Luận văn các hàm điều hoà, dưới điều hoà và trên điều hoà

1 B GIO D C V O TO TR NG I HC s PH M H N I O TH I HNG CC H M I U HềA, DI l HềA V T R N I U HềA LU N VN TH C s TO N HC H N i, 2016 B G I O D C V O TO TR NG I HC s PH M H NI O THI H NG CC H M IU HềA, DI IấU HềA V T R ấ N IU HềA L U N V N TH C s T O N HC C h u yờn ngnh: T oỏn gii tớch M ó s : 60 46 01 02 N g i h ng dn kh oa h c P G S T S H T in N g o n H N I, 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n PGS TS H Tin Ngon, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon th n h lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn th n h ti Phũng Sau i hc, cỏc thy, cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc s phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ó c v, ng viờn tụi hon th n h lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi o T h H ng Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca PGS TS H Tin Ngon, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti: " C ỏ c h m i u h ũ a , d i d i u h ũ a v t r n i u h ũ a " c hon th n h bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn th õn tỏc gi Trong quỏ trỡn h nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k th a nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõ n trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi o T h H ng i M c lc M u 1 C ỏc tớn h ch t c a hm iu h ũa, di iu h ũa v trờ n iu hũa 1.1 Cỏc nh lý v giỏ tr trung b ỡ n h 1.2 Cỏc nguyờn lý cc i yu v m nh 1.3 Bi toỏn Dirichlet T ớnh nht ca n g h i m 10 1.4 Biu din G r e e n 12 1.5 Nghim ca bi toỏn Dirichlet hỡnh c u 16 1.6 B t ng thc Harnack i vi hm iu h ũ a 19 1.7 Cỏc ỏnh giỏ bờn i vi hm iu h ũ a 20 1.8 M rng lp hm di iu hũa v trờn iu h ũ a 21 T ớn h gii c c a b i to ỏ n D ir ic h let i vi hm iu h ũa 23 2.1 Cỏc hm di i vi m t hm xỏc nh trờn biờn Phng phỏp P e r r o n 23 2.2 Hm ro cn ti m t im trờn b i n 24 2.3 im biờn chớnh quy iu kin cn v cho tớnh gii c ca bi toỏn D ir ic h le t 2.4 iu kin cho tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet iu kin hỡnh cu n g o i 2.5 25 26 iu kin cn v m t im trờn biờn l chớnh quy 28 29 K t lun 30 Ti liu th a m kho 11 M u Lớ chn ti Lý thuyt hm iu hũa l m t b phn quan trng lý thuyt phng trỡnh o hm riờng Song, cỏc giỏo trỡn h hoc sỏch chuyờn kho v phng trỡnh o hm riờng thng ch trung vo nghiờn cu cỏc hm iu hũa m khụng h xột ti cỏc hm s liờn quan m t thit vi chỳng nh hm di iu hũa v hm trờn iu hũa Vic m rng i tng nghiờn cu l r t quan trng, bi vỡ hm iu hũa s cú t t c cỏc tớn h cht ca hai loi hm ny Lun trỡnh by cỏc Nguyờn lý cc i m nh v Nguyờn lý cc i yu i vi cỏc hm iu hũa, hm di iu hũa v hm trờn iu hũa T cỏc nguyờn lý ny d dng suy c tớnh nht nghim ca bi toỏn Dirichlet i vi hm iu hũa, ng thi cho phộp chng minh cỏc ỏnh giỏ ln i vi hm iu hũa v cỏc o hm ca nú Lun cng trỡnh by ỏp dng cỏc hm di iu hũa vo vic nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn Drrichlet i vi hm iu hũa mt gii ni C th, lun s a iu kin cn v i vi cỏc im trờn biờn ca bi toỏn Dirichlet cho hm iu hũa l gii c M c ớch nghiờn cu Lun nhm mc ớch trỡn h by m t cỏch h thng cỏc tớnh cht nh tớnh nh Nguyờn lý cc i m nh v Nguyờn lý cc i yu i vi cỏc hm iu hũa, hm di iu hũa v hm trờn iu hũa, ng thi trỡn h by vic ỏp dng cỏc hm iu hũa di nhm a iu kin cn v i vi cỏc im trờn biờn ca bi toỏn Dirichlet cho hm iu hũa l gii c N him v nghiờn cu Nhim v chớnh ca nghiờn cu l trỡnh by m t cỏch h thng cỏc tớnh cht nh tớnh nh Nguyờn lý cc i m nh v Nguyờn lý cc i yu i vi cỏc hm iu hũa, hm di iu hũa v hm trờn iu hũa, ng thi a iu kin cn v i vi cỏc im trờn biờn ca bi toỏn Dirichlet cho hm iu hũa l gii c i tng v phm vi nghin cu i tng v phm vi nghiờn cu l Nguyờn lý cc i m nh v Nguyờn lý cc i yu i vi cỏc hm iu hũa, hm di iu hũa v hm trờn iu hũa, ng thi a iu kin cn v i vi cỏc im trờn biờn ca bi toỏn Dirichlet cho hm iu hũa l gii c Phng phỏp nghiờn cu Lun dựng cỏc cụng c ca Gii tớch toỏn hc i vi hm ca mt hoc nhiu bin s v ca Gii tớch hm tuyn tớnh D kin úng gúp mi Lun l m t ti liu tham kho v b sung ca lý thuyt nh tớnh i vi cỏc hm iu hũa, hm di iu hũa v hm trờn iu hũa nh cỏc Nguyờn lý cc i m nh v yu, cỏc iu kin cn v i vi cỏc im trờn biờn ca bi toỏn Dirichlet cho hm iu hũa l gii c D o ú udS h i vs = - r ^ ếBP dBp -1 nujnpri - / u d S Ơ u ( y ) p V dBp Hn na cho p dn n (1.23) chỳng ta nhn c cụng thc biu din Green: u (:y ) = J (x-y)-T (x-y) ^ dS+ dớỡ r(x - y ) A u d x , (y ) h trờn d B chỳng ta cú u < (> ) h B Cỏc tớnh cht sau ca (n) hm di iu hũa s d dng c th it lp Nu u l di iu hũa m t n, thỡ nú tha m ón nguyờn lý (i) cc i m nh ớỡ, v nu V l trờn iu hũa m t b chn > u trờn thỡ hoc V > u khp n hoc n vi V V = u chng minh khng nh trờn, gi s ngc li thỡ ti m t im Xq chỳng ta cú (u V) (x0) = sup (u v) = M > 0, n v chỳng ta cú th gi thit cú m t hỡnh cu B = B ( x o) cho U V trờn d B Gi s , V ^ M kớ hiu hm iu hũa ln lt bng U, V trờn d B Khi ú: M > sup ( v) > ( V) (ổq) > (u V) (ổq) = M , dB v ú ng thc c xy Bng nguyờn lý cc i m nh cho hm iu hũa (nh lý 1.2 cho nờn V = M B v hn na U V = M trờn d B , m õu thun vi s chn B 21 (ii) Gi s u l di iu hũa v B l qu cu bờn Kớ hiu l hm iu hũa B (c tớnh theo tớch phõn Poisson ca u trờn ế B ) cho = u trờn d B Chỳng ta nh ngha hm nõng iu hũa ca u (trong B ) bi khi X X e B E B (1.41) Khi ú hm u cng l di iu hũa ớỡ chng minh ta xột m t qu cu b t k B ' c c v gi s h l m t hm iu hũa B ' cho h > u trờn d B ' T u < u B ' chỳng ta cú u < h B ' v hn na u < h B ' B Cng vỡ u l iu hũa B , chỳng ta cú nguyờn lý cc i u < h B n B ' Do ú u < h B ' v u l di iu hũa (iii) Gi s U i , U , Wjv l di iu hũa ớỡ Khi ú hm u (X) = m ax {ui (X) , U2 (X) , Un (x )} cng l di iu hũa õy l h qu tm thng ca nh ngha di iu hũa Tng ng, cỏc kt qu ca hm trờn iu hũa s nhn c bng cỏch thay u bi u tớnh cht (i),(ii) v (iii) 22 23 Chng T ớnh gii c ca bi toỏn D irich let i vi hm iu hũa 2.1 Cỏc hm di i vi m t hm xỏc nh trn biờn Phng phỏp Perron Bõy gi gi s l b chn v ớp l m t hm b chn trờn biờn dớl Mt c ( ) hm di iu hũa u c gi l hm di i vi > nu nú tha m ón u < ip trờn d B Mt cỏch tng t m t c ( f ) hm trờn iu hũa c gi l hm trờn i vi ip nu nú tha m ón u > ip trờn d B Bng nguyờn lý cc i mi hm di l nh hn hoc bng mi hm trờn c bit cỏc hm hng < inf if ( > sup u { y ) v t nh lý 1.8 dóy {V^} cha m t dóy {VnK} hi t u qu cu b t k Bp( y ) vi p < R ti m t hm V V l iu hũa B Rừ rng < u B v v(y) u(y) Chỳng ta khng nh rng V u B Gi s v(z) < u ( z ) ti z e B thỡ tn ti m t hm e S v cho v(z) < ( z) Hn ch Wk = m ax (w ^ l4 j v { W k \ l hm nõng iu hũa nh (1.31) Chỳng ta thu c nh trc õy m t dóy ca dóy { W } hi t ti m t hm iu hũa w tha m ón V < w < u B v v(y) = w(y) = u(y) Nhng sau ú bng nguyờn lý cc i chỳng ta phi cú V = w B iu ny m õu thun vi nh ngha ca v ú u l hm iu hũa 2.2 Hm ro cn ti m t im trờn biờn Kt qu bờn trờn a m t hm iu hũa, l nghim (gi l nghim Perron) ca bi toỏn Dirichlet c in: A u = 0, u = ip trờn Thc vy, nu bi toỏn Dirichlet gii c, nghim ca nú l s trựng vi nghim Perron Nu w l nghim ca bi toỏn th ỡ rừ rng w G Stp v bng nguyờn lý cc i w > u cho t t c u G S v Trong phng phỏp Perron vic nghiờn cu dỏng iu gn biờn ca nghim l tỏch bit vi bi toỏn tn ti Gi thit liờn tc ca giỏ tr biờn l liờn quan ti tớnh cht hỡnh hc ca biờn thụng qua khỏi nim ca hm ro cn Gi s Ê l m t im ca thỡ m t ( ớ) , hm w = WÊ c gi l m t hm ro cn ti Ê tng i ti ỡ nu: (i) w l trờn iu hũa ớ; (ii) w > \ Ê; w(Ê) = Mt c im quan trng ca khỏi nim ro cn l m t thuc tớnh a phng ca biờn C th l, chỳng ta cú th nh ngha w l m t ro 24 cn a phng ti Ê G 2, nu tn ti m t lõn cn N ca Ê cho w tha m ón nh ngha trờn n N Khi ú ro cn ti Ê i vi n cú th nh ngha nh sau Gi s B l m t qu cu tha m ón Ê G B c c N v m inf w > Hm N-B = (\ = m in(m , w(ổ)), [ ) X m, s l m t ro cn ti Ê i vi r, (ii) Thc vy, W l liờn tc w (ổ) X Gn n B Xeớl\B tha m ón cỏc iu kin (i) v v l trờn iu hũa Q bi tớnh cht (iii) ca hm trờn iu hũa (trang 18) T ớnh cht (ii) c suy mt cỏch trc tip 2.3 im biờn chớnh quy iu kin cn v cho tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet Mt im biờn Ê G s c gi l chớnh quy (i vi Laplacian) nu tn ti m t ro cn w(Ê) ti im ú S liờn h gia ro cn v dỏng iu biờn ca nghim l cha phn sau n h lý 2.2 ([2]) Gi s u l mt hm iu hũa xỏc nh ớỡ bng phng phỏp Perron (nh lý 2.1 ) Nu Ê l mt im biờn chớnh quy ca ớỡ v ip l liờn tc ti Ê, thỡ u( x) (Ê) X > Ê Chng minh Chn Ê > v M = sup \ Ê S hng dn ny m t cỏch trc tip ti n h lý 2.3 ([2]) Bi toỏn Dirichlet c in m t Q b chn l gii c vi mi giỏ tr biờn liờn tc tựy ý ip(x) nu v ch nu cỏc im biờn ca u l chớnh quy Chng minh Nu giỏ tr biờn ip l liờn tc v biờn dCl bao gm cỏc im biờn chớnh quy, nh lý trc vit l hm iu hũa cung cp bi phng phỏp Perron gii bi toỏn Dirichlet Ngc li gi s rng bi toỏn Dirichlet l cú th gii quyt cho t t c cỏc giỏ tr biờn liờn tc Gi s Ê E dCl thỡ hm ip{x) = \x Ê l liờn tc trờn ỡ v hm iu hũa gii quyt c bi toỏn Dirichlet n vi giỏ tr biờn ớp rừ rng l m t ro cn ti Ê Hn na Ê l chớnh quy, nh l t t c cỏc im ca ớỡ 2.4 iu kin cho tớnh gii c ca bi toỏn D irichlet iu kin hỡnh cu ngoi Cõu hi quan trng c t ra: nhng im biờn ca no l cỏc im chớnh quy? Húa cỏc iu kin núi chung ph thuc vo tớnh cht hỡnh hc a phng ca biờn Chỳng ta cp n vi iu kin ny bờn di Nu n = xột m t im biờn Zq ca m t b chn v ly gc ti z0 vi ta cc r, Gi s tn ti lõn cn N ca z cho m t nhỏnh 26 giỏ tr nhỏnh n ca xỏc nh n N hoc m t th n h phn ca ớỡ n N cú Zq trờn biờn ca nú Chỳng ta thy rng log r w = Ke -= ^ -log log r + l m t ro cn a phng (yu) ti z v ú z0 l im chớnh quy c bit Zq l m t im chớnh quy nu nú l im cui ca m t vũng cung n nm phn ngoi ca Q Nh vy bi toỏn Dirichlet phng l luụn luụn gii c cho cỏc giỏ tr biờn liờn tc m t b chn m cỏc im biờn cú th tip cn c t phớa ngoi bng m t cung n Tng quỏt hn, ro cn cng cho thy bi toỏn giỏ tr biờn l gii c nu mi th n h phn ca phn bự ca m t cú nhiu hn m t im Vớ d nh cỏc l m b chn bi m t s hu hn cỏc ng cong úng, hoc l m t a n v c ct dc vũng cung, trng hp ny cỏc giỏ tr biờn cú th gỏn trờn cnh i ca khe Khi s chiu n ln hn 2, bi toỏn Dirichlet khụng th gii c m t cỏch tng t Mt iu kin n gin cho tớnh gii c cho m t b chn c R n l ớỡ tha m ón iu kin mt cu ngoi-, ú l ti im Ê G d tn ti m t qu cu B B fớ(y) cho B n = Ê Nu iu kin nh vy c tha m ón th ỡ hm w cho bi: s l hm ro cn ti Ê Do ú, mi im biờn Ê ca ớỡ vi biờn d ớỡ trn lp c2s l im chớnh quy 27 2.5 iu kin cn v m t im trờn biờn l chớnh quy Khỏi nim vt lý v dung lng cung cp bin phỏp mụ t tớnh chớnh quy ca cỏc im biờn Gi s ỡ l m t b chn R n(n > 3) vi biờn trn ụ v gi s u l m t hm iu hũa xỏc nh phn bự ca v tha m ón iu kin biờn u = trờn dQ v u = ti vụ cc Ta nh ngha dung lng ca l ( 2) ú l vộc t phỏp tuyn ngoi Ta cú th nh ngha dung lng thụng qua i lng bin phõn sau (2.3) ú K = {v C { R n)\ V = trờn 2} kim tra tớnh chớnh quy ca m t im x e d ớỡ vi A e (0; 1) c nh bt k chỳng ta a vo xột cỏc dung lng sau Cj = cap { x f i l l z - z o l < A-7} Tiờu chun W iener khng nh x l m t im chớnh quy ca nu v ch nu chui oc (2.4) ỡ- l phõn k 28 29 K t lun Lun ó trỡn h by cỏc sau: - Cỏc khỏi nim hm iu hũa, di iu hũa v trờn iu hũa - Cỏc nh lý v giỏ tr trung bỡnh i vi hm iu hũa, di iu hũa v trờn iu hũa - Nguyờn lý cc i m nh v yu i vi hm iu hũa - B t ng thc Harnack i vi hm iu hũa - Hm ro cn v im chớnh quy bi toỏn Dirichlet i vi hm iu hũa - iu kin cn v cho tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet i vi hm iu hũa H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi o T h H ng