω → C khả vi liên tục cấp hai được gọi là hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa mãn phương trình Laplace: ∆u = 0. Ví dụ 1. u(x) = x 1 , với x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 . Ví dụ 2. Xét hàm u trên R 3 xác định bởi: u(x) = x 2 1 = x 2 2 − i x 2 . Dễ thấy hàm này điều hòa trên R 3 . Ví dụ 3. Cho n > 2, x ∈ R n , hàm u(x) = x 2−n là hàm điều hòa trên R n . Thật vậy: Giả sử x = (x 1 , . . . , x n ), khi đó u(x) = (x 2 1 + x 2 2 + ··· + x 2 n ) 2−n 2 . Ta có: ∂u ∂x i = (2 − n)x i (x 2 1 + x 2 2 + ··· + x 2 n ) −n 2 i = 1, n. ∂ 2 u ∂x 2 i = (2 − n)x −n [1 − nx 2 i x −2 ] i = 1, n. 5 [...]... tuyến tính trên C 2 (Ω) nên phép cộng và nhân vô hướng của hàm điều hòa là hàm điều hòa 7 Định nghĩa 1.2.1 1.Với y ∈ Rn , và u là hàm điều hòa trên Ω Tịnh tiến của u là hàm trên Ω + y, nhận giá trị tại x là u(x − y) 2.Với một số dương r và một hàm u trên Ω Mở rộng của u ký hiệu ur là một hàm xác định bởi (ur )(x) = u(rx), với x thuộc (1/r)Ω = {(1/r)ω| ω ∈ Ω} Nhận xét 1.2.1 i) Tịnh tiến của hàm điều hòa. .. lý đảo của Tính chất giá trị trung bình Chúng ta đã thấy rằng tất cả các hàm điều hòa đều có tính chất giá trị trung bình Trong phần này ta sẽ sử dụng tính giải được của bài toán Dirichlet cho hình cầu để chứng minh hàm điều hòa là hàm duy nhất có tính chất giá trị trung bình Thật vậy, định lý sau đây cho thấy rằng hàm liên tục thỏa mãn dạng yếu của tính chất giá trị trung bình phải là hàm điều hòa Định... sẽ gặp lại trong Định lý (1.7.1) và Định lý (1.7.2) tính chất giá trị trung bình đặc trưng của hàm điều hòa Ta kết thúc phần này với một ứng dụng của tính chất giá trị trung bình Ta biết rằng một hàm điều hòa giá trị thực có một điểm kỳ dị cô lập, ví dụ hàm x 2−n có một điểm kỳ dị cô lập tại điểm 0 nếu n > 2 Hệ quả 1.3.1 Giá trị không của hàm điều hòa nhận giá trị thực không bao giờ bị cô lập Tức là,... điều hòa là hàm điều hòa ii) Với u ∈ Ω ta thấy ∆(ur ) = r · (∆u)r Bởi vậy mở rộng của hàm điều hòa là hàm điều hòa Sự kết hợp giữa hàm điều hòa và hình cầu là quan trọng đối với lý thuyết hàm điều hòa Tính chất giá trị trung bình cái mà chúng ta sẽ xét trong mục tiếp theo là một minh họa cụ thể nhất cho sự kết hợp này Các mối liên hệ khác như phép nâng lên lũy thừa, phép biến đổi tuyên tính trên Rn... 0 Điều này chứng tỏ u(x) = x [n − n(x2 + · · · + x2 ) x 1 n −n 2−n [n − n x 2 x −2 −2 ] ] , n > 2 là hàm điều hòa Như chúng ta sẽ thấy sau này, hàm u(x) = x 2−n là hàm quan trọng đối với lý thuyết hàm điều hòa khi n > 2 Chúng ta có được ví dụ bổ sung cho hàm điều hòa bằng cách lấy vi phân Lưu ý với hàm điều hòa trơn toán tử Laplace thay đổi với bất kỳ đạo hàm riêng ∂u (x) = xi x −n là hàm điều hòa. .. chỉ số α Định lý 1.6.3 Giả sử (um ) là một dãy hàm điều hòa trên Ω sao cho um hội tụ đều tới hàm u trên mỗi tập con compact của Ω Khi đó u là hàm điều hòa trên Ω Hơn nữa, với mỗi chỉ số α, Dα um hội tụ đều tới Dα u trên mỗi tập con compact của Ω Chứng minh Cho B(a, r) ⊂ Ω, ta chỉ cần chỉ ra rằng u là hàm điều hòa trên B(a, r) và với mỗi chỉ số α, Dα um hội tụ đều tới Dα u trên mỗi tập con compact của. .. Rn−1 Chú ý 2.1.1 Hàm điều hòa trên tập compact được xác định bằng hạn chế của nó trên biên (theo nguyên lý cực đại) Tuy nhiên hàm diều hòa trên nửa không gian đóng không được xác định bằng hạn chế của nó trên biên Ví dụ 6 Hàm điều hòa u trên H xác định bởi u(x, y) = y bằng nhau trên biên của nửa không gian với hàm điều hòa 0 Hệ quả 2.1.1 Giả sử u liên tục bị chặn trên H là hàm điều hòa trên H Nếu u... lập của hàm u bất kỳ xác định trên Ω\{a} Khi u điều hòa trên Ω\{a}, điểm kỳ dị cô lập a được gọi là khử được nếu u có mở rộng điều hòa tới Ω Định lý 2.2.1 Một điểm kỳ dị cô lập của hàm điều hòa bị chặn là khử được Chứng minh Ta cần chỉ ra nếu u điều hòa và bị chặn trên B\{0}, thì u có mở rộng điều hòa đến B Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử u đạt giá trị thực đại diện duy nhất cho mở rộng điều. .. Giả sử u là hàm điều hòa trên B Khi đó ta chứng minh rằng u(0) là giá trị trung bình của u trên S Ta áp dụng đồng nhất thức Green với v(y) = |y|2−n , hàm này điều hòa trên B\{0}, có một điểm kỳ dị tại 0 và là hằng số trên S Bây giờ cố định một diểm khác không x ∈ B Ta chứng minh u(x) là trọng khối trung bình của u trên S, một cách tự nhiên lần này ta thử với v(y) = |y − x|2−n , hàm này điều hòa trên B\{0},... ) như là hàm của ξ là hàm điều hòa trên |x| B Do đó từ Tính chất giá trị trung bình ta có: P (x, ξ)dσ = P (0, x ) = 1 |x| S Rõ ràng b) cũng đúng với x = 0 Vậy ta được điều phải chứng minh 19 Chứng minh của định lý 1.6.1 Toán tử Laplace của u có thể được tính bằng cách lấy vi phân dưới dấu tích phân trong (1.6.7) Còn Mệnh đề (1.6.1) thì chỉ ra rằng u là hàm điều hòa trên B Để chứng minh u là hàm liên . hướng nghiên cứu của mình là: Bước đầu nghiên cứu một số lớp hàm điều hòa. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa và nghiên cứu. lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa. những tính chất cơ bản nhất của hàm điều hòa và bước đầu nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. 7. Cấu trúc đề tài Nội dung của đề tài gồm có phần Mở đầu,