tóm tắt luận văn thạc sĩ kỹ thuật cơ sở lý THUYẾT về đo THÔNG số CHẤT lưu, SAI số đo và các PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH SAI số

Cấu trúc của PTĐ các đại lượng không điện Cấu trúc tổng quát của PTĐ đo các đại lượng không điện có dạng như hình 1.1gồm BĐĐLSC, kênh truyền thông tin đo KTTTĐ, phương tiện đo thư

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Hiện nay, để đo và giám sát các tham số của chất lưu rất quan trọng trongnhiều quy trình công nghệ thuộc các lĩnh vực ứng dụng khác nhau như nhiệt kỹthuật, dầu khí, hóa chất, khai thác khoáng sản, … Đo được chính xác các tham sốcủa chất lưu góp phần nâng cao chất lượng, độ ổn định, độ tin cậy và duy trì đượctính năng của các trang thiết bị kỹ thuật trong dây chuyền công nghệ Ví dụ như đolưu lượng, vận tốc, nhiệt độ, áp suất của môi chất lạnh trên đường ống dẫn của hệthống điều hòa không khí công nghiệp để đánh giá hệ thống có làm việc đúng theođiều kiện cho phép không; đo nhiệt độ, áp suất của dầu trong máy ép nhựa; đo độbiến dạng và áp suất của lốp xe để kiểm tra độ an toàn khi hoạt động của xe tảinặng, máy bay; đo nhiệt độ, áp suất, lưu lượng và vận tốc của nước trong hệ thốngđiều hòa water chiller để điều khiển máy nén và bơm đóng cắt theo đúng nhiệt độđặt; đo nhiệt độ, độ ẩm của khí quyển giúp cho dự báo thời tiết và khí hậu; đo nhiệt

độ, áp suất, lưu lượng luồng khí giúp cho cảnh báo cháy nổ trong hầm lò khai tháckhoáng sản, Như vậy, lĩnh vực ứng dụng đo và giám sát các thông số của chấtlưu là rất đa dạng và cần thiết trong rất nhiều ngành khoa học khác nhau

2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

a Ý nghĩa khoa học

Các tham số của chất lưu là nhóm các đại lượng không điện (đại lượng vec tơhoặc vô hướng) Trong thực tế để nâng cao độ chính xác của phép đo các đại lượngnày, người ta sử dụng hai nhóm giải pháp: công nghệ, cấu trúc Trong điều kiệnViệt Nam hiện nay thì giải pháp cấu trúc là khả thi hơn cả, vì nó vừa nâng cao độchính xác các phép đo, vừa giảm được chi phí đầu tư Trong đo lường không điện,vấn đề giảm sai số phi tuyến của phương tiện đo là nhiệm vụ quan trọng Đây là nộidung luận văn đi sâu nghiên cứu và phát triển nhằm đa dạng hóa các giải pháp giảmsai số của phương tiện đo

b Ý nghĩa thực tiễn

Trong thực tế hiện nay, lĩnh vực đo lường và điều khiển đòi hỏi tốc độ xử lý, độchính xác cao và khả năng thay đổi linh hoạt phần cứng của hệ thống Hiện nay cácthiết bị đo lường, giám sát và điều khiển ở Việt nam đa số là nhập ngoại Do đó, giáthành đắt và không chủ động về công nghệ nên sẽ khó xử lý khi gặp sự cố Chính vìvậy, việc nghiên cứu tạo ra các thiết bị đáp ứng được yêu cầu về độ chính xác, tốc

độ cao và điều khiển linh hoạt để thay thế cho các thiết bị nhập ngoại là điều rất cầnthiết hiện nay Ứng dụng các kết quả nghiên cứu lý thuyết, đề tài sẽ thiết kế, chế tạothiết bị đo và giám sát các tham số của chất lưu Ngoài việc minh chứng tính đúngđắn của hướng nghiên cứu, khẳng định độ tin cậy của các kết quả nghiên cứu; đề tàicòn là một đóng góp ban đầu làm cơ sở cho việc chế tạo phương tiện đo đa năng,thay thế một phần các thiết bị ngoại nhập Như vậy, ta sẽ chủ động về công nghệ,thuận lợi trong việc vận hành khai thác và bảo trì, giá thành rẻ

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, tính toán và mô phỏng để kiểm chứng kết quả nghiên cứu;thiết kế, chế tạo phương tiện đo thử nghiệm

+ Xây dựng cấu trúc phần cứng phương tiện đo sử dụng vi điều khiển PIC

+ Xây dựng chương trình xử lý thông tin đo, xử lý và hiển thị kết quả đo

+ Hiệu chuẩn và đánh giá kết quả của phương tiện đo chế thử

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ ĐO THÔNG SỐ CHẤT LƯU, SAI SỐ

ĐO VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH SAI SỐ

1.1 Tổng quan về phương pháp đo lường các đại lượng không điện

1.1.1 Phép đo các đại lượng không điện

Các đại lượng không điện và theo xu hướng chung hiện nay, chúng thườngđược đo bằng phương pháp điện Khi đó cần có các bộ biến đổi đo lường sơ cấp(BĐĐLSC) để biến đổi chúng thành đại lượng điện và sử dụng các thiết bị đo điện

để đo và hiển thị kết quả Quá trình biến đổi ở các bộ BĐĐLSC với mỗi đại lượngkhông điện cần đo là khác nhau và thường được xác định bằng thực nghiệm [1],[2], [4], [5], [15], [20] Chúng được mô tả dưới dạng bảng giá trị, đồ thị hoặc biểuthức toán học và được gọi chung là hàm biến đổi của BĐĐLSC

1.1.2 Khái quát về phép đo và PTĐ đại lượng không điện

1.1.2.1 Khái quát về phép đo các đại lượng không điện [2], [4], [5]

Quá trình sử dụng phương tiện đo để đánh giá định lượng một hoặc một số đạilượng không điện để có kết quả bằng số theo thứ nguyên của đại lượng cần đo gọi

là phép đo các đại lượng không điện Kết quả của phép đo X kq là một giá trị bằng số

của đại lượng cần đo X và đơn vị đo X 0 Như vậy X kq chỉ rõ đại lượng đo lớn hơnhay nhỏ hơn bao nhiêu lần đơn vị của nó và quá trình đo có thể viết dưới dạng:

đo cần căn cứ vào đối tượng đo, điều kiện đo, PTĐ và yêu cầu về độ chính xác củakết quả

Trong đo lường các đại lượng không điện ta có thể sử dụng nhiều cách khácnhau như sau:

 Đo trực tiếp: Là cách đo mà kết quả nhận được từ một phép đo duy nhất.Dụng cụ đo sử dụng để thực hiện phép đo thường tương ứng với đại lượng cần đo Cách đo này được sử dụng khá rộng rãi cho nhiều phép đo như: đo nhiệt độ dùng nhiệt kế, đo áp suất dùng áp kế, …

 Đo gián tiếp: Là cách đo mà kết quả của phép đo được suy ra từ sự phối hợpcủa nhiều phép đo trực tiếp Ví dụ: Đo khối lượng riêng hơi nước, độ nhớt của chấtlỏng thông qua các phép đo trực tiếp nhiệt độ, áp suất; đo lưu lượng thông qua cácphép đo áp suất chênh lệch, …

 Đo hợp bộ: Là cách đo có nguyên tắc tương tự như phép đo gián tiếp nhưng

số lượng phép đo theo cách trực tiếp nhiều hơn và thường phải giải một phươngtrình hay hệ phương trình để tìm kết quả

 Đo thống kê: Là cách đo (trực tiếp hoặc gián tiếp) được thực hiện nhiều lầnsau đó lấy giá trị trung bình các kết quả đo Cách đo này nâng cao được độ chínhxác nhưng mất thời gian nên thường chỉ sử dụng trong một số trường hợp như: yêucầu về độ chính xác của kết quả, tín hiệu đo là ngẫu nhiên hoặc khi kiểm tra độchính xác của dụng cụ đo

1.1.2.2 Khái quát về PTĐ các đại lượng không điện

a Cấu trúc của PTĐ các đại lượng không điện

Cấu trúc tổng quát của PTĐ đo các đại lượng không điện có dạng như hình 1.1gồm BĐĐLSC, kênh truyền thông tin đo (KTTTĐ), phương tiện đo thứ cấp(PTĐTC) và bộ chỉ thị (BCT)

Các PTĐ số hiện nay thường được xây dựng theo hai phương pháp đo: Phươngpháp đo theo cấu trúc biến đổi thẳng và phương pháp đo theo cấu trúc biến đổi cân

bằng (cấu trúc so sánh) Cấu trúc PTĐ số theo kiểu biến đổi thẳng có sơ đồ như hình1.2 gồm BĐĐLSC, biến đổi (BĐ), biến đổi tương tự - số (BĐTT-S) và hiển thị số

(HTS) Đại lượng cần đo X sau khi qua BĐĐLSC được biến đổi thành đại lượng điện,

qua một hoặc một số khâu biến đổi trung gian cuối cùng được hiển thị kết quả trênHTS PTĐ cấu trúc kiểu này có ưu điểm là đơn giản, mức tác động nhanh nhưng độchính xác không cao lắm

Cấu trúc PTĐ số theo kiểu biến đổi cân bằng phức tạp hơn do có thêm khâuphản hồi để thực hiện so sánh như hình 1.3 Ngoài các khối như hình 1.2 có thêm

khối biến đổi ngược (BĐN) và so sánh (SS) để thực hiện so sánh đại lượng Y với đại lượng Y m cùng loại sao cho Y luôn bằng 0 (trạng thái cân bằng) PTĐ cấu trúc

kiểu này cho độ chính xác cao nhất hiện nay nhưng khó chế tạo và độ chính xác phụthuộc lớn vào khâu BĐN

b Các tham số cơ bản của PTĐ [2], [4], [5]

Trong trường hợp chung hàm biến đổi thực tế

(1.2) có đầy đủ các thành phần sai số trên và có thể

mô tả như hình 1.4

Trong thực tế hàm biến đổi của PTĐ còn bao

gồm một loạt các tham số

danh định đặc tính khắc độ của PTĐ: a 1 , a 2 , , a n và

có thể được mô tả tổng quát như sau:

BCĐĐSC đo không điện

Theo nguyên lý chuyển đổi

Theo tính chất nguồn điện

Theo phương pháp đo

Chuyển

đổi điện

trở

Chuyển đổi tĩnh điện

Chuyển đổi nhiệt điện

Chuyển đổi thông số

Chuyển

đổi

điện từ

Chuyển đổi hóa điện

Chuyển đổi điện

tử và ion

Chuyển đổi phát điện

Chuyển đổi thông số

Chuyển đổi trực tiếp

Chuyển đổi bù

Hình 1.5: Phân loại BCĐ ĐSC đo các đại lượng không điện

Phân loại dựa trên nguyên lý chuyển đổi

Phân loại dựa trên tính chất nguồn điện

Phân loại theo phương pháp đo:

1.2 Sai số của phương pháp đo (PPĐ) không điện

1.2.1 Các thành phần sai số đo đại lượng không điện

Các thành phần sai số đo đại lượng không điện rất đa dạng và phức tạp Theoquy luật xuất hiện trong quá trình thực hiện phép đo (với PTĐ có cấu trúc tổng quátnhư hình 1.1), thường được phân ra thành hai nhóm chính là sai số hệ thống và sai

số ngẫu nhiên [2], [4], [5] Sai số hệ thống là một hàm xác định của các tham sốkhông ngẫu nhiên và gây ra sự sai lệch giữa hàm biến đổi thực tế và hàm biến đổidanh định Về nguyên tắc, sai số hệ thống có thể loại trừ được Sai số ngẫu nhiên làsai số không cố định được đánh giá theo quy luật xác suất và thống kê toán học

1.2.2 Sai số tổng cộng của PTĐ không điện

Sai số tổng cộng của PTĐ các đại lượng không điện gồm hai thành phần chính

là sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên Từ cấu trúc tổng quát của PTĐ đưa ra ở hình1.1 cho thấy: sai số tổng cộng của PTĐ sẽ là tổng sai số của BĐĐLSC, KTTTĐ vàsai số của PTĐTC Việc tính sai số tổng cộng là một vấn đề phức tạp và trong thựctế, mỗi thành phần được xác định từ các phương pháp khác nhau

Một trong những phương pháp giảm sai số hệ thống được ứng dụng rộng rãihiện nay là hiệu chỉnh sai số của phương tiện đo bằng phương pháp cấu trúc Nhómphương pháp này rất đa dạng, đã được nghiên cứu phát triển từ rất sớm và đạt đượcnhiều thành tựu trong thực tế Kế thừa kết quả của các công trình trước, luận văn sẽđề xuất và nghiên cứu một phương pháp cấu trúc hiệu chỉnh phi tuyến giảm sai sốtrên cơ sở kết hợp nội suy bậc hai qua ba điểm dữ liệu kế tiếp và nội suy Spline

1.3 Hiệu chỉnh sai số của phương tiện đo không điện bằng phương pháp cấu trúc

1.3.1 Tổng quan về hiệu chỉnh sai số của PTĐ

Hiệu chuẩn sai số đo là tập hợp các thao tác nhằm phát hiện, đánh giá sai số vàtạo ra tín hiệu hiệu chỉnh tương ứng tác động vào PTĐ, nhằm đạt đến độ chính xáccần thiết của PTĐ Bản chất của quá trình này là làm cho hàm biến đổi thực tĩnhtiến dần đến đặc tính biến đổi danh định nhờ tín hiệu hiệu chỉnh Tín hiệu này là

hiệu giữa hàm biến đổi thực tĩnh và đặc tính biến đổi danh định, tức là sai số củaPTĐ.

Khi xây dựng hệ thống hiệu chỉnh trong PTĐ các đại lượng không điện cầncăn cứ vào đặc điểm của đối tượng đo; yêu cầu về độ chính xác, độ tin cậy, mức tácđộng, … mà xây dựng hệ thống dựa trên cấu trúc nào cho phù hợp Cũng có thể kếthợp các phương thức hiệu chỉnh trên để nâng cao chất lượng của PTĐ Hiện nay,nhóm các phương pháp cấu trúc thường thực hiện theo các phương pháp cụ thể sau:Phương pháp hiệu chỉnh đơn các sai số thành phần, phương pháp biến đổi ngược,phương pháp dùng mẫu và phương pháp biến đổi lặp

1.3.2 Các phương pháp tự động hiệu chỉnh sai số của PTĐ không điện

1.3.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh đơn các sai số thành phần

Phương pháp hiệu chỉnh đơn các sai số thành phần hay còn gọi là phươngpháp đo phụ dựa trên cơ sở tính toán các thành phần sai số do ảnh hưởng của cácyếu tố  tác động lên hàm biến đổi thực của thiết bị đo [26], [27] ; hiệu số giữa giátrị thực và danh định của các yếu tố i xác định là tín hiệu điều khiển quá trình hiệuchỉnh

Hình 1.6: Sơ đồ cấu trúc của phương pháp đo phụ

Quá trình này được thực hiện theo cấu trúc hình 1.6 gồm các khối đo phụ:ĐP1, ĐP2, …, ĐPn Các khối này để đo các yếu tố ảnh hưởng 1 , 2 , …, n và tiến

TBĐĐP2

TBTT

zk()

hành tính sai số đo  theo những tham số đã biết đối với PTĐ dựa theo sự phụthuộc:

 = (1 , 2 , …, n ) (1.3)

1.3.2.2 Phương pháp biến đổi ngược

Phương pháp biến đổi ngược được thực hiện theo sơ đồ cấu trúc như hình 1.10.Trong phương pháp này tín hiệu điều khiển quá trình hiệu chỉnh là sai số quy về đầuvào của PTĐ, tức là hiệu giữa giá trị danh định (được xác định theo đặc tính biến đổidanh định khi biết giá trị đầu ra của PTĐ) và giá trị thực của đại lượng đầu vào Dođó cần phục hồi lại về mặt vật lý giá trị danh định của đại lượng cần đo vì cần so sánhnó với giá trị thực Nhiệm vụ trên được thực hiện bởi bộ biến đổi ngược: X N f N 1 Y

với f N 1 Y

là hàm ngược của đặc tính biến đổi danh định của thiết bị đo TBTT sẽ

thực hiện tính ra tín hiệu hiệu chỉnh z k (X) = X N - X . Tín hiệu này có thể sử dụng trongcác hệ thống tự hiệu chuẩn hay trong hệ thống tự động đưa vào số hiệu chỉnh [28]

Hình 1.7: Sơ đồ cấu trúc của phương pháp biến đổi ngược

Trên hình 1.7 đưa ra một ví dụ về ứng dụng phương pháp biến đổi ngược theokiểu tự hiệu chuẩn Đó là một bộ khuếch đại đo lường tuyến tính gồm 2 tầng khuếch

đại (KĐ1, KĐ2) có hệ số khuếch đại lần lượt là K 1 , K 2 mắc nối tiếp nhau

1.3.2.3 Phương pháp sử dụng tín hiệu mẫu [30], [32]

Phương pháp sử dụng tín hiệu mẫu được thực hiện theo cấu trúc hình 1.8

Trong đó, khối chuyển mạch (CM) sẽ thực hiện kết nối tín hiệu cần đo X và các tín hiệu mẫu cùng loại X m1 , X m2 , … , X mn với PTĐ Khối xử lý số (XLS) thực hiện cácthuật toán xử lý thông tin đo

TBĐ

ĐP2X

Hình 1.8: Sơ đồ cấu trúc của phương pháp dùng mẫu 1.3.2.4 Phương pháp biến đổi lặp[27], [30], [32]

Phương pháp biến đổi lặp thực chất là hiệu chuẩn sai số với việc tạo ra tín hiệuhiệu ở đầu ra Quá trình thực hiện thường được thực hiện theo nguyên lý phân kênhtheo thời gian với cấu trúc như hình 1.9

Hình 1.9: Sơ đồ cấu trúc của phương pháp biến đổi lặp

1.3.3 Thay thế hàm biến đổi của BCĐĐSC bằng hàm toán học và hiệu chỉnh phi tuyến hàm biến đổi của PTĐ

1.3.3.1 Thay thế hàm biến đổi của BCĐĐSC bằng hàm toán học

Phần lớn các BCĐĐSC có hàm biến đổi phi tuyến và được cho dưới dạngbảng giá trị, đồ thị hoặc biểu thức toán học Để thuận tiện cho quá trình biến đổitiếp theo cần phải thay thế chúng bằng một hàm toán học có dạng đơn giản phù hợpcho việc xử lý thông tin đo lường Các biểu thức toán học thường được sử dụng đểthay thế cho hàm biến đổi của BCĐĐSC gồm đa thức bậc nhất, bậc cao hay hàm

mũ [19] Để thực hiện việc này ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau như:nội suy Lagrange hay bình phương nhỏ nhất

1.3.3.2 Hiệu chỉnh phi tuyến hàm biến đổi của PTĐ

Đối với các BCĐĐSC của PTĐ có hàm biến đổi dạng khá tuyến tính trongphạm vi đo hẹp hoặc không cần độ chính xác quá cao ta có thể sử dụng hàm gầnđúng là đa thức bậc nhất Đây là phương pháp thay thế đơn giản nhất Để giảm nhỏsai số hơn nữa người ta thường chia giới hạn biến đổi thành nhiều đoạn và hàm gầnđúng có dạng một đường gấp khúc gồm nhiều đoạn thẳng liên tiếp nhau [1]

1.4 Kết luận chương 1

1 Việc phân loại các đại lượng không điện theo bản chất vật lý ở phần

1.1.2.3 là cơ sở để lựa chọn đối tượng và phương pháp thích hợp cho bài toán hiệu

chỉnh sai số của PTĐ

2 Việc phân tích đặc điểm của các sơ đồ cấu trúc tổng quát của PTĐ chophép lựa chọn phương án thiết kế PTĐ các đại lượng không điện theo mục đích sửdụng Để thiết kế các PTĐ có mức tác động cao với độ chính xác không quá cao thìchọn PTĐ theo cấu trúc biến đổi thẳng Nếu cần ưu tiên độ chính xác của PTĐ thìlựa chọn cấu trúc biến đổi cân bằng (cấu trúc so sánh) Ngoài ra cũng có thể thiết kếPTĐ với cấu trúc hỗn hợp để đạt được cả hai yêu cầu về mức tác động và độ chínhxác

3 Quá trình phân tích sai số đo các đại lượng không điện cho thấy độ chínhxác của PTĐ phụ thuộc rất lớn vào hai yếu tố: Tính phi tuyến của hàm biến đổi củaBCĐĐSC và sai số biến đổi gây ra bởi tác động của các đại lượng ảnh hưởng Đểgiảm sai số của PTĐ có thể sử dụng giải pháp kết hợp giữa hai khâu: Thay thế hàmbiến đổi phi tuyến của BCĐĐSC bằng biểu thức toán học phù hợp với ngưỡng sai

số thay gần đúng cho trước và giảm hoặc loại trừ sai số biến đổi dưới tác động củacác đại lượng ảnh hưởng bằng phương pháp biến đổi lặp

4 Đa phần các đại lượng không điện có thể đo được bằng phương pháp đo trựctiếp, nhưng có một số đại lượng phải thực hiện bằng phương pháp đo gián tiếp Việcgiảm sai số trong phép đo trực tiếp và gián tiếp các đại lượng không điện sẽ lần lượtđược giải quyết trong các chương sau của luận văn

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG THUẬT TOÁN XỦ LÝ THÔNG TIN ĐO BẰNG

NỘI SUY SPLINE 2.1 Một số phương pháp xử lý thông tin đo bằng nội suy

2.1.1 Các phương pháp xử lý phi tuyến hàm biến đổi trong PTĐ bằng nội suy

Phần lớn các bộ biến đổi đo lường sơ cấp (BĐĐLSC) có hàm biến đổi được chodưới dạng bảng giá trị Để thuận tiện cho việc xử lý kết quả tiếp theo ta có thể thaythế bảng khắc độ bằng một trong các biểu thức toán học như dưới đây [2] , [9], [28]:

Ở đây : X, Y - Các biến hay thực tế là các tác động đầu vào và đầu ra của BĐĐLSC;

a, b, c, d, D - Các hệ số biến đổi cần phải xác định (hệ số tiệm cận hoá).

Trong đo lường khi tính toán hàm biến đổi của BĐĐLSC với sai số cho trước,phương án tối ưu nhất là tìm được hàm nội suy đặc tính khắc độ càng đơn giản càngtốt Điều này tạo thuận lợi cho việc xử lý và đơn giản hoá cấu trúc bộ biến đổi thứcấp Trong số các hàm nội suy thay cho đặc tính khắc độ của BĐĐLSC phải kể tớicác dạng thông dụng (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) [13]

Hiện nay phương tiện đo (PTĐ) số đa năng đo các đại lượng không điện có thể

là sự kết hợp giữa BĐĐLSC, bộ biến đổi tương tự-số (BĐTT-S) với bộ vi xử lýhoặc thiết bị tính toán, … trong đó các thao tác tính toán, hiệu chuẩn phi tuyến hàmbiến đổi và điều khiển đều được thực hiện thông qua lập trình Điều này cho phépđơn giản hóa thiết bị và mềm dẻo các tính năng của PTĐ Sau đây ta xét các giải pháphiệu chuẩn phi tuyến hàm biến đổi BĐĐLSC trong PTĐ khi hàm biến đổi đó đượcnội suy bằng đa thức bậc nhất và bậc hai

2.1.2 Lựa chọn dạng hàm và khoảng nội suy tối ưu

Vì đại lượng đo trong phép đo cụ thể nằm gần nhất 1 điểm khắc độ và đặc tínhkhắc độ trong trường hợp chung là phi tuyến nên hàm khắc độ của PTĐ thườngđược thay thế bằng các dạng (2.2), (2.3) hoặc (2.4) Dựa vào độ lệch nhỏ nhất giữahàm nội suy so với đặc tính khắc độ, cách tính kết quả đo, điều kiện ràng buộc của

dữ liệu khắc độ cho trước mà cần xác định hàm nào trong các hàm đưa ra ở trên làhàm nội suy tối ưu

Cơ sở để thay đặc tính khắc độ bằng các hàm nội suy là phương pháp bìnhphương nhỏ nhất [3] Điều kiện ban đầu để nội suy: Đối hàm mũ và đa thức bậc 2 là

3 cặp dữ liệu khắc độ X i-1 , Y i-1 , X i , Y i , X i+1 , Y i+1; đối với đa thức bậc 3 là 4 cặp dữ liệu

X i-1 , Y i-1 , X i , Y i , X i+1 , Y i+1 , X i+2 ,Y i+2 Giả sử đại lượng đo được gần Y i hoặc Y i+1 Các hệ

số biến đổi của hàm nội suy dạng đa thức bậc 2, bậc 3 dễ dàng tính theo phương

pháp định thức Các hệ số biến đổi b, c của hàm nội suy dạng mũ

X ce b

i

i i i

Y Y

Y

Y Y Y a

2 1 1

;

` 1 1ln

i i

X X

a Y

a Y

i

e

a Y

b (2.9)

Ta xét hàm nội suy là hàm mũ Giả sử đoạn khắc độ X i-1 X i+1 là tuyến tính và

X i là trung đoạn của X i-1 X i+1; theo (2.9) thì Y i1Y i1 2Y i 0 Tức là hệ số a, tiếp theo b, c là không xác định và bài toán không có lời giải Nói cách khác việc

tính các hệ số biến đổi liên quan chặt chẽ với dạng đặc tính và độ giãn cách dữ liệu

Trong trường hợp tổng quát hơn cần chọn trước a, sau đó tính b, c [3] Tuy nhiên để chọn được a chính xác, sau đó tính b, c thì trong chương trình cần thêm số vòng lặp

đủ lớn Đây chính là nhược điểm của nội suy bằng hàm mũ

Nếu hàm nội suy là đa thức bậc 3 thì việc tính giá trị đại lượng cần đo làkhông đơn giản Nghiệm của phương trình bậc 3 (kết quả đo) được xác định gần

đúng bằng một trong các phương pháp: chia đôi, lặp, dây cung [3] Điều này làmcho chương trình tính phức tạp hơn, sai số tính phụ thuộc vào số lượng bước tính,

độ hội tụ kết quả

Nếu hàm nội suy là đa thức bậc 2 thì việc tính hệ số biến đổi và kết quả đo(nghiệm phương trình bậc 2) dễ dàng thực hiện với sai số nội suy trong trường hợp

đã xét là nhỏ nhất [8] Như vậy hàm nội suy tối ưu thay thế đặc tính khắc độ củaBĐĐLSC dựa theo các tiêu chí nêu trên là đa thức bậc 2 đủ trong khoảng hẹp gồm

3 điểm khắc độ kế tiếp

2.2 Cơ sở lý thuyết nội suy spline

Phương pháp nội suy bằng đa thức có nhược điểm là nếu số mốc nội suy tănglên thì bậc đa thức cũng tăng lên [3] Điều này rất bất lợi cho việc tính toán Ta cóthể thực hiện phép nội suy nhờ những hàm ghép trơn (spline), là những đa thức từngkhúc được ghép với nhau một cách trơn tru [24]

Xét một cách chia đoạn [a,b], ta có:

 ={a=x 0 <x 1 <x 2 < <x n =b} (2.10)

Hàm spline bậc m trênlà hàm số:

- Thuộc lớp C[a,b]m-1 (m 1) là lớp hàm liên tục, có đạo hàm liên tục tới cấp m-1

- Là đa thức bậc m trên mỗi đoạn nhỏ j= {xj-1, ,xj} , với j =1 ,n

Gọi Pm là tập các đa thức bậc m;  m - là tập các hàm spline trên thì tacó Pmm,  m- là không gian tuyến tính Giả sử Sm  m , Sm đượctạo bởi n đa thức bậc m trên n đoạn, mà mỗi đa thức gồm (m+1) hệ số tự do Nhưvậy để có Sm cần phải có n(m+1) hệ số Nhưng theo cách chia đoạn nên có (n-1)điểm nối Xi (i =1 ,n 1) tại đó có đạo hàm cấp (m-1), nên đã bớt được m(n-1) điềukiện Vậy số điều kiện còn thiếu là:

n.(m+1)-m.(n-1) = n+m (2.11)

Từ phương pháp luận nêu trên ta có thể xây dựng mô hình bài toán như sau:

Giả sử hàm f(x) xác định trên đoạn [a,b] Hãy tìm hàm spline Sm sao cho:

Sm(xi) = f(xi) =yi với i =0 ,n (2.12)

Trong đó : a = x 0 <x 1 <x 2 < <x n =b (2.13)

Theo các suy luận trên ta cần (n+m) điều kiện Nhờ điều kiện(2.8) nên ta đã có(n+1) giá trị tại các điểm xi ( i =0 ,n) Vậy số điều kiện còn thiếu là (m-1) (với m

>1) Số điều kiện thiếu đó sẽ được bổ sung nhờ điều kiện biên x0= a, xn = b

Phương pháp giải mô hình được thực hiện như sau:

Tổng quát nếu có (n+1) điểm ta cần n hàm spline bậc 3 có dạng :

f i (x) = A 1i +A 2i x+A 3i x 2 +A 4i x 3 + ,( i =1 ,n ) (2.14)

Có 4n hệ số Aij có thể xác định theo các điều kiện sau:

Hàm Cubies phải gặp tất cả các điểm ở bên trong ta có 2n phương trình :

f 1 (x i ) = y i , với i =1 ,n (2.15)

f i+1 (x i ) = y i , với i =1 ,n 1 (2.16) Đạo hàm bậc một phải liên tục ở bên trong dẫn đến được (n+1) phương trình:

f’ i+1 (x i ) = f i (x i ) với i =1 ,n 1 (2.17) Đạo hàm bậc 2 phải liên tục tại các điểm bên trong, thêm được n-1 phương trình nữa :

f’’ i (x i ) = f’’ i+1 (x i ) với i =1 ,n (2.18) Hai điều kiện cuối cùng dựa vào hai điểm cuối của đường spline, ở đây thường đặt:

f’’ 1 (x 0 ) = 0 và f’’ n (x n ) = 0 (2.19)Sắp xếp lại hàm fi(x) ta cần (n-1) phương trình cần thiết để giải,dạng :

Đạo hàm phương trình này và áp dụng điều kiện liên tục đạo hàm bậc nhất ta được:

3 4 4 2

2 3 3 1

1 2 2

)

3 2 1

1

4 3 2

3 3

2 1

2 2

1

6 ('

'

) (' '

) (' '

) (' '

( 2 0

0

0 0

0 )

( 2 0

0 )

( 2

0 0

n n

x

y x y

x

y x y x

y x y x

y x y

x f

x f

x f

x f

x x

x x x

x x

x x

x x

Ký hiệu ma trận tương đương là :

n n n

f e

g f e

g f e

g f e

g f

1 1 1

3 3 3

2 2 2

1 1

.

.

.

x x x

1

3 2 1

.

. =

.

n

n r r

r r r

(2.23)

2.3 Thuật toán hiệu chỉnh sai số đo bằng nội suy spline

Mục tiêu của bài toán là tìm một hàm toán học thích hợp để thay thế cho hàmbiến đổi dạng không đơn điệu Y i  (X ) i , i 0,1, , n của PTĐ dựa vào một số hữuhạn các cặp giá trị của BCĐĐSC để giảm sai số, đặc biệt là tại các điểm đột biến độnhạy Giải pháp được đề xuất ở đây là ứng dụng phương pháp "ghép trơn đườngcong" trên cơ sở nội suy spline bậc 3 [24], [25] để xây dựng thuật toán hiệu chỉnhphi tuyến hàm biến đổi của PTĐ Theo phương pháp này, trên mỗi đoạn của đặctính biến đổi xác định bởi cặp dữ liệu (Xi, Xi+1), trong đó chứa điểm dữ liệu cần đo

sẽ được thay thế bằng đường cong nội suy bậc 3 Theo đó, đặc tính của PTĐ cũng

sẽ được xây dựng thông qua bảng giá trị

Các bước xử lý tín hiệu được thực hiện tuần tự như sau [25]:

Bước 1: Nhập dữ liệu của bảng dữ liệu Yi (X )i vào bộ nhớ trong thiết bị tính

Bước 2: Nhận kết quả đo Y từ BĐTT-S

Bước 3: Kiểm tra các điều kiện: