một số vấn đề về đại số boole và các phương pháp cực tiểu hóa hàm boole

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SƢ PHẠM TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ BOOLE VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA HÀM BOOLE Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực T.S Trƣơng Quốc Bảo Trƣơng Hoàng Vinh MSSV: 1090137 Lớp: SP Toán-Tin K35 Cần Thơ, tháng năm 2013 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh LỜI CẢM ƠN  Thấm bốn năm đại học chúng em qua Chúng em rời xa giảng đƣờng đại học, thầy cô, bạn bè, nơi khắc sâu vào chúng em kỉ niệm không quên đƣợc Giờ đây, chúng em lớn khôn nên ngƣời, hiểu đƣợc điều mà thầy cô mong đợi chúng em Tuy có lúc chúng em làm thầy cô phiền lòng đứng bục giảng, nhƣng tất thuộc ký ức Nhƣng ký ức để lại cho chúng em học quý báu Chúng em xin hứa cố gắng phấn đấu thật nhiều để xứng đáng với quà vô giá, công sức mà thầy cô ban tặng cho chúng em suốt năm học vừa qua Với cảm xúc chân thành, em xin gửi lời chúc sức khỏe thành đạt đến quý thầy cô trƣờng Đại học Cần Thơ nói chung môn Toán - Khoa Sƣ phạm nói riêng Em xin gửi lời cảm ơn đến cha mẹ em có công nuôi dƣỡng em, động viên em suốt trình học tập, đặc biệt thầy TS Trƣơng Quốc Bảo hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, bên cạnh em xin gửi lời cám ơn đến cô Phạm Thị Vui cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành đề tài luận văn Ngoài em xin chân thành cám ơn cô CVHT Nguyễn Thị Thảo Trúc dìu dắt chúng em, hƣớng dẫn chúng em suốt trình học tập, thầy Đỗ Quang Huy, thầy PGS TS Nguyễn Phú Lộc động viên tinh thần cho em vƣợt qua khó khăn trình học tập, thầy Bùi Anh Tuấn cho em phƣơng pháp, học kinh nghiệm sống, cho em hành trang vững vàng để tiếp, sau em xin cám ơn thầy Lâm Quốc Anh trƣởng môn Toán - Khoa Sƣ Phạm - Trƣờng Đại học Cần Thơ tạo điều kiện cho em bảo vệ luận văn GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Dù cố gắng để hoàn thành đề tài mình, nhƣng em luận văn tốt nghiêp tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện Chân thành cám ơn! Sinh viên thực đề tài Trƣơng Hoàng Vinh GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1 - Tính chất 18 Bảng - Tính chất 19 Bảng - Tính chất (Bảng 1) .21 Bảng - Tính chất (Bảng 2) .22 Bảng - Tính chất (Bảng 1) .24 Bảng - Tính chất (Bảng 2) .25 Bảng - Tính chất (Bảng 3) .26 Bảng - Bảng giá trị hàm Boole : F (x, y, z) = xy+ z 29 Bảng – Bảng chân trị biểu diễn cho kết việc bỏ phiếu bầu 30 Bảng – Bảng chân trị cho mạch logic 33 Bảng 2 - Tìm tổng x+y 36 Bảng - Hàm Boole s c theo biến x,y 37 Bảng - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến 42 Bảng - Bảng đồ Karnaugh biến .43 Bảng - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến (Bảng 1) 44 Bảng - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến (Bảng 2) 44 Bảng - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến (Bảng 3) 44 Bảng 10 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến (Bảng 4) 45 Bảng 11 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến (Bảng 5) 45 Bảng 12 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến(Bảng 6) 45 Bảng 13 - Bảng đồ Karnaugh biến .46 Bảng 14 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến (Bảng 1) 47 Bảng 15 - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh biến (Bảng 2) 47 Bảng 16 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 1) .57 Bảng 17 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 2) .57 Bảng 18 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 3) .57 Bảng 19 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 4) .58 Bảng 20 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 5) .59 Bảng 21 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 6) .59 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Bảng 22 - Bảng chân trị mạch điều khiển cầu dao 60 Bảng 23 - Bảng chân trị mạch điều kiển cầu dao 61 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình – Cổng logic 31 Hình 2 – Cổng NOT 31 Hình -Cổng AND .32 Hình - Cổng OR 32 Hình – Mạch logic thực hàm 34 Hình – Mạch logic thực hàm F (x, y, z) = 34 Hình – Cổng NAND 35 Hình – Cổng NOR 35 Hình – Cổng XOR 36 Hình 10 – Mạch Cộng 36 Hình 11 – Mạch cộng bán phần 37 Hình 12 – Mạch cộng toàn phần 38 Hình 13– Mạch cộng tổng hợp 39 Hình 2.14 – Mạch cộng số bits 39 Hình 2.15 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình 1) 51 Hình 16 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình 2) 51 Hình 17 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình 3) 52 Hình 18 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình 4) 53 Hình 19 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình 5) 54 Hình 20 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn (Hình 6) 55 Hình 21 – Mạch điều khiển cầu dao 60 Hình 22 - Mạch điều khiển cầu dao 62 Hình 3.1 - Hình giao diện 63 Hình - Giao diện để nhập hàm (Hình 1) 64 Hình 3 - Giao diện để nhập hàm (Hình 2) 65 Hình - Đọc hàm Boole (Hình 1) 66 Hình - Đọc hàm Boole (Hình 2) 66 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Hình - Lập bảng chân trị (Hình 1) .67 Hình - Lập bảng chân trị (Hình 2) 68 Hình - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh (Hinh 1) 69 Hình - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh (Hình 2) 69 Hình 10 - Phƣơng pháp QUINE-MCCLUSKEY (Hình 1) 70 Hình 11 - Phƣơng pháp QUINE-MCCLUSKEY (Hình 2) 71 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh MỤC LỤC Trang A PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .9 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .9 ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN B PHẦN NỘI DUNG .12 Chƣơng 12 ĐẠI SỐ BOOLE 12 1 ĐỊNH NGHĨA 12 KHÁI NIỆM 13 TÍNH CHẤT 13 Nguyên lý đối ngẫu 13 Một số định lý .13 a) Định lý 13 b) Định lý 14 c) Định lý (Luật DeMorgan) 15 MỘT SỐ TÍNH CHẤT 15 Tính chất 15 Tính chất 16 Tính chất 16 4 Tính chất 20 Tính chất 23 HÀM BOOLE 27 Định nghĩa 27 Khái niệm .27 Tính chất 27 a) Hệ 28 Một số ví dụ 28 a) Ví dụ 28 b) Ví dụ 2: 29 BẢNG CHÂN TRỊ .30 Định nghĩa 30 Ví dụ: 30 Chƣơng 31 MẠCH LOGIC 31 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh CỔNG LOGIC .31 1 Cổng logic NOT/AND/OR 31 2 Cổng NOT 31 Cổng AND .32 Cổng OR: 32 2 MẠCH LOGIC 33 2 Tổ hợp cổng .33 2 Một số ví dụ 33 a) Ví dụ 1: 33 b) Ví dụ 34 MẠCH CỘNG 36 CÁC PHƢƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA HÀM BOOLE .40 Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh 40 a) Cơ sở lý thuyết phƣơng pháp 40 b) Bảng đồ Karnaugh biến 41 c) Bảng đồ Karnaugh biến 43 d) Bảng đồ Karnaugh biến 46 Phƣơng pháp Quine-McCluskey: 48 a) Mở đầu 48 b) Định nghĩa: 48 c) Mệnh đề: 48 e) Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn: 49 i Cơ sở lý thuyết phƣơng pháp 49 ii Thuật toán 49 iii Ví dụ: 50 f) Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu: 55 i Cơ sở lý thuyết phƣơng pháp 55 ii Thuật toán 56 iii Ví dụ : 56 ỨNG DỤNG 59 Ví dụ 59 Ví dụ 60 Chƣơng 63 CHƢƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG 63 ĐỌC HÀM BOOLE 65 3.2 BẢNG CHÂN TRỊ 67 3 BẢNG ĐỒ KARNAUGH 68 3 PHƢƠNG PHÁP QUINE-MCCLUSKEY 70 C PHẦN KẾT LUẬN .72 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh A PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong môn Toán rời rạc cho tin học, đƣợc học phần đại số Boole, học phần có nhiều chƣơng, mà thời lƣợng chƣơng trình có hạn, nên ta tìm hiểu cách cụ thể chuyên sâu đƣợc, sinh viên ngành Sƣ phạm Toán - Tin, Sƣ phạm Lý - Tin đƣợc tìm hiểu cách đơn giản Đại số Boole mà chƣa phân tích sâu lý thuyết ứng dụng thực tế Trong trình nghiên cứu học phần nhận nhận thấy đại số Boole đƣợc ứng dụng nhiều đời sống nhƣ thiết kế mạch điện tích hợp, mạch cầu dao điện, công tắc, mạch điều khiển…Chính chọn đề tài để có điều kiện tìm hiểu sâu lý thuyết Đại số Boole ứng dụng đại số Boole đời sống MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trọng tâm đề tài vào nghiên cứu sâu lý thuyết Đại số Boole “Một số phƣơng pháp để cực tiểu hóa hàm Boole” Chúng ta biết, đại số Boole vấn đề quan trọng đƣa hàm Boole phải đọc đƣợc hàm Boole đó, dùng số phƣơng pháp để cực tiểu hóa hàm Boole nhằm tìm công thức chuẩn, tối ƣu đáp ứng đƣợc mục tiêu đề Trong đề tài này, bên cạnh cụ thể hóa lý thuyết Đại số Boole, ứng dụng phần mềm tin học để giải số toán cực tiểu hóa hàm Boole cách dễ dàng ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Lý thuyết Đại số Boole, hàm Boole, Cổng logic, Mạch loogic, số phƣơng pháp cực tiểu hóa hàm Boole vài ứng dụng Đại số Boole thực tế PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Đọc sách tham khảo tài liệu - Phƣơng pháp diễn giải, phân tích - Kết hợp lập trình tin học - Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN A PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo wxyz wxyz SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh wx wxy + wxyz wxyz wxyz wxyz + + + + wxyz + xyz + wyz + + + Bảng 20 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 5) + Ở cột 1, 4, 5, có dấu +, nên cột phủ nguyên nhân nguyên tố cốt yếu, ta xóa cột wxyz wxyz wx + wxy + xyz + wyz wxyz + + + Bảng 21 - Phƣơng pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (Bảng 6) Các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu nằm dòng Sau rút gọn, bảng dòng 3, cột Việc chọn S đơn giản: chọn hai nguyên nhân nguyên tố lại Vì ta đƣợc hai dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu là: F2  wx  wxy  xyz , F2  wx  wxy  wyz Ứng dụng Ví dụ Thiết kế mạch điều khiển hai cầu dao, cầu dao xem nhƣ biến x, y : bật, tắt 59 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Cho F ( x, y)  đèn sáng F ( x, y)  đèn tắt Giả sử F ( x, y)  hai bậc tắt Ta có bảng chân trị sau: x y F ( x, y) 1 1 0 0 Bảng 22 - Bảng chân trị mạch điều khiển cầu dao xy x y xy  xy x x xy y y Hình 21 – Mạch điều khiển cầu dao Ví dụ Thiết kế mạch điều khiển ba cầu dao, cầu dao xem nhƣ biến x, y, z : bật, tắt 60 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Cho F ( x, y, z)  đèn sáng F ( x, y, z)  đèn tắt Giả sử F ( x, y, z)  ba tắt Ta có bảng chân trị sau x y z F ( x, y, z) 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 Bảng 23 - Bảng chân trị mạch điều kiển cầu dao 61 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo x SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh x, y , z y z x x, y , z y y MẠCH z z y ( x, y, z )  ( x, y, z ) x   ( x, y, z )  ( x, y, z ) x z z x, y , z x x y y x y.z z Hình 22 - Mạch điều khiển cầu dao 62 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Chƣơng CHƢƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG Chƣơng trình đƣợc viết ngôn ngữ lập trình Java, với công cụ hỗ trợ tiện ích, tạo giao diện theo ý muốn Chƣơng trình bày phƣơng pháp sử dụng chƣởng trình demo đƣợc thiết kế luận văn - Trƣớc tiên ta cài đặt phần mềm Java cho máy tính - Sau cài đặt xong ta mở chƣơng trình mà ta thiết kế cho ta giao diện nhƣ sau: Hình 3.1 - Hình giao diện - Để vào chƣơng trình bên ta cần click chuột vào tên chƣơng trình ta cần sử dụng 63 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Hình - Giao diện để nhập hàm (Hình 1) Đây giao diện đƣợc thiết kế nhập trực tiếp từ hình, - Thanh có chứa dòng F= kết hiển thị lúc ta nhập, - Phía dƣới hai nút lệnh để ta chọn chế độ nhập: nút lệnh bên trái nhập biến bình thƣờng, nút lệnh bên phải để nhập biến phủ định - Phần phía dƣới nút lệnh biến để ta cần nhập, - Nút lệnh có dấu mũi tên sang trái để xóa biến ta nhập sai biến đó, - Nút lệnh clear dùng để xóa tất kết ta nhập vào, Ví dụ: - Khi ta cần nhập biến x, ta click chuột vào biến x, kết thị cho ta chữ in hoa ứng với biến mà ta vừa nhập, đó, kết thị X 64 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Hình 3 - Giao diện để nhập hàm (Hình 2) - Ta cần nhập biến phủ định , ta click chuột sang nút lệnh bên trái phím bên dƣới hiển thị biến phủ định cho ta nhập vào, kết thị chữ in thƣờng ứng với biến mà ta vừa nhập, chẳng hạn ta nhập biến x , kết hiển thị x Sau ta thực chạy chƣơng trình ứng dụng ĐỌC HÀM BOOLE - Ta click chuột vào chƣơng trình đọc hàm boole Ví dụ ta cần đọc hàm boole nhƣ sau: F2  xyz  xyz - Ta nhập hàm cho vào, kết nhập hiển thị nhƣ sau: 65 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Hình - Đọc hàm Boole (Hình 1) - Ta click chuột vào nút lệnh đọc, kết cho ta nhƣ sau: Hình - Đọc hàm Boole (Hình 2) 66 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh 3.2 BẢNG CHÂN TRỊ Lập bảng chân trị hàm Boole sau: F  xyz+xyz  xyz  xyz  xyz - Ta click chuột vào chƣơng trình Bảng chân trị - Nhập hàm Hình - Lập bảng chân trị (Hình 1) - Cho thị kết 67 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Hình - Lập bảng chân trị (Hình 2) 3 BẢNG ĐỒ KARNAUGH Dùng bảng đồ Karnaugh tìm tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu hàm Boole sau: F  wxyz+wxyz  wxyz  wxyz  wxyz - Ta click chuột vào chƣơng trình Karnaugh - Nhập hàm: 68 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Hình - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh (Hinh 1) - Cho hiển thị kết quả: Hình - Phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh (Hình 2) 69 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh Vậy kết cần tìm : F  wxyz+wyz  wxy  wxz 3 PHƢƠNG PHÁP QUINE-MCCLUSKEY Tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu hàm boole phƣơng pháp QuineMcCluskey: F1  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz - Ta click chuột vào chƣơng trình Quine - McCluskey - Nhập hàm Boole vào Hình 10 - Phƣơng pháp QUINE-MCCLUSKEY (Hình 1) 70 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh - Click chuột vào nút lệnh Kết Hình 11 - Phƣơng pháp QUINE-MCCLUSKEY (Hình 2) Vậy cần tìm là: F1  wz  xz  yz - Để xem bƣớc thị, ta trƣợt bên phải lên phía trên, giao diện mở rộng đƣợc nhƣ phần mềm Microsoft word 71 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh C PHẦN KẾT LUẬN Tóm lại, đề tài em làm rõ vấn đề lý thuyết Đại số Boole, hàm Boole, tài liệu giáo trình Toán rời rạc trình bày cách khái quát hạn chế Bên cạnh đó, em làm rõ phƣơng pháp cực tiểu hóa hàm boole bảng đồ Karnaugh Quine-McCluskey, phƣơng pháp em trình bày cụ thể sở lý thuyết, thuật toán, đƣa số ví dụ rõ ràng, cụ thể Về phần chƣơng trình, em sử dụng phầm mềm hỗ trợ: ngôn ngũ lập trình Java để tìm dạng tối tiểu hàm Boole hai phƣơng pháp: Karnaugh Quine-McCluskey thành công, cố gắng nhƣng phƣơng pháp bảng đồ Karnaugh chƣa thể chạy bƣớc cụ thể đƣợc, mà xuất kết Trong trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu cuối trình bày vào luận văn công phu Tuy nhiên, thiết sót khó tránh khỏi Vì vậy, em mong góp ý quý thầy cô bạn sinh viên 72 GVHD: TS Trƣơng Quốc Bảo SVTH: Trƣơng Hoàng Vinh D TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Kenneth H Rosen (1997), Toán rời rạc ứng dụng Tin học, Nhà Xuất Khoa học Kỹ thuật , Hà Nội [2] Đỗ Đức Giáo (1999), Toán rời rạc, Nhà Xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Anh (1999), Toán rời rạc, Nhà Xuất Giáo dục Tiếng Anh [4] John A Dossey (1993), Discrete Mathematics, Harper Collins College Publisher [5] Norman L Biggs (2000), Discrete Mathematics, Oxford Science Publications [6] Richard Johnsonbaugh (1992), Discrete Mathematics, Maxvvell Macmillan International Editions 73 [...]... ngẫu của một mệnh đề là mệnh đề nhận đƣợc bằng cách đổi chỗ hai phép toán  và *, đổi chỗ 0 và 1, tƣơng ứng trong mệnh đề gốc 1 3 TÍNH CHẤT 1 3 1 Nguyên lý đối ngẫu Đối ngẫu của một định lý bất kỳ trong đại số Boole cũng là một định lý Chứng minh: Ta có đối ngẫu của tập các tiên đề trong B là giống nhƣ tập hợp các tiên đề gốc Theo đó nếu một mệnh đề bất kỳ là kết quả của những tiên đề của đại số Boole, ... Bảng các giá trị của hàm Boole : F (x, y, z) = xy+ z b) Ví dụ 2: Mệnh đề E  E( p1 , p2 , , pn ) theo n biến p1 , p2 , , pn là một hàm Boole n biến Các hàm Boole cũng có thể đƣợc biểu diễn bằng cách dùng các biểu thức đƣợc tạo bởi các biến và các phép toán Boole Các biểu thức Boole với các biến x1 , x2 ,, xn đƣợc định nghĩa bằng đệ quy nhƣ sau: - 0,1, x1 , x2 ,, xn là các biểu thức Boole - Nếu M và. .. thỏa các tiên đề của đại số Boole * Điều này chứng tỏ rằng đại số tập hợp chính là đại số Boole 1 5 HÀM BOOLE 1 5 1 Định nghĩa Hàm Boole n biến là ánh xạ f : Bn  B, trong đó B  {0,1} Nhƣ vậy hàm Boole n biến là một hàm số có dạng : f  F( x1, x2 , , xn ) , trong đó mỗi biến trong x1 , x2 , , xn chỉ nhận hai giá trị 0, 1 và f nhận giá trị trong B  {0,1} Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Boole n biến 1 5... - Nếu M và N là các biểu thức Boole thì M , MN và M  N cũng là các biểu thức Boole Mỗi một biểu thức Boole biểu diễn một hàm Boole Các giá trị của hàm này nhận đƣợc bằng cách thay 0 và 1 cho các biến trong biểu thức đó Hai hàm n biến F và G đƣợc gọi là bằng nhau nếu: F(a1 , a2 , , an )  G(a1 , a2 , , an ), a1 , a2 , , an  B Hai biểu thức Boole khác nhau biểu diễn cùng một hàm Boole đƣợc gọi là... hàm Boole n biến 1 5 2 Khái niệm - Biểu thức Boole là biểu thức đƣợc tạo bởi các biến và các phép toán Boole - Một biến Boole hoặc phần bù của nó đƣợc gọi là một tục biến - Tích của các tục biến đƣợc gọi là một tiểu hạng - Tổng chuẩn tắc là tổng các tiểu hạng và các tiểu hạng này không có cái nào đƣợc chứa trong cái khác 1 5 3 Tính chất Mọi hàm Boole F bậc n đều có thể biểu diễn dƣới dạng: F ( x1 , x2... logic Xét một thiết bị nhƣ hình trên, có một số đƣờng vào (dẫn tín hiệu vào) và chỉ có một đƣờng ra (phát tín hiệu ra) Giả sử các tín hiệu vào x1, x2, …, xn (ta gọi là đầu vào hay input) cũng nhƣ tín hiệu ra F (đầu ra hay output) đều chỉ có hai trạng thái khác nhau, tức là mang một bit thông tin, mà ta ký hiệu là 0 và 1 Ta gọi một thiết bị với các đầu vào và đầu ra mang giá trị 0, 1 nhƣ vậy là một mạch... một mạch logic Đầu ra của một mạch logic là một hàm Boole F của các đầu vào x1, x2, …, xn Ta nói mạch logic trong hình trên thực hiện hàm F Các mạch logic đƣợc tạo thành từ một số mạch cơ sở, gọi là cổng logic Các cổng logic sau đây thực hiện các hàm phủ định, hội và tuyển 2 1 2 Cổng NOT Cổng NOT thực hiện hàm phủ định Cổng chỉ có một đầu vào Đầu ra F (x) là phủ định của đầu vào x 0 khi  1, F( x) ... lắp ghép để đƣợc những mạch logic thực hiện các hàm Boole phức tạp hơn Nhƣ ta đã biết rằng một hàm Boole bất kỳ có thể biểu diễn bằng một biểu thức chỉ chứa các phép −, , + Từ đó suy ra rằng có thể lắp ghép thích hợp các cổng NOT, AND, OR để đƣợc một mạch logic thực hiện một hàm Boole bất kỳ 2 2 2 Một số ví dụ a) Ví dụ 1: Xây dựng một mạch logic thực hiện hàm Boole cho bởi bảng sau x 0 0 0 0 1 1 1 1 y... ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU 4 PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5 CẤU TRÚC LUẬN VĂN B PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1: ĐẠI SỐ BOOLE 1.1 ĐỊNH NGHĨA 1.2 KHÁI NIỆM 1.3 TÍNH CHẤT 1.4 MỘT SỐ VÍ DỤ 1.5 HÀM BOOLE 1.6 BẢNG CHÂN TRỊ Chƣơng 2: MẠCH LOGIC 2.1 MẠCH LOGIC NOT/AND/OR 2.2 MẠCH LOGIC 2.3 MẠCH CỘNG 2.4 CÁC PHƢƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA HÀM BOOLE 2.5 ỨNG DỤNG Chƣơng 3: CHƢƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG 3.1 ĐỌC HÀM BOOLE 3 2 BẢNG CHÂN TRỊ 10 GVHD:... hiện hàm F (x, y, z) = xy  xyz x y • • F  xy  xyz z Hình 2 6 – Mạch logic thực hiện hàm F (x, y, z) = xy  xyz Hai mạch logic trong hai hình trên thực hiện cùng một hàm Boole, ta nói đó là hai mạch logic tƣơng đƣơng, nhƣng mạch logic thứ hai đơn giản hơn Vấn đề tìm mạch logic đơn giản thực hiện một hàm Boole F cho trƣớc gắn liền với vấn đề tìm biểu thức đơn giản nhất biểu diễn hàm ấy Đây là vấn đề ... Một số phƣơng pháp để cực tiểu hóa hàm Boole Chúng ta biết, đại số Boole vấn đề quan trọng đƣa hàm Boole phải đọc đƣợc hàm Boole đó, dùng số phƣơng pháp để cực tiểu hóa hàm Boole nhằm tìm công... phép toán đại số tập hợp thỏa tiên đề đại số Boole * Điều chứng tỏ đại số tập hợp đại số Boole HÀM BOOLE Định nghĩa Hàm Boole n biến ánh xạ f : Bn  B, B  {0,1} Nhƣ hàm Boole n biến hàm số có dạng... tiêu đề Trong đề tài này, bên cạnh cụ thể hóa lý thuyết Đại số Boole, ứng dụng phần mềm tin học để giải số toán cực tiểu hóa hàm Boole cách dễ dàng ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Lý thuyết Đại số Boole, hàm