Luận văn thạc sĩ toán Một số vấn đề về nội suy vô hạn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHAN LẠC DƯƠNG MỘT số VÁN ĐỀ VỀ NỘI SUY VÔ HẠN ■■■ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã so: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Ba Vì gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 20lị Tác giả Phan Lạc Dương Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Khải. Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi. Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa Mở đầu . Chương 1. 1.1. thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn. Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. 12 17 Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 20lị Tác giả 2 Mục lục Phan Lạc Dương 4 MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1. Không gian Banach không gian Hilbert Không gian vectơ 1.1.2. Không gian metric . . . Không gian định chuẩn không gian Banach 1.1.4. Không gian Hilbert 1.2. Phân loại hàm 1.3. Chương 2.1. Bài toán nội suy cổ điển BÀI TOÁN NỘI SUY VÔ HẠN 8 7 Mở đầu 2.2. Cách tiếp cận thứ nhất: Định lí Guichard 2.3. Cách tiếp cận thứ hai: Định lí Polya Chương 3.1. 3. MỘT số ỨNG DỤNG ứng dụng Định lí Polya 3.2. Một số toán khác Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Nội suy phương pháp tính giá trị điểm liệu chưa biết với giả thiết tập hợp điểm liệu biết rời rạc công cụ toán học ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học như: Công nghệ thông tin, kinh tế, tài chính, dầu khí, xây dựng, y học, truyền hình, điện ảnh ngành cần xử lý liệu số khác. Những vấn đề liên quan đến nội suy với số hữu hạn điều kiện nghiên cứu làm sáng tỏ. Trên sở đó, tăng số lượng điều kiện lên, trường hợp định, ta giải toán nội suy chuỗi vô hạn đa thức. Tuy nhiên, tất toán liên quan đến tính vô hạn điều kiện nội suy giải theo cách này. Hơn việc phát triển từ toán với hữu hạn điều kiện đến toán có vô hạn điều kiện, ta vấp phải khó khăn phát sinh từ hạn chế Giải tích Đại số. Việc tìm phương cách thay cho giải pháp nhiều Nhà toán học nghiên cứu năm gần đây, nhiên chưa có nhiều công trình nghiên cứu đề cập tới vấn đề này. Với mong muốn tìm hiểu sâu toán nội suy vô hạn ứng dụng nó, chọn đề tài “Một số vấn đề Nội suy vô hạn” làm luận văn Thạc sĩ mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu Nội suy vô hạn nêu số ví dụ ứng dụng nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu vấn đề liên quan đến lý thuyết Nội suy vô hạn số ứng dụng chúng. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các vấn đề liên quan đến vấn đề nội suy hữu hạn nội suy vô hạn. Phạm vi nghiên cứu: Nội suy vô hạn điều kiện cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc, tìm hiểu tư liệu sách, báo, luận văn, luận án. Các phương pháp Đại số Giải tích (Lý thuyết chuỗi, Hàm phức, Giải tích hàm) Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài. 6. Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống Nội suy vô hạn. ứng dụng Nội suy vô hạn để giải số toán liên quan. Chương MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian Banach không gian Hilbert Ta kí hiệu c tập số phức, M tập số thực, Q tập số hữu tỷ, z tập số nguyên Q tập số tự nhiên. 1.1.1. Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Tập X với phép cộng (+) nhân vô hướng (.) gọi không gian vectơ trường số thực R (gọi tắt không gian vectơ hay gọi không gian tuyến tính) điều kiện sau thỏa mãn: Với x,y,z € X, với a, ß € M, ta có 1) X + y = y + X] 2) (x+ y) + z = X + (y + z); 3) Tồn phần tử trung hòa6 € X cho X 4) Với X € X, tồn tạiphần +9 = x; tử đối X là(—x) € X cho X + (-a;) = ớ; 5) ( a + ß ) x = a x + ß x \ 6) a(x + y) = ax + ay, 7) a ( ß x ) = [ a ß ) x \ 8) l x — X , với phần tử đơn vị. Mỗi phần tử X e X gọi vectơ, điều kiện gọi tiên đề không gian vectơ. Định nghĩa 1.1.2. Cho X không gian vectơ. Biểu thức dạng ctịXị ~ị~ . -ị- OinXnỊ OLị G R, Xị £ X gọi tổ hợp tuyến tính hệ vectơ {xi , ., x n }. Định nghĩa 1.1.3. Cho hệ n vectơ {^1, ., x n } không gian vectơ X. Xét đẳng thức vectơ OiiXi + . + a n x n = 6. Nếu đẳng thức xảy O i i — . — a n = ta nói hệ n vectơ độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.4. Hệ vô hạn phần tử {Xi} i e l thuộc không gian vectơ X gọi độc lập tuyến tính hệ hữu hạn độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.5. Cho n số nguyên dương X không gian vectơ. Nếu tồn hệ n vectơ Xí, . ,x n G X độc lập tuyến tính hệ n + vectơ X phụ thuộc tuyến tính ta nói không gian X có số chiều n kí hiệu dimX = n. Nếu không tồn n ta nói không gian X vô hạn chiều. Định nghĩa 1.1.6. Cho X không gian vectơ. Tập hợp phần tử Xi, . ,x n G X gọi sở X với X & X, X biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính Xị, . ,x n biểu diễn nhất. Định lí 1.1.1. Không gian vectơ X có số chiều n sở X gồm n phần tử. Nếu X có số chiều lầ n hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n phần tử ỉầ sở nó. Ví dụ 1.1.1. (Không gian vectơ Euclide 77,-chiều Kn) Giả sử K kí hiệu trường số thực phức. Với số nguyên không âm n, tập hợp n số dạng X = (íEi, ., x n ) ,Xị € K (i = 0,1, .) tạo thành không gian vectơ n chiều R, kí hiệu Kn. Các phép toán không gian vectơ Kn định nghĩa bởi: X + y = (x + y u ., x n + y n ); ax = (ax I , ., ax n ). Ví dụ 1.1.2. (Không gian hàm khả tích bậc p [a;6]) Cho p > 0, tập hàm fix) đo cho \f(x)\ p khả tích [a; 6] tạo thành không gian vectơ kí hiệu L p [a; b] . (Nếu p = ta kí hiệu L[a\ b ]). 1.1.2. Không gian metric Định nghĩa 1.1.7. Cho tập hợp tùy ý X Ỷ 0- Một metric X ánh xạ d : X xJÍ4R thỏa mãn điều kiện sau: i) d(x,y)> Vx,y G X; d (x, y) = X = y\ ii) d (X, y) = d (y, X) Vi,|/el; iii) d (X, y) < d (X, z) + d (z, y) \/x, y,z G X. Tập hợp X metric X gọi không gian metric, ký hiệu (X, d ). số d (X , y ) gọi khoảng cách điểm X y. Nếu M tập khác rỗng X M với d hạn chế M không gian metric không gian metric X. Ví dụ 1.1.3. Với hai vectơ X = (xi , ., Xỵ), y = (yi , ., yk) thuộc không gian vectơ thực k-chiều (k số nguyên dương đó) ta đặt (1.1) k Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề i), ii) metric. Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: Với 2k số thực a , j , bj (j = 1, . ,k) ta có (1.2) k k Thật k k V k < ( a i b i - a i b rf 1=1 Lj=l k k k k k k i=1 3=1 i= = i =1 j =1 Từ suy bất đẳng thức (1.2). Với vectơ X = (x u .,x k ), y = (y , .,y k ), z = {z u .,z k ) thuộc Mfc ta có: Ta kiểm tra hệ (3.3) thỏa mãn hai điều kiện (A) (B) định lý Polya. Thật vậy, i) Trước hết, điều kiện (B) thỏa mãn vì: + Nếu hàng thứ j hệ có liên quan đến giá trị / điểm điều kiện \z p - lỊ < Ị^pỊ đảm bảo giới hạn lim ~ =0 j 1,k к— >00 j — 2,3, . + Nếu hàng thứ j có liên quan đến đạo hàm cấp s Zp, s > , từ (3.2) ta có: flj-i,fc+i _ 2) _ z p s + 1) z p k(k - 1) • • • (A; - s + ũj k+ к — k(k — 5+1 1) ■ ■ ■ (k — Như vậy, ta có: lim ữj — =0 j = , , . . . fc->oc a , j Ị k ii) Bây giờ, để điều kiện (A) thỏa mãn ta chứng minh định thức ma trận hệ số tạo thành từ n hàng n cột liền kề khác không. Những định thức xem định thức Vandermonde tổng quát. Không tính tổng quát, ta xét trường hợp cụ thể với n = 4, 777,1 = 2. Định thức ma trận hệ số cỡ X hình thành từ hàng cột liền kề liền là: yk fc+2 *1 *1 *1 *1 kzỊ~1 D= {k+l)zỊ *,fc+3 { k + 2)zk1+1 3)zỊ+2 + k { k — \ ) z \ ~ ( k + l ) k Z ị ~ ( k + 2) ( k + l ) Z ị ( k + 3) ( k + 2) z Ị + ,k+1 „k+3 z „k+2 2 z2 (3.4) Từ định thức (3.4) ta thành lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn V ị , . . . ,Vị'. z Ị v i + Z * + V + Z ị + V + Z*+3V =0 kz’l~1Vị + (k + Ì)zì[v2 + (k + 2)Zị+1v3 + (k + ‘ò)z\ +2 Vị — k(k — l)Zị~2Vi + (k + l)kZị~ v + (A; + ) ( k + } Z ị V Ị + (A; + 3)(A; + 2')Zị+1Vị — zỊv! + zỊ+1V + zị+2V + zị+zv 4=0 Nếu D = 0, ta tìm V i , . . . thỏa ,Vị không đồng thời mãn (3.5). Với giá trị đó, ta có đa thức P ( z ) = v l Z k + v - 2zk+1 + v3zk+2 + v4zk+3 với d e g P ( z ) < k + p ( z ) không đồng 0. Đa thức có không điểm cấp k z = theo (3.5), P ( z ) có không điểm cấp Zị có không điểm cấp z2. Như tổng số bội nghiệm P ( z ) không nhỏ k + 4. Điều vô lí, 0. Bây giờ, áp dụng định lí Polya ta tìm giá trị a ữ , ữi, . cho (Ị3.3Ị) thỏa mãn chuỗi vế trái hệ hội tụ tuyệt đối. Từ đó, 00 k k 00 ^2ak\Zj\ < oo, f ( z ) = a k z hội tụ \ z \ < p việc giải hệ k = k=0 (Ị3.3Ị) hoàn toàn thực được. Nhận xét 3.1.1. Với cấu hỏi đặt là: Có thể xẫy dựng hàm giải tích có đạo ham điểm cho trước hay không? Ví dụ 2.1.1 mục 2.1 chì điều lúc xảy điểm miền giải tích. Nhưng cho điểm tiến dần đến biên miền giải tích hoàn toàn tìm được. Định lí 3.1.2. (Định lí Borel) Cho dãy tùy ý số thực m0 , 777,1, . . . ta tìm hầm giải tích ( — 1; 1) thỏa mãn Từ giả thiết |3.6| định lý này, ta thiết lập hệ vô hạn phương trình tuyến tính với ẩn a0, ữ i , . . . ŨQ + ữ\ + Ũ2 + ■ . ■ — Tĩl0 ữị “1“ 2a2 “I- 3a3 = Tĩiị 2a2 + 6a3 + . = m2 i) Ta thấy, cột hệ số hệ (3.7) có dạng là: 1, k, k(k — 1), k(k — 1)(A; — ) , . . . nên điều kiện (B) định lí Polya thỏa mãn. ii) Xét định thức ma trận c d n X n tạo từ n hàng ma trận hệ số hệ (3.7): ki k2 h ( k i - 1) k 22{)k . - n .(k 1) n - n 4-2) k kị .(kị - n + 2) k2 .{k2 - n + kn ^niỳ^n 1) Từ tính chất cộng tổ hợp tuyến tính theo hàng, ta chuyển đổi định thức thành định thức mà cột có dạng 1, k: . . . , A;71-1. Chẳng hạn, Lấy dòng cộng với dòng thay kết cho dòng ta được: k\ kị . k, Lần lượt nhân dòng 2, dòng (mới) với hệ số thích hợp cộng với dòng thay kết cho dòng ta được: kỉ kị kĩ Tiếp tục làm trên, ta có dòng thứ ỉ thay tổ hợp tuyến tính ỉ — dòng (mới) liền kề bên trên. Cuối ta thu định thức Vandermonde có giá trị khác không. Do đó, điều kiện (A) định lí Polya thỏa mãn. Áp dụng định lý Polya suy hệ (3.7) có nghiệm ta tìm hệ số a0, «1, . . . cho chuỗi vế trái hệ (3.7) hội tụ đến vế phải. 00 Do f(x) = anxn, từ phương trình (3.7) suy f(x) n=0 chỉnh hình miền |x| < 1. Theo định lí Abel, ta có lim f(x) = m0. 00 X—>1~ Hơn nữa, f ' ( x ) = ^^7iana;n_1, |x| < 1. Từ phương trình thứ hai hệ (3.7) n=0 định lí Abel suy lim f ' ( x ) = 777,1 X->1~ Bằng cách lập luận trên, ta có (3.6) thỏa mãn. Định lý chứng minh. 3.2. Một số toán khác Bài toán 3.2.1. (Dạng tổng quát công thức nội suy Lagrange) Cho Z o , Z i , . . . 0) điểm phân biệt thỏa mãn lim z n = 00. Cho 71—> 0 w ( z ) hàm nguyên có không điểm đơn z ữ , z 1, . . . N ế u E < 00 Zk'Wl{zk ) k=0 00 Ể— a w(z) 22; -k-z k w ' { z ỵ ) fc=0 hội t ụ tuyệt đối \ z \ < R đến hàm nguyên f ( z ) cho f ( z k ) = a k , k = 0,1, . . . Chứng minh. Do w(z) hàm nguyên có không điểm đơn z0, Z ị , . . . 0) nên )=n 00 w (z ( z ~ => w '( z k) = i=0 n p • k=m p akw(z) akw(z ) w ' ( z k ) ( z - Zfc) SẺ /iiị/ w'(zk)(z - zk) k=m Ẽ < ( Z k ~ z ù' i=ữ k Với m < p ta có ý-7 00 -k=m 2" *WJ 1 É k=m ữk Z k W { z k) ữk z k w(z) 2" (theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Lại có ZkW{z k ) 00 Chh .o.,./.X^ z- z k i) Từ giả thiết k=0 < 00 suy Z k W { z k) ữk Z k W { z k) < E,\/p > m > N Ve > 0, 3iV, ^ p ± k=m a -k=m k ZkW{zỵ ) 2p -Ế k=m ZkWl(zk) < £ , Vp > m > N . p ii)Ẻ ZkWjz) z z ~ K=m и- p -\ ỉ П (z - '■)'i z £ k=m k , < С < +00, V |z| < iỉ. ;;; / Từ ta suy p w ( z k ) ( z - Zfc) E _ a k ww( z' () z k ) ( z p i=0 Iti < ел/ỡ —» 0, Vp > m > iV. k= m hội tụ tuyệt đối \ z \ < R tới hàm f zk) akw(z) 2; - г*и/(г*) nguyên /(г). 00 Hơn f ( z ) = k=0 -----a k w ( z ) гz - z k w ' ( z k) thỏa mãn 00 a k П - 2*) i=0 гфк /M = w { z k) Nhận xét 3.2.1. Đặc biệt hóa kết toán 3.2.1 ta thu định lí cho chuỗi sau: Bài toán 3.2.2. Nếu £ k= к < oo 7Г aỵ sin г £ (—1) (z — k i ĩ ) \ z \ < R tới hàm nguyên f ( z ) thỏa mãn / hội tụ tuyệt đối (for) = ak. Chứng minh. Đặc biệt hóa kết Bài toán 3.2.1 với w(z) = sin z, ta có, sin z = z = k7ĩ, к = 0,1, . . . k=1 n ê n w(z) = s i n z = (z — ктг). k=0 Vì ta có w ' ( z ) = CO S z w'{Zjfc) =w'{kiĩ)= cos(Ả: 7r) = (— l ) f e , к = 0,1, Bài toán 3.2.3. Cho M(r) hàm dương tùy ý < r < 00. Ta tìm hàm nguyên f ( z ) cho max |/(eiö)| > M ( r ) , О[...]... (Y, d 2) Ánh xạ A : X —>• Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số a € [0,1) sao cho Vxi, x 2 € X ta đều có d 2 {A{ X 1 ) Ì A{ X 2 )) < adi {x u x 2 ), a gọi là hệ số co của ánh xạ CO A Định lí 1.1.3 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ảnh xạ co Ả ấnh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất Chứng minh Lấy một điểm bất kỳ x 0 € X và lập dãy x n — A (xn_i), 77, =... X là không gian vectơ trên M Chuẩn trong X, ký hiệu ll-ll, là một ánh xạ từ X vào tập số thực M thỏa mãn các tiên đề sau i) (Vx € X ) ỊỊz|| > 0, \ \ x \ \ = 0 ^ X = ớ; ii) (Vx £ X) (Vcc G M) IIQÍÍCII = |a| ||a:|| ; iii) (Vz, y £ X) ||x + y\\ < ll^ll + \\y\\ Số \\x\\ gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto X Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian đó được gọi là không gian... tất cả những dãy số thực (phức) 00 00 X = 2 (x ) sao cho chuỗi |xn| hội tụ với chuẩn ||a;|| = |xn|2 là n n =1 n =1 không gian Banach Thật vậy, lấy (a n) là một dãy Cauchy trong l 2 Giả sử (an) = (a n 1, a n 2, ) Với £ > 0 tùy ý, tồn tại £ \ j=i một số N ữ thỏa mãn 00 ^2 \oi m ,k N 0 k =1 Điều này kéo theo rằng với mỗi k £ N cố định và với mỗi £ > 0 tồn tại một số N ữ thỏa mãn... tuyến tính đó hội tụ tới X, do xl.x n (n = 1 , 2 , ) nên x^x suy ra X = 9 Vì vậy, hệ trực chuẩn {en}n>1 là cơ sở trực chuẩn của không gian X Định lý được chứng minh 1.2 Phân loại hàm Cho s là một tập hợp điểm trên Mn hoặc trên mặt phẳng phức và p là một điểm trên tập s Dù sau này một số định lý có ý nghĩa cho các hàm mang giá trị phức của một biến thực nhưng chúng ta sẽ giải quyết trong trường hợp tổng... lại, giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (x n) là dãy Cauchy tùy ý trong X Ta có Ve > 0, tồn tại n ữ G N* sao cho \/n,m > n 0 : \\x n — x m \\ < e 1 Nhờ đó, với số e là phần tử của dãy số (—T-) ta tìm đươc số r i ỵ sao cho k 2 < k 1 các phần tử của không gian Hilbert X gọi là hệ trực chuẩn nếu (e*, e j ) = ốjj, trong đó (i,j = 1,2 ) Định lí 1.1.10 (Định lí về trực giao hóa Hilbert - Schmidt) Cho {x n } là một hệ vecto độc lập tuyến tính (gồm hữu hạn hay đếm đươc cấc phần tử) của không 1 gian tiền Hilbert X Dẫt: ẽị = , _ x 2 -{x... chuỗi số là Khi đó Vm £ N* và VA: > m ta có (z - X , e m ) = (z, e m ) - (X, e m ) = lim ( У2 en) en, Cm ) - (x, em) = (x,e m) - (x,e m ) = 0 nghĩa 1 ầ z — X trực giao với cơ sở trực chuẩn {en} >r Do đó z = X 00 Vì vậy X = ^2 ( X 1 en) enn= 1 b) => с): Áp dụng tính chất liên tục của tích vô hướng, ta được = к к ,lim e") ej) fc->00 -'1-1 j= 1 к Vì vậy, X = (x,e n )e n Từ đó suy ra mỗi X e X đều có... tích vô hướng, ta được = к к ,lim e") ej) fc->00 -'1-1 j= 1 к Vì vậy, X = (x,e n )e n Từ đó suy ra mỗi X e X đều có X — 71=1 к lim { x i e n) e n , nghĩa là X là giới hạn của dãy các tổ hợp tuyến tính k ĩ o c ^ n = 1 của của một số hữu hạn bất kì các phần tử thuộc hệ {en}n>1 Vì vậy, bao tuyến tính của hệ {en}n>1 trù mật trong không gian X e) =>• a): Giả sử X e X và x_Len(n = 1 , 2 , ) Khi đó dễ . công trình nghiên cứu đề cập tới vấn đề này. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán nội suy vô hạn và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài Một số vấn đề về Nội suy vô hạn làm luận văn Thạc. đích nghiên cứu Nghiên cứu về Nội suy vô hạn và nêu một số ví dụ ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết Nội suy vô hạn và một số ứng dụng của chúng. 4 và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các vấn đề liên quan đến vấn đề nội suy hữu hạn và nội suy vô hạn. Phạm vi nghiên cứu: Nội suy vô hạn các điều kiện cụ thể. 5. Phương pháp nghiên