Một số vấn đề về nội suy vô hạn

Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn Một số vấn đề về nội suy vô hạn

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI PHAN LC DNG MT S VN V NI SUY Vễ HN Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. Nguyn Vn Khi H NI, 2014 Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo TS. Nguyn Vn Khi. S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi. Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy. Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp. Tỏc gi xin chõn thnh cm n S GD-T H Ni, Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo, ng nghip trng Trung hc ph thụng Ba Vỡ cựng gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s cng nh hon thnh lun ny. H Ni, ngy 08 thỏng 11 nm 2014 Tỏc gi Phan Lc Dng Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS. Nguyn Vn Khi. Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n. Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc. H Ni, ngy 08 thỏng 11 nm 2014 Tỏc gi Phan Lc Dng Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. MT S KIN THC CHUN B . . . . . . . . . . 1.1. Khụng gian Banach v khụng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Khụng gian vect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Khụng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Khụng gian nh chun v khụng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4. Khụng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2. Phõn loi hm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3. Bi toỏn ni suy c in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chng 2. BI TON NI SUY Vễ HN . . . . . . . . . . . . 42 2.1. M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Cỏch tip cn th nht: nh lớ Guichard . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3. Cỏch tip cn th hai: nh lớ Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Chng 3. MT S NG DNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1. ng dng ca nh lớ Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2. Mt s bi toỏn khỏc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 M u 1. Lý chn ti Ni suy l phng phỏp tớnh giỏ tr ca cỏc im d liu cha bit vi gi thit mt hp im d liu ó bit l ri rc v ú cng l mt cụng c toỏn hc c bn c ng dng rng rói nhiu ngnh khoa hc nh: Cụng ngh thụng tin, kinh t, ti chớnh, du khớ, xõy dng, y hc, truyn hỡnh, in nh v nhng ngnh cn x lý d liu s khỏc. Nhng liờn quan n ni suy vi mt s hu hn cỏc iu kin ó c nghiờn cu v lm sỏng t. Trờn c s ú, tng s lng cỏc iu kin lờn, nhng trng hp nht nh, ta gii quyt c bi toỏn ni suy bng chui vụ hn cỏc a thc. Tuy nhiờn, khụng phi tt c cỏc bi toỏn liờn quan n tớnh vụ hn ca iu kin ni suy u cú th gii quyt c theo cỏch ny. Hn na vic phỏt trin t mt bi toỏn vi hu hn cỏc iu kin n bi toỏn cú vụ hn cỏc iu kin, ta cũn vp phi khú khn phỏt sinh t nhng hn ch ca Gii tớch cng nh i s. Vic tỡm cỏc phng cỏch thay th cho gii phỏp trờn c nhiu Nh toỏn hc nghiờn cu nhng nm gn õy, nhiờn cha cú nhiu cụng trỡnh nghiờn cu cp ti ny. Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v bi toỏn ni suy vụ hn v ng dng ca nú, tụi chn ti Mt s v Ni suy vụ hn lm lun Thc s ca mỡnh. 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v Ni suy vụ hn v nờu mt s vớ d ng dng ca nú. 3. Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu cỏc liờn quan n lý thuyt Ni suy vụ hn v mt s ng dng ca chỳng. 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Cỏc liờn quan n ni suy hu hn v ni suy vụ hn. Phm vi nghiờn cu: Ni suy vụ hn cỏc iu kin c th. 5. Phng phỏp nghiờn cu c, tỡm hiu t liu sỏch, bỏo, lun vn, lun ỏn. Cỏc phng phỏp ca i s v Gii tớch (Lý thuyt chui, Hm phc, Gii tớch hm) Tng hp kin thc, dng cho mc ớch nghiờn cu ca ti. 6. úng gúp mi ca ti Trỡnh by mt cỏch cú h thng v Ni suy vụ hn. ng dng ca Ni suy vụ hn gii mt s cỏc bi toỏn liờn quan. Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1. Khụng gian Banach v khụng gian Hilbert Ta kớ hiu C l cỏc s phc, R l cỏc s thc, Q l cỏc s hu t, Z l cỏc s nguyờn v Q l cỏc s t nhiờn. 1.1.1. Khụng gian vect nh ngha 1.1.1. Tp X cựng vi phộp cng (+) v nhõn vụ hng (.) c gi l mt khụng gian vect trờn trng s thc R (gi tt l khụng gian vect hay cũn gi l khụng gian tuyn tớnh) nu cỏc iu kin sau c tha món: Vi mi x, y, z X, vi mi , R, ta cú 1) x + y = y + x; 2) (x + y) + z = x + (y + z); 3) Tn ti phn t trung hũa X cho x + = x; 4) Vi mi x X, tn ti phn t i ca x l (x) X cho x + (x) = ; 5) ( + )x = x + x; 6) (x + y) = x + y; 7) (x) = ()x; 8) 1x = x, vi l phn t n v. Mi phn t x X c gi l mt vect, cỏc iu kin trờn c gi l cỏc tiờn v khụng gian vect. nh ngha 1.1.2. Cho X l mt khụng gian vect. Biu thc dng i R, xi X x1 + . . . + n xn ; c gi l mt t hp tuyn tớnh ca h vect {x1 , . . . , xn }. nh ngha 1.1.3. Cho h n vect {x1 , . . . , xn } khụng gian vect X. Xột ng thc vect x1 + . . . + n xn = . Nu ng thc trờn xy v ch = . . . = n = thỡ ta núi h n vect ú c lp tuyn tớnh. nh ngha 1.1.4. H vụ hn cỏc phn t {xi }iI thuc khụng gian vect X c gi l c lp tuyn tớnh nu mi h hu hn ca nú l c lp tuyn tớnh. nh ngha 1.1.5. Cho n l mt s nguyờn dng v X l mt khụng gian vect. Nu tn ti mt h n vect x1 , . . . , xn X c lp tuyn tớnh v mi h n + vect X u ph thuc tuyn tớnh thỡ ta núi khụng gian X cú s chiu l n v kớ hiu dimX = n. Nu khụng tn ti n nh vy ta núi khụng gian X l vụ hn chiu. nh ngha 1.1.6. Cho X l mt khụng gian vect. Tp hp cỏc phn t x1 , . . . , xn X c gi l mt c s ca X nu vi mi x X, x luụn biu din c di dng mt t hp tuyn tớnh ca x1 , . . . , xn v biu din ny l nht. nh lớ 1.1.1. Khụng gian vect X cú s chiu n v ch c s ca X gm n phn t. Nu X cú s chiu l n thỡ mi h vect c lp tuyn tớnh gm n phn t u l c s ca nú. Vớ d 1.1.1. (Khụng gian vect Euclide n-chiu Kn ) Gi s K l kớ hiu ca trng cỏc s thc hoc phc. Vi mi s nguyờn khụng õm n, hp cỏc b n s dng x = (x1 , . . . , xn ) , xi K (i = 0, 1, . . .) to thnh mt khụng gian vect n chiu trờn R, kớ hiu l Kn . Cỏc phộp toỏn ca khụng gian vect Kn c nh ngha bi: x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ); x = (x1 , . . . , xn ). Vớ d 1.1.2. (Khụng gian cỏc hm kh tớch bc p trờn [a; b]) Cho p > 0, cỏc hm f (x) o c cho |f (x)|p kh tớch trờn [a; b] to thnh mt khụng gian vect c kớ hiu l Lp [a; b] . (Nu p = thỡ ta kớ hiu l L[a; b]). 1.1.2. Khụng gian metric nh ngha 1.1.7. Cho hp tựy ý X = ứ. Mt metric X l ỏnh x d:X ìX R tha cỏc iu kin sau: i) d (x, y) x, y X; d (x, y) = x = y; ii) d (x, y) = d (y, x) x, y X; iii) d (x, y) d (x, z) + d (z, y) x, y, z X. v tớnh nht ca nghim nhng vi nhng iu kin ó c trỡnh by trờn thỡ chc chn rng h phng trỡnh phi cú nghim. 57 Chng MT S NG DNG 3.1. ng dng ca nh lớ Polya nh lớ (2.3.1) c dựng chng minh mt nh lớ tng t nh lớ (2.2.1) . nh lớ 3.1.1. Cho z1 , z2 , . . . tha < |z1 | < |z2 | < . . ., lim |zn | = n . Ti mi im z1 gn vi mt s nguyờn mj v mj + giỏ tr m tựy ý wj0 , wj1 , . . . , wj j . Khi ú ta cú th tỡm c hm f (z) chnh hỡnh trờn |z| < v tha cỏc iu kin ni suy mj f (zj ) = wj0 , f (zj ) = wj1 , . . . , f (mj ) (zj ) = wj j = 1, 2, . . . (3.1) ak z k . Khi ú ta cn xỏc nh cỏc ak . Chng minh. Gi s f (z) = k=0 Vi s ta cú f (s) ak k(k 1) . . . (k s + 1)z ks (z) = k=s 58 (3.2) T iu kin (3.1) ca nh lý ta suy h vụ hn a0 + z1 a1 + z12 a2 + z13 a3 + ã ã ã = w10 a1 + 2z1 a2 + 3z12 a3 + ã ã ã = w11 2a2 + 6z1 a3 + ã ã ã = w12 ã ã ã (mj )!amj + ã ã ã = m w1 j (3.3) a0 + z2 a1 + z22 a2 + z23 a3 + ã ã ã = w20 a1 + 2z2 a2 + 3z22 a3 + ã ã ã = w21 ã ã ã ã ã ã Ta s kim tra rng h (3.3) tha hai iu kin (A) v (B) ca nh lý Polya. Tht vy, i) Trc ht, iu kin (B) c tha vỡ: + Nu hng th j ca h cú liờn quan n mt giỏ tr ca f ti mt aj1,k im thỡ iu kin |zp1 | < |zp | m bo rng gii hn lim =0 k aj,k j = 2, 3, . . . + Nu hng th j cú liờn quan n o hm cp s ti zp , s , t (3.2) ta cú: aj1,k+1 zp k(k 1) ã ã ã (k s + 2) zp = = aj,k+1 k(k 1) ã ã ã (k s + 1) ks+1 59 aj1,k =0 j = 2, 3, . . . k aj,k ii) Bõy gi, ch iu kin (A) c tha ta s chng minh Nh vy, ta cú: lim rng nh thc ca ma trn h s c to thnh t n hng u tiờn v n ct lin k bt kỡ l khỏc khụng. Nhng nh thc ny cú th xem nh l cỏc nh thc Vandermonde tng quỏt. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta xột trng hp c th vi n = 4, m1 = 2. nh thc ca ma trn h s c ì hỡnh thnh t hng u tiờn v ct lin k bt kỡ lin l: D= z1k z1k+1 z1k+2 z1k+3 kz1k1 (k + 1)z1k (k + 2)z1k+1 (k + 3)z1k+2 k(k 1)z1k2 (k + 1)kz1k1 (k + 2)(k + 1)z1k (k + 3)(k + 2)z1k+1 z2k z2k+1 z2k+2 z2k+3 (3.4) T nh thc (3.4) ta thnh lp h cỏc phng trỡnh tuyn tớnh thun nht vi n v1 , . . . , v4 : z1k v1 + z1k+1 v2 + z1k+2 v3 + z1k+3 v4 = kz1k1 v1 + (k + 1)z1k v2 + (k + 2)z1k+1 v3 + (k + 3)z1k+2 v4 = k(k 1)z1k2 v1 + (k + 1)kz1k1 v2 +(k + 2)(k + 1)z1k v3 + (k + 3)(k + 2)z1k+1 v4 = z2k v1 + z2k+1 v2 + z2k+2 v3 + z2k+3 v4 = (3.5) Nu D = 0, ta cú th tỡm c v1 , . . . , v4 khụng ng thi bng tha (3.5). Vi nhng giỏ tr ú, ta cú a thc P (z) = v1 z k + v 2z k+1 + v3 z k+2 + v4 z k+3 60 vi degP (z) k + v P (z) khụng ng nht bng 0. a thc ny cú khụng im cp k l z = v theo (3.5), P (z) cú khụng im cp l z1 v cú khụng im cp l z2 . Nh vy tng s bi ca cỏc nghim ca P (z) khụng nh hn k + 4. iu ny l vụ lớ, ú D = 0. Bõy gi, ỏp dng nh lớ Polya ta tỡm c cỏc giỏ tr a0 , a1 , . . . cho (3.3) tha v mi chui v trỏi ca h hi t tuyt i. T ú, k ak z k hi t |z| < v vic gii h ak |zj | < , f (z) = k=0 k=0 (3.3) l hon ton thc hin c. Nhn xột 3.1.1. Vi cõu hi t l: Cú th xõy dng mt hm gii tớch cú o hm ti mt im c cho trc hay khụng? Vớ d 2.1.1 mc 2.1 ó ch rng iu ny khụng phi lỳc no cng xy nu im ú gii tớch. Nhng nu cho im ú tin dn n biờn ca gii tớch thỡ hon ton cú th tỡm c. nh lớ 3.1.2. (nh lớ Borel) Cho mt dóy tựy ý cỏc s thc m0 , m1 , . . . ta cú th tỡm c mt hm gii tớch (1; 1) v tha lim f (n) (x) = mn , x1 Chng minh. (3.6) n Gi s f (x) = n = 0, 1, . . . nan xn1 , . . . an x , f (x) = n=0 n=0 T gi thit 3.6 ca nh lý ny, ta thit lp h vụ hn cỏc phng trỡnh tuyn tớnh vi n a0 , a1 , . . . 61 a0 + a1 + a2 + . . . = m0 a1 + 2a2 + 3a3 + . . . = m1 2a2 + 6a3 + . . . = m2 (3.7) ã ã ã i) Ta thy, mt ct bt kỡ ca cỏc h s h (3.7) cú dng l: 1, k, k(k 1), k(k 1)(k 2), . . . nờn iu kin (B) nh lớ Polya l tha món. ii) Xột nh thc ca ma trn c n ì n bt kỡ to t n hng u tiờn ca ma trn h s ca h (3.7): . k1 k2 . kn k1 (k1 1) k2 (k2 1) . kn (kn 1) . . . . k1 .(k1 n + 2) k2 .(k2 n + 2) . . . kn .(kn n + 2) T tớnh cht cng ca cỏc t hp tuyn tớnh theo hng, ta cú th chuyn i nh thc thnh mt nh thc m mi ct cú dng l 1, k, . . . , k n1 . Chng hn, Ly dũng cng vi dũng ri thay th kt qu cho dũng ta c: k12 k22 . . . kn2 62 Ln lt nhõn dũng 2, dũng (mi) vi h s thớch hp ri cng vi dũng ri thay th kt qu cho dũng ta c: k13 k23 . . . kn3 Tip tc lm nh trờn, ta cú dũng th i c thay th bi t hp tuyn tớnh ca i dũng (mi) lin k bờn trờn. Cui cựng ta thu c mt nh thc Vandermonde cú giỏ tr khỏc khụng. Do ú, iu kin (A) ca nh lớ Polya c tha món. p dng nh lý Polya suy h (3.7) cú nghim v nh vy ta tỡm c cỏc h s a0 , a1 , . . . cho cỏc chui v trỏi ca h (3.7) hi t n v phi. an xn , t phng trỡnh u tiờn ca (3.7) suy f (x) Do f (x) = n=0 chnh hỡnh |x| < 1. Theo nh lớ Abel, ta cú lim f (x) = m0 . x1 nan xn1 , |x| < 1. T phng trỡnh th hai ca h Hn na, f (x) = n=0 (3.7) v nh lớ Abel suy lim f (x) = m1 . x1 Bng cỏch lp lun nh trờn, ta cú (3.6) c tha món. nh lý c chng minh. 3.2. Mt s bi toỏn khỏc Bi toỏn 3.2.1. (Dng tng quỏt ca cụng thc ni suy Lagrange) Cho z0 , z1 , . . . (= 0) l cỏc im phõn bit tha lim zn = . Cho n w(z) l mt hm nguyờn cú cỏc khụng im n z0 , z1 , . . . Nu 63 ak < zk w (zk ) k=0 thỡ k=0 ak w(z) z zk w (zk ) hi t tuyt i v u |z| R n mt hm nguyờn f (z) cho f (zk ) = ak , k = 0, 1, . . . Chng minh. Do w(z) l hm nguyờn cú cỏc khụng im n z0 , z1 , . . . (= 0) nờn (zk zi ). (z zi ) w (zk ) = w(z) = i=0 i=0 i=k Vi m < p ta cú p k=m ak w(z) w (zk )(z zk ) p k=m p k=m ak w(z) = w (zk )(z zk ) ak zk w (zk ) p k=m p k=m zk w(z) z zk ak zk w(z) zk w (zk ) z zk (theo bt ng thc Cauchy-Schwarz). Li cú i) T gi thit k=0 ak < suy zk w (zk ) p > 0, N, zk : p k=m k=m 2 ak zk w (zk ) ak < , p > m > N zk w (zk ) p k=m 64 ak < , p > m > N. zk w (zk ) p ii) k=m zk w(z) z zk p = Vy k=0 (z zi )2 C < +, |z| R. zk i=0 i=k k=m T ú ta suy p ak w(z) w (zk )(z zk ) k=m p k=m ak w(z) < C 0, p > m > N. w (zk )(z zk ) ak w(z) hi t tuyt i v u trờn |z| R ti mt hm z zk w (zk ) nguyờn f (z). Hn na f (z) = k=0 ak w(z) tha z zk w (zk ) (zk zi ) ak f (zk ) = i=0 i=k = ak , k = 0, 1, . . . w (zk ) Nhn xột 3.2.1. c bit húa kt qu bi toỏn 3.2.1 ta thu c mt nh lớ cho chui c bn nh sau: Bi toỏn 3.2.2. Nu k=1 thỡ k=1 ak < k ak sin z (1)k (z k) hi t tuyt i v u trờn |z| R ti mt hm nguyờn f (z) tha f (k) = ak . Chng minh. c bit húa kt qu Bi toỏn 3.2.1 vi w(z) = sin z, ta cú, sin z = z = k, k = 0, 1, . . . 65 (z k). nờn w(z) = sin z = k=0 Vỡ vy ta cú w (z) = cos z v w (zk ) =w (k)= cos(k) = (1)k , k = 0, 1, . . . Bi toỏn 3.2.3. Cho M (r) l mt hm dng tựy ý r < . Ta cú th tỡm c mt hm nguyờn f (z) cho max f (ei ) M (r), 02 r < . Núi cỏch khỏc ta cú th tỡm c mt hm nguyờn cú s tng u nhanh tựy ý. Gi ý : Vit f (z) = a0 + k=1 z ak ( )k vi cỏch chn ak v k ln. k Bi toỏn 3.2.4. Cho m0 , m1 , . . . l mt dóy tựy ý cỏc s thc. Chng minh rng tn ti mt hm f ca lp C [1; 1] cho f (n) (0) = mn n = 0, 1, . . . Li gii. Ta xột hm ak xk C [1; 1] , x [1; 1]. f (x) = k=0 66 Khi ú kak xk1 ; f (x) = k=1 k(k 1)ak xk2 ; f (x) = k=2 ã ã ã f (n) k(k 1) . . . (k n + 1)ak xkn ; (x) = k=n ã ã ã T gi thit f (n) (0) = mn , n = 0, 1, . . . ta cú f (0) = a0 = m0 f (0) = a1 = m1 f (0) = 2a2 = m2 ã ã ã f (n) (0) = n!an = mn ã ã ã mk Suy ak = , k = 0, 1, . . . k! mn n Vy f (x) = x . n! n=0 67 Bi toỏn 3.2.5. Cho x1 , x2 , . . ., l cỏc s thc phõn bit tha lim xn = . Nu m0 , m1 , . . . l cỏc s thc tựy ý thỡ ta cú th tỡm c n u0 , u1 , . . . cho ui xi n = mn , n = 0, 1, . . . (3.8) i=1 v mi chui ny u hi t tuyt i. Li gii. T gi thit (3.8) ta cú h phng trỡnh u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . = m0 x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 + . . . + xn un + . . . = m1 x21 u1 + x22 u2 + x23 u3 + . . . + x2n un + . . . = m2 ã ã (3.9) ã xn1 u1 + xn2 u2 + xn3 u3 . . . + xnn un + . . . = mn ã ã ã i) (A): T ma trn h s ca h phng trỡnh, vi k 0, n ta cú th rỳt n ct m nh thc ca ma trn c n ì n l ããã xk+1 xk+2 xk+3 ã ã ã xk+n x2k+1 x2k+2 x2k+3 ã ã ã x2k+n ããã ããã ããã ããã n1 n1 n1 xn1 k+1 xk+2 xk+3 ã ã ã xk+n 68 õy l nh thc Vandermonde cú xi = xj nờn cú giỏ tr khỏc 0. ii) (B): T gi thit lim xn = , ta cú n ai1,n = = 0, i = 2, 3, . . . n ai,n xn lim Nh vy h (3.9) tha hai iu kin ca nh lớ Polya. Do ú, theo nh lớ Polya, h cú nghim (u1 , u2 , . . .) v mi chui u hi t tuyt i. Bi toỏn 3.2.6. Chng minh rng khụng tn ti hm nguyờn no tha f (1) = 1, f (1) = 0, f (2n+1) (0) = n = 0, 1, . . . an z n tha gi thit. Li gii. Gi s tn ti hm nguyờn f (z) = n=0 Khi ú f (2n+1) (z) = (2n + 1)!a2n+1 + (2n + 2)!a2n+2 z + (2n + 3)!3a2n+3 z + ã ã ã T gi thit ta cú f (1) = a0 + a1 + a2 + . . . + an + . . . = (3.10) f (1) = a0 a1 + a2 . . . + (1)n an + . . . = (3.11) f (2n+1) (0) = (2n + 1)!a2n+1 = 0, n = 0, 1, . . . (3.12) T (3.12) suy a2n+1 = 0, n = 0, 1, . . . thay vo (3.10) v (3.11) ta c f (1) = a0 + a2 + . . . + a2n + . . . = f (1) = a0 + a2 + . . . + a2n + . . . = (mõu thun vi tớnh nht ca gii hn). Vy khụng tn ti hm nguyờn tha bi toỏn. 69 Kt lun Vi vic gii quyt bi toỏn ni suy vụ hn, lun ó trỡnh by cú h thng cỏc liờn quan n bi toỏn ni suy vụ hn. Lun ó a v gii quyt mt s bi toỏn ni suy vụ hn c th v cỏc bi toỏn liờn quan. Tuy nhiờn, lun cũn cú mt s hn ch nh: H thng vớ d a cha a dng, cỏc hm s dng cũn n gin . . . Cui cựng, mt ln na em xin chõn thnh cm n cỏc thy, cụ ging dy chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, cỏc thy cụ phũng Sau i hc trng i hc S phm H Ni 2. Em xin chõn thnh cm n thy TS. Nguyn Vn Khi ó tn tỡnh hng dn em hon thnh bn lun ny. Em xin by t s cm n úng gúp ca cỏc thy cụ ó giỳp lun c hon chnh hn. 70 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Phm K Anh (2005), Gii tớch s, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni. [2] Trn Anh Bo, Nguyn Vn Khi, Phm Vn Kiu, Ngụ Xuõn Sn (2007), Gii tớch s, Nh xut bn i hc S phm, H Ni. [3] Nguyn Minh Chng, Nguyn Vn Khi, Khut Vn Ninh, Nguyn Vn Tun, Nguyn Tng (2009), Gii tớch s, Nh xut bn Giỏo dc H Ni. [4] Phan Vn Hp, Lờ ỡnh Thnh (2001), Phng phỏp tớnh v cỏc thut toỏn, Nh xut bn Giỏo dc H Ni. [5] Doón Tam Hũe (2005), Toỏn hc tớnh toỏn, Nh xut bn giỏo dc, H Ni. [6] Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, Nh xut bn Khoa hc v k thut, H Ni. [7] Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi (2012), Gii tớch toỏn hc, I, Nh xut bn i hc S phm, H Ni. [8] Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi (2010), Gii tớch toỏn hc, II, Nh xut bn i hc S phm, H Ni. 71 [9] Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi (2013), Giỏo trỡnh Gii tớch hm, Nh xut bn i hc S phm, H Ni. [10] Lờ ỡnh Thnh (1995), Phng phỏp tớnh, Nh xut bn Khoa hc v k thut. [11] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni. [12] Dng Quc Vit, m Vn Nh (2012), C s Lớ thuyt s v a thc, Nh xut bn i hc S phm, H Ni. [B] Ti liu ting Anh [13] Colin Bennett, Robert C. Sharpley (1988), Interpolation of Operators, Elsevier Science. [14] Phillip.J. Davis (1963), Interpolation and Approximation, Dover Publications. [15] Lectures Spring School on Analysis (2001), Function Spaces and Interpolation, Matfyzpress of the faculty of Mathematics and Physics, Charles University, Prague. [16] Lectures Spring School on Analysis (2009), Function Spaces, Inequalities and Interpolation, Matfyzpress of the faculty of Mathematics and Physics, Charles University, Prague. 72 [...]... được chứng (x − x0 )n+1 minh Định nghĩa 1.2.9 (Hàm khả vi vô hạn) Nếu f (x) ∈ C n [a; b] với n = 0, 1, thì ta nói f là hàm khả vi vô hạn trên [a; b] Ta kí hiệu tập hợp các hàm khả vi vô hạn trên [a; b] là C ∞ [a; b] C ∞ [a; b] là một không gian tuyến tính Ví dụ 1.2.12 Hàm f (x) = x2 khả vi vô hạn trên R Ví dụ 1.2.13 Hàm f (x) = 1 khả vi vô hạn trên R 1 + x2 Nhận xét 1.2.1 Nếu f ∈ C ∞ [a; b] và x0... = max |x(t)| , ∀x(t) ∈ C[a,b] a≤t≤b Định nghĩa 1.2.4 (Hàm liên tục đều) Một hàm f được gọi là liên tục đều trên tập S nếu với một số thực dương > 0 tùy ý, ta có thể tìm được một giá trị δ sao cho với mọi x1 , x2 ∈ [a, b] thỏa x1 − x2 ≤ δ thì f (x1 ) − f (x2 ) ≤ Định lí 1.2.1 Một hàm số nếu liên tục trên một tập compact thì liên tục đều trên tập đó Ví dụ 1.2.3 Hàm f (x) = |x| liên tục trên R Ví dụ 1.2.4... Ta nói rằng hàm số khả vi tại một điểm xo ∈ I nếu giới hạn sau tồn tại f (x) − f (x0 ) = f (x0 ) x→x0 x − x0 lim (1.11) Nếu x0 là một điểm mút của I thì giới hạn trên được thay thế bởi giới hạn một phía Hàm f (x) gọi là khả vi trên I nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc I 25 Ví dụ 1.2.10 Hàm f (x) = |x| khả vi trên các khoảng (−∞; 0), (0; +∞) nhưng không khả vi tại x = 0 Tại x = 0 hàm số có đạo hàm bên... và (Y, d2 ) Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) sao cho ∀x1 , x2 ∈ X ta đều có d2 (A(x1 ), A(x2 )) ≤ αd1 (x1 , x2 ) , α gọi là hệ số co của ánh xạ co A Định lí 1.1.3 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất Chứng minh Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = A (xn−1 ) , n = 1,...Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu là (X, d) Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế trên M là một không gian metric con của không gian metric X Ví dụ 1.1.3 Với hai vectơ bất kỳ x = (x1 , , xk ), y = (y1 , , yk ) thuộc không gian vectơ thực k-chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó)... bao gồm tất cả những dãy số thực (phức) ∞ ∞ 2 |xn |2 là |xn | hội tụ với chuẩn x = x = (xn ) sao cho chuỗi n=1 n=1 không gian Banach Thật vậy, lấy (an ) là một dãy Cauchy trong l2 Giả sử (an ) = (αn,1 , αn,2 , ) Với ε > 0 tùy ý, tồn tại một số N0 thỏa mãn ∞ |αm,k − αn,k |2 < ε2 , ∀m, n ≥ N0 (1.6) k=1 Điều này kéo theo rằng với mỗi k ∈ N cố định và với mỗi ε > 0 tồn tại một số N0 thỏa mãn |αm,k −... x, en en n=1 k k = x k k x, en en , x − n=1 x, en en = | x, en |, ∀n ≥ 1 | x, en |2 = 0 | x, en | + n=1 n=1 21 − k x, en en Từ đó suy ra mỗi x ∈ X đều có x = Vì vậy, x = n=1 k lim k→∞ x, en en , nghĩa là x là giới hạn của dãy các tổ hợp tuyến tính n=1 của của một số hữu hạn bất kì các phần tử thuộc hệ {en }n≥1 Vì vậy, bao tuyến tính của hệ {en }n≥1 trù mật trong không gian X e) ⇒ a): Giả sử x ∈ X... bao tuyến tính đó hội tụ tới x, do x⊥xn (n = 1, 2, ) nên x⊥x suy ra x = θ Vì vậy, hệ trực chuẩn {en }n≥1 là cơ sở trực chuẩn của không gian X Định lý được chứng minh 1.2 Phân loại hàm Cho S là một tập hợp điểm trên Rn hoặc trên mặt phẳng phức và P là một điểm trên tập S Dù sau này một số định lý có ý nghĩa cho các hàm mang giá trị phức của một biến thực nhưng chúng ta sẽ giải quyết trong trường hợp... gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X 9 Định lí 1.1.2 Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là không gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ (X, d), {xn } là một dãy cơ bản trong F tức là lim d (xm , xn ) = 0 m,n→∞ Suy ra {xn } là một dãy cơ bản trong X Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn }... tiên đề i), ii) về metric Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: Với 2k số thực aj , bj (j = 1, ,k) ta có k k k a2 j aj b j ≤ j=1 j=1 b2 j (1.2) j=1 Thật vậy k k (ai bj − aj bi )2 0≤ i=1 k j=1 k a2 b 2 i j = k − 2 k k a2 j j=1 k a2 b 2 j i ai bi aj bj + i=1 j=1 i=1 j=1 =2 k k i=1 j=1 2 k b2 j −2 j=1 aj b j j=1 Từ đó suy . công trình nghiên cứu đề cập tới vấn đề này. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán nội suy vô hạn và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài Một số vấn đề về Nội suy vô hạn 2 làm luận văn Thạc. đích nghiên cứu Nghiên cứu về Nội suy vô hạn và nêu một số ví dụ ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết Nội suy vô hạn và một số ứng dụng của chúng. 4 và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các vấn đề liên quan đến vấn đề nội suy hữu hạn và nội suy vô hạn. Phạm vi nghiên cứu: Nội suy vô hạn các điều kiện cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc,