một số vấn đề chuyên sâu trong đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUYÊN SÂU TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Th.S Trang Văn Dễ Cao Thị Bích Liểu MSSV: 1090093 Lớp: SP Toán-Tin K35 Cần Thơ, tháng năm 2013 Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập trƣờng Đại học vừa qua, em đƣợc quý thầy cô cung cấp, truyền đạt tất kiến thức chuyên môn cần thiết quý giá Ngoài em đƣợc rèn luyện tinh thần học tập, làm việc độc lập sáng tạo Đây điều cần thiết để thành công bắt tay vào nghề nghiệp tƣơng lai Luận văn tốt nghiệp hội để em áp dụng, tổng kết lại kiến thức mà học Đồng thời, rút đƣợc kinh nghiệm thực tế quý giá suốt trình thực đề tài Sau thời gian tập trung công sức cho đề tài làm việc tích cực, đặc biệt nhờ hƣớng dẫn tận tình thầy Trang Văn Dễ giúp cho em hoàn thành đề tài cách thuận lợi gặt hái đƣợc kết mong muốn Bên cạnh kết mà em đạt đƣợc, chắn không tránh khỏi thiếu sót thực luận văn tốt nghiệp Em mong nhận đƣợc đóng góp quý thầy cô để nội dung luận văn em đƣợc hoàn chỉnh Là sinh viên ngành Sƣ phạm toán tin, em tự hào khoa mà theo học, tự hào tất thầy cô Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn công lao dạy dỗ quý thầy cô Kính chúc quý thầy cô mạnh khoẻ, tiếp tục đạt đƣợc nhiều thắng lợi nghiên cứu khoa học nghiệp trồng ngƣời Trân trọng kính chào! Cần thơ, tháng năm 2013 Sinh viên thực Cao Thị Bích Liểu GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -i- SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VI CẤU TRÚC VỀ NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG ĐỊNH THỨC 1.1 Các phƣơng pháp tính định thức 1.1.1 Đƣa dạng tam giác 1.1.2 Rút nhân tử tuyến tính 1.1.3 Phƣơng pháp truy hồi 1.1.4 Biểu diễn định thức dƣới dạng tổng (tích) định thức khác 1.1.5 Thay đổi phần tử định thức 1.1.6 Đƣa dạng Vander Monde 1.2 Các toán liên quan đến định thức 1.3 Bài tập đề nghị 19 CHƢƠNG HẠNG CỦA MA TRẬN 23 2.1 Các phƣơng pháp tính hạng ma trận 23 2.1.1 Tìm hạng ma trận phƣơng pháp định thức 23 2.1.2 Tìm hạng ma trận phƣơng pháp sử dụng phép biến đổi sơ cấp (phƣơng pháp Gauss) 24 2.2 Các toán liên quan đến hạng ma trận 25 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - ii - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính 2.3 Bài tập đề nghị 34 CHƢƠNG MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 36 3.1 Các phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo 36 3.1.1 Phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo định thức 36 3.1.2 Phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo cách dựa vào phép biến đổi sơ cấp 37 3.1.3 Phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo cách giải hệ phƣơng trình 38 3.1.4 Áp dụng định lý Cayley-Hamilton 39 3.2 Các toán liên quan đến ma trận nghịch đảo 40 3.3 Bài tập đề nghị 45 CHƢƠNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 47 4.1 Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính 47 4.1.1 Phƣơng pháp khử Gauss 47 4.1.2 Hệ Cramer 48 4.2 Các toán liên quan đến hệ phƣơng trình tuyến tính 49 4.3 Bài tập đề nghị 64 CHƢƠNG LŨY THỪA BẬC CAO CỦA MA TRẬN 66 5.1 Các phƣơng pháp tính lũy thừa bậc cao ma trận 66 5.1.1 Phƣơng pháp quy nạp toán học 66 5.1.2 Phƣơng pháp chéo hóa ma trận 66 5.1.3 Phƣơng pháp tách ma trận 68 5.1.4 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 69 5.1.5 Áp dụng định lý Cayley-Hamilton 70 5.2 Các toán liên quan đến lũy thừa bậc cao ma trận 73 5.3 Bài tập đề nghị 89 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - iii - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính PHẦN KẾT LUẬN 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - iv - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đại số tuyến tính môn học quan trọng sinh viên sư phạm Toán sinh viên ngành kĩ thuật khác, có ứng dụng to lớn vào đời sống xã hội Chính lẽ mà môn Đại số tuyến tính trở thành môn thi quan trọng kì thi Olympic Toán hàng năm nước ta số nước giới Những khó khăn thường gặp đề thi là: tính định thức cấp n, giải hệ phương trình tuyến tính, tính lũy thừa bậc cao ma trận Để giải vấn đề người cần phải chuẩn bị cho kiến thức cần thiết Chính em chọn đề tài: “Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính” làm đề tài luận văn II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu nhằm thống kê lại số phương pháp tính định thức, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, tính lũy thừa bậc cao ma trận thao tác tư Từ rút cách phân tích phương pháp giải dạng tập III ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Em chọn đề tài “Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính” để nghiên cứu Trong đó, phạm vi nghiên cứu kiến thức có liên quan đến Đại số tuyến tính IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Tìm hiểu “Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính” số tập có liên quan từ sách vở, thư viện, trung tâm học liệu, mạng internet, thầy cô… V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp sử dụng trình nghiên cứu tổng hợp kiến thức từ tài liệu khác nhau, phân tích, so sánh, sau trình bày theo hệ thống logic VI CẤU TRÚC VỀ NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm chương: GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -1- SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Chương Định thức Chương Hạng ma trận Chương Ma trận nghịch đảo Chương Hệ phương trình tuyến tính Chương Lũy thừa bậc cao ma trận GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -2- SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG ĐỊNH THỨC 1.1 Các phƣơng pháp tính định thức 1.1.1 Đưa dạng tam giác Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng cột để đưa định thức dạng có phần tử nằm phía (hoặc trên) đường chéo không a1 a1  b1 Ví dụ Tính định thức D  a1 a2 a2 a2  b2 an an an a2 an  bn a1 Giải Nhân dòng đầu D cho (-1) cộng vào dòng lại, ta có: a1 b1 D 0 a2 b2 an 0  b1b2 bn 0 bn 1.1.2 Rút nhân tử tuyến tính Định thức coi đa thức hay số chữ số nằm định thức Vì thế, ta biến đổi định thức cho định thức chia hết cho nhân tử tuyến tính Khi đó, tích chúng nhân tử định thức Bằng cách so sánh số hạng riêng biệt tích nhân tử tuyến tính với số hạng định thức ta tính định thức x a1 Ví dụ Tính định thức D  a1 a1 x a2 a2 a2 x an an an a1 a2 a3 x Giải Cộng vào cột với cột lại đặt nhân tử chung x  a1  a2   an , ta được: GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -3- SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính a1 x n D  ( x   ) a2 a2 a2 x a2 a3 an an n an  ( x   ).P( x) i 1 i 1 x n Ta thấy P    , với i  1, 2, , n Vì D  ( x   )( x  a1 ) (x  an ).c i 1 n Mà hệ số x n 1 D nên ta c  Vậy D  ( x   )( x  a1 ) (x  an ) i 1 1.1.3 Phương pháp truy hồi Dùng phép biến đổi sơ cấp định thức định lý Laplace để biểu diễn định thức qua định thức dạng cấp thấp Sau tính định thức cấp thấp để từ đón nhận công thức tổng quát dùng phương pháp truy hồi để tìm định thức a1 Ví dụ Tính định thức Dn  a12 a1n 1 a2 a22 a3 a32 an an2 a2n 1 a3n 1 ann 1 Giải Lấy dòng thứ  n  1 nhân với  an  cộng với dòng n, lấy dòng thứ  n  2 nhân với (an ) cộng với dòng  n  1 ,…, lấy dòng thứ nhân với (an ) cộng với dòng hai, ta có: a1  an Dn  a1 (a1  an ) a2  an a2 (a2  an ) a3  an a3 (a3  an ) 0 a1n  (a1  an ) a2n  (a2  an ) a3n  (a3  an )  (1) n 1 (a1  an ) (an 1  an ) Dn 1 Nhận xét D1  , nên từ ta suy Dn   (a j  ) j i GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -4- SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính 1.1.4 Biểu diễn định thức dạng tổng (tích) định thức khác Khai triển định thức thành tổng (tích) định thức cấp, tính định thức thành phần Từ suy giá trị định thức cần tìm Ví dụ Tính định thức Dn  a1  b1 a2  b1 a1  b2 a2  b2 a1  b3 a2  b3 a1  bn a2  bn an  b1 an  b2 an  b3 an  bn Giải Ta có: Dn  a1 a2  b1 a1 a2  b2 a1 a2  b3 a1 a2  bn an  b1 an  b2 an  b3 an  bn  b1 a2  b1 b2 a2  b2 b3 a2  b3 bn a2  bn an  b1 an  b2 an  b3 an  bn Rồi tiếp tục khai triển hai định thức theo dòng 2, …Cứ khai triển hàng cuối cùng, ta 2n định thức Trong khai triển trên, dòng định thức thành phần có hai dạng: (i) Dạng 1: dòng có dạng , ,, (ii) Dạng 2: dòng có dạng b1 , b2 ,, bn Hai dòng thuộc loại đầu tỉ lệ nhau, hai dòng thuộc loại nhau, nên định thức có hai dòng loại nên phải triệt tiêu Nên ta Dn  , với n  Vì vậy, với n  D1  a1  b1 , với n  ta D2   a1  a2 b2  b1  1.1.5 Thay đổi phần tử định thức Phương pháp dựa vào tính chất: “Cho ma trận A  (aij )  M n ( K ), n x  K gọi A'  ( x  aij ) Khi ta det A  det A'  x  (1)i  j M ij i , j 1 M ij định thức cấp n  nhận cách xóa dòng i, cột j” a1 x Ví dụ Tính định thức Dn  x x a2 x x x a3 x x x x x x an Giải GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -5- SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính  n 1 a n 1  c n 1  a b  n a b a  Thật A    a  c     0 c   c n 1   0 n  n a   0 b(a n1  a n1c  c n   n )  a ac    cn  0  2004 a b  a 2004 Ta có A   A    0 c   b a n 1  c n 1  a  c  n c  a n 1b  bc b an  cn   ac  n c  a 2004  c 2004   ac  c 2004  0 b  a c 0 0  Mà A2004   A   0 b  0 b  0      0  0  0  Khi A2   Vậy A2004   A2  b) a b Gọi A  0 d 0 a b A   d  0 a  A3   0  a  0 0  c e  f  c  a b e   d f   0 c  a  e    f   b(a  d ) ac  be  cf   d2 e( d  f )   f2  b(a  d ) ac  be  cf  a b  d2 e(d  f )  0 d  0 0 f2  c e  f  b(a  ad  d ) a c  be(a  d )  acf  bef  cf   d3 d e  ef (d  f )   f  Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: A 2004 a 2004     x d 2004 y   z  ( x, y , z  R ) f 2004  A2004   x  d  f  GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 80 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính 0 x y   A  0 z  0 0  0 x y  0 x y  0 xz  Khi A  0 z  0 z   0 0  0 0  0 0  0 0  0 xz  0 x y  0 0 A  0 0  0 z   0 0  0 0  0 0  0 0 Vậy A2004   A3  2 0 Bài 10 (Olympic 2005) Cho ma trận M  0  0  Đặt M n  bij (n)i , j 1,2,3 (n  , n  2) Tính S n   bij (n) 3 i 1 j 1 Giải Ta có M  D  I với 1 0  1    I  0 0 , D  0 0 0  0  Dễ dàng thấy I n  I , D n  D , n  (n  2) Khi n n n k 0 k 1 k 0 M n  ( I  D)n   Cnk I n k D k   Cnk I n k D k  I   Cnk D  I Mặt khác n k  Cn n  k 1 Cnk D    k 1    C 2n  Do M n   0  2n     Từ suy ra: S n  3.2n 2n  n k 1 k n 0 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ    , n Cnk    k 1  n C k 1 k n  2n  - 81 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính  2006  2006 Bài 11 (Olympic 2006) Cho ma trận A   2005  2006 Xác định phần tử  2005  2005 đường chéo ma trận S  I  A  A2   A2006 Giải  2005  2006 Ta có A  I  B với B   2005  2006 Dễ dàng tính B2   2005  2006  Ak  I  kB k  Từ suy S  2007 I  1003.2007B Do phần tử đường chéo a11  2007(1 1003.2005), a22  1004.2007, a33  2007(1 1003.2006) 2 0 Bài 12 Cho ma trận A   0  0  7  Tính An 0  2 0 Giải 3  7 1 0 0  2 I , I  , O ta có A      4  0  0  O Đặt B   22 I A  O 2.2 B , 22 I  23 I A  O 2 k I 3.22 B , 23 I  24 I A  O B I  4.23 B  24 I  k.2k 1 B  2k I  Giả sử Ak   O 2k 1 I Ta chứng minh: Ak 1    O (k  1).2k B  2k 1 I  Thật vậy: 2 k I Ak 1   O k.2k 1 B 2I  2k I   O 2 n I Vậy An   O B  2k 1 I  2I   O 2k B  k.2k B 2k 1 I  2k 1 I   O (k  1).2k B  2k 1 I  n.2n 1 B  2n I  a  b  Bài 13 Tìm số thực a, b cho    b a   GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 82 -  1  3 SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Giải  a 4 Từ giả thiết ta có   b  4 b   4    a     1    3     x  y  cos a b Đặt x  , y  ta có    2  y x   sin     sin    cos   Lấy định thức vế ta có x  y  Sử dụng phương pháp lượng giác hóa : cos  sin   Đặt x  cos , y  sin  , A     sin  cos  cos 2  A2    sin 2  sin 2  , cos 2  cos3 A3    sin 3  sin 3  , cos 3  cos 4 A4    sin 4  sin 4  cos 4  Ta suy ra: cos 4  sin 4     sin 4  cos  cos 4   sin     sin    cos     cos 4  cos    4   k 2 , k   sin 4  sin   2  k  24 Vậy a  cos  2    , b  sin   k   24   , k  0,1, 2,3   0  0  0  (  ) Tính An Bài 14 Cho ma trận vuông A   0  1   0 0  Giải  0  0 0  0 0   Ta có A   I  B , với B   0  1 0    0 0  0 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 83 - 0 0 0 0 0 1  0 SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính 0 0 Mà B   0  0 0 0 0 0 0  1 0 ,B  0 0   0 0 0 0 0 0 1 0  0 0 ,B  0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 n Vậy An  (I  B)n   Cnk (I )n  k B k k 0  C  I  C  B  Cn2 n  B  Cn3n 3 B  Cn4 n 4 B   Cnn B n n 1 n n n  Cn0n I  Cn1n 1B  Cn2n  B  Cn3n  B n   0   Cn1n 1 Cn2n  n Cn1n 1 n 0 Cn3n    Cn2n   Cn1n 1   n  Bài 15 (Olympic 2009) Tồn hay không ma trận thực A vuông cấp cho  2008 2010  A2010   2009   Giải a b   Ta có: c d  Giả sử tồn ma trận A thỏa mãn yêu cầu đề Đặt A1005  B    a  bc (a  d )b   2008 2010  B2      2009 ( a  d ) c d  bc     Theo giả thiết, ta có: (a  d )c   Xét c  : a2 B  0 (a  d )b  2008 2010   2009 d2    Xét a  d  hay a  d : a2  bc  d  bc  l  l   2008 2010  B2    2009  0 l   Kết luận: không tồn ma trận A thỏa mãn điều kiện toán GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 84 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Bài 16 Tìm ma trận A vuông cấp cho A2009  B , với 1 1  1   1  B 1  1  1   1   1  Giải Ta có B  I   (  2)(  2)3  Vậy ma trận B có hai giá trị riêng   (bội n1  )   2 (bội n2  )  Với   , ta có  1 1   1  1 1 1 d2 d1  d2  d3  d1  d3   B  2I     1 1 1 d4 d1  d4      1 1 1 0 0 0 1  0  0 Vậy suy rank ( A  I )   n  n1 (*) x1  x2  x3  x4 Vectơ riêng tương ứng x  ( x2  x3  x4 , x2 , x3 , x4 )  x2 (1,1,0,0)  x3 (1,0,1,0)  x4 (1,0,0,1) , x22  x32  x42   Với   2 , ta có 3 1  3 1  1 1 1 d2  d1 3d2 0 4 4 d3  d1  d3    B  2I    1 1 1 d4  d1 3d4 0 4 4     1 1 1  0 4 4  3 0 d3  d  d3    d  d  d3  d 0  0 1  4 4  12 12  0  Vậy rank ( A  I )   n  n2 3x1  x2  x3  x4   x1   x4   (**)  x2  x3  x4    x2  x4  12 x  12 x  x x 4   Vectơ riêng tương ứng x  ( x4 , x4 , x4 , x4 )  x4 (1,1,1,1), x4  Từ (*) (**) ta suy ma trận B chéo hóa , ma trận chuyển sở 1 1 T  0  0 1  1   1 1    1    1 1 T  1  1 1     1  1 1  GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 85 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính 2 0 Ta có T 1BT   0  0 2009  với C      0 0 0 0   D  B  TDT 1 Bây ta cần chọn A  TCT 1 , 0   2 2009 0 2009 0    , ta có A2009  TDT 1  B    2009  0 Vậy A  TCT 1 ma trận cần tìm 2 0 2 0   Bài 17 Tính det( A  B ) , với A  1 0 B  0 0 0 2 0 2 n n Giải 1 0 2 0 Phân tích A  0 0  1 0  I  D Mà D2  D nên Dk  D , với k  Z  0 1 0 1     A    C D  I Từ ta có n An   Cnk D  I Do B  A* , nên B n  A* k 1 n n n * k 1 k n 2 1   n  A  B   C ( D  D )  I  2   k 1  0 2n 1   n 1 n n n n k n T 2n 1 2n   2n 1 2n   4n  2n 1  Do det An  B n  2n  0 2n 1    1  Bài 18 Cho ma trận A        1  2013  Tính A  1  Giải GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 86 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính  1  Ta có A        cos  sin  3  A2     sin        cos  sin 3    1  sin      cos  sin  3     cos  sin   sin 3   sin     2 2 cos  sin  cos sin     sin cos 3     cos  sin    sin  cos        cos k  sin k  3  sin k    cos k  sin k  3 Thật Ak 1     sin k        cos(k  1)  sin(k  1) 3  2sin(k  1)    cos  sin   3     cos k  sin k   sin 3   2sin k    cos(k  1)  sin( k  1)    sin( k  1)         cos  sin 3  2sin      cos(k  1)  sin( k  1)  3  sin( k  1)      cos n  sin n  3  sin n    cos 2013  sin 2016    sin 2013  GVHD: Th.S Trang Văn Dễ    3     cos2  sin  sin cos  3 3  sin    cos(k  1)  sin(k  1)  3 Ta cần chứng minh Ak 1     sin(k  1)   A2013      cos  sin  3  sin     cos  sin  3  sin    cos k  sin k  3 Ta giả sử Ak     sin k     cos n  sin n  3 Vậy An     sin n       cos  sin  3  sin       cos 2013  sin 2013 3  2sin 2013 - 87 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Bài 19 (Olympic 2010) Cho un , vn , wn  dãy số xác định  un 1  un  7vn  5wn  u0  v0  w0  , với n  N ,  1  2un  8vn  6wn  w  4u  16v  12w n n n  n 1 a) Hãy tìm số hạng tổng quát dãy un , vn , wn  b) Chứng minh  số nguyên chia hết cho 2n , n   Giải a) Ký hiệu 1   A       16 12  un  X n    , n   wn  Từ giả thiết ta có X n 1  AX n , n  N Hay X n  AX n 1  A AX n    An X , n  Ta có A  I   (  1)(  2)  Ma trận A có ba giá trị riêng đơn phân biệt là:   0,   1,   , nên ma trận A chéo hóa  Với   , ta xét     d  2 d1  d     4 d  d A  I     d    4   16 12  12  8        4  0  d  2 d  d   x1  x2  x3   x1  x3 Ta có  Vậy x  x3 (1,2,3) Chọn a  (1,2,3)   x2  x3   x2  x3   Tương tự với   , ta chọn b  (3,2,4)  Với   , ta chọn c  (1,2,2)  1 0 0  1      1 1 Đặt T   2 2 , T   1 1 Ta có T AT  0 0  D  2 5  0 2  2 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 88 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Khi A  TDT 1  An  TDnT 1  un   3.2 n  Vậy    3.2n  w   6.2 n  n   3.2n    X n  TD nT 1 X    3.2n  , n    6.2n    , n  b) Ta có   3.2n  2n 5.3 Bài tập đề nghị Bài Cho A, B hai ma trận thực vuông cấp thỏa mãn AB  BA, A2011  B 2011  O Chứng minh ( A  B)3  O Bài Cho hai dãy số thực (un ) (vn ) xác định u0  0, v0  1,  un 1  2un   Chứng minh u2011  v2011  chia hết cho 2011  vn 1  un  2vn    2 n k   A   Bài Cho ma trận A , với I ma trận đơn vị cấp   Đặt U n  I   k 1 k!   1 1 ba Tính lim U n n   1  1  1 1   , B  A2  A  I Chứng minh Bài Cho ma trận A    1 1     1  ma trận B 2011 khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo B 2011 2 0 Bài Cho ma trận M  0 0 Đặt M n   bij (n)  , n  2, n  Tính 0 2 3 S n   bij (n) i 1 j 1 2 2 Bài Tìm ma trận B có giá trị riêng dương cho B    1  3 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 89 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Bài Tính lũy thừa An ma trận sau: 1  1  1  a) A    1 b) A    1  3  1  0  1  , với   c) A   0  1   0 0  0 0  1 0     Bài Tính A2009 , A  0     0   1 0 0  u0  u1  u2  n  un3  45un  39un1  11un Bài Tính un với n  biết  Bài 10 Cho un , vn , wn  dãy số xác định u0  0, v0  w0  22 với  un 1  (2un   wn )   n  , vn 1  (un   wn )    wn 1  (un   wn )  Hãy tìm số hạng tổng quát dãy un , vn , wn  tìm giới hạn dãy Bài 11 Cho ma trận   2 A    , đặt  4  B A , chứng minh B  I n  2n  1B  I GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 90 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính   2 Bài 12 Cho ma trận A  5  3 Tính f (A) , biết 6  4 f ( x)  2009 x 2009  2008 x 2008  2007 x 2007   x Bài 13 Tìm ma trận thực vuông cấp hai thỏa mãn phương trình:    2 X  3X       2 Bài 14 Cho A ma trận thực vuông cho 3A3  A2  A  I Chứng minh dãy A  n n N hội tụ ma trận B , cho B2  B Bài 15 Giả sử A ma trận thực vông cấp k số nguyên lớn Chứng minh Ak  O A2  O Bài 16 Cho A ma trận vuông cấp a) Nếu A có giá trị riêng phân biệt a b Chứng minh an bn A  ( A  bI )  ( A  aI ) a b ba n b) Nếu A có giá trị riêng c , chứng minh An  c n 1 ( A  (n  1)cI ) 7   Bài 17 Cho ma trận A    Chứng minh tồn hai ma trận thực 8   vuông cấp X Y cho với số tự nhiên n ta có An  2n X  (1)n Y Bài 18 Tìm tất ma trận thực vuông cấp bốn A  (aij ) 4 , cho A2  I , a i  j  aij  b i  j  với a, b, c số thực c i  j , i  j   GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 91 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Bài 19 (Olympic 1996) Giả sử: n  0   a11 (n) a12 (n) a13 (n)      a ( n) a ( n) a ( n )  22 23    21     a31 (n) a32 (n) a33 (n)  Tìm lim x  a22 (n) a32 (n) Bài 20 (Olympic 2011) Cho dãy số xn , yn ,zn  xác định sau: x0  y0  z0  xn 1  xn  yn  zn   yn1  xn  zn Tính x2011 z  x  2z n n  n 1 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 92 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính PHẦN KẾT LUẬN Luận văn nêu được:  Các phương pháp tính định thức tập có liên quan đến định thức  Các phương pháp tìm hạng ma trận tập liên quan đến hạng ma trận  Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo tập liên quan đến ma trận nghịch đảo Bên cạnh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo định thức, phép biến đổi sơ cấp luận văn trình bày thêm phương pháp tìm ma trận nghịch đảo cách giải hệ phương trình, áp dụng định lý Cayley-Hamilton ma trận vuông cấp hai  Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tập có liên quan đến hệ phương trình tuyến tính  Các phương pháp tính lũy thừa bậc cao ma trận tập có liên quan đến lũy thừa bậc cao ma trận Bên cạch phương pháp thường dung để tính lũy thừa bậc cao ma trận như: quy nạp, chéo hóa ma trận, tách ma trận luận văn trình bày thêm phương pháp lượng giác hóa, áp dụng định lý Cayley-Hamilton để tính lũy thừa bậc cao ma trận vuông cấp hai Qua luận văn này, em học hỏi nhiều kinh nghiệm kiến thức Đại số tuyến tính Đề tài giúp em củng cố lại kiến thức cũ đồng thời mở rộng biết thêm nhiều kiến thức Đại số tuyến tính Đây tảng cho trình học sau em GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 93 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thanh Bình - Nguyễn Hoàng Xinh (2006), Đại số tuyến tính, Trường Đại học Cần Thơ [2] Hoàng Kỳ - Vũ Tuấn (1978), Bài tập Đại số cao cấp, Nhà xuất Giáo dục [3] Hoàng Việt Long (2013), Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông, Đại học Giao thông vận tải [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Hoàng Xinh (2005), Toán Olympic sinh viên-Phần Đại số, Trường Đại học Cần Thơ [6] www.vietmaths.com GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 94 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu [...]... Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính Bài 12 Tính các định thức sau: a) a 0 0 a 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a b 0 b a 0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 0 0 a (đường chéo chính là a, đường chéo phụ là b, tất cả các vị trí còn lại là 0) b) a1 0 0 a2 0 0 b1 0 0 b2 0 0 0 c1 0 0 0 c2 an 0 0 0 d1 0 0 0 d2 bn 0 0 0 0 cn 0 0 dn GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 22 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong. .. Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính trong đó k là số chiều của không gian nghiệm hai phương trình trên, còn m là cấp của ma trận A Bài 9 Cho ma trận A  M n ( ) có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0, còn các phần tử còn lại đều bằng 1 hoặc bằng p ( p là số nguyên tố, p  2 ) Chứng minh rằng rank A  n  1 Giải Do p là số nguyên tố và p  2 suy ra p là số lẻ Ma trận... 1997) Chứng minh rằng với một ma trận vuông cấp n cho trước trên trường số thực, đều tồn tại n   sao cho rank Ak  rank Ak 1 , k  n Giải Từ bất đẳng thức rank AB  rank A, suy ra n  rank A  rank A2  GVHD: Th.S Trang Văn Dễ  rank An   0 - 29 - (*) SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính Vì rank Ak  nên từ một số n0 nào đó trở đi, các dấu trong (*) trở thành đẳng.. .Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính Thêm  x vào mọi phần tử của Dn , ta được: a1  x 0 0 0 a2  x 0 D 0 0 a3  x 0 0 0 0 0  (a1  x)(a2  x) (an  x) an  x 0 Khi đó, ta có Dn  D  x (1)i  j M ij Mà các phần bù đại số  1 i j M ij không nằm i, j trên đường chéo đều bằng không, còn phần bù đại số của các phần tử nằm trên đường chéo thì... x1   1 Trong đó x1 , x2 , x3 , x4 là các nghiệm của đa thức f ( x)  x 4  x  1 Tính det A Bài 6 (Olympic 2004) Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f ( x)  x 2  x và AB  BA  0 Tính det( A  B) GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 20 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính  x12  1 x1 x2 x1 x3 x1 x4    2 x1 x2 x2  1 x2 x3 x2 x4   Bài 7 (Olympic... a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33  1 (1) Nếu 1 trong các số a11a22 a33 , a12 a23a31 , a13a21a32 có 1 số bằng -1 thì vế trái  1 và vế phải  1 Suy ra vế trái không thể lớn hơn vế phải  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  1 (2) Từ (1) và (2) thì ta có: GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 11 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính a11a12 a13a21a22 a23a31a32 a33  1   a11a12... Dễ thấy khi x  0 , đáp số trên vẫn đúng do tính liên tục của định thức Bài 15 Tính định thức sau: Dn  5 3 0 0 2 5 3 0 0 2 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 2 5 Giải Khai triển định thức theo dòng đầu ta có: Dn  5Dn 1  3 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ 2 3 0 0 5 3 0 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 2 5 - 14 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính Tiếp tục khai triển... tìm là ma trận O 1.3 Bài tập đề nghị Bài 1 (Olympic 1995) Cho hai số thực phân biệt a, b và cho B  (bij ) là ma trận vuông cấp 6 được xác định như sau:  x khi i  j  bij  a khi i  j , i  j  2n, b khi i  j, i  j  2n  1  GVHD: Th.S Trang Văn Dễ - 19 - SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính 6 Giả sử det B    k ( x  a) k Tính  4 k 0 Bài 2 (Olympic... ( Dn 3  bDn 4 )   a n  2 ( D2  bD1 )  a n vì D2  bD1  a 2 Vậy ta có: Dn  bDn 1  a n (2) Khử Dn 1 từ trong (1) và (2) ta sẽ được kết quả: Dn  GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -8- a n 1  b n 1 a b SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính Bài 4 Tính định thức cấp n (n  2) sau: D 1  x1 y1 1  x1 y2 1  x2 y1 1  x2 y2 1  x1 yn 1  x2 yn 1  xn y1 1  xn y2... dòng (2), (3), …, (n) Ta có: a  (n  1)b b b 0 a b 0 D 0 0 a b 0 0 0 b 0 0 a b  (a  (n  1)b)(a  b) n 1 GVHD: Th.S Trang Văn Dễ -7- SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính Bài 3 Cho a, b  , a  b Tính định thức cấp n (n  3) sau: a  b ab 0 1 a  b ab 0 1 ab 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dn  0 0 0 0 0 0 a  b ab 0 1 a  b ab 0 1 ab 0 0 0 Giải Khai triển định thức theo ... chọn đề tài Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính để nghiên cứu Trong đó, phạm vi nghiên cứu kiến thức có liên quan đến Đại số tuyến tính IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Tìm hiểu Một số vấn đề chuyên. .. phương trình tuyến tính, tính lũy thừa bậc cao ma trận Để giải vấn đề người cần phải chuẩn bị cho kiến thức cần thiết Chính em chọn đề tài: Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính làm đề tài... thuộc tuyến tính n Do phải có tổ hợp tuyến tính: 1c1  2c2  GVHD: Th.S Trang Văn Dễ  n cn  - 44 - (1) SVTH: Cao Thị Bích Liểu Một số vấn đề chuyên sâu Đại số tuyến tính Trong hệ số khác