Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của không gian metric xác suất

Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Đại số σ -đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp 1.1.2 σ -đại số tập hợp Độ đo đại số tập hợp 1.2.1 Hàm tập hợp 1.2.2 Độ đo đại số tập hợp 1.2.3 Độ đo 1.2.4 Độ đo đủ 10 1.3 Hàm đo 10 1.4 Không gian mêtric 10 1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn 11 1.5.1 Không gian tuyến tính 11 1.5.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 11 Đại lượng ngẫu nhiên hàm mật độ 13 1.6 ĐỘ ĐO THỰC 15 2.1 Khái niệm độ đo thực 15 2.2 Khai triển Hahn 17 2.3 Khai triển Jordan 21 KHAI TRIỂN ĐỘ ĐO 27 3.1 Tính khai triển Jordan 27 3.2 Một số kết khác phân tích độ đo 31 KHOẢNG CÁCH XÁC SUẤT 4.1 4.2 33 Khoảng cách biến phân toàn phần khoảng cách Hellinger 33 4.1.1 Khoảng cách biến phân toàn phần 33 4.1.2 Khoảng cách Hellinger 40 Mối quan hệ khoảng cách biến phân toàn phần khoảng cách Hellinger 44 4.3 Một số ví dụ 44 4.4 Các khoảng cách xác suất khác 47 4.4.1 Khoảng cách Prokhorov 48 4.4.2 Khoảng cách Kantorovich 48 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 49 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em tài liệu nghiên cứu động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận Trong trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ thầy cô giáo Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt thầy cô Bộ môn Giải tích, bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ quý báu nói Sơn La, tháng năm 2016 Người thực Sinh viên: Lường Văn Văn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Chúng ta biết lý thuyết độ đo nói chung, lý thuyết xác suất nói riêng lý thuyết không gian metric hai ngành hẹp giải tích toán học với nhiều chuyên ngành toán học khác Ngày với phát triển sâu rộng ngành nội toán học thu nhiều kết sâu sắc Tuy hướng nghiên cứu quan tâm không đối tượng (toán học) dùng nhiều phương tiện phương pháp khác toán học đồng thời nghiên cứu chúng Có thể nói hướng đột phá thành công theo cách làm nói thuộc nhà toán học Ba Lan, Banach nghiên cứu không gian (trong giải tích) vừa thỏa mãn giả thiết không gian tuyến tính (trong đại số) Gần đây, nhà toán học bắt đầu quan tâm tới việc nghiên cứu lý thuyết độ đo (trên không gian đo) không gian metric Điều thuận lợi sử dụng công cụ, kết tổng quát hai không gian Sự đời của lý thuyết độ đo không gian metric nói lần cho nghiên cứu nhà toán học người Pháp M R Fortet, E Mounier Prokhorov vào năm 50-60 kỉ trước Ở đó, lần đầu tiên, việc nghiên cứu lý thuyết trình ngẫu nhiên nhìn nhận nghiên cứu lý thuyết xác suất phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric Từ đến nay, lý thuyết độ đo nói chung lý thuyết xác suất nói riêng không gian metric phát triển mạnh mẽ với nhiều toán lớn đặt giải quyết, nhiều câu hỏi chưa có lời giải đáp, cần tiếp tục quan tâm nghiên cứu Ngày nay, nói lý thuyết nói phát triển tương đối hoàn thiện, dòng lý thuyết nhìn nhận giải tích hàm môi trường ngẫu nhiên Nó nằm ranh giới giải tích hàm, lý thuyết xác suất, lý thuyết độ đo - tích phân lý thuyết trình ngẫu nhiên Trong chương trình ngành đại học sư phạm toán Khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc, sinh viên nghiên cứu hai học phần độ đo (sau lý thuyết xác suất) không gian metric cách hoàn toàn độc lập với Lẽ dĩ nhiên với thời lượng cho phép với lượng kiến thức phong phú môn việc học tập nghiên cứu khó khăn Vì nhằm nâng cao hiệu học tập thông qua việc tìm hiểu sâu chủ đề lý thuyết với thực tiễn qua nội dung môn, chọn đề tài ”Bước đầu nghiên cứu số tính chất không gian metric xác suất” để tìm hiểu nghiên cứu Nhằm hệ thống cách tường minh, mạch lạc lý thuyết độ đo không gian metric, qua nêu lên vài ứng dụng lý thuyết thực tiễn Mục đích nghiên cứu khóa luận Khóa luận nghiên cứu nhằm đạt mục đích sau đây: - Trình bày kiến thức lý thuyết không gian metric, không gian định chuẩn, không gian đo; - Trình bày sở độ đo thực vấn đề liên quan; - Trình bày sơ lược kết lý thuyết độ đo không gian metric; - Tìm hiểu trình bày lại vấn đề kiến thức có liên quan cách có hệ thống logic Đối tượng nghiên cứu - Các khái niệm, tính chất kết không gian metric không gian đo; - Độ đo thực khoảng cách không gian metric; - Khoảng cách xác suất không gian metric; Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu toán học với công cụ kỹ thuật truyền thống lý thuyết chuyên ngành giải tích - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn môn Cấu trúc khóa luận Từ mục đích nhiệm vụ đặt bố cục khóa luận xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm bốn chương Chương Kiến thức chuẩn bị Hệ thống nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu nội dung khóa luận chương như: Lý thuyết độ đo, hàm đo Tiếp trình bày số kiến thức sở không gian metric, không gian tuyến tính định chuẩn Cuối chương 1, dành cho việc trình bày số kiến thức đại lượng ngẫu nhiên hàm mật độ Chương Độ đo thực Chúng trình bày thêm khái niệm độ đo thực Ngoài chương trình bày thêm khai triển Hahn khai triển Jordan Chương Khai triển độ đo Từ Chương đưa số kết nhận Trong quan trọng tính khai triển Jordan Chương Khoảng cách xác suất Đây chương quan trọng khóa luận Trong chương này, bước đầu nghiên cứu khoảng cách xác suất, bao gồm khoảng cách biến phân toàn phần, khoảng cách Hellinger mối liên hệ chúng Cuối khóa luận trình bày thêm số khoảng cách khác, khoảng cách Prokhorov, khoảng cách Kantorovich Đóng góp khóa luận Khóa luận trình bày số kết định việc nghiên cứu số khoảng cách xác suất, khoảng cách biến phân toàn phần khoảng cách Hellinger Ngoài khóa luận hệ thống kiến thức độ đo, độ đo thực số kết khác có liên quan Khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên quan tâm đến vấn đề nghiên cứu khóa luận Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức sở đại số, độ đo không gian metric, không gian tuyến tính định chuẩn, làm sở cho nghiên cứu chương sau 1.1 Đại số σ-đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp Định nghĩa 1.1 Cho X tập tùy ý khác rỗng Ta gọi C tập X đại số X thỏa mãn tính chất sau: a) X ∈ C b) Nếu A ∈ C CA ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∪ B ∈ C Ngoài ta kiểm tra C đại số tập X dựa vào bổ đề sau Bổ đề 1.2 C đại số tập X C thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ C b) Nếu A ∈ C CA ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∩ B ∈ C 1.1.2 σ-đại số tập hợp Định nghĩa 1.3 Cho X tập tùy ý khác rỗng Một họ F tập X gọi σ -đại số X thỏa mãn điều kiện: a) X ∈ F b) Nếu A ∈ F CA ∈ F ∞ c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F An ∈ F n=1 Ta kiểm tra F σ - đại số tập X dựa vào bổ đề sau Bổ đề 1.4 F σ - đại số tập X F thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ F b) Nếu A ∈ F CA ∈ F ∞ c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F An ∈ F n=1 1.2 Độ đo đại số tập hợp 1.2.1 Hàm tập hợp Định nghĩa 1.5 Cho X = ∅, C - họ tập X Hàm µ :C → R = R ∪ {−∞; +∞} A → µ(A) Khi ta nói hàm µ hàm tập hợp Hơn ta gọi i) µ có tính chất cộng tính ∀A, B ∈ C, A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) ii) µ gọi có tính chất σ - cộng tính ∀{An }n∈N∗ ⊂ C cho ∞ Ai ∩ Aj = ∅(i = j), An ∈ C n=1 ∞ µ ∞ An n=1 = µ(An ) n=1 1.2.2 Độ đo đại số tập hợp Định nghĩa 1.6 Một hàm tập µ đại số C - tập X Khi µ gọi độ đo nếu: (i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C (ii) µ(∅) = (3i) µ có tính chất σ - cộng tính Khi ta gọi µ(A) độ đo A, ∀A ∈ C 1.2.3 Độ đo Định nghĩa 1.7 Hàm tập hợp µ∗ xác định σ -đại số P(X) tất tập X gọi độ đo µ∗ thỏa mãn điều kiện: a) µ∗ (A) ≥ với A ⊂ X ; b) µ∗ (∅) = 0; c) µ∗ σ -cộng tính dưới, nghĩa A ⊂ ∞ An n=1 ∞ ∗ µ∗ (An ) µ (A) ≤ n=1 Bây ta tìm cách mở rộng độ đo đại số tới độ đo σ - đại số bao hàm σ - đại số sinh đại số cho Định lý 1.8 Nếu m độ đo đại số C tập tập X , hàm tập hợp µ∗ xác định xác định P(X) công thức: ∞ ∗ ∞ m(An ) | {An }n∈N ⊂ C, µ (A) = inf{ n=1 An ⊃ A} (1.1) n=1 độ đo X µ∗ (A) = m(A) với A ∈ C Hơn nữa, tập thuộc σ - đại số F(C) sinh C µ∗ - đo 1.2.4 Độ đo đủ Định nghĩa 1.9 Ta nói độ đo µ σ -đại số F độ đo đủ với tập tập thuộc F có độ đo không đo Định lý 1.10 Tập A ⊂ R đo Lebesgue A thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Với > tồn tập mở G ⊃ A cho µ∗ (G \ A) < b) Với > tồn tập đóng F ⊂ A cho µ∗ (A \ F ) < Trong µ∗ độ đo xác định độ đo m cảm sinh độ đo µ 1.3 Hàm đo Định nghĩa 1.11 Cho (X, F, µ) không gian đo, lấy A ∈ F Ta nói f : A → R hàm đo A ∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F Khi X = Rk µ độ đo Lebesgue σ -đại số L ta nói hàm f đo Lebesgue hay gọn đo (L) Định lý 1.12 ( Định lí Levi hội tụ đơn điệu) Giả sử {fn } dãy tăng hàm đo không âm hội tụ tới f Khi f dµ = lim fn dµ n→∞ X 1.4 X Không gian mêtric Định nghĩa 1.13 Cho tập X = ∅ Ta gọi hàm số thực: ρ: X ×X → R → ρ(x, y) (x, y) metric (hay khoảng cách) X ρ thỏa mãn điều kiện sau: 10 Ta có (µ − ν)+ (Ω) = (p − q)+ dλ = sup ((µ − ν)(A)) A∈A Ω = sup (µ(A) − ν(A)) A∈A (ν − µ)+ (Ω) = (q − p)+ dλ = sup ((ν − µ)(A)) A∈A Ω = sup (ν(A) − µ(A)) A∈A V (µ − ν, Ω) = |µ − ν|(Ω) = |p − q|dλ = sup |µ(A) − ν(A)| A∈A Ω Như dT V (µ, ν) = sup |µ(A) − ν(A)| A∈A = |p − q|dλ Ω Nhận xét 4.3 (i) Giá trị dT V (µ, ν) không phụ thuộc vào cách chọn độ đo λ (ii) ta để ý 2dT V (µ, ν) khoảng cách p q không gian định chuẩn L1 (Ω, λ)( p − q ) Phép chứng minh cho ta kết thú vị sau: Mệnh đề 4.4 dT V (µ, ν) = sup g k |µ(Ai ) − ν(Ai )| i=1 k g : Ω = Ai phân hoạch đo Ω i=1 Chứng minh Điều có V (µ − ν, Ω) = |µ − ν|(Ω) = |p − q|dλ Ω k V (µ − ν, Ω) = |µ − ν|(Ω) = sup g 36 |µ(Ai ) − ν(Ai )| i=1 k g : Ω = Ai phân hoạch đo Ω i=1 Mệnh đề 4.5 Giả sử µ, ν độ đo xác suất Ω, lúc dT V (µ, ν) = max | |h|≤1 hdµ − Ω hdν| Ω h : Ω → R hàm đo thỏa mãn |h(x) ≤ 1| Trước tiên ta giải toán sau: Bổ đề 4.6 Giả sử f hàm không âm Ω khả tích độ đo λ Xét hàm tập ν : A → R cho ν(A) = f dλ với A ∈ A A Nếu g hàm khả tích Ω ν gf khả tích Ω λ gdν = A gf dλ A với A ∈ A Chứng minh Trường hợp g hàm đặc trưng g = χE với E ∈ A   1 x ∈ E g(x) = χE (x) =  0 x ∈ Ω \ E lúc rõ ràng g đo gdν = A χE dν = A dν A∩E = ν(E ∩ A) = f dλ E∩A = χE f dλ = A gf dλ A n αi χAi (x) với x ∈ A Trường hợp g hàm đơn giản A, giả sử g(x) = i=1 37 Ta có n n gdν = A αi χAi dν αi χAi dν = i=1 A n i=1 A n αi = i=1 αi χAi dν = i=1 A χAi f dλ A n n αi χAi f dλ = = i=1 A = (αi χAi )f dλ A i=1 gf dλ A Trường hợp g hàm đo không âm Khi tồn dãy đơn điệu tăng hàm đơn giản không âm (gn )n hội tụ g Ta có (gn f )n dãy đơn điệu tăng hàm không âm hội tụ gf , theo định lý Levi hội tụ đơn điệu ta gdν = lim gn dν = lim n→∞ A gn f dλ = n→∞ A A gf dλ A Trường hợp g hàm khả tích bất kì, ta có g + dν = A g + f dλ g − dν = A A g − f dλ A số hữu hạn Vậy A g − dν = g + dν − gdν = A A A (g + f − g − f )dλ = = A g − f dλ g + f dλ − A gf dλ A Chứng minh (Mệnh đề 4.5) Dễ thấy tồn độ đo λ cho µ [...]... là một nửa chuẩn trên E Định nghĩa 1.16 Không gian vector E cùng với chuẩn ρ xác định trên E được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết ρ(x) = x và gọi số x là chuẩn của vector x Định nghĩa 1.17 Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không. .. z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X Cặp (X, ρ), với ρ là metric trên X được gọi là một không gian metric 1.5 1.5.1 Không gian tuyến tính định chuẩn Không gian tuyến tính Định nghĩa 1.14 Ta nói X là một không gian tuyến tính trên trường số K (thường xét K = R hoặc C), nếu với mọi x, y ∈ X xác định hai phép toán: cộng véctơ x + y và nhân véctơ với một số thuộc trường K: αx, thỏa mãn các tiên đề sau: a) Giao... tục trên E Định nghĩa 1.21 Cho E, F là các không gian định chuẩn trên trường K Khi đó E, F vừa là không gian vector vừa là không gian metric sinh bởi chuẩn trên E, E Định nghĩa 1.22 Cho X là một không gian tuyến tính Ta nói X là không gian tuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số, gọi là chuẩn của x (kí hiệu x ) thỏa mãn ba tiên đề sau: 1) Xác định dương: ∀x ∈ X : x ≥ 0 Đẳng thức xảy... = |λ| x Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λ ∈ C 3) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X : x + y ≤ x + y Mọi không gian tuyến tính định chuẩn (X, ) là không gian metric với khoảng cách được xác định như sau: ∀x, y ∈ X 1.6 d(x, y) := x − y Đại lượng ngẫu nhiên và hàm mật độ Định nghĩa 1.23 Giả sử (Ω, X, F) là một không gian đo Ta nói hàm X xác định trên không gian biến cố sơ... và âm được gọi là tập không Mệnh đề 2.4 Mọi tập con đo được của một tập con dương của X là một tập con dương; hợp của một họ đếm được những tập con dương của X là một tập dương Chứng minh Phần đầu của mệnh đề là hiển nhiên, để chứng minh phần sau ta ∞ giả sử E = En là dãy những tập con dương của X (Để ý rằng ∅ là một tập con n=1 dương của X ) Giả sử A là một tập con đo được tùy ý của E Với mỗi n ∈ N... Tập compact nếu: mọi dãy {xn } ⊂ X có một dãy con {xnk } hội tụ tới một phần tử x ∈ X Mệnh đề 1.19 Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E thì bao đóng F của F cũng là không gian con của E Chứng minh Thật vậy, rõ ràng F = ∅ Cho x, y ∈ F , α, β ∈ K Khi đó, tồn tại các dãy {xn } ⊂ F, {yn } ⊂ F để xn → x, yn → y Suy ra dãy {αxn + βyn } là dãy phần tử của F hội tụ đến αx + βy nên αx + βy... ϕ(An ) ≥ 0 ϕ(A) = n=1 điều đó chứng tỏ rằng E là một tập dương Bằng cách lập luận tương tự ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.5 Mọi tập con đo được của một tập con âm của X là một tập âm Hợp của một họ đếm được những tập con âm của X là một tập âm Mệnh đề 2.6 Mọi tập con đo được E của X mà ϕ(E) < 0, đều chứa một tập con âm D với ϕ(D) < 0 Chứng minh Nếu E là một tập con âm thì ta lấy D = E và mệnh đề được... gọi là không gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy Định nghĩa 1.18 Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là: a) Tập bị chặn nếu: sup{ x x ∈ X} < +∞ b) Tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với mọi ε > 0 tồn tại tập hữu hạn A ⊂ E sao cho (∀x ∈ X)(∃y ∈ A)| x − y < ε ⇔⊂ B(y, ε) y∈A Tập con hữa hạn A ⊂ E thỏa mãn b) được gọi là một ε- lưới hữu hạn của X c) Tập... (ii) ϕ là một độ đo thực thì ϕ có tính chất cộng tính hữu hạn (iii) Nếu A, B ∈ A, A ⊂ B thì ϕ(B\A) = ϕ(B) − ϕ(A) (iv) Độ đo xét trước đây có thể không phải là một độ đo thực vì nó có thể bằng +∞ 15 Định nghĩa 2.3 Một tập E ⊂ X được gọi là dương nếu E ∈ A và nếu mọi A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không âm Tương tự tập E ⊂ X được gọi là tập âm nếu E ∈ A và nếu mọi A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không dương Một tập... (Định lý Random - Nikodym) Nếu độ đo m : A → R của không gian (X, A) là σ -hữu hạn trên A, ϕ là một độ đo dương hữu hạn ϕ